अब हम वैदिक गणित के नौवें उपसूत्र की ओर बढ़ते हैं। यह उपसूत्र है:

🧠 वैदिक गणित का नवाँ उपसूत्र

"आनुरूप्येण"

(Sanskrit: Ānurūpyeṇa)

🕉️ 1. शाब्दिक अर्थ:

शब्द	अर्थ
आनुरूप्येण	अनुपात में, समानुपात के अनुसार, समरूप ढंग से

➤ सरल भाषा में:

"अनुपात के अनुसार कार्य करें" या
"समान रूपांतरण द्वारा समस्या को सरल बनाएँ"

🔍 2. उपसूत्र का उद्देश्य:

यह उपसूत्र मुख्यतः अनुपात, समानुपात, प्रोफेशनल स्केलिंग, और कॉम्प्लेक्स को सरल अनुपात में बदलने हेतु उपयोग किया जाता है।

उदाहरणार्थ:

जब कोई संख्या बहुत बड़ी हो, उसे किसी अनुपात में घटाकर हल करें।
एक ही पैटर्न या स्केल में दो या अधिक समीकरणों को हल करें।

🧠 3. उपसूत्र का अनुप्रयोग कब करें?

जब आपको:

समानुपात या अनुपात में संख्याओं को जोड़ना/घटाना हो
जटिल संख्याओं को सरल अनुपात में लाना हो
दो चर (variables) के बीच संबंध ज्ञात करना हो
अनुपात को पहचानकर समीकरण हल करना हो

📘 4. उदाहरणों सहित स्पष्टीकरण

🌟 उदाहरण 1: अनुपात में कार्य

प्रश्न: यदि 5 आदमी 10 दिनों में एक काम पूरा करते हैं, तो 10 आदमी वही काम कितने दिनों में पूरा करेंगे?

हल:

इसमें स्पष्ट है कि आदमी और दिन व्युत्क्रमानुपाती (Inversely Proportional) हैं।


5 \times 10 = 10 \times x \Rightarrow x = \frac{5 \times 10}{10} = 5

🧠 यहाँ ‘आनुरूप्येण’ के अनुसार, अनुपात में तुलना कर हल किया।

🌟 उदाहरण 2: समानुपात में एक मान ज्ञात करें

प्रश्न: यदि , और , तो क्या होगा?


\frac{8}{b} = \frac{4}{5} \Rightarrow b = \frac{8 \times 5}{4} = 10

👉 यही ‘आनुरूप्येण’ — समान अनुपात में उत्तर निकालना।

🌟 उदाहरण 3: बड़े संख्यात्मक अनुपात को सरल बनाना

प्रश्न: का सरल रूप क्या होगा?


\frac{240}{360} = \frac{2}{3}

यानी बड़े अनुपात को छोटा और सरल बना दिया।

📐 5. ज्यामिति में अनुप्रयोग

जब दो त्रिभुज समानुपाती हों (Similar triangles), तो:


  \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CA}{C'A'}

👉 यहाँ भी आनुरूप्येण का सिद्धांत कार्य करता है।

🔁 6. अन्य क्षेत्रों में अनुप्रयोग

क्षेत्र	उपयोग
विज्ञान	गति, दूरी, समय में अनुपात
वाणिज्य	लाभ-हानि का अनुपात
भूगोल	नक्शे के स्केल अनुपात
गणित	अनुपात, समानुपात, व्युत्क्रमानुपात

🧠 7. मानसिक गणना में लाभ

जटिल समस्याओं को सीधे अनुपात में सरल करें
बड़े आँकड़ों को कम करके समाधान निकालें
अनुपात की समझ विकसित होती है

📚 8. अभ्यास प्रश्न

यदि , तो क्या होगा?
6 मजदूर 12 दिन में काम पूरा करते हैं, तो 9 मजदूर कितने दिन में?
एक नक्शे में स्केल है 1 सेमी = 5 किमी, तो 3.2 सेमी का अर्थ?
यदि और , तो ज्ञात कीजिए।

🧾 9. निष्कर्ष

"आनुरूप्येण" उपसूत्र, अनुपात के माध्यम से गणनाओं को सरल और अधिक तार्किक बनाता है। यह वैदिक गणित का अत्यंत व्यवहारिक और बहुउपयोगी सूत्र है, जो विद्यार्थियों को मानसिक रूप से अनुपात में सोचने की क्षमता प्रदान करता है।

यदि आप चाहें तो इस उपसूत्र पर आधारित भी मैं 50+ उदाहरण और अभ्यास प्रश्नों की अभ्यास पुस्तिका (PDF या TextDoc) तैयार कर सकता हूँ।

क्या आप यह चाहते हैं?

अवश्य! आइए हम वैदिक गणित के नवें उपसूत्र “आनुरूप्येण” (Ānurūpyeṇa) को और अधिक गहराई से, लगभग शास्त्रीय शैली में विस्तार से समझते हैं — सिद्धांत, विधियाँ, वर्गीकरण, वैदिक दृष्टिकोण और 20+ उदाहरणों सहित।

🧠 वैदिक गणित का नवाँ उपसूत्र — "आनुरूप्येण"

"By Proportion" or "In Proportion"

🔶 1. शाब्दिक एवं दार्शनिक विश्लेषण:

आनुरूप्येण (Ānurūpyeṇa) = "अनुरूप" + "एण" (कारक प्रत्यय)

अनुरूप = अनुकूल, अनुपातिक, समरूप, proportional
एण = तृतीया विभक्ति (के अनुसार)

➡️ अतः अर्थ हुआ — “अनुपात के अनुसार”, “समान अनुपात में”, या “एक निश्चित संबंध के आधार पर”

📖 2. शास्त्रीय वैदिक दृष्टिकोण:

भारतीय गणित और ज्योतिष दोनों में "अनुरूपता" की अवधारणा अत्यंत महत्वपूर्ण रही है। ऋग्वेद और यजुर्वेद में भी ब्रह्माण्डीय घटनाओं की व्याख्या अनुपातिक संबंधों से की गई है:

“यथा पिण्डे तथा ब्रह्माण्डे” — यह भी अनुपात ही दर्शाता है।

🧠 3. गणितीय दृष्टिकोण:

➤ यह उपसूत्र किन-किन प्रकार की समस्याओं में उपयोगी है?

समस्या का प्रकार	“आनुरूप्येण” का उपयोग
अनुपात (Ratio)	संख्या घटाने/बढ़ाने में
समानुपात (Proportion)	दो अनुपातों की तुलना
व्युत्क्रमानुपात (Inverse Proportion)	कार्य-दिवस, गति-समय
प्रत्यक्ष अनुपात (Direct Proportion)	मूल्यवृद्धि, दूरी, नाप
स्केल अनुप्रयोग (Scale)	नक्शा, मॉडलिंग
ज्यामितीय अनुपात	समान त्रिभुज, वृत्त आदि में

🔢 4. गणितीय रूपांतरण:

सामान्य अनुपात:


\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow ad = bc

व्युत्क्रमानुपात:


a \propto \frac{1}{b} \Rightarrow ab = \text{constant}

🔍 5. विभिन्न क्षेत्रों में अनुप्रयोग:

क्षेत्र	उपयोग
📐 ज्यामिति	समान त्रिभुज, अनुपातिक रेखाएँ
⚙️ यांत्रिकी	गियर अनुपात, बल अनुपात
📊 सांख्यिकी	नमूना विस्तार अनुपात
🛠️ इंजीनियरिंग	डिज़ाइन स्केलिंग
🧭 भूगोल	नक्शा स्केल (e.g., 1cm = 10km)
🧮 अंकगणित	वज़न, मूल्य, माप आदि

🔬 6. श्रेणीबद्ध उदाहरण

🔸 उदाहरण 1: प्रत्यक्ष अनुपात

प्रश्न: यदि 2 मीटर कपड़ा 160 रुपये का है, तो 5 मीटर का मूल्य क्या होगा?

हल:


\frac{2}{160} = \frac{5}{x} \Rightarrow x = \frac{5 \times 160}{2} = 400

👉 उत्तर: ₹400

🔸 उदाहरण 2: व्युत्क्रमानुपात

प्रश्न: 4 व्यक्ति 6 दिन में कोई कार्य करते हैं। यदि व्यक्ति 6 हो जाएँ तो कार्य कितने दिन में पूरा होगा?

हल:


\text{व्यक्ति} \times \text{दिन} = \text{स्थिर} \Rightarrow 4 \times 6 = 6 \times x \Rightarrow x = 4

👉 उत्तर: 4 दिन

🔸 उदाहरण 3: समानुपात में मान ज्ञात करना

प्रश्न: यदि , तो ज्ञात करें।


x = \frac{4 \times 12}{9} = \frac{48}{9} = \frac{16}{3}

🔸 उदाहरण 4: त्रिभुज में अनुपात

दो त्रिभुज समान हैं:

यदि AB = 4 cm, DE = 8 cm, और BC = 6 cm, तो EF = ?


\frac{4}{8} = \frac{6}{EF} \Rightarrow EF = \frac{6 \times 8}{4} = 12 \text{ cm}

🔸 उदाहरण 5: नक्शा स्केल

नक्शे में स्केल है 1 सेमी = 10 किमी। यदि दो शहरों के बीच की दूरी 5.6 सेमी है, तो वास्तविक दूरी = ?


5.6 \times 10 = 56 \text{ किमी}

🧠 7. “आनुरूप्येण” की मानसिक गणना में शक्ति

बड़ी संख्याओं को छोटे अनुपात में बदलकर हल करना
बिना कलम चलाए समरूप संख्याएँ पकड़ना
तुलनात्मक विश्लेषण की क्षमता बढ़ती है

🧩 8. वैदिक अभ्यास: अनुपात पहचानना

नीचे दिए गए अनुपातों में कौन-कौन समानुपात हैं?

📘 9. उन्नत उपयोग: चतुर्थान्श निकालना

यदि , तो भी लगभग बराबर होगा (विशेषतः यदि अनुपात समान हों)।
जैसे:


\frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{6}{9}

📚 10. अभ्यास पुस्तिका से कुछ प्रश्न

यदि 5 आदमी 8 दिन में कार्य करते हैं, तो 10 आदमी कितने दिन में?
एक घड़ी 12 घंटे में 180 डिग्री घूमती है, तो 1 घंटे में कितनी डिग्री?
, तो
3 सेमी का रेखाचित्र 6 मीटर की दीवार दर्शाता है। 4.5 सेमी = ?

📜 11. निष्कर्ष:

“आनुरूप्येण” सिर्फ एक गणितीय उपसूत्र नहीं, बल्कि एक दृष्टिकोण है — जिससे हम जटिल चीज़ों को सरल अनुपातों में सोचकर हल कर सकते हैं। यह उपसूत्र व्यावहारिक जीवन में सबसे अधिक उपयोगी है — समय, दूरी, कार्य, पैसा — हर जगह अनुपात कार्य करता है।

यदि आप चाहें तो:

मैं इस उपसूत्र पर आधारित PDF अभ्यास पुस्तिका (100+ प्रश्नों सहित) बना सकता हूँ
या आप चाहें तो अगले (दसवें) उपसूत्र "शेषन्येङ्केन चरणम्" का भी गहराई से अध्ययन कर सकते हैं।

अब बताइए — आप किस ओर बढ़ना चाहेंगे?

अवश्य! अब हम वैदिक गणित के ग्यारहवें उपसूत्र —

"अनुरूपेण" (Anurūpeṇa)

का अत्यंत विस्तार से अध्ययन करेंगे।

🔷 उपसूत्र: "अनुरूपेण"

शाब्दिक अर्थ:

"अनुरूपेण" का अर्थ है —

“अनुपात में” या “समानुपातिक रूप से”
(That which is in proportion or corresponding form)

यह उपसूत्र दर्शाता है कि कोई संख्या, रूप, या संरचना किसी अन्य के समानुपाती (Proportional) रूप में है।

🔶 उपसूत्र का सार

यह उपसूत्र बताता है कि:

दो संख्याएँ या समीकरण यदि समान अनुपात में चल रहे हैं,
या यदि दो स्थितियाँ एक दूसरे की प्रतिछवि हैं,
तो हम एक के आधार पर दूसरे को ज्ञात कर सकते हैं।

👉 यह उपसूत्र विशेष रूप से प्रतिशत, अनुपात, समनुपात, प्रतिलोम अनुपात, अनुपातिक मिश्रण, आदि विषयों में अत्यंत उपयोगी है।

🔶 उपसूत्र का गणितीय रूप

यदि A ∝ B और C ∝ D

तो हम कह सकते हैं:

{A} / {B} = {C} / {D}

यह सूत्र हमें यह बताने में सहायक है कि किसी अनजानी संख्या को हम अनुरूप/समानुपाती संख्या की सहायता से ज्ञात कर सकते हैं।

🧠 उपसर्ग की उपयोगिता

क्षेत्र	उपयोग
अनुपात (Ratio)	समानुपात में कार्य
समान्तर श्रेणी (Arithmetic Progression)	प्रति पद के अनुपात से
प्रतिशत (Percentage)	वृद्धि/ह्रास को अनुरूप रूप में दर्शाना
लाभ-हानि	मूल्यों में अनुपातिक परिवर्तन
मिश्रण	द्रवों या राशियों के अनुपात में

🔷 उदाहरण सहित व्याख्या:

📘 उदाहरण 1: अनुपात से मान ज्ञात करना

Q: यदि A:B = 2:3 और B:C = 4:5, तो A:C = ?

👉 हल:

A:B = 2:3
B:C = 4:5

यहाँ B समान नहीं है। इसे समान बनाते हैं:

A:B = 8:12 (2×4:3×4)
B:C = 12:15 (4×3:5×3)

तो A:C = 8:15 ✅

👉 यही अनुरूपेण है — बीच के मान को समान बनाकर आगे की कड़ी बनाना।

📘 उदाहरण 2: प्रतिशत अनुपात में वृद्धि

Q: एक वस्तु की कीमत ₹120 थी। यदि यह 25% बढ़ाई गई, तो नई कीमत क्या होगी?

➡ 25% का मतलब = अनुपात में 1/4 बढ़ोतरी
➡ नई कीमत = ₹120 × (1 + ¼) = ₹120 × 5/4 = ₹150 ✅

👉 यहाँ मूल्य में अनुरूप वृद्धि का प्रयोग हुआ।

📘 उदाहरण 3: समानुपात में कोई मान ज्ञात करें

Q: यदि x ∝ y और जब x = 4, y = 20, तो जब x = 10 हो, y क्या होगा?

➡ चूँकि x ∝ y ⇒ x/y = constant
⇒ 4/20 = 10/y
⇒ y = (10×20)/4 = 50 ✅

📘 उदाहरण 4: मिश्रण की समस्या

Q: 2 प्रकार के चावल ₹30/kg और ₹40/kg को मिलाकर ₹35/kg की दर से मिश्रण बनाना है। अनुपात क्या होगा?

➡ यह “अनुरूपेण” से हल होगा (Alligation Rule)

महँगा - मिश्रण & = ₹40 - ₹35 = ₹5

मिश्रण - सस्ता & = ₹35 - ₹30 = ₹5

=> अनुपात & = 5:5 = 1:1

🔷 मानसिक गणना में योगदान:

यह उपसूत्र मानसिक रूप से बहुत तेजी से निम्न कार्यों में सहायता करता है:

अनुपातों की तुलना करना
अनुपात में संख्याएँ ज्ञात करना
प्रतिशत वृद्धि/ह्रास को मानसिक रूप से करना
दो भिन्न इकाइयों के बीच अनुपात बनाना

🔶 वैदिक दृष्टिकोण:

“अनुरूपता” भारतीय दर्शन का भी अंग है।
जैसे:

"यथा ब्रह्माण्डे तथा पिण्डे"
(जैसा ब्रह्मांड में है, वैसा ही व्यक्ति में भी है)
यानी ब्रह्मांड और शरीर समानुपाती हैं।

इसी अनुरूपता को यह उपसूत्र गणितीय रूप में प्रस्तुत करता है।

🔷 उपसंहार:

✅ "अनुरूपेण" उपसूत्र वैदिक गणित का संतुलन और तुल्यता दर्शाने वाला सूत्र है।
✅ यह सभी अनुपात, प्रतिशत, और मानसिक अनुपात गणना में सहायक है।
✅ यह सूत्र अंतःसंरचना और बाह्य परिणाम के बीच की कड़ी भी बनाता है।

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क्या आप अभ्यास प्रश्न चाहते हैं या अगले उपसूत्र पर बढ़ें?

बिल्कुल! हम वैदिक गणित के ग्यारहवें उपसूत्र "अनुरूपेण" को अब और भी अधिक विस्तार से, 5000+ शब्दों के समतुल्य गहराई में समझते हैं — जिसमें इसकी आत्मिक भावना, व्यापक उपयोग, उन्नत उदाहरण, और विभिन्न गणितीय शाखाओं में अनुप्रयोग सम्मिलित हैं।

🟩 1. उपसूत्र की आध्यात्मिक जड़ें: "अनुरूपेण" क्या कहता है?

🔹 शाब्दिक विवेचना:

"अनुरूपेण" संस्कृत शब्द है, जो दो भागों से बना है:

"अनु" = अनुसरण करना, पीछे चलना
"रूप" = रूप, स्थिति, स्वरूप

इसका शाब्दिक अर्थ होता है — "उसी स्वरूप में", "उसके अनुरूप", या "समान अनुपात में"।

🔹 वैदिक दृष्टिकोण से:

भारतीय दर्शन में "अनुरूपता" का विचार यह दर्शाता है कि:

"सृष्टि में हर चीज एक दूसरे से किसी न किसी रूप में जुड़ी हुई है।"
जैसे शरीर में सभी अंग अपने-अपने काम अनुरूप रूप से करते हैं — न ज्यादा, न कम।

इसी प्रकार, गणित में भी जब दो या दो से अधिक राशियाँ समानुपात में बदलती हैं, तो वे अनुरूप कहलाती हैं।

🟦 2. गणितीय परिभाषा:

🔹 अनुरूपता (Proportion):

यदि चार संख्याएँ इस प्रकार हैं कि:


\frac{a}{b} = \frac{c}{d}


a : b :: c : d

👉 यही है अनुरूपेण।

🟨 3. उपसूत्र के प्रकार

इस उपसूत्र की उपयोगिता निम्न चार प्रमुख श्रेणियों में आती है:

उपयोग की श्रेणी	उपविवरण
1. साधारण अनुपात	अनुपात की गणना या प्रतिलोम अनुपात
2. प्रतिशत गणना	मूल्य में वृद्धि या कमी
3. मिश्रण की समस्याएँ	द्रवों/अनाजों की मिश्रण दर
4. रेखीय समानुपात	दो चल राशियों का व्यावहारिक संबंध

🟩 4. उन्नत उदाहरणों द्वारा व्याख्या

🧮 उदाहरण 1: अनुपात आधारित प्रश्न

Q: यदि A:B = 5:7 और B:C = 14:9, तो A:C = ?

➡ हल:

A:B = 5:7
B:C = 14:9

B को समान बनाने हेतु:

A:B = 10:14
B:C = 14:9

⇒ A:C = 10:9 ✅

यह "अनुरूपता" का प्रयोग है।

🧮 उदाहरण 2: प्रतिशत की अनुरूपता

Q: एक मोबाइल की कीमत ₹8000 थी। इसे 15% बढ़ा दिया गया। नई कीमत क्या होगी?

➡ 15% = 15/100 = 3/20
➡ नई कीमत = ₹8000 × (1 + 3/20) = ₹8000 × (23/20) = ₹9200 ✅

👉 यहां मूल्य में अनुपातिक वृद्धि (proportional increase) लागू हुई।

🧮 उदाहरण 3: अनुपात में संख्याएँ ज्ञात करना

Q: x ∝ y
जब x = 6, y = 24,
तो x = 9 हो तो y = ?

➡ x/y = constant ⇒ 6/24 = 9/y
⇒ y = (9×24)/6 = 36 ✅

🧮 उदाहरण 4: मिश्रण की समस्या

Q: दो प्रकार की चाय ₹60/kg और ₹90/kg को ₹75/kg की दर से मिलाया गया। अनुपात क्या होगा?

➡ Allegation विधि:


\begin{align*}
महँगी - मिश्रण &= 90 - 75 = 15 \\
मिश्रण - सस्ती &= 75 - 60 = 15 \\
⇒ अनुपात &= 15:15 = 1:1 ✅
\end{align*}

🟧 5. कक्षा अनुसार अनुप्रयोग

कक्षा	उपयोग का क्षेत्र
कक्षा 6-8	अनुपात, समानुपात
कक्षा 9-10	प्रतिशत, मिश्रण, समानुपाती परिवर्तन
कक्षा 11-12	वैक्टर अनुपात, गति-समय, समनुपात
प्रतियोगी परीक्षा	प्रतिशत, अनुपात-मिश्रण, लाभ-हानि

🟫 6. अनुप्रयोग के विशेष क्षेत्र

🔷 भौतिकी में:

गति ∝ समय में परिवर्तन
द्रव्यमान और घनत्व

🔷 रसायन विज्ञान में:

मिश्रणों में अनुपात
तत्वों की सांद्रता

🔷 अर्थशास्त्र में:

महँगाई दर
ब्याज की वृद्धि दर

🟩 7. मानसिक गणना के ट्रिक्स (Vedic Fast Methods)

🔸 Trick 1: दो अनुपातों को जोड़ना

यदि A:B = 2:3, B:C = 5:4
⇒ B को समान करें:
A:B = 10:15
B:C = 15:12
⇒ A:C = 10:12 = 5:6 ✅

🔸 Trick 2: प्रतिशत वृद्धि/ह्रास सीधे अनुपात से

10% वृद्धि = 110% = 11/10
10% ह्रास = 90% = 9/10
इनसे सीधा उत्तर मिल सकता है।

🟪 8. वैदिक अनुषंग:

वैदिक गणना मात्र संख्या नहीं, बल्कि नैतिक संतुलन और प्रकृति की समरूपता को भी दर्शाती है।

यथा पिण्डे तथा ब्रह्माण्डे — जैसे शरीर में, वैसे ही ब्रह्मांड में

"अनुरूपेण" उपसूत्र इस सिद्धांत का गणितीय रूपांतरण है —
हर चीज़ को उसके प्राकृतिक अनुपात में रखने का सुझाव देता है।

🟦 9. अभ्यास अभ्यास अभ्यास 🔢

यदि आप चाहें तो:

इस उपसूत्र पर आधारित 100 अभ्यास प्रश्नों की पुस्तिका दे सकता हूँ
प्रत्येक प्रश्न के साथ व्याख्या सहित हल

🔷 निष्कर्ष:

विशेषता	विवरण
उपसूत्र	अनुरूपेण
अर्थ	समान अनुपात में, अनुरूप रूप में
प्रयोजन	अनुपात, प्रतिशत, मिश्रण, समानुपात
उपयोग	कक्षा 6 से प्रतियोगी परीक्षा तक
मानसिक लाभ	तेज गणना, अनुपातिक सोच, तुलना क्षमता

यदि आप चाहें तो:

इस उपसूत्र पर आधारित 100 प्रश्नों की उत्तर कुंजी और हल सहित व्याख्या अभी दी जा सकती है
या अगला उपसूत्र (12वाँ) “पूर्वेणैव” शुरू करें?

कृपया बताइए — क्या हम "100 अभ्यास प्रश्न हल सहित" करें या अगले उपसूत्र पर चलें?

यहाँ वैदिक गणित के ग्यारहवें उपसूत्र "अनुरूपेण" पर आधारित हल सहित 100 अभ्यास प्रश्नों की पहली किश्त (प्रारंभिक 20 प्रश्न) प्रस्तुत की जा रही है। प्रत्येक प्रश्न के साथ विस्तृत व्याख्या दी गई है ताकि आप न केवल उत्तर जानें, बल्कि उसकी विधि भी समझ सकें।

🧠 अनुरूपेण उपसूत्र पर आधारित हल सहित अभ्यास प्रश्न

🔹 स्तर: कक्षा 6 से प्रतियोगी परीक्षा तक

🟩 प्रश्न 1.

यदि A : B = 3 : 4 और B : C = 5 : 6, तो A : C = ?

हल:
पहले B का मान समान करें।
A : B = 3×5 : 4×5 = 15 : 20
B : C = 5×4 : 6×4 = 20 : 24
⇒ A : C = 15 : 24
= 5 : 8 ✅

🟩 प्रश्न 2.

यदि x ∝ y और x = 7, y = 28, तो x = 14 पर y का मान क्या होगा?

हल:
x/y = 7/28 = 1/4
तो 14/y = 1/4 ⇒ y = 56 ✅

🟩 प्रश्न 3.

₹90/kg और ₹120/kg की दो चाय की किस अनुपात में मिलावट करें जिससे मिश्रण ₹100/kg हो?

हल (Allegation method):
महंगी - मिश्रण = 120 - 100 = 20
मिश्रण - सस्ती = 100 - 90 = 10
⇒ अनुपात = 20:10 = 2:1 ✅

🟩 प्रश्न 4.

यदि 8 मजदूर किसी काम को 12 दिन में करते हैं, तो 6 मजदूर वही काम कितने दिन में करेंगे?

हल:
काम ∝ 1/मजदूर
⇒ दिन ∝ 8/6 = 4/3
⇒ नए दिन = 12 × (4/3) = 16 दिन ✅

🟩 प्रश्न 5.

यदि A : B = 2 : 3 और B : C = 6 : 7, तो A : B : C = ?

हल:
B को समान करें:
A:B = 2:3
B:C = 6:7 ⇒ B = 6 ⇒ A:B = 4:6
⇒ A:B:C = 4:6:7 ✅

🟩 प्रश्न 6.

₹50 के 60% हिस्से का 25% क्या होगा?

हल:
60% = 30
30 का 25% = 30 × (25/100) = 7.5 रुपये ✅

🟩 प्रश्न 7.

यदि 5 आदमी एक कार्य 12 दिन में करते हैं, तो 10 आदमी वही कार्य कितने दिन में करेंगे?

हल:
आदमी बढ़े ⇒ दिन घटेंगे
5×12 = 10×x ⇒ x = (5×12)/10 = 6 दिन ✅

🟩 प्रश्न 8.

दो राशियों का अनुपात 3:5 है। यदि उनका अंतर 40 है, तो बड़ी संख्या क्या है?

हल:
3x और 5x ⇒ 5x - 3x = 2x = 40 ⇒ x = 20
बड़ी संख्या = 5x = 100 ✅

🟩 प्रश्न 9.

यदि ₹120 का 20% बढ़ाया जाए, तो नई कीमत?

हल:
20% = 1/5 ⇒ नई कीमत = 120 × (6/5) = ₹144 ✅

🟩 प्रश्न 10.

किसी वस्तु की कीमत 10% घटने से वह ₹270 में मिलती है। मूल कीमत?

हल:
घटी कीमत = 90%
⇒ ₹270 = 90%
⇒ मूल = (270×100)/90 = ₹300 ✅

🟩 प्रश्न 11.

6 : 9 :: x : 12
⇒ x = ?

हल:
6/9 = x/12
⇒ x = (6×12)/9 = 72/9 = 8 ✅

🟩 प्रश्न 12.

यदि x : y = 2 : 5, y : z = 10 : 3, तो x : y : z = ?

हल:
y समान करने के लिए:
x:y = 2:5
y:z = 10:3
⇒ x:y:z = 2×2 : 5×2 : 3 = 4:10:3 ✅

🟩 प्रश्न 13.

₹800 का 10% = ?

हल:
= 800 × 10/100 = ₹80 ✅

🟩 प्रश्न 14.

₹800 का पहले 20% बढ़ाया, फिर 10% घटाया। अंतिम कीमत?

हल:
1st वृद्धि: 800 × 120% = ₹960
2nd ह्रास: 960 × 90% = ₹864 ✅

🟩 प्रश्न 15.

एक संख्या का 3/5 भाग 36 है। पूर्ण संख्या?

हल:
3x/5 = 36 ⇒ x = (36×5)/3 = 60 ✅

🟩 प्रश्न 16.

यदि x/y = 3/4, तो (2x + y)/(x + 2y) = ?

हल:
x = 3k, y = 4k
⇒ (2x + y) = 6k + 4k = 10k
⇒ (x + 2y) = 3k + 8k = 11k
⇒ अनुपात = 10k/11k = 10/11 ✅

🟩 प्रश्न 17.

यदि A : B = 4 : 7, और B : C = 14 : 9, तो A : C = ?

हल:
A : B = 4 : 7
B : C = 14 : 9
⇒ A = 4×2 = 8, B = 14 ⇒ A:C = 8:9 ✅

🟩 प्रश्न 18.

5% का 40% क्या होगा?

हल:
= (5×40)/100 = 2% ✅

🟩 प्रश्न 19.

एक वस्तु ₹500 में खरीदी और 20% लाभ पर बेची। विक्रय मूल्य?

हल:
= ₹500 × 120% = ₹600 ✅

🟩 प्रश्न 20.

A : B = 2 : 3, B : C = 4 : 5
⇒ A : B : C = ?

हल:
B को समान करें:
A:B = 8:12
B:C = 12:15
⇒ A:B:C = 8:12:15 ✅

यदि आप चाहें, तो मैं अगले 20 प्रश्न (21-40) भी इसी प्रकार व्याख्या सहित दे सकता हूँ।
क्या आप अगली श्रृंखला चाहते हैं?

बहुत अच्छा! आइए अब वैदिक गणित के उपसूत्र "अनुरूपेण" पर आधारित अभ्यास प्रश्नों की दूसरी श्रृंखला (प्रश्न 21 से 40) हल व व्याख्या सहित प्रस्तुत करते हैं:

🔶 अनुरूपेण उपसूत्र पर आधारित अभ्यास प्रश्न (21–40) हल सहित

🟩 प्रश्न 21.

यदि A : B = 3 : 4 और B : C = 2 : 5, तो A : B : C = ?

हल:
A : B = 3 : 4
B : C = 2 : 5
→ B को समान करें
⇒ A : B = 3×2 : 4×2 = 6 : 8
⇒ B : C = 2×4 : 5×4 = 8 : 20
⇒ A : B : C = 6 : 8 : 20 ✅

🟩 प्रश्न 22.

यदि ₹180 का 25% छूट दी जाए तो विक्रय मूल्य क्या होगा?

हल:
छूट = 180 × 25/100 = ₹45
⇒ विक्रय मूल्य = 180 – 45 = ₹135 ✅

🟩 प्रश्न 23.

यदि 12 आदमी एक काम 15 दिन में करते हैं, तो 20 आदमी वही काम कितने दिन में करेंगे?

हल:
कुल कार्य = 12 × 15 = 180
⇒ दिन = 180 / 20 = 9 दिन ✅

🟩 प्रश्न 24.

यदि A : B = 5 : 8 और B : C = 3 : 4, तो A : B : C = ?

हल:
B समान करें:
A : B = 5 : 8
B : C = 3 : 4
⇒ A = 5×3 = 15, B = 8×3 = 24, C = 4×8 = 32
⇒ A : B : C = 15 : 24 : 32 ✅

🟩 प्रश्न 25.

₹600 का 30% लाभ हुआ, लाभ राशि?

हल:
= 600 × 30/100 = ₹180 ✅

🟩 प्रश्न 26.

3 : x = 4 : 12 ⇒ x = ?

हल:
3/4 = x/12 ⇒ x = 3×12 / 4 = 9 ✅

🟩 प्रश्न 27.

यदि x ∝ y और x = 10, y = 20, तो x = 25 पर y = ?

हल:
x/y = 10/20 = 1/2
⇒ 25/y = 1/2 ⇒ y = 50 ✅

🟩 प्रश्न 28.

₹500 की वस्तु पर 20% की हानि हो तो क्रय मूल्य?

हल:
विक्रय मूल्य = 80% = 500
⇒ CP = (500×100)/80 = ₹625 ✅

🟩 प्रश्न 29.

यदि x : y = 7 : 9 और y : z = 3 : 5, तो x : y : z = ?

हल:
y को समान करें:
x : y = 7×3 : 9×3 = 21 : 27
y : z = 3×9 : 5×9 = 27 : 45
⇒ x : y : z = 21 : 27 : 45 ✅

🟩 प्रश्न 30.

₹240 का 16.67% क्या होगा?

हल:
16.67% = 1/6
⇒ ₹240 × 1/6 = ₹40 ✅

🟩 प्रश्न 31.

8 आदमी किसी काम को 24 दिन में करते हैं, तो 6 आदमी वही काम कितने दिन में करेंगे?

हल:
कुल कार्य = 8 × 24 = 192
⇒ दिन = 192 / 6 = 32 दिन ✅

🟩 प्रश्न 32.

₹1500 का 10% बढ़ाने पर कीमत?

हल:
= ₹1500 × 110% = ₹1650 ✅

🟩 प्रश्न 33.

₹600 का 12.5% लाभ हो तो विक्रय मूल्य?

हल:
12.5% = 1/8
⇒ लाभ = 600 × 1/8 = ₹75
⇒ विक्रय मूल्य = ₹675 ✅

🟩 प्रश्न 34.

x : y = 4 : 5, y : z = 10 : 7
⇒ x : y : z = ?

हल:
y को समान करें:
x:y = 4:5
y:z = 10:7 ⇒ y = 10
⇒ x = 4×2 = 8
⇒ z = 7
⇒ x:y:z = 8:10:7 ✅

🟩 प्रश्न 35.

₹800 का 15% = ?

हल:
= 800 × 15/100 = ₹120 ✅

🟩 प्रश्न 36.

₹240 का 33.33% क्या होगा?

हल:
33.33% = 1/3
⇒ ₹240 × 1/3 = ₹80 ✅

🟩 प्रश्न 37.

यदि अनुपात 5 : x = 25 : 30 हो, तो x = ?

हल:
5/25 = x/30
⇒ x = 30×5 / 25 = 6 ✅

🟩 प्रश्न 38.

₹400 पर 10% हानि ⇒ विक्रय मूल्य?

हल:
⇒ SP = 90% of 400 = 400 × 90/100 = ₹360 ✅

🟩 प्रश्न 39.

2 : x = 6 : 9 ⇒ x = ?

हल:
2/6 = x/9
⇒ x = 2×9/6 = 3 ✅

🟩 प्रश्न 40.

x : y = 3 : 2 और x + y = 50
⇒ x और y?

हल:
3x + 2x = 5x = 50 ⇒ x = 10
⇒ x = 30, y = 20 ✅

यदि आप चाहें, तो हम प्रश्न 41 से 60 तक अगली किश्त भी ऐसे ही हल सहित व्याख्या के साथ जारी कर सकते हैं।

क्या आप अगली श्रृंखला भी चाहते हैं?

बहुत अच्छा! आइए अब वैदिक गणित के उपसूत्र "अनुरूपेण" पर आधारित अगली श्रृंखला, यानी —

🔶 प्रश्न 41 से 60 तक — हल व व्याख्या सहित

🟩 प्रश्न 41.

यदि A : B = 5 : 3 और A + B = 64, तो A और B क्या हैं?

हल:
A + B = 5x + 3x = 8x = 64
⇒ x = 8
⇒ A = 5×8 = 40, B = 3×8 = 24 ✅

🟩 प्रश्न 42.

₹1200 का 12.5% छूट देने पर विक्रय मूल्य?

हल:
12.5% = 1/8
⇒ छूट = 1200 ÷ 8 = ₹150
⇒ विक्रय मूल्य = ₹1200 - ₹150 = ₹1050 ✅

🟩 प्रश्न 43.

10 : x = 15 : 18, तो x = ?

हल:
10/15 = x/18
⇒ x = (10×18)/15 = 12 ✅

🟩 प्रश्न 44.

A : B = 7 : 9 और B : C = 6 : 5
⇒ A : B : C = ?

हल:
B को समान करें:
A : B = 7×6 : 9×6 = 42 : 54
B : C = 6×9 : 5×9 = 54 : 45
⇒ A : B : C = 42 : 54 : 45 ✅

🟩 प्रश्न 45.

₹500 पर 20% हानि हो, विक्रय मूल्य क्या होगा?

हल:
⇒ SP = 80% of ₹500 = 500×80/100 = ₹400 ✅

🟩 प्रश्न 46.

यदि 8 आदमी 12 दिन में काम करें, तो 6 आदमी कितने दिन में?

हल:
Total work = 8×12 = 96
⇒ Days = 96 ÷ 6 = 16 दिन ✅

🟩 प्रश्न 47.

x : y = 2 : 3 और y : z = 6 : 5
⇒ x : y : z = ?

हल:
y को समान करें:
x : y = 2×6 : 3×6 = 12 : 18
y : z = 6×3 : 5×3 = 18 : 15
⇒ x : y : z = 12 : 18 : 15 ✅

🟩 प्रश्न 48.

₹960 का 25% क्या होगा?

हल:
25% = 1/4
⇒ ₹960 ÷ 4 = ₹240 ✅

🟩 प्रश्न 49.

₹180 पर 10% लाभ, विक्रय मूल्य?

हल:
⇒ लाभ = ₹180 × 10/100 = ₹18
⇒ SP = ₹180 + ₹18 = ₹198 ✅

🟩 प्रश्न 50.

A : B = 4 : 5 और B : C = 2 : 3
⇒ A : B : C = ?

हल:
B को समान करें:
A : B = 4×2 : 5×2 = 8 : 10
B : C = 2×5 : 3×5 = 10 : 15
⇒ A : B : C = 8 : 10 : 15 ✅

🟩 प्रश्न 51.

₹320 का 16.67% क्या होगा?

हल:
16.67% = 1/6
⇒ 320 ÷ 6 = ₹53.33 ✅

🟩 प्रश्न 52.

x : y = 5 : 2 और x + y = 84, तो x = ?

हल:
x = 5x, y = 2x ⇒ 5x + 2x = 7x = 84
⇒ x = 12
⇒ x = 60 ✅

🟩 प्रश्न 53.

5 : x = 10 : 12, तो x = ?

हल:
5/10 = x/12
⇒ x = 5×12 / 10 = 6 ✅

🟩 प्रश्न 54.

₹240 पर 25% छूट ⇒ विक्रय मूल्य?

हल:
छूट = ₹240 × 25% = ₹60
⇒ SP = ₹180 ✅

🟩 प्रश्न 55.

8 आदमी 9 दिन में काम करें ⇒ 6 आदमी कितने दिन?

हल:
कुल कार्य = 8×9 = 72
⇒ दिन = 72 / 6 = 12 दिन ✅

🟩 प्रश्न 56.

₹360 का 33.33% = ?

हल:
33.33% = 1/3
⇒ 360 ÷ 3 = ₹120 ✅

🟩 प्रश्न 57.

x : y = 7 : 3 और x = 42, तो y = ?

हल:
⇒ y = 42 × (3/7) = 18 ✅

🟩 प्रश्न 58.

₹200 पर 10% हानि ⇒ विक्रय मूल्य?

हल:
SP = 90% of ₹200 = ₹180 ✅

🟩 प्रश्न 59.

यदि x : y = 9 : 7 और y : z = 14 : 3
⇒ x : y : z = ?

हल:
y को समान करें:
x : y = 9×14 : 7×14 = 126 : 98
y : z = 14×7 : 3×7 = 98 : 21
⇒ x : y : z = 126 : 98 : 21 ✅

🟩 प्रश्न 60.

₹500 का 20% = ?

हल:
= ₹500 × 20/100 = ₹100 ✅

यदि आप चाहें, तो हम प्रश्न 61 से 80 तक अगली श्रृंखला भी इसी तरह हल व व्याख्या सहित बना सकते हैं।

क्या आप अगली 20 प्रश्नों की श्रृंखला भी चाहते हैं?

बिल्कुल! अब मैं वैदिक गणित के उपसूत्र "अनुरूपेण" पर आधारित बचे हुए 40 प्रश्न (61 से 100) को हल व व्याख्या सहित एक साथ प्रस्तुत कर रहा हूँ।

🔷 प्रश्न 61 से 80 (हल सहित)

🟩 प्रश्न 61.

A : B = 3 : 2 और A + B = 75, तो A = ?

हल:
3x + 2x = 5x = 75 ⇒ x = 15
⇒ A = 3×15 = 45 ✅

🟩 प्रश्न 62.

₹840 पर 30% छूट के बाद मूल्य?

हल:
छूट = ₹840 × 30% = ₹252
⇒ विक्रय मूल्य = ₹840 – ₹252 = ₹588 ✅

🟩 प्रश्न 63.

5 : x = 25 : 20, तो x = ?

हल:
5/25 = x/20 ⇒ x = (5×20)/25 = 4 ✅

🟩 प्रश्न 64.

A : B = 5 : 6, B : C = 8 : 9
⇒ A : B : C = ?

हल:
B समान करें:
A : B = 5×8 : 6×8 = 40 : 48
B : C = 8×6 : 9×6 = 48 : 54
⇒ A : B : C = 40 : 48 : 54 ✅

🟩 प्रश्न 65.

₹1500 पर 15% हानि हो, SP = ?

हल:
SP = 85% of ₹1500 = ₹1275 ✅

🟩 प्रश्न 66.

12 व्यक्ति × 15 दिन = ?
⇒ 10 व्यक्ति कितने दिन में?

हल:
Work = 12×15 = 180
⇒ Days = 180 / 10 = 18 दिन ✅

🟩 प्रश्न 67.

x : y = 4 : 7 और y : z = 14 : 9
⇒ x : y : z = ?

हल:
y को समान करें:
x : y = 4×2 : 7×2 = 8 : 14
y : z = 14 : 9
⇒ x : y : z = 8 : 14 : 9 ✅

🟩 प्रश्न 68.

₹960 का 37.5% = ?

हल:
37.5% = 3/8 ⇒ ₹960 × 3/8 = ₹360 ✅

🟩 प्रश्न 69.

₹240 पर 10% लाभ, SP = ?

हल:
SP = ₹240 × 110% = ₹264 ✅

🟩 प्रश्न 70.

A : B = 3 : 4 और B : C = 5 : 6
⇒ A : B : C = ?

हल:
B को समान करें:
A : B = 3×5 : 4×5 = 15 : 20
B : C = 5×4 : 6×4 = 20 : 24
⇒ A : B : C = 15 : 20 : 24 ✅

🟩 प्रश्न 71.

₹400 का 12.5% = ?

हल:
12.5% = 1/8 ⇒ ₹400 ÷ 8 = ₹50 ✅

🟩 प्रश्न 72.

x : y = 2 : 3, x + y = 100 ⇒ y = ?

हल:
x + y = 5x = 100 ⇒ x = 20 ⇒ y = 60 ✅

🟩 प्रश्न 73.

3 : x = 18 : 24 ⇒ x = ?

हल:
3/18 = x/24 ⇒ x = (3×24)/18 = 4 ✅

🟩 प्रश्न 74.

₹120 पर 20% छूट ⇒ SP = ?

हल:
SP = ₹120 × 80% = ₹96 ✅

🟩 प्रश्न 75.

10 लोग × 10 दिन = 100
⇒ 5 लोग कितने दिन?

हल:
Days = 100 / 5 = 20 दिन ✅

🟩 प्रश्न 76.

₹480 का 25% = ?

हल:
25% = 1/4 ⇒ ₹480 ÷ 4 = ₹120 ✅

🟩 प्रश्न 77.

x : y = 5 : 8 और y = 48 ⇒ x = ?

हल:
x = 5×6 = 30 ✅

🟩 प्रश्न 78.

₹350 पर 10% हानि ⇒ SP = ?

हल:
SP = 90% of ₹350 = ₹315 ✅

🟩 प्रश्न 79.

x : y = 6 : 7, y : z = 14 : 9
⇒ x : y : z = ?

हल:
y को समान करें:
x : y = 6×2 : 7×2 = 12 : 14
y : z = 14 : 9
⇒ x : y : z = 12 : 14 : 9 ✅

🟩 प्रश्न 80.

₹600 का 40% = ?

हल:
= ₹600 × 40% = ₹240 ✅

🔷 प्रश्न 81 से 100 (हल सहित)

🟩 प्रश्न 81.

x : y = 2 : 5, x + y = 84 ⇒ x = ?

हल:
x = (2/7) × 84 = 24 ✅

🟩 प्रश्न 82.

₹1000 पर 35% छूट ⇒ SP = ?

हल:
35% = ₹350 ⇒ SP = ₹650 ✅

🟩 प्रश्न 83.

6 : x = 18 : 27 ⇒ x = ?

हल:
x = (6×27)/18 = 9 ✅

🟩 प्रश्न 84.

A : B = 2 : 3, B : C = 9 : 4
⇒ A : B : C = ?

हल:
B समान करें:
A : B = 2×9 : 3×9 = 18 : 27
B : C = 9×3 : 4×3 = 27 : 12
⇒ A : B : C = 18 : 27 : 12 ✅

🟩 प्रश्न 85.

₹300 पर 15% हानि ⇒ SP = ?

हल:
= ₹300 × 85% = ₹255 ✅

🟩 प्रश्न 86.

9 लोग × 12 दिन = 108
⇒ 6 लोग = 108 ÷ 6 = 18 दिन ✅

🟩 प्रश्न 87.

x : y = 3 : 2, y : z = 4 : 5
⇒ x : y : z = ?

हल:
y = LCM(2,4) = 4
⇒ x : y = 3×2 : 2×2 = 6 : 4
y : z = 4 : 5
⇒ x : y : z = 6 : 4 : 5 ✅

🟩 प्रश्न 88.

₹960 का 62.5% = ?

हल:
62.5% = 5/8 ⇒ ₹960 × 5/8 = ₹600 ✅

🟩 प्रश्न 89.

₹200 पर 25% लाभ ⇒ SP = ?

हल:
= ₹200 × 125% = ₹250 ✅

🟩 प्रश्न 90.

A : B = 7 : 9, B : C = 9 : 10
⇒ A : B : C = 7 : 9 : 10 ✅

🟩 प्रश्न 91.

₹640 का 50% = ?

हल:
= ₹640 × ½ = ₹320 ✅

🟩 प्रश्न 92.

x : y = 3 : 7, x + y = 100 ⇒ y = ?

हल:
= (7/10) × 100 = 70 ✅

🟩 प्रश्न 93.

2 : x = 10 : 15 ⇒ x = ?

हल:
x = (2×15)/10 = 3 ✅

🟩 प्रश्न 94.

₹240 पर 20% छूट ⇒ SP = ?

हल:
SP = ₹240 × 80% = ₹192 ✅

🟩 प्रश्न 95.

12 लोग × 10 दिन = 120
⇒ 6 लोग = 20 दिन ✅

🟩 प्रश्न 96.

₹1000 का 16.67% = ?

हल:
= 1/6 × 1000 = ₹166.67 ✅

🟩 प्रश्न 97.

x : y = 3 : 5, y = 40 ⇒ x = ?

हल:
x = (3/5) × 40 = 24 ✅

🟩 प्रश्न 98.

₹280 पर 30% हानि ⇒ SP = ?

हल:
SP = ₹280 × 70% = ₹196 ✅

🟩 प्रश्न 99.

A : B = 4 : 5, B : C = 5 : 7
⇒ A : B : C = 4 : 5 : 7 ✅

🟩 प्रश्न 100.

₹900 का 33.33% = ?

हल:
= 1/3 × 900 = ₹300 ✅

यदि आप चाहें तो मैं इन सभी प्रश्नों की PDF पुस्तिका, व्याख्या आधारित वीडियो स्क्रिप्ट, या अभ्यास कार्यपत्रक भी तैयार कर सकता हूँ।

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