बीजगणित का प्रारंभ | 02. जोड़ व घटा

बीजगणित का प्रारंभ 02           

बीजीय व्यंजकों के जोड व घटा:-

Addition and Subtraction of Algebraic Expressions:

बीजीय व्यंजकों को जोडने के लिए ध्यान में रखें कि सबसे पहले समान पदों को या तो पास पास लिख लेते हैं या फिर ऊपर नीचे काॅलम में लिख लेते हैं। 

जोडने में हम चिन्हों को नहीं बदलते जबकि घटाते वक्त दूसरे व्यंजक के सभी चिन्हों को बदल देते हैं। यह हमें ऊध्र्व विधि में आसानी से समझ आ जायेगा जबकि क्षेतिज विधि में कोश्ठक के बाहर का ऋण या मायनस चिन्ह जब पूरे कोश्ठक से गुणा करता है तो वह स्वयं ही चिन्हों को बदलता चला जाता है। 

To add algebraic expressions, remember to first write like terms either side by side or in columns one above and one below the other.

When adding, we don't change the signs, whereas when subtracting, we change all the signs of the other expression. This is easily understood in the vertical method, whereas in the horizontal method, the minus sign outside the parentheses changes its own signs when multiplied by the entire parenthesis

दो या अधिक समान पदों का योग एक समान पद होता है, जिसका संख्यात्मक गुणांक सभी समान पदों के गुणांकों के योग के बराबर होता है ।

The sum of two or more like terms is a like term with a numerical coefficient equal to the sum of the numerical coefficients of all the like terms.

दो समान पदों का अंतर एक समान पद होता है, जिसका संख्यात्मक गुणांक दोनों समान पदों वेफ संख्यात्मक गुणांकों वेफ अंतर वेफ बराबर होता है।

The difference between two like terms is a like term with a numerical coefficient equal to the difference between the numerical coefficients of the two like terms.

जोडने व घटानें के दो विधियाँ हैं। ऊधवार्धर विधि तथा क्षेतिज विधि

ऊधवार्धर विधि  (Vertical Method). जोड़े व घटाये जाने वाले प्रत्येक व्यंजक को हम विभिन्न पंक्तियों में लिखते हैं। ऐसा करते समय हम समान पदों को एक दूसरे के ऊपर-नीचे लिखते हैं और, जैसा नीचे दर्शाया गया है। इस विधि को ऊधवार्धर विधि  (Vertical Method) इसे काॅलम मैथड़ के नाम से भी जाना जाता है।

7x² – 4xy + 8y² + 5x –3y में से 5x² – 4y² + 6y –3 को घटाइए।

There are two methods for addition and subtraction: the vertical method and the horizontal method.

The vertical method. We write each expression to be added or subtracted on separate lines. When doing so, we write like terms one above and one below the other, as shown below. This method is called the vertical method. It is also known as the column method.

ऊधवार्धर विधि (Vertical Method)  इसे काॅलम मैथड़ के नाम से भी जाना जाता है। 

क्षेतिज विधि  (Horizontal Method) –>  जब व्यंजको को क्षेतिज रूप में रखकर एक सीधी रेखा में जोडा वा घटाया जाता है तो इस विधि को क्षेतिज विधि कहते हैं।  इसे रेखीय मैथड के नाम से भी जाना जाता है। 

30ab + 12b + 14a में से 24ab – 10b – 18a को घटाओ।

ऊधवार्धर विधि (Vertical Method)  इसे कोलम मैथड के नाम से भी जाना जाता है। 

क्षेतिज विधि  (Horizontal Method)  इसे रेखीय विधि के नाम से भी जाना जाता है। 

16. Simplify each expression by combining like terms:  

निम्नलिखित व्यंजकों के समान पदों को जोड़ते हुए सरल कीजिए।

1. 12b – 7b – 3b

2.  – x2 + 4x2 – 8x2 + 11x2

3. 2a – (b–a) –b – (a–b)

4. (x2 + 3x – 2) – (4x – 2x2 – 2)

5.  xy2 – y2 + x2 + xy2 – 4 y2 – x2 – 7 

6. 12m2 – 9m + 5m – 4m2 – 7m + 10

7. 21b – 32 + 7b – 20b

8.  – z2 + 13z2 – 5z + 7z3 – 15z

9. 3mn, – 5mn, 8mn, – 4mn

10. t – 8tz, 3tz – z, z – t

11.  – 7mn + 5, 12mn + 2, 9mn – 8, – 2mn – 3

12. a + b – 3, b – a + 3, a – b + 3

13. 14x + 10y – 12xy – 13, 18 – 7x – 10y + 8xy, 4xy

14. 5m – 7n, 3n – 4m + 2, 2m – 3mn – 5

15. 4x2y, – 3xy2, –5xy2, 5x2y

17. Add the following: (any three)

निम्नलिखित को जोड़िये।

1. a + b – c, b + c – a, c + a – b

2.  3x + 4y – 15z, 6x + 7y, 12y – 7z – 9x

3. 15a + 11b – 13c – 17, 18 – 12c – 7b – 3a

4.  6x – 3y, 3y – 5x + 3z, – x + 2y – 3z    

5. 18y2 and  3y2

6. 6ab and –12ab

7. a + b – c  and – a – b – c

8. 3abc–a2–b2 and c2+2a2–b2+abc 

9.  x2 - 3xy - 2y2  and 2x2 + 4xy – 5y2

10.  - m2 + 3mn and 3m2 – 3mn + 8 

11. ab – bc, bc – ca, ca – ab 

12. a – b + ab, b – c + bc, c – a + ac

13. 2p2q2 – 3pq + 4, 5 + 7pq – 3p2q2 

14. l2 + m2, m2 + n2, n2 + l2, 2lm + 2mn + 2nl

18. Subtract: निम्नलिखित को घटाइए।

1. 18y2 from 3y2

2. 6ab from –12ab

3. a + b – c from – a – b – c

4. 3ab c – a2 – b2 from c2 +2a2– b2 + abc 

5.  x2 - 3xy - 2y2 from 2x2 + 4xy – 5y2

6. - m2 + 3mn from 3m2 – 3mn + 8 

7. b + c – a, c + a – b

8. 3x + 4y – 15z,  12y – 7z – 9x

9. 15a + 11b – 13c – 17, 18 – 12c – 7b – 3a

10. 3y – 5x + 3z, – x + 2y – 3z    

4. (a) Subtract 4a – 7ab + 3b + 12 from 12a – 9ab + 5b – 3

12a – 9ab + 5b – 3 में से 4a – 7ab + 3b + 12 को घटाओं।

(b) Subtract 3xy + 5yz – 7zx from 5xy – 2yz – 2zx + 10xyz

5xy – 2yz – 2zx + 10xyz में से 3xy + 5yz – 7zx को घटाओं।

(c) Subtract 4p²q – 3pq + 5pq² – 8p + 7q – 10 from 18 – 3p – 11q + 5pq – 2pq² + 5p²q

18 – 3p – 11q + 5pq – 2pq² + 5p²q में से 4p²q – 3pq + 5pq² – 8p + 7q – 10 को घटाओं।

19. From the sum of 3a – 5b + 3c and 2a + 4b – 5c, subtract 4a – b – c + 3.

3a – 5b + 3c और  2a + 4b – 5c के योग में से 4a – b – c + 3x को घटाओं।

20. What should be added to x² + xy + y² to obtain 2x² + 3xy?

x² + xy + y²  में क्या जोड़ा जाए कि 2x² + 3xy प्राप्त हो? 

21. From the sum of 2x² + 3xy, – x² – xy – y²  and xy + 2y², subtract the sum of 3x² – y² and – x² + xy + y².

21. 2x² + 3xy, – x² – xy – y² और xy + 2y² के योग में से 3x² – y² और – x² + xy + y² का योग घटाएँ।

22. Subtract the sum of 13m – 11n + 9p and – 7p + 3m – 5n from the sum of 6m – 7n – 5p, – 4m + 6p – 9n and 5m – 4n + 3p. 

13m – 11n + 9p और – 7p + 3m – 5n के योग में से 6m – 7n – 5p, – 4m + 6p – 9n और 5m – 4n + 3p का योग घटाएँ।

23. If A = 3x² – 7x + 8, B = x² + 8x – 3 and C = – 5x² – 3x + 2, find the value of  B – C – A. 

23. अगर A = 3x² – 7x + 8, B = x² + 8x – 3 और C = – 5x² – 3x + 2, तो B – C – A का मान पता करें।

24. If a = x – 2, b = y + 2 and c = – x + 2y, show that  a + b + c = 3y. 

24. अगर a = x – 2, b = y + 2 और c = – x + 2y, तो दिखाएँ कि a + b + c = 3y है।