107. वैदिक बीजगणित (7) | बीजगणितीय शब्दावली |
(भाग 4)
चरण 1
बहुपद :- वह व्यंजक जिसके गुणज शन्येत्तर (शून्य न हो) तथा घातें ऋणेत्तर (ऋण न हो) बहुपद कहलाता है। जैसे ax² + bx + c , x + y + 2, z – a + b, 2x + xy + z, a + b² + c, a + 2 + x, z – 2 – y, xy + yz – zx, abc + a²bc+ bc, x² + y + z², x² + y² + z² etc.
Polynomials: - The Expression containing one or more terms with
non zeros coefficient with non negative exponent is known as polynomials i.e. ax² + bx + c , x + y + 2, z – a + b, 2x + xy + z, a + b² + c, a + 2 + x, z – 2 – y, xy + yz – zx, abc + a²bc+ bc, x² + y + z², x² + y² + z² etc.
The general form of a polynomial in one variable is
पदों की संख्या के आधार पर व्यंजक के प्रकार:– पदों की संख्या के आधार पर व्यंजक चार प्रकार के होते हैं।
Types of expression on the basses of Number of terms: - There are mainly four types of expressions on the bases of the Numbers of Terms.
एक पदीय व्यंजक:– वह व्यंजक जिसमें केवल एक ही पद (या एक ही चिन्ह) होता है वह एक पदीय व्यंजक कहलाता है। जैसे x, y, z, xyz, ab²c, 2x, 7z, xy, yz, abc, x², yz², x²y²z² etc.
Monomials: - The Expression that contains only one term (or one
sign) is called monomials i.e. x, y, z, xyz, ab²c, 2x, 7z, xy, yz, abc, x², yz², x²y²z² etc.
द्विपदीय व्यंजक:– वह व्यंजक जिसमें केवल एक ही पद (या एक ही चिन्ह) होता है वह एक पदीय व्यंजक कहलाता है। जैसे x + y, z – a, 2x + xyz, a + b²c, 2 + x, z – 2, xy + yz, abc + a²bc, x² + yz², x²+y² etc.
Binomials: - The Expression that contains only two term (or two
signs) is called binomials i.e. x + y, z – a, 2x + xyz, a + b²c, 2 + x, z – 2, xy + yz, abc + a²bc, x² + yz², x²+y² etc. x
त्रिपदीय व्यंजक:– वह व्यंजक जिसमें केवल एक ही पद (या एक ही चिन्ह) होता है वह त्रिपदीय व्यंजक कहलाता है। जैसे ax² + bx + c , x + y + 2, z – a + b, 2x + xy + z, a + b² + c, a + 2 + x, z – 2 – y, xy + yz – zx, abc + a2bc+ bc, x² + y + z², x² + y² + z² etc.
Trinomials: - The Expression that contains only three term (or three signs) is called trinomials i.e.
ax² + bx + c , x + y + 2, z – a + b, 2x + xy + z, a + b² + c, a + 2 + x, z – 2 – y, xy + yz – zx, abc + a2bc+ bc, x² + y + z², x² + y² + z² etc.
(06) State which of the following are monomials, binomials, trinomials and polynomials:
निम्न में से एक पदीय, द्विपदीय त्रिपदीय तथा बहुपदीय व्यंजको को छाटो:
01) 4x – 3y
02) 7xyz
03) x ² + 2x + 7
04) – z + 5,
05) 7
06) a + b
07) x + 3,
08) 4l + 5m
09) 4 p ²q – 4 q²p + r + 5
10) a + 4
11) 2y – 5,
12) 5 –3xy
13) 3x ² ,
14) z² – 4y²
15) 4xy + 7,
16) 4x ²
17) x,
18) 3xy– y ² + x² – y + x
19) x – 4,
20) –7z
21) 2x + 1,
22) 5xy ²
23) 3x – 2,
24) 10y –9
25) 17,
26) 2a + b + c
27) 2x + 3y + 7z + 7
28) 2x + 3y – 5
29) x + y + z + 2
30) x ²y – xy² + y²– y² + x²
Solution
01
4x – 3y It has two terms so that it is Binomial
02
7xyz It has one terms so that it is Monomial
03
x ² + 2x + 7 It has three terms so that it is Trinomial
चरण 2
घातों के आधार पर व्यंजनों के प्रकार :– घातों की संख्या के आधार पर व्यंजक चार प्रकार के होते हैं।
Types of expression on the bases of Power (Degree) : - There are main four types of expressions on the bases of the Numbers of the base of Power of Expression.
रैखिक बहुपद :– घात एक वाले बहुपद को रैखिक बहुपद कहते हैं । जिस बहुपद में केवल एक ही चर (ax + b, 4x + 2, m + 5) होता है उसे एक चर वाला रैखिक बहुपद कहते हैं तथा जिसमें दो चर (ax + by + c, 4x +2y + 5) होते हैं उसे दो चर वाले रैखिक बहुपद कहते हैं जैसे–
P(x) = ax + b
P(x) = 4x + 2
P(x) = m + 5
P(x) = ax + by + c,
P(x) = 4x +2y + 5
Linear Polynomials: - Polynomial with power one is called the linear polynomials. If it has one variable then it is called the linear polynomials of one variable (ax + b, 4x + 2, m + 5) and if it has two variables (ax + by + c, 4x +2y + 5) then it is called the linear polynomials of two variables and so on.
P(x) = ax + b
P(x) = 4x + 2
P(x) = m + 5
P(x) = ax + by + c,
P(x) = 4x +2y + 5
द्विघात बहुपद :– घात दो वाले बहुपद को द्विघात बहुपद कहते हैं । जैसे–
P(x) = 2x² + 2x –4
P(x) = x² + 7x +12
P(x) = 2x² – 2x –4
P(x) = x² + √2x –4
Quadratic Polynomials: - The polynomials which have highest
power two is called the quadratic polynomials.
P(x) = 2x² + 2x –4
P(x) = x² + 7x +12
P(x) = 2x² – 2x –4
P(x) = x² + √2x –4
Writing of Quadratic Polynomial: - Any polynomials can be written in the form of ax² + bx + c.
Where ‘a’ is the coefficient of
x² and ‘b’ is the coefficient of x and ‘c’ is constant term.
Polinomial of one variable x is
P(x) = 2x² + 2x –4
Polinomial of one variable m is
P(m) = 2m² + 2m –4
Polinomial of one variable p is
P(p) = 2p² + 2p –4
Polinomial of one variable z is
P(z) = 2z² + 2z –4
Polinomial of one variable y is
P(y) = 2y² + 2y –4
Note: - a, b and c are written in numerical value.
त्रिघात बहुपद :– घात तीन वाले बहुपद को त्रिघात बहुपद कहते हैं । जैसे–
P(x) = x³ + 2x² + 2x –4
P(x) = x³ + x² + 7x +12
P(x) = x³ + 2x² – 2x –4
P(x) = x³ + x² + √2x –4
Cubical Polynomials: - The polynomials which have highest
power three is called the cubical polynomials.
P(x) = x³ + 2x² + 2x –4
P(x) = x³ + x² + 7x +12
P(x) = x³ + 2x² – 2x –4
P(x) = x³ + x² + √2x –4
चतुर्थघात बहुपद :– घात तीन वाले बहुपद को चतुर्थघात बहुपद कहते हैं । जैसे–
P(x) = x⁴ + x³ + 2x² + 2x –4
P(x) = x⁴ + x³ + x² + 7x +12
P(x) = x⁴ + x³ + 2x² – 2x –4
P(x) = x⁴ + x³ + x² + √2x –4
Biquadrate Polynomials: - The polynomials which have highest
power four is called the biquadrate polynomials.
P(x) = x⁴ + x³ + 2x² + 2x –4
P(x) = x⁴ + x³ + x² + 7x +12
P(x) = x⁴ + x³ + 2x² – 2x –4
P(x) = x⁴ + x³ + x² + √2x –4
अन्य प्रकार
आंकिक बहुपद:– जिस किसी बहुपद में केवल एक ही पद हो वह भी अंक हो तो इस प्रकार के बहुपद को हम आंकिक बहुपद कहते हैं 2, –5, 7 आदि आंकिक बहुपद के उदाहरण हैं।
P(x) = 2
P(x) = –5
P(x) = 7
Constant polynomials: - If there is only one constant in the polynomial then it is called constant polynomial. 2, –5, 7, etc. are examples of constant polynomials.
P(x) = 2
P(x) = –5
P(x) = 7
शून्य बहुपद :– जब किसी बहुपद में केवल शून्य हो तो उस बहुपद को शून्य बहुपद कहते हैं। दूसरे शब्दों में अचर बहुपद शून्य को 'शून्य बहुपद' कहते हैं।
P(x) = 0
Zero polynomial: - The constant polynomial, whose coefficients are all equal to 0, is called the zero polynomial.
P(x) = 0
Practice Time
(07) निम्न में से प्रत्येक बहुपद को रैखिक, द्विघातीय बहुपद, त्रिघात बहुपद, आंकिक तथा शून्य बहूपदों में विभक्त करो।
Classify the following as linear, quadratic, cubic, constant or
zero polynomials.
01) x ³ + 8
02) x² – 30x + 9
03) x⁴ + x
04) 5x² – 4x – 9
05) x – x³
06) 2 – x³ + x
07) 25x2² – 30x + 9
08) 3x
09) 1 + x
10) √2 x – 1
11) – 6
12) x + 3
13) x ² – x – 12
14) 2y²
15) 2 + x² + x
16) – 7y³
17) 7
18) 0
19) – 11
20) 0 m²
Sol. : -
Do yourself by looking the highest power if power is one then it is linear polynomials, if power is two then it is quadratic polynomials and if power is three then it is cubic polynomials. If there is only number than it is constang polynomial and it there is 0 then is zero polynomial.
आप स्वयं करें क्योंकि घात 1 वाले बहुपद को रैखिक बहुपद कहते हैं। घात 2 वाले बहुपद को द्विघात बहुपद कहते हैं। घात 3 वाले बहुपद को त्रिघात बहुपद कहते हैं। घात 0 वाले बहुपद को शून्य आंकिक बहुपद कहते हैं। केवल अंक वाले बहुपद को आंकिक बहुपद कहते हैं।
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