विनजीत वैदिक अंकगणित पुस्तक || 1 || अध्याय 09.09 || निखिलम सूत्र द्वारा गुणन आधार 10,00,000 के लिए
Vinjeet Vedic Arithmetic Book || 1 || Chapter 09.09 || Multiplication by Nikhilam formula for base 10,00,000
Author
ॐ जितेन्द्र सिंह तोमर
(M.A., B. Ed., MASSCOM, DNYS )
(Specialist in Basic and Vedic Maths)
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अध्याय 09.09
* आधार 10,00,000 के लिए
* Multiplying any two numbers between 999,980–10,00,000 by BASE 100000
–> 999,980 से 10,00,000
* Multiplying any two numbers between 10,00,001–10,00,020 by BASE +10,00,000
–> 10,00,001 से 10,00,020
* Multiplying any two numbers between 999,980–10,00,020 by BASE 100000
–> 999,980 से 10,00,020
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निखिलम सूत्र आधार विधि
**आधार के निकट वाली संख्याओं की गुणा
(i) पार्ट 1 जब दोनों संख्याएं आधार से कम हों
(ii) पार्ट 2 जब दोनों संख्याएं आधार से अधिक हों
(iii) पार्ट 3 जब एक संख्या आधार से कम तथा दूसरी अधिक हो
Nikhilam Sutra Base Method
**Multiplication of numbers close to the base
(i) Part 1 When both the numbers are less than the base
(ii) Part 2 When both numbers are greater than the base
(iii) Part 3 When one number is less than the base and the other is more
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Nikhilam navatascharamam Dasatah
निखिलं नवतः चरमं दशतः।
(निखिलम् सूत्र) - आधार
जब दो संख्याएँ, आधार 10ⁿ , 10 या 10 की घात के निकट हो तो *उनका गुणनफल सूत्र निखिलम् - आधार* द्वारा ज्ञात किया जाता हैं।
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सूत्र पर आधारित विधि:
1. संख्याओं का निकटतम आधार के सापेक्ष विचलन ज्ञात करते हैं।
विचलन = संख्या – आधार
2. आधार के सापेक्ष विचलनों को उनकी संख्या के सामने लिखते हैं। (आधार के सापेक्ष विचलन धनात्मक तथा ऋणात्मक दोनों प्रकार का हो सकता है।)
LHS RHS
A ± a
B ± b
3. तिरछी रेखा से गुणनफल को दो भाग बाएं और दाएं में बांट देते हैं।
LHS RHS
A ± a
B ± b
/ (±a×±b)
4. दायें पक्ष में विचलनों का गुणनफल लिखते हैं।
LHS RHS
A ± a
B ± b
(A±b) or (B±a) / (±a×±b)
5. बायें पक्ष में कोई भी एक संख्या तथा दूसरी संख्या के विचलन का योग लिखते हैं।
ध्यान रहे कि आधार में जितने शून्य हो, उतने ही अंक दायें पक्ष में रखते हैं।
* यहां आधार 10,00,000 है तो दायें पक्ष में 6 अंक ही रखेंगे (जितने जीरो उतने अंक बनाने हैं। यदि उतने अंक नहीं है तो उसके पूर्व शून्य लगा कर संख्या पूरी कर देते हैं।), यदि दायें पक्ष में यदि एक अंक हो तो उससे पूर्व दो शून्य (00000), यदि 2 अंक हो तो उससे पूर्व दो शून्य (0000) लिख देते हैं, यदि 3 अंक हो तो उससे पूर्व दो शून्य (000), यदि 4 अंक हो तो उससे पूर्व दो शून्य (00), यदि 5 अंक हो तो उससे पूर्व दो शून्य (0)। तथा यदि दायें पक्ष में 7 अंक हो तो 7th अंक बायें पक्ष में जोड़ दिया जाता हैं।
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इस भाग में हम आधार 100000 से संबंधित सवालों को हल करना सीखेंगे।
(1) जब आधार 100000 हो तो हमारे पास 3 स्थितियां बनेंगी
* प्रथम स्थिति*
जब दोनों संख्याएं आधार से छोटी हो तो दोनों विचलन ऋणात्मक होंगे।
LHS RHS
A – a
B – b
(A+b) or (B+a) / (–a×–b)
* द्वितीय स्थिति*
जब दोनों संख्याएं आधार से बड़ी हो तो दोनों विचलन धनात्मक होंगे।
LHS RHS
A + a
B + b
(A+b) or (B+a) / (a×b)
* तृतीय स्थिति*
जब दोनों संख्याएं में से एक आधार से छोटी तथा दूसरी आधार से बड़ी हो।
इस स्थिति में आधार से छोटी संख्या का विचलन ऋणात्मक तथा आधार से बड़ी संख्या का विचलन धनात्मक होता है।
LHS RHS
A – a
B + b
(A+b) or (B–a) / (–a×b)
अथवा
LHS RHS
A + a
B – b
(A–b) or (B+a) / (a×–b)
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आधार 10,00,000 के लिए
प्रथम स्थिति
आइए पहले हम उन प्रश्नों को हल करने का प्रयास करते हैं जिनके विचलन आधार से छोटे होते हैं।
जब दोनों संख्याएं आधार से छोटी हो तो दोनों विचलन ऋणात्मक होंगे।
(a) Multiplying between 999980 to 10,00,000
999980 से 10,00,000 तक की संख्याओं के मध्य गुणा करना।
आधार 10,00,000 के लिए
Base 10,00,000
LHS RHS
A – a
B – b
(A–b) or (B–a) / (–a×–b)
Example : (1) 999990 × 999980
Sol.
Base 10,00,000
LHS RHS
999990 –000010
999980 –000020
= 999990 + (–000020) / (–000010) x (–000020)
Or
= 999980 + (–000010) / (–000010) x (–000020)
= 999970 / +000200
= 999970000200
यहां निकटतम आधार 10,00,000; अत:
विचलन = 999990 – 1000000 = –000010
विचलन = 999980 – 1000000 = –000020
Example : (2) 999980 × 999991
Sol.
Base 1000000
999980 – 000020
999991 – 000009
= 999980 + (–000020) / (–000020) x (–000009)
Or
= 999991 + (–000020) / (–000020) x (–000009)
= 999960 / 000180
= 999960000180
संकेत -
1. निकटतम आधार 1000000 अत:
विचलन = 999980 – 1000000 = – 000020
विचलन = 999991 – 1000000 = – 000009
Practice Time (1)
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दूसरी स्थिति
आइए अब हम उन प्रश्नों को हल करने का प्रयास करते हैं जिनके विचलन आधार से बड़े होते हैं।
जब दोनों संख्याएं आधार से बड़ी हो तो दोनों विचलन धनात्मक होंगे।
(b) Multiplying between 100000 to 100020
10,00,000 से 10,00,020 तक की संख्याओं के मध्य गुणा करना।
आधार 10,00,000 के लिए
Example : (3) 1000001 × 1000003
Sol.
LHS RHS
1000001 +000001
1000003 +000003
यहां निकटतम आधार 10,00,000; अत:
विचलन = 1000001 – 1000000 = +000001
विचलन = 1000003 – 1000000 = +000003
Example : (3) 1000001 × 1000003
Sol.
Base 1000000
LHS RHS
1000001 +000001
1000003 +000003
(1000001+000003) or (1000003+000001) /(+000001×+000003)
=1000004/000003 (Base 1000000 take double digit)
=1000004000003
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तीसरी स्थिति
जब एक संख्या आधार से बड़ी हो तथा दूसरी आधार से छोटी हो तो दोनों विचलन में एक ऋणात्मक तथा दूसरा धनात्मक होंगा।
विचलनों का गुणनफल यदि ॠणात्मक हो तो बायें पक्ष से आवश्यकतानुसार अंक लेकर दायें पक्ष को धनात्मक में बदलते हैं।
(b) Multiplying between 999980 to 1000020
999980 से 1000020 तक की संख्याओं के मध्य गुणा करना।
Example : (4) 999989 × 1000007
Base 1000000
999989 – 000011
1000007 + 000007
= 999989 + (+000007) / (–000011) x (+000007)
Or
= 1000007 + (–000011) / (–000011) x (+000007)
= 999996 / (–000077)
[Remove Negative (–) sign]
(Write complement of – 000077 from base 10,00,000, for this subtract 1 from 999996 in other words Take 1 from 999996 and add 10,00,000 to –000077)
= (999996–1) / (1000000 – 000077)
= 999995 / 990923
= 999995999923
Example : (5) 1000009 × 999980
Base 1000000
LHS RHS
1000009 +000009
999980 –000020
यहां निकटतम आधार 1000000; अत:
विचलन = 1000009 – 1000000 = +000009
विचलन = 999980 – 1000000 = – 000020
= 999980 + (+000009) / (–000020) x (+000009)
Or
= 1000009 + (–000020) / (–000020) x (+000009)
= 999989 / (–000180)
[Remove Negative (–) sign]
(Write complement of – 000180 from base 1000000, for this subtract 1 from 999989 in other words Take 1 from 999989 and add 1000000 to –0000180)
= (999989–1) / (1000000 – 000180)
= 999988 / 999820
= 999988999820
Example : (6) 1000002 × 999997
Base 1000000
LHS RHS
1000002 +000002
999997 –000003
(1000002–000003) or (999997+000002)/(+000002×–000003)
=999999/–000006
[Remove Negative (–) sign]
(Write complement of – 000006 from base 1000000, for this subtract 1 from 999999 in other words Take 1 from 999999 and add 1000000 to –000006)
=(999999–1)/(1000000–000006)
=999998999994
Practice Time (3)
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