Vinjeet Vedic Arithmetic Book || 1 || Chapter 20.03 || finding square root
Author
लेखक
ॐ जितेन्द्र सिंह तोमर
(M.A., B. Ed., MASSCOM, DNYS )
(Specialist in Basic and Vedic Maths)
🌺🌺🌺🪷🪷विनीत वैदिक गणित 🪷🪷🌺🌺🌺
(3) दीर्घ विभाजन विधि या भागफल या भाग विधि से
जब संख्याएँ बड़ी हों तब अभाज्य गुणनखंड विधि से वर्गमूल ज्ञात करना लंबा और कठिन होता है। इस समस्या से निकलने के लिए हम दीर्घ विभाजन विधि का प्रयोग करते हैं। इसके लिए हमें वर्गमूल में अंकों की संख्या को ज्ञात करने की आवश्यकता है।
(3) Long division method or quotient or division method
When the numbers are large, finding the square root by prime factorization method is long and difficult. To overcome this problem, we use long division method. For this, we need to find the number of digits in the square root.
निम्नलिखित सारणी को देखिए :
अतः वर्गमूल में अंकों की संख्या के बारे में हम क्या कह सकते हैं
यदि एक पूर्ण वर्ग संख्या 1 अंकों या 2 अंकों की हो? हम कह सकते हैं कि यदि एक पूर्ण वर्ग संख्या 1 अंकों की या 2 अंकों की है तब इसका वर्गमूल 1 अंकों का होगा।
यदि एक पूर्ण वर्ग संख्या 3 अंकों की या 4 अंकों की है तब इसका वर्गमूल 2 अंकों का होगा।
यदि एक पूर्ण वर्ग संख्या 5 अंकों की या 6 अंकों की है तब इसका वर्गमूल 3 अंकों का होगा।
So what can we say about the number of digits in the square root
if a perfect square number is 1 digit or 2 digit? We can say that if a perfect square number is 1 digit or 2 digit then its square root will be 1 digit.
If a perfect square number is 3 digit or 4 digit then its square root will be 2 digit.
If a perfect square number is 5 digit or 6 digit then its square root will be 3 digit.
इस जानकारी से हम कह सकते हैं कि एक पूर्ण वर्ग संख्या में n अंक हैं और n सम संख्या है तो उसके वर्गमूल में n/2 अंक होंगे।
और यदि n विषम संख्या है तो उसके वर्गमूल में (n+1)/2 अंक होंगे।
यह विधि किसी भी संख्या के वर्गमूल में अंकों की संख्या ज्ञात करने में उपयोगी होगी।
From this information we can say that a perfect square number has n digits and if n is even number then its square root will have n/2 digits.
And if n is odd number then its square root will have (n+1)/2 digits.
This method will be useful in finding the number of digits in the square root of any number.
दीर्घ विभाजन विधि द्वारा वर्गमूल ज्ञात करना
Finding square root by long division method
___ __। Quotient (Q) _
Devisor | Devidend (D)
(d) |
| 2 56
|_–1___________
| 1 Reminder (R)
क्योंकि वर्गमूल निकालने का यह तरीका भाग की तरह की है इसलिए इसे भाग विधि भी कहते हैं।
Because this method of finding the square root is like division, it is also called division method.
वर्गमूल निकालने में जितने युग्म अर्थात जोड़े बनेंगे उतने ही भागों में यह प्रक्रिया होगी हर भाग की प्रक्रिया एक समान ही होती है।
In finding the square root, this process will be conducted in as many parts as the number of pairs formed; the process of each part is the same.
प्रथम भाग
Part I
चरण 0 –> इस तरह की रचना बनाएं। यहां भाज्य Devidend (D) वह संख्या है जिसका वर्गमूल निकालना होता है।
Step 0 –> Draw a structure like this. Here, Dividend (D) is the number whose square root is to be found.
। Quotient (Q) भागफल
Devisor (d) | Devidend (D)
भाजक | भाज्य
|
|
| Reminder (R) शेषफल
चरण 1 –> इसमें भाज्य के स्थान पर वह संख्या लिखिए जिसका वर्गमूल ज्ञात करना है।
Step 1 –> In this, in place of dividend, write the number whose square root is to be found.
।
|
| a bc
|
|
चरण 2 –> दाएं (LHS ← RHS) तरफ से इस भाज्य के दो-दो अंकों के युग्म (जोड़ा) बनाएं। यदि अंत में एक अंक बचता है तो उसे भी एक युग्म मान लिया जाता है। युग्म बनाने के लिए इसके ऊपर युग्म दर्शाते हुए डंडा या बार खींच देते हैं।
Step 2 –> Make pairs of two two digits of this factorial from the right (LHS ← RHS) side. If one digit is left at the end, then it is also considered a pair. To make a pair, draw a line or bar above it indicating the pair.
।
|
| a bc
|
|
चरण 3 –> अब वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिसका वर्ग सबसे बाईं तरफ़ लिखी संख्या a से कम या बराबर हो।
★ मान लीजिए वह संख्या m है। तो m को दो स्थानों पर भाजक (Devisor) के स्थान पर और भागफल (Quotient (Q)) के स्थान पर लिखते हैं।
★ भाजक (Devisor) और भागफल (Quotient (Q)) की गुणा करके गुणनफल m² भाज्य के नीचे लिख देते हैं।
Step 3 –> Now find the largest number whose square is less than or equal to the leftmost number a.
★ Suppose that number is m. Then write m in two places, in place of divisor and in place of quotient (Q).
★ Multiply divisor and quotient (Quotient (Q)) and write the product m² below the dividend.
। m
|
m | a bc
| –m²
|
चरण 4 –> अब ऊपर वाले भाज्य a में से नीचे वाले भाज्य m² को घटकर दूसरी क्षैतिज लाइन खींचकर उसके नीचे लिख देते हैं। माना यह संख्या n आती है।
Step 4 –> Now subtract the lower factorial m² from the upper factorial a and draw another horizontal line and write it below it. Let this number be n.
। m
|
m | a bc
| –m²
| n
चरण 5 –> अब ऊपर वाला दूसरा युग्म भाज्य bc को तीर का निशान लगा कर नीचे लिख देते हैं। अब यह संख्या n bc हो जाती है।
Step 5 –> Now write the second pair of dividend bc below by putting an arrow mark. Now this number becomes n bc.
। m
|
m | a bc
| –m² ↓
| n bc
चरण 6 –> अब भागफल के दो गुने (अर्थात 2×m) को दूसरी क्षैतिज रेखा के भाजक वाले स्थान पर लिखते हैं और उसके दाएं और रिक्त स्थान छोड़ देते हैं।
Step 6 –> Now write twice the quotient (i.e. 2×m) in the divisor place of the second horizontal line and leave a blank space on its right.
। m
|
m | a bc
| –m² ↓
2m .... | n bc
|
चरण 7 –> अब वह सबसे बड़ी संख्या p है। जिसे 2m के दाएं लिखने पर भाजक 2mp हो जाता है। अब 2mp में p की गुणा करके गुणनफल को n bc के नीचे लिखकर उसमें से घटा देंगे।
(आप p को चुनने के लिए शून्य 0 से लेकर 9 तक की संख्या लिखकर जांच कर सकते हैं।)
अगर गुणनफल n bc के बराबर है तो शेषफल शून्य प्राप्त होगा। यदि यह काम है तो बचे हुए मान को तीसरी क्षैतिज लाइन खींचकर उसके नीचे, भाजक वाले स्थान पर लिख देंगे।
(ध्यान रहे कि हमेशा यह मान n bc के बराबर या n bc से काम लेना है, अधिक नहीं।)
Step 7 –> Now the largest number is p. If p is written to the right of 2m, the divisor becomes 2mp. Now multiply 2mp by p and write the product below n bc and then subtract it.
(You can check by writing a number from zero to 9 to choose p.)
If the product is equal to n bc, then the remainder will be zero. If it is less, then draw the third horizontal line and write the remaining value below it in the divisor place.
(Keep in mind that this value should always be equal to n bc or n bc, not more.)
। m
|
m | a bc
| –m² ↓
2m p | n bc
× p | n bc
×
अथवा
यदि चरण 7 का मन n bc से कम है तो चरण 6 और चरण 7 की तरह प्रक्रिया को आगे बढ़ा देंगे।
Or
if the value of step 7 is less than n bc then the process will be continued like step 6 and step 7.
उदाहरण 1
256 का वर्गमूल ज्ञात करना है।
Example 1
Find the square root of 256.
Sol.
हल
संख्या 256 के वर्गमूल में अंकों की संख्या का 2 होगी। सरल शब्दों में कह सकते हैं जितने युग्म (जोड़े) उतने अंक।
The number of digits in the square root of 256 will be 2. In simple words, as many pairs, so many digits.
चरण 1 –> यहां भाज्य के स्थान पर वह संख्या लिखिए जिसका वर्गमूल ज्ञात करना है।
Step 1 –> Here in place of dividend, write the number whose square root is to be found.
।
|
| 2 56
|
|
चरण 2 –> दाएं (LHS ← RHS) तरफ से इस भाज्य के दो-दो अंकों के युग्म (जोड़ा) बनाएं। यदि अंत में एक अंक बचता है तो उसे भी एक युग्म मान लिया जाता है। युग्म बनाने के लिए इसके ऊपर युग्म दर्शाते हुए डंडा या बार खींच देते हैं।
Step 2 –> Make pairs of two digits of this factorial from the right (LHS ← RHS) side. If one digit is left at the end, then it is also considered a pair. To make a pair, draw a line or bar above it indicating the pair.
।
|
| 2 56
|
|
चरण 3 –> अब वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिसका वर्ग सबसे बाईं तरफ़ लिखी संख्या 2 से कम या बराबर हो।
★ यहां वह संख्या 1 है। तो 1 को दो स्थानों पर भाजक (Devisor) के स्थान पर और भागफल (Quotient (Q)) के स्थान पर लिखते हैं।
★ भाजक (Devisor) और भागफल (Quotient (Q)) की गुणा करके गुणनफल (1×1=1) भाज्य के नीचे लिख देते हैं।
Step 3 –> Now find the largest number whose square is less than or equal to the leftmost number 2.
★ Here that number is 1. So write 1 in two places, one in place of Divisor and the other in place of Quotient (Q).
★ Multiply Divisor and Quotient (Q) and write the product (1×1=1) below the dividend.
। 1
|
1 | 2 56
| –1
|
चरण 4 –> अब ऊपर वाले भाज्य 2 में से नीचे वाले भाज्य 1 को घटकर 2–1=1 दूसरी क्षैतिज लाइन खींचकर उसके नीचे लिख देते हैं। यहां यह संख्या 1 आती है।
Step 4 –> Now subtract the lower factorial 1 from the upper factorial 2 and write 2–1=1 below it by drawing a second horizontal line. Here comes the number 1.
। 1
|
1 | 2 56
| –1
| 1
चरण 5 –> अब ऊपर वाला दूसरा युग्म भाज्य 56 को तीर का निशान लगा कर दूसरी क्षैतिज रेखा के नीचे लिख देते हैं। अब यह संख्या 1 56 हो जाती है।
Step 5 –> Now write the second divisor 56 above with an arrow below the second horizontal line. Now this number becomes 1 56.
। 1
|
1 | 2 56
| –1 ↓
| 1 56
चरण 6 –> अब भागफल के दो गुने अर्थात 2×1 को दूसरी क्षैतिज रेखा के नीचे भाजक वाले स्थान पर लिखते हैं और उसके दाएं और रिक्त स्थान छोड़ देते हैं।
Step 6 –> Now write twice the quotient i.e. 2×1 in the divisor place below the second horizontal line and leave a blank space on its right.
। 1
|
1 | 2 56
| –1 ↓
2 .... | 1 56
|
चरण 7 –> अब वह सबसे बड़ी संख्या 6 है। जिसे 2 के दाएं लिखने पर भाजक 26 हो जाता है। अब 26 में 6 की गुणा करके गुणनफल को 1 56 के नीचे लिखकर उसमें से घटा देंगे।
(आप p को चुनने के लिए 0 से लेकर 9 तक की संख्या लिखकर जांच कर सकते हैं। कैसे इसके लिए हम नीचे नोट लिख रहे हैं।)
Step 7 –> Now that largest number is 6. Which when written to the right of 2 becomes the divisor 26. Now multiply 26 by 6 and write the product below 1 56 and subtract it from it.
(You can check by writing a number from 0 to 9 to choose p. We are writing a note below for how.)
। 1 6
|
1 | 2 56
| –1 ↓
2 6 | 1 56
× 6 | 1 56
×
चरण 8 –> इस प्रकार चरण 7 को संतुष्ट करने वाली संख्या को भागफल का दूसरा अंक बना देंगे। यहां नया भागफल 16 प्राप्त हुआ जो 256 का वर्गमूल है।
√256 = 16
Step 8 –> Thus the number satisfying step 7 will become the second digit of the quotient. Here the new quotient obtained is 16 which is the square root of 256.
√256 = 16
नोट –>
Note –>
(1) भाजक 2 के दाएं 0 लिखने पर भाजक 20 हो जाता है। अब 20 में 0 की गुणा करने पर 0 आता है। जो भाज्य 1 56 से कम है अतः इसे छोड़ देंगे।
(1) On writing 0 to the right of divisor 2, the divisor becomes 20. Now on multiplying 20 by 0, the result is 0. Which is less than the dividend 1 56, so we will ignore it.
(2) भाजक 2 के दाएं 1 लिखने पर भाजक 21 हो जाता है। अब 21 में 1 की गुणा करने पर 21 आता है। जो भाज्य 1 56 से कम है अतः इसे छोड़ देंगे।
(2) On writing 1 to the right of divisor 2, the divisor becomes 21. Now on multiplying 21 by 1, the result is 21. Which is less than the dividend 1 56, so we will ignore it.
(3) भाजक 2 के दाएं 3 लिखने पर भाजक 23 हो जाता है। अब 23 में 3 की गुणा करने पर 69 आता है। जो भाज्य 1 56 से कम है अतः इसे छोड़ देंगे।
(3) On writing 3 to the right of divisor 2, the divisor becomes 23. Now multiplying 23 by 3 gives 69. Which is less than dividend 1 56, so we will ignore it.
(4) भाजक 2 के दाएं 4 लिखने पर भाजक 24 हो जाता है। अब 24 में 4 की गुणा करने पर 96 आता है। जो भाज्य 1 56 से कम है अतः इसे छोड़ देंगे।
(4) On writing 4 to the right of divisor 2, the divisor becomes 24. Now multiplying 24 by 4 gives 96. Which is less than dividend 1 56, so we will ignore it.
(5) भाजक 2 के दाएं 5 लिखने पर भाजक 25 हो जाता है। अब 25 में 5 की गुणा करने पर 125 आता है। जो भाज्य 1 56 से कम है अतः इसे छोड़ देंगे।
(5) On writing 5 to the right of divisor 2, the divisor becomes 25. Now multiplying 25 by 5 gives 125. Which is less than dividend 1 56, so we will ignore it.
(6) भाजक 2 के दाएं 6 लिखने पर भाजक 26 हो जाता है। अब 26 में 6 की गुणा करने पर 156 आता है। जो भाज्य 1 56 के बराबर है अतः इसे ले लेंगे।
(6) On writing 6 to the right of divisor 2, the divisor becomes 26. Now multiplying 26 by 6 gives 156. Which is equal to the dividend 1 56, so we will take it.
(7) भाजक 2 के दाएं 7 लिखने पर भाजक 27 हो जाता है। अब 27 में 7 की गुणा करने पर 1 89 आता है। जो भाज्य 1 56 से अधिक है अतः इसे छोड़ देंगे। और संख्या 7 से एक काम अर्थात 6 लेंगे।
(7) On writing 7 to the right of divisor 2, the divisor becomes 27. Now multiplying 27 by 7 gives 1 89. Which is more than the dividend 1 56, so we will leave it. And we will take 6, one less than the number 7.
अब एक और उदाहरण लेते हैं।
Now let us take another example.
उदाहरण 2
4096 का वर्गमूल ज्ञात करना है।
हल
Example 2
We have to find the square root of 4096.
Solution
संख्या 4096 के वर्गमूल में अंकों की संख्या 2 होगी। सरल शब्दों में कह सकते हैं किसी संख्या में वर्गमूल के अंको की संख्या, उस संख्या में बने युग्मों के बराबर होती है।
The number of digits in the square root of the number 4096 will be 2. In simple words, we can say that the number of digits of the square root of a number is equal to the pairs formed in that number.
चरण 1 –> यहां भाज्य के स्थान पर वह संख्या लिखिए जिसका वर्गमूल ज्ञात करना है।
Step 1 –> Here in place of dividend, write the number whose square root is to be found.
।
|
| 40 96
|
|
चरण 2 –> दाएं (LHS ← RHS) तरफ से इस भाज्य के दो-दो अंकों के युग्म (जोड़ा) बनाएं। यदि अंत में एक अंक बचता है तो उसे भी एक युग्म मान लिया जाता है। युग्म बनाने के लिए इसके ऊपर युग्म दर्शाते हुए डंडा या बार खींच देते हैं।
Step 2 –> Make pairs of two digits of this factorial from the right (LHS ← RHS) side. If one digit is left at the end, then it is also considered a pair. To make a pair, draw a stick or bar above it indicating the pair.
।
|
| 40 96
|
|
चरण 3 –> अब वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिसका वर्ग सबसे बाईं तरफ़ लिखी संख्या 40 से कम या बराबर हो।
★ यहां वह संख्या 6 है। तो 6 को दो स्थानों पर भाजक (Devisor) के स्थान पर और भागफल (Quotient (Q)) के स्थान पर लिखते हैं।
★ भाजक (Devisor) और भागफल (Quotient (Q)) की गुणा करके गुणनफल (6×6=36) भाज्य के नीचे लिख देते हैं।
Step 3 –> Now find the largest number whose square is less than or equal to the leftmost number 40.
★ Here the number is 6. So, write 6 in two places – in place of Divisor and in place of Quotient (Q).
★ Multiply Divisor and Quotient (Q) and write the product (6×6=36) below the dividend.
। 6
|
6 | 40 66
| –36
|
चरण 4 –> अब ऊपर वाले भाज्य 40 में से नीचे वाले भाज्य 36 को घटकर 40–36=4 दूसरी क्षैतिज लाइन खींचकर उसके नीचे लिख देते हैं। यहां यह संख्या 6 आती है।
Step 4 –> Now subtract the lower factorial 36 from the upper factorial 40 and write 40–36=4 below it by drawing another horizontal line. Here comes the number 6.
। 6
|
6 | 40 96
| –36
| 4
चरण 5 –> अब ऊपर वाला दूसरा युग्म भाज्य 96 को तीर का निशान लगा कर नीचे लिख देते हैं। अब यह संख्या 4 96 हो जाती है।
Step 5 –> Now write the second pair of divisible 96 below by putting an arrow mark. Now this number becomes 4 96.
। 6
|
6 | 40 96
| –36 ↓
| 4 96
चरण 6 –> अब भागफल के दो गुने अर्थात 2×6=12 को दूसरी क्षैतिज रेखा के भाज्य वाले भाजक वाले स्थान पर लिखते हैं और उसके दाएं और रिक्त स्थान छोड़ देते हैं।
Step 6 –> Now write twice the quotient i.e. 2×6=12 in the divisor place of the dividend in the second horizontal line and leave a blank space on its right.
। 6
|
6 | 40 96
| –36 ↓
12 .... | 4 96
|
चरण 7 –> अब वह सबसे बड़ी संख्या 6 है। जिसे 2 के दाएं लिखने पर भाजक 26 हो जाता है। अब 26 में 6 की गुणा करके गुणनफल को 1 56 के नीचे लिखकर उसमें से घटा देंगे।
(आप p को चुनने के लिए 0 से लेकर 9 तक की संख्या लिखकर जांच कर सकते हैं। कैसे इसके लिए हम नीचे नोट लिख रहे हैं।)
Step 7 –> Now the largest number is 6. Which when written to the right of 2 becomes the divisor 26. Now multiply 26 by 6 and write the product below 1 56 and subtract it from it.
(You can check by writing a number from 0 to 9 to choose p. We are writing a note below for how.)
। 6 4
|
6 | 40 96
| –36 ↓
12 4 | 4 96
× 4 | –4 96
×
चरण 8 –> इस प्रकार चरण 7 को संतुष्ट करने वाली संख्या को भागफल का दूसरा अंक बना देंगे। यहां नया भागफल 64 प्राप्त हुआ जो 4096 का वर्गमूल है।
√4096 = 64
Step 8 –> Thus the number satisfying step 7 will become the second digit of the quotient. Here the new quotient obtained is 64 which is the square root of 4096.
√4096 = 64
नोट –>
(1) भाजक 12 के दाएं 0 लिखने पर भाजक 120 हो जाता है। अब 120 में 0 की गुणा करने पर 0 आता है। जो भाज्य 4 96 से कम है अतः इसे छोड़ देंगे।
(2) भाजक 12 के दाएं 1 लिखने पर भाजक 121 हो जाता है। अब 121 में 1 की गुणा करने पर 121 आता है। जो भाज्य 4 96 से कम है अतः इसे छोड़ देंगे।
(3) भाजक 12 के दाएं 2 लिखने पर भाजक 122 हो जाता है। अब 122 में 2 की गुणा करने पर 244 आता है। जो भाज्य 4 96 से कम है अतः इसे छोड़ देंगे।
(4) भाजक 12 के दाएं 3 लिखने पर भाजक 123 हो जाता है। अब 123 में 3 की गुणा करने पर 369 आता है। जो भाज्य 4 96 से कम है अतः इसे छोड़ देंगे।
(5) भाजक 12 के दाएं 4 लिखने पर भाजक 124 हो जाता है। अब 124 में 4 की गुणा करने पर 496 आता है। जो भाज्य 4 96 के बराबर है अतः इसे ले लेंगे।
Note –>
(1) On writing 0 to the right of divisor 12, divisor becomes 120. Now on multiplying 120 by 0, we get 0. The result is less than 4 96. So we will ignore it.
(2) On writing 1 to the right of divisor 12, divisor becomes 121. Now on multiplying 121 by 1, we get 121. The result is less than 4 96. So we will ignore it.
(3) On writing 2 to the right of divisor 12, divisor becomes 122. Now on multiplying 122 by 2, we get 244. The result is less than 4 96. So we will ignore it.
(4) On writing 3 to the right of divisor 12, divisor becomes 123. Now on multiplying 123 by 3, we get 369. The result is less than 4 96. So we will ignore it.
(5) Putting 4 to the right of the divisor 12 gives the divisor 124. Now multiplying 124 by 4 gives 496. The dividend is equal to 4 96 so we will take it.
1. निम्नलिखित संख्याओं का वर्गमूल, भाग विधि से ज्ञात कीजिए :
1. Find the square root of the following numbers by division method:
(i) 529
(ii) 576
(iii) 900
(iv) 1024
(v) 1369
(vi) 2304
(vii) 3136
(viii) 3249
(ix) 3481
(x) 4489
(xi) 5776
(xii) 7921
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(4) अनुमान विधि द्वारा
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