108. वैदिक बीजगणित (8) | बीजगणितीय जोड़ और घटा |
(भाग 5)
चरण 1
बीजीय व्यंजकों के जोड व घटा :-
बीजीय व्यंजकों को जोडने के लिए ध्यान में रखें कि सबसे पहले समान पदों को या तो पास पास लिख लेते हैं या फिर ऊपर नीचे कॉलम में लिख लेते हैं।
जोडने में हम नीचे की पंक्ति के चिन्हों को नहीं बदलते हैं, जबकि घटाते वक्त नीचे की पंक्ति के सभी चिन्हों को एक-एक कर बदल देते हैं। अतः हम नीचे के व्यंजक के सभी चिन्हों को बदल देते हैं।
यह हमें उधर्वाधर या उधर्व र्विधि में आसानी से समझ आ जायेगा। जबकि क्षेतिज विधि में कोष्ठक के बाहर का ऋण या मायनस (–) चिन्ह जब पूरे कोष्ठक से गुणा करता है, तो वह स्वयं ही चिन्हों को बदलता चला जाता है।
दो या अधिक समान पदों का योग एक समान पद होता है, जिसका संख्यात्मक गुणांक सभी समान पदों के गुणांकों के योग के बराबर होता है ।
The sum of two or more like terms is a like term with a numerical coefficient equal to the sum of the numerical coefficients of all the
like terms.
दो समान पदों का अंतर एक समान पद होता है, जिसका संख्यात्मक गुणांक दोनों समान पदों के संख्यात्मक गुणांकों के अंतर के बराबर होता है।
The difference between two like terms is a like term with a numerical coefficient equal to the difference between the numerical coefficients of the two like terms.
ध्यान दें कि समान चरों या पदों को ही जोड़ा जाता है। इसलिए हमें समान चरों की पहचान होना बहुत आवश्यक है।
जोड़ दें और घट आते वक्त हमें दो बातें ध्यान रखनी चाहिए।
नंबर 1
जिस चर या पद पर कोई चिन्ह अर्थात निशान नहीं होता। वह चर या पद + या धनात्मक मानी जाती है।
The variable or term without sign is known as positive variable or term.
नंबर 2
समान चिन्ह (– तथा – समान चिन्ह होंगे इसी प्रकार + तथा + भी समान चिन्ह होंगे।) वाले चर या पद जोड़े जाते हैं तथा बड़े अंक वाले चर या पद के चिन्ह के साथ लिखे जाते हैं।
The variable or term with same signs (–&– are same sign and +&+ are same sign) are added and written with their signs. As
x + x = 2x
–x – x = – 2x
x + x + x = 3x
2x + x = 3x
x + 2x = 3x
x + x + x + x = 4x
x + 2x + x = 4x
2x + 2x = 4x
3x + x = 4x
1x + 2x + 3x + 4x = 10x
x + x + x + x + x = 5x
–x – x – x = –3x
–x – x – x – x = –4x
–x – x – x – x – x = –5x
+2x + 7x = 9x
–12y – 8y = –20y
–12z –7z = –19z
+5a + 5b = 5a + 5b
नंबर 3
विपरीत चिन्ह (– तथा + विपरीत चिन्ह होंगे इसी प्रकार + तथा – भी विपरीत चिन्ह होंगे।) वाले चर या पद घटाते हैं तथा बड़े अंक वाली चर या पद के चिन्ह के साथ लिखे जाते हैं।
दूसरे शब्दों में हम ऐसा कह सकते हैं कि जिस चिन्ह के जिस चर या पद के शेष बचते हैं उसे शेष वाले चर या पद के चिन्ह के साथ चर या पद लिखते हैं।
The variable or term of different signs (– & + are different sign and + & – are different sign) are subtracted and written with the signs of biggest variable or term. As
x – x = 0
–12x + 8x = –4x
+2x – 7x = –5x
+12y– 8y = 4y
–2a +7a = +5a
+3a– 4b =+3a + 4b
1. Find the sum:
निम्न को जोड़ो:
(01) – 6x + 8x
(02) – 13a –28a
(03) – 1y + 2y
(04) – 17a – 13b
(05) – 7x + 25x
(06) – 6x + 3x + 4x
(07) – 6x + 5x – 4x
(08) – 6y + 3y + 6y
(09) – 16x + 8y – 6x + 3x + 4y
(10) – 6x + 2y – 6x + 4x + 3y
(11) – 1ab + 2sb
(12) – 2abc + 1abc
(13) 5x² – 3x
(14) 2x – 3x²
(15) – 6x² + 3x³ – 5x² + 6x³
(16) – 5x²y + 3x³y – 5x²y + 6x³y
(17) 6x + 3x³ – 5x² + 6x³ – 6x² + 3x³ – 5x² + 6x³
(18) 6x + 3x³ – 5x + 6x³ – 6x² + 3x – 5x² + 6x³
(19) 2x + 3x³ – 4x² + 5x³ – 16x² + 13x³ – 5x² + 6x³
(20) 4x² + 5x³ – 16x² + 13x³ – 5x² + 6x³ + 3x³ – 4x² + 5x³ – 16x² + 13x³ – 5x² + 6x³
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चरण 2
जोडने व घटानें के दो विधियाँ हैं।
1. ऊधवार्धर विधि तथा 2. क्षैतिज विधि
1. ऊधवार्धर विधि :– जोड़े व घटाये जाने वाले प्रत्येक व्यंजक को हम विभिन्न पंक्तियों में लिखते हैं। ऐसा करते समय हम समान पदों को एक दूसरे के ऊपर-नीचे लिखते हैं और, जैसा नीचे दर्शाया गया है। इस विधि को ऊधवार्धर विधि इसे कॉलम मैथड़ के नाम से भी जाना जाता है।
2. क्षैतिज विधि :– जब व्यंजको को क्षेतिज रूप में रखकर एक सीधी रेखा में जोडा वा घटाया जाता है तो इस विधि को क्षेतिज विधि कहते हैं। इसे रेखीय मैथड के नाम से भी जाना जाता है।
Q.1
(7x² – 4xy + 8y² + 5x – 3y) तथा (5x² – 4y² +6y– 3) को जोड़िए।
ऊधवार्धर विधि
7x² – 4xy + 8y² + 5x – 3y
5x² – 4y² + 6y – 3
12x² –4xy +4y² +5x +3y –3
क्षैतिज विधि
(7x² – 4xy + 8y² + 5x – 3y) + (5x² – 4y² +6y– 3)
= 7x² – 4xy + 8y² + 5x – 3y + 5x² – 4y² +6y– 3
= 7x² + 5x² + 8y² – 4y² + 5x + 6y – 3y – 4xy – 3
= 12x² + 4y² + 5x + 3y – 4xy – 3
Q.2
(7x² – 4xy + 8y² + 5x – 3y) में से (5x² – 4y² +6y– 3) को घटाईए।
ऊधवार्धर विधि
7x² – 4xy + 8y² + 5x – 3y
(+) 5x² (–) 4y² (+) 6y (–) 3
(–) (+) (–) (+)
2x² –4xy +12y² +5x – 9y + 3
क्षैतिज विधि
(7x² – 4xy + 8y² + 5x – 3y) – (5x² – 4y² +6y– 3)
= 7x² – 4xy + 8y² + 5x – 3y – 5x² + 4y² – 6y + 3
= 7x² – 5x² + 8y² + 4y² + 5x – 6y – 3y – 4xy + 3
= 2x² + 12y² + 5x – 9y – 4xy + 3
Q.3
Add (3ab +7b + 4a) and (2ab +5b + 8a)
Vertical Method
3ab + 7b + 4a
2ab + 5b + 8a
5ab + 12b + 12a
Horizontal Method
(3ab +7b + 4a) + (2ab +5b + 8a)
= 3ab +7b + 4a + 2ab +5b + 8a
= 3ab + 2ab + 7b +5b + 4a + 8a
= 5ab + 12b +12a
Q.4
Subtract (2ab +5b + 8a) from (3ab +7b + 4a)
Vertical Method
3ab + 7b + 4a
+ 2ab + 5b + 8a
(–) (–) (–)
ab + 2b – 4a
Horizontal Method
(3ab +7b + 4a) – (2ab +5b + 8a)
= 3ab +7b + 4a – 2ab – 5b – 8a
= 3ab – 2ab + 7b – 5b + 4a – 8a
= ab + 2b +4a
Q.5
Add (7x² – 4x + 5) and (7x – 5)
Vertical Method
7x² – 4x + 5
+ 7x – 5
7x² + 3x
Horizontal Method
(7x² – 4x + 5) + (7x – 5)
= 7x² – 4x + 5 + 7x – 5
= 7x² – 4x + 7x + 5 – 5
= 7x² – 3x
Q.6
Subtract (7x – 5) and (7x² – 4x + 5)
Vertical Method
7x² – 4x + 5
+ 7x – 5
(–) (+)
7x² – 11x + 10
Horizontal Method
(7x² – 4x + 5) – (7x – 5)
= 7x² – 4x + 5 – 7x + 5
= 7x² – 4x – 7x + 5 – 5
= 7x² – 11x + 10
Practice Time 1
Simplify each expression by combining like terms:
समान पदों को जोड़कर सरल करो।
01. 12b – 7b – 3b
02. – x ² + 4x² – 8x² + 11x²
03. 2a – (b–a) –b – (a–b)
04. (x ² + 3x – 2) – (4x – 2x² – 2)
05. xy ² – y² + x² + xy² – 4y² – x² – 7
06. 12m ² – 9m + 5m – 4m² – 7m +10
07. 21b – 32 + 7b – 20b
08. – z ² + 13z² – 5z + 7z³ – 15z
Practice Time 2
Add the followings: (निम्न को जोड़िएः)
01. 3mn, – 5mn, 8mn, – 4mn
02. t – 8tz, 3tz – z, z – t
03. – 7mn + 5, 12mn + 2, 9mn – 8, – 2mn – 3
04. a + b – 3, b – a + 3, a – b + 3
05. 14x + 10y – 12xy – 13, 18 – 7x – 10y + 8xy, 4xy
06. 5m – 7n, 3n – 4m + 2, 2m – 3mn – 5
07. 4x²y, – 3xy², –5xy², 5x²y
08. a + b – c, b + c – a, c + a – b
09. 3x + 4y – 15z, 6x + 7y, 12y – 7z – 9x
10. 15a + 11b – 13c – 17, 18 – 12c – 7b – 3a
11. 6x – 3y, 3y – 5x + 3z, – x + 2y – 3z
12. 18y² and 3y²
13. 6ab and –12ab
14. a + b – c and – a – b – c
15. 3abc–a²–b² and c²+2a²–b²+abc
16. ab – bc, bc – ca, ca – ab
17. a – b + ab, b – c + bc, c – a + ac
18. 2p²q²– 3pq + 4, 5 + 7pq – 3p²q²
19. l2 + m², m² + n², n² + l², 2lm + 2mn + 2nl
Practice Time 3
Subtract:
Q.1
01. 18y² from 3y²
02. 6ab from –12ab
03. a + b – c from – a – b – c
04. 3ab c – a ² – b² from c² +2a²– b² + abc
05. x ² - 3xy - 2y² from 2x² + 4xy –5y²
06. –m ² + 3mn from 3m² – 3mn + 8
07. b + c – a, c + a – b
08. 3x + 4y – 15z, 12y – 7z – 9x
09. 15a + 11b – 13c – 17, 18 – 12c – 7b – 3a
10. 3y – 5x + 3z, – x + 2y – 3z
02.
(a) Subtract 4a – 7ab + 3b + 12 from 12a – 9ab + 5b – 3
(b) Subtract 3xy + 5yz – 7zx from 5xy – 2yz – 2zx + 10xyz
(c) Subtract 4p ²q – 3pq + 5pq² – 8p + 7q – 10 from 18 – 3p – 11q + 5pq – 2pq² + 5p²q
03. From the sum of 3a – 5b + 3c and 2a + 4b – 5c, subtract 4a – b
– c + 3.
04. What should be added to x ² + xy + y² to obtain 2x² + 3xy?
05. From the sum of 2x ² + 3xy, – x² – xy – y² and xy + 2y³, subtract
the sum of 3 x ² – y² and – x² + xy + y² .
06. Subtract the sum of 13m – 11n + 9p and – 7p + 3m – 5n from the sum of 6m – 7n – 5p, – 4m + 6p – 9n and 5m – 4n + 3p.
07. If A = 3x ² – 7x + 8, B = x² + 8x – 3 and C = – 5x² – 3x + 2, find the value of B – C – A.
08. If a = x – 2, b = y + 2 and c = – x + 2y, show that a + b + c = 3y.
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