ॐ जितेन्द्र सिंह तोमर
(M.A., B. Ed., MASSCOM, DNYS )
(Specialist in Basic and Vedic Maths)
Nikhilam (निखिलम् सूत्र) – उपाधार प्रयोग
इस प्रकार हम कह सकते हैं कि ऊपर के ये जो गुणज और गुणनखंड हैं वह अपने संगत आधार संख्या से बने उप -आधार हैं।
जब दो संख्याएँ, जो आधार 10ⁿ या 10 की घात के निकट नही हो तो उनका गुणनफल सूत्र निखिलम् - उपाधार द्वारा ज्ञात किया जाता हैं।
substrate
Integer or sub-base digit = ––––——––
Base
Now let us come to the multiplication of numbers near the 'sub-base' by this method.
10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100...these are all multiples of 10. So these can be chosen as the basis for the numbers around them. Whereas 10, 20, 50, 100 etc. are multiples of 100 as well as factors of 100.
100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000 etc. are multiples of 1000 whereas 100, 200, 500, 1000 etc. are multiples of 1000 as well as factors of 1000.
Thus, we can say that the multiples and factors above are sub-bases made from their corresponding base numbers.
When two numbers, which are not close to the base 10ⁿ or to the power of 10, then their product is found by the formula Nikhilam - Upadhar.
यहां दो स्थितियां सामने आती है।
(1) जब उप आधार, मुख्य आधार का गुणज हो तथा
(2) दूसरी स्थिति वह होती है जब उप आधार, मुख्य आधार का गुणनखंड हो।
Two situations arise here.
(1) When the sub base is a multiple of the main base and
(2) The second situation is when the sub-basis is a factor of the main basis.
गुणा द्वारा
पहली स्थिति में अर्थात जब उप आधार, मुख्य आधार का गुणज हो तो मुख्य पूर्णांक यह आधार अंक प्राप्त करते हैं और उसकी गुणा LHS वाले भाग में करते हैं जबकि RHS वाले भाग को यूं ही छोड़ देते हैं।
By Multiplying
In the first case i.e. when the sub base is a multiple of the main base, then the main integer gets this base digit and multiplies it in the LHS part while leaving the RHS part as it is.
भाग द्वारा
दूसरी स्थिति में अर्थात जब उप आधार, मुख्य आधार का गुणनखंड हो तो पूर्णांक यह आधार अंक प्राप्त करते हैं और उसकी भाग LHS में करते हैं जबकि RHS को यूं ही छोड़ देते हैं।
By Division
In the second case, i.e. when the sub-base is a factor of the main base, then the integers get this base digit and divide it in LHS while leaving RHS as it is.
प्रथम स्थिति
सूत्र पर आधारित विधि:
1. संख्याओं का निकटतम उपाधार चुनकर विचलन ज्ञात करते हैं।
विचलन = संख्या – उपाधार
2. उपाधार के सापेक्ष विचलन उनकी संख्या के सामने लिखते हैं।
3. तिरछी रेखा से गुणनफल के दो भाग करते हैं।
4. दायें पक्ष में विचलनों का गुणनफल लिखते हैं।
5. बायें पक्ष में कोई भी एक संख्या तथा दूसरी संख्या के विचलन का योग करके; उसे उपाधार अंक से गुणा करके लिखते हैं।
6. उपाधार में जितने शून्य हो, उतने ही अंक दायें पक्ष में रखते हैं।
* यदि आधार 10 हो तो दायें पक्ष में एक अंक रखेंगे, दो अंक हो तो दहाई का अंक बायें पक्ष में जोड़ देते हैं।
* यदि आधार 100 हो तो दायें पक्ष में दो अंक रखेंगे, एक अंक हो तो उससे पूर्व 0 लिखते हैं तथा तीन अंक हो तो सैकडे़ का अंक बायें पक्ष में जोड़ देते हैं।
7. विचलनों का गुणनफल यदि ॠणात्मक हो तो बायें पक्ष से आवश्यकतानुसार अंक लेकर दायें पक्ष को धनात्मक में बदलते हैं।
First Situation
Method based on formula:
1. Deviation is found by choosing the nearest basis of the numbers.
Deviation = Number – Base
2. Write the relative deviations of the substances in front of their numbers.
3. Divide the product into two parts using a slant line.
4. Write the product of deviations on the right side.
5. By adding the deviation of any one number and another number on the left side; It is written by multiplying it by the base number.
6. As many zeros are there in the base, the same number of digits are kept in the right side.
* If the base is 10 then one digit will be kept on the right side, if it is two digits then the tens digit will be added on the left side.
* If the base is 100 then two digits will be kept on the right side, if there is one digit then 0 is written before it and if there are three digits then the hundredth digit is added on the left side.
7. If the product of deviations is negative then the right side is changed to positive by taking necessary numbers from the left side.
(a) जब दोनों संख्याएं आधार से बड़ी हों।
(a) When both the numbers are greater than the base.
Example (1) 25 X 24
25 +5
24 +4
LHS / RHS
=2×[25+(+4)] या 3×[24+(+5)]/5×4
= 2×29/20
= 58 / 20
= 58/²0
= 58+2/0
= 60/0
= 600
संकेत -
1. निकटतम आधार 10, उपाधार अंक 2 तथा उपाधार = 10 x 2 = 20
Nearest base is 10, base digit is 2 and base number = 10 x 2 = 20
अत: so that
विचलन (Deviation)= 25 – 20 = +5
विचलन (Deviation) = 24 – 20 = +4
2. दायें पक्ष (RHS) में विचलनों का गुणनफल लिखते हैं।
Write the product of deviations on the right side (RHS).
= (+5)×(+4)
= 20
3. बायें पक्ष (LHS)में एक संख्या व दूसरी संख्या के विचलन का योग को उपाधार अंक से गुणा कर लिखते हैं।
In the left side (LHS), the sum of deviations of one number and another number is written by multiplying it by the base digit.
=2×[25 + (+4)] Or 3×[34 + (+5)]
= 2×29
= 58
4. अभीष्ट गुणनफल LHS/RHS
Required product LHS/RHS
= 58/20
= 58/²0
= 58+2/0
= 60/0
= 600
Example (2) 32 X 34
32 +2
34 +4
LHS / RHS
=3×[32 + (+4)] या 3×[34 + (+2)]/2×4
= 3×36/8
= 108 / 8 = 1088
संकेत -
1. निकटतम आधार 10, उपाधार अंक 3 तथा उपाधार
Nearest base 10, base digit 3 and base digit
= 10 x 3 = 30
अत: So that
विचलन (Deviation) = 32 – 30 = +2
विचलन (Deviation) = 34 – 30 = +4
2. दायें पक्ष (RHS) में विचलनों का गुणनफल लिखते हैं।
Write the product of deviations on the right side (RHS).
= (+2)×(+4)
= 8
3. बायें पक्ष (LHS)में एक संख्या व दूसरी संख्या के विचलन का योग को उपाधार अंक से गुणा कर लिखते हैं।
On the left side, the sum of deviations of one number and another number is written by multiplying it by the base digit.
=3×[32 + (+4)] या 3×[34 + (+2)]
= 3×36
= 108
4. अभीष्ट गुणनफल LHS/RHS
Required product LHS/RHS
= 108/8
= 1088
Example (4) 44 X 47
44 +4
47 +7
=4×[44+(+7)] या 4×[47+(+4)] /4×7
= 4×51/ 28
= 204 / ²8
= 204+2 / 8
= 206 / 8
= 2068
संकेत -
1. निकटतम आधार 10, उपाधार अंक 4 तथा उपाधार
Nearest base is 10, base digit is 2 and base number
= 10 x 4 = 40
अत:
विचलन (Deviation) = 44 – 40 = +4
विचलन (Deviation) = 47 – 40 = +7
2. दायें पक्ष में विचलनों का गुणनफल लिखते हैं।
Write the product of deviations on the right side (RHS).
= (+4) × (+7)
= 28
3. बायें पक्ष में एक संख्या व दूसरी संख्या के विचलन का योग को उपाधार अंक से गुणा कर लिखते हैं।
On the left side, the sum of deviations of one number and another number is written by multiplying it by the base digit.
=4×[44+(+7)] या 4×[47+(+4)]
= 4×51
= 204
4. अभीष्ट गुणनफल LHS/RHS
Required product LHS/RHS
= 204/28
= 204/²8
= 204+2/8
= 206/8
= 2068
Example (5) 54 X 57
54 +4
57 +7
=5×[54+(+7)] या 5×[57+(+4)] /4x7
= 5×61/ 28
= 305 / 28
= 305 / ²8
= 305+2 / 8
= 307/8
= 3078
संकेत -
1. निकटतम आधार 10, उपाधार अंक 5 तथा उपाधार
Nearest base is 10, base digit is 2 and base number
= 10 x 5 = 50
अत:
विचलन (Deviation) = 54 – 50 = +4
विचलन (Deviation) = 57 – 50 = +7
2. दायें पक्ष में विचलनों का गुणनफल लिखते हैं।
Write the product of deviations on the right side (RHS).
= (+4) × (+4)
= 28
3. बायें पक्ष में एक संख्या व दूसरी संख्या के विचलन का योग को उपाधार अंक से गुणा कर लिखते हैं।
On the left side, the sum of deviations of one number and another number is written by multiplying it by the base digit.
=5×[54+(+7)] या 5×[57+(+4)]
= 5×61
= 305
4. अभीष्ट गुणनफल LHS/RHS
Required product LHS/RHS
= 305/28
= 305/²8
= 305+2/8
= 307/8
= 3078
(b) जब एक संख्या आधार से बड़ी तथा दूसरी संख्या आधार से छोटी हों तो।
Example (6) 49 X 55
यहां उप-आधार = 50 है
Here sub-base is = 50
49 –1
55 +5
=5×[49+(+5)] या 5×[55+(–1)] /–1×+5
= 5×54/ –5
= 270/ –5
[Remove Negative (–) sign]
(Take 1 from 270 and add 10 to –5)
= (270–1)/ (10–5)
= 269/5
= 2695
संकेत Hint
1. उपाधार = 50, क्योंकि दोनों अंक 50 के निकट है।
1. Base = 50, because both the numbers are close to 50.
2. उपाधार से विचलन
2. Deviation from the sub basis
49 – 50 = –1
55 – 50 = +5
3. दायाँ पक्ष (RHS)
–1 x +5 = –5
4. बायाँ पक्ष (LHS)
5×[49+5 या 55 –1]
= 5×54.
= 270
5. अभीष्ट गुणनफल LHS/RHS
= 270/–5
6. ऋणात्मक अंक को धनात्मक अंक में बदलने के लिए बाएं पक्ष में से एक घटा देते हैं (LHS–1) तथा दाएं पक्ष में 10 जोड़ (10+RHS) देते हैं।
6. To convert a negative number into a positive number, one is subtracted from the left side (LHS–1) and 10 is added to the right side (10+RHS).
= (270–1)/ (10–5)
= 269/5
= 2695
Example (7) 48 X 56
यहां उप-आधार = 50 है
Hear the sub base is 50
48 –2
56 +6
=5×[48+(+6)] या 5×[56+(–2)] /–2×+6
= 5×54/ –12
= 270/ –12
[Remove Negative (–) sign]
(Take 2 from 270 and add 20 to –12)
यहां दाएं पक्ष (RHS) की संख्या 10 से अधिक तथा दो दहाई से कम हैै। अतः हमें बाएं पक्ष (LHS)से दो दहाई लेनी होगी।
अतः ऋणात्मक अंक को धनात्मक अंक में बदलने के लिए बाएं पक्ष में से 2 दहाई घटा (LHS–2) तथा दाएं पक्ष में 20 जोड़ (20+RHS) देते हैं।
Here the numbers on the right hand side (RHS) are more than 10 and less than two tens. So we have to take two tens from the left side (LHS).
Therefore, to convert a negative number into a positive number, 2 tens are subtracted from the left side (LHS–2) and 20 are added to the right side (20+RHS).
= (270–2)/ (20–12)
= 268/8
= 2688
संकेत
1. उपाधार = 50, क्योंकि दोनों अंक 50 के निकट है।
1. Base = 50, because both the numbers are close to 50.
2. उपाधार से विचलन
Deviation From sub base
48 – 50 = –2
56 – 50 = +6
3. दायाँ पक्ष (RHS)
–2 x +6 = –12
4. बायाँ पक्ष (LHS)
5×[49+5 या 55 –1]
= 5×54.
= 270
5. अभीष्ट गुणनफल LHS/RHS
Required product LHS/RHS
= 270/–12
6. यहां दाएं पक्ष (RHS) की संख्या 10 से अधिक तथा दो दहाई से कम हैै। अतः हमें बाएं पक्ष (LHS)से दो दहाई लेनी होगी।
अतः ऋणात्मक अंक को धनात्मक अंक में बदलने के लिए बाएं पक्ष में से 2 दहाई घटा (LHS–2) तथा दाएं पक्ष में 20 जोड़ (20+RHS) देते हैं।
6. Here the number on the right side (RHS) is more than 10 and less than two tens. So we have to take two tens from the left side (LHS).
Therefore, to convert a negative number into a positive number, 2 tens are subtracted from the left side (LHS–2) and 20 are added to the right side (20+RHS).
= (270–1)/ (10–5)
= 269/5
= 2695
Example (8) 68 X 54
यहां उप-आधार = 60 है
Here sub-base is = 60
68 +8
54 –6
=6×[68+(–6) या 54+(+8)] /+8×–6
= 6×62/ –48
= 372/ –48
[Remove Negative (–) sign]
(Take 5 from 372 and add 50 to –48)
यहां दाएं पक्ष (RHS) की संख्या 48, 4 दहाई से अधिक तथा 5 दहाई से कम हैै। अतः हमें बाएं पक्ष (LHS)से 5 दहाई लेनी होगी।
अतः ऋणात्मक अंक को धनात्मक अंक में बदलने के लिए बाएं पक्ष में से 5 दहाई घटा (LHS–5) तथा दाएं पक्ष में 50 जोड़ (50+RHS) देते हैं।
Here the number on the right hand side (RHS) is 48, more than 4 tens and less than 5 tens. So we have to take 5 tens from the left side (LHS).
Therefore, to convert a negative number into a positive number, 5 tens are subtracted from the left side (LHS–5) and 50 are added to the right side (50+RHS).
= (372–5)/ (50–48)
= 367/2
= 3672
संकेत Hint
1. उपाधार = 60, क्योंकि दोनों अंक 60 के निकट है।
1. Base = 60, because both the numbers are close to 60.
2. Deviation from the base
2. उपाधार से विचलन
68 – 60 = +8
54 – 60 = –6
3. दायाँ पक्ष (RHS)
+8 x –6 = –48
4. बायाँ पक्ष (LHS)
6×[68–6 या 54 +8]
= 6×62.
= 372
5. अभीष्ट गुणनफल LHS/RHS
5. Required product LHS/RHS
= 372/–48
6. यहां दाएं पक्ष (RHS) की संख्या 48, 4 दहाई से अधिक तथा 5 दहाई से कम हैै। अतः हमें बाएं पक्ष (LHS)से 5 दहाई लेनी होगी।
अतः ऋणात्मक अंक को धनात्मक अंक में बदलने के लिए बाएं पक्ष में से 2 दहाई घटा (LHS–2) तथा दाएं पक्ष में 20 जोड़ (20+RHS) देते हैं।
6. Here the number on the right side (RHS) is 48, more than 4 tens and less than 5 tens. So we have to take 5 tens from the left side (LHS).
Therefore, to convert a negative number into a positive number, 2 tens are subtracted from the left side (LHS–2) and 20 are added to the right side (20+RHS).
= (372–5)/ (50–48)
= 367/2
= 3672
(c) जब उप-आधार; आधार 100 का सीधा आधा हो तो।
(c) When sub-base is exactly half of base 100.
Example (9) 49 X 55
यहां उप-आधार = 50 है
Here sub-base is = 50
49 –1
55 +5
=5×[49+(+5)] या 5×[55+(–1)] /–1×+5
= 5×54/ –5
= 270/ –5
[Remove Negative (–) sign]
(Take 1 from 270 and add 10 to –5)
= (270–1)/ (10–5)
= 269/5
= 2695
संकेत
1. उपाधार Sub base = 50 (=100/2).
2. उपाधार से विचलन
Deviation from sub base
49 – 50 = –1
55 – 50 = +5
3. दायाँ पक्ष (RHS)
–1 x +5 = –5
4. बायाँ पक्ष (LHS)
5×[49+5 या 55 –1]
= 5×54.
= 270
5. अभीष्ट गुणनफल LHS/RHS
5. Required product LHS/RHS
= 270/–5
6. ऋणात्मक अंक को धनात्मक अंक में बदलने के लिए बाएं पक्ष में से एक घटा देते हैं (LHS–1) तथा दाएं पक्ष में 10 जोड़ (10+RHS) देते हैं।
6. To convert a negative number to a positive number, one is subtracted from the left side (LHS–1) and 10 is added to the right side (10+RHS).
= (270–1)/ (10–5)
= 269/5
= 2695
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