अभाज्य संख्याएँ

बहुत अच्छा 👍
मैं आपको 1 से 100 तक की सभी अभाज्य संख्याएँ (Prime Numbers) सूचीबद्ध कर देता हूँ।

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🔹 अभाज्य संख्या (Prime Number):
वह संख्या जो केवल 1 और स्वयं से ही विभाज्य हो।

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✅ 1 से 100 के बीच अभाज्य संख्याएँ

👉 1 से 100 के बीच कुल मिलाकर 25 अभाज्य संख्याएँ हैं।

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,
31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71,
73, 79, 83, 89, 97

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क्या आप चाहेंगे कि मैं इन्हीं 25 संख्याओं को लेकर आपको सरल ट्रिक बताऊँ, जिससे तुरंत पहचान सकें कि कौन सी संख्या prime है और कौन सी नहीं?

बहुत बढ़िया 😊
तो चलिए अब मैं आपको 1 से 100 तक अभाज्य संख्याओं को पहचानने की सबसे आसान ट्रिक बताता हूँ।

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✅ अभाज्य संख्याएँ (Prime Numbers) पहचानने की ट्रिक

🔹 (1) केवल 2 और 3 से बड़ी कोई सम/3 के गुणज संख्या कभी prime नहीं होती

• 2 एकमात्र even prime number है।
• 3 भी prime है।
  👉 2 और 3 को छोड़कर कोई भी सम संख्या या 3 से विभाज्य संख्या कभी prime नहीं होगी।

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🔹 (2) “6n ± 1” नियम

👉 कोई भी अभाज्य संख्या (3 से बड़ी) हमेशा 6n+1 या 6n–1 के रूप में होगी।
जहाँ n = 1, 2, 3, …

उदाहरण:

• 5 = 6×1 – 1
• 7 = 6×1 + 1
• 11 = 6×2 – 1
• 13 = 6×2 + 1
• 17 = 6×3 – 1
  👉 इससे आप तुरंत shortlist बना सकते हो कि कौन सी संख्या prime हो सकती है।

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🔹 (3) √N तक जाँच नियम

👉 किसी भी संख्या N के prime होने की जाँच करने के लिए केवल √N तक की primes से भाग देकर देखना काफी है।
(क्योंकि उससे आगे अगर कोई factor होगा तो pair factor पहले ही √N से नीचे आ चुका होगा।)

उदाहरण:
91 prime है या नहीं?
√91 ≈ 9.5
तो सिर्फ primes 2, 3, 5, 7 से divide करके देखो।
91 ÷ 7 = 13 → divisible
👉 इसलिए 91 prime नहीं।

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🔹 (4) 1–100 तक shortcut याद रखने का तरीका

👉 अब 1–100 तक जल्दी पहचान के लिए ये group याद करो:

• 10 तक के primes: 2, 3, 5, 7
• 20 तक: 11, 13, 17, 19
• 30 तक: 23, 29
• 40 तक: 31, 37
• 50 तक: 41, 43, 47
• 60 तक: 53, 59
• 70 तक: 61, 67, 71
• 80 तक: 73, 79
• 90 तक: 83, 89
• 100 तक: 97

👉 इस तरह group बनाकर याद करने से तुरंत पहचान हो जाएगी।

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✅ यानी:

• 6n ± 1 rule से candidate चुनो।
• फिर सिर्फ छोटे primes (2, 3, 5, 7) से divide करके test करो।
• 100 तक की list को group-wise याद कर लो।

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क्या आप चाहेंगे कि मैं आपके लिए 1 से 1000 तक की सभी prime संख्याओं की पूरी तालिका भी बना दूँ ताकि आपके पास हमेशा reference रहे?

बहुत अच्छा 👍
अब मैं आपको 1 से 1000 तक की सभी अभाज्य संख्याएँ (Prime Numbers) को 100–100 के ब्लॉक्स में दे रहा हूँ। इससे आपको याद करना और देखना बहुत आसान हो जाएगा।

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✅ 1 से 1000 तक की अभाज्य संख्याएँ (Block-wise)

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🔹 1 से 100

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,
31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71,
73, 79, 83, 89, 97

(कुल 25)

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🔹 101 से 200

101, 103, 107, 109, 113,
127, 131, 137, 139,
149, 151, 157, 163, 167, 173,
179, 181, 191, 193, 197, 199

(कुल 21)

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🔹 201 से 300

211, 223, 227, 229,
233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281,
283, 293

(कुल 16)

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🔹 301 से 400

307, 311, 313, 317,
331, 337, 347, 349,
353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397

(कुल 16)

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🔹 401 से 500

401, 409, 419, 421,
431, 433, 439, 443, 449,
457, 461, 463, 467, 479,
487, 491, 499

(कुल 17)

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🔹 501 से 600

503, 509, 521, 523, 541,
547, 557, 563, 569, 571,
577, 587, 593, 599

(कुल 14)

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🔹 601 से 700

601, 607, 613, 617, 619,
631, 641, 643, 647, 653, 659,
661, 673, 677, 683, 691

(कुल 16)

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🔹 701 से 800

701, 709, 719, 727, 733,
739, 743, 751, 757, 761, 769,
773, 787, 797

(कुल 14)

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🔹 801 से 900

809, 811, 821, 823, 827, 829,
839, 853, 857, 859, 863,
877, 881, 883, 887

(कुल 15)

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🔹 901 से 1000

907, 911, 919, 929, 937, 941,
947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997

(कुल 14)

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✅ Grand Total = 168 Prime Numbers (1 से 1000 के बीच)

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क्या आप चाहेंगे कि मैं अब इनका एक चार्ट/तालिका बना दूँ (जैसे 10×10 ग्रिड हर 100 ब्लॉक के लिए), ताकि आप एक नज़र में देख सकें कि कौन-सी संख्याएँ prime हैं और कौन-सी नहीं?