विनजीत वैदिक अंकगणित पुस्तक || 1 || अध्याय 09.08 || निखिलम सूत्र द्वारा गुणन आधार 1,00,000 के लिए
ॐ जितेन्द्र सिंह तोमर
(M.A., B. Ed., MASSCOM, DNYS )
(Specialist in Basic and Vedic Maths)
अध्याय 09.08
* आधार 1,00,000 के लिए
* Multiplying any two numbers between 99,980–1,00,000 by BASE 100000
–> 99,980 से 1,00,000
* Multiplying any two numbers between 1,00,001–1,00,020 by BASE +100000
–> 1,00,001 से 1,00,020
* Multiplying any two numbers between 99,980–1,00,020 by BASE 100000
–> 99,980 से 1,00,020
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निखिलम सूत्र आधार विधि
**आधार के निकट वाली संख्याओं की गुणा
(i) पार्ट 1 जब दोनों संख्याएं आधार से कम हों
(ii) पार्ट 2 जब दोनों संख्याएं आधार से अधिक हों
(iii) पार्ट 3 जब एक संख्या आधार से कम तथा दूसरी अधिक हो
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Nikhilam navatascharamam Dasatah
निखिलं नवतः चरमं दशतः।
(निखिलम् सूत्र) - आधार
जब दो संख्याएँ, आधार 10ⁿ , 10 या 10 की घात के निकट हो तो *उनका गुणनफल सूत्र निखिलम् - आधार* द्वारा ज्ञात किया जाता हैं।
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सूत्र पर आधारित विधि:
1. संख्याओं का निकटतम आधार के सापेक्ष विचलन ज्ञात करते हैं।
विचलन = संख्या – आधार
2. आधार के सापेक्ष विचलनों को उनकी संख्या के सामने लिखते हैं। (आधार के सापेक्ष विचलन धनात्मक तथा ऋणात्मक दोनों प्रकार का हो सकता है।)
3. तिरछी रेखा से गुणनफल को दो भाग बाएं और दाएं में बांट देते हैं।
LHS RHS
A ± a
B ± b
4. दायें पक्ष में विचलनों का गुणनफल लिखते हैं।
LHS RHS
A ± a
B ± b
/ (±a×±b)
5. बायें पक्ष में कोई भी एक संख्या तथा दूसरी संख्या के विचलन का योग लिखते हैं।
ध्यान रहे कि आधार में जितने शून्य हो, उतने ही अंक दायें पक्ष में रखते हैं।
* यहां आधार 1,00,000 है तो दायें पक्ष में 5 अंक ही रखेंगे (जितने जीरो उतने अंक बनाने हैं। यदि उतने अंक नहीं है तो उसके पूर्व शून्य लगा कर संख्या पूरी कर देते हैं।), यदि दायें पक्ष में यदि एक अंक हो तो उससे पूर्व दो शून्य (0000), यदि 2 अंक हो तो उससे पूर्व दो शून्य (000) लिख देते हैं, यदि 3 अंक हो तो उससे पूर्व दो शून्य (00), यदि 4 अंक हो तो उससे पूर्व दो शून्य (0)। तथा यदि दायें पक्ष में 6 अंक हो तो 6th अंक बायें पक्ष में जोड़ दिया जाता हैं।
LHS RHS
A ± a
B ± b
(A±b) or (B±a) / (±a×±b)
इस भाग में हम आधार 100000 से संबंधित सवालों को हल करना सीखेंगे।
(1) जब आधार 100000 हो तो हमारे पास 3 स्थितियां बनेंगी
* प्रथम स्थिति*
जब दोनों संख्याएं आधार से छोटी हो तो दोनों विचलन ऋणात्मक होंगे।
LHS RHS
A – a
B – b
(A+b) or (B+a) / (–a×–b)
* द्वितीय स्थिति*
जब दोनों संख्याएं आधार से बड़ी हो तो दोनों विचलन धनात्मक होंगे।
LHS RHS
A + a
B + b
(A+b) or (B+a) / (a×b)
* तृतीय स्थिति*
जब दोनों संख्याएं में से एक आधार से छोटी तथा दूसरी आधार से बड़ी हो।
इस स्थिति में आधार से छोटी संख्या का विचलन ऋणात्मक तथा आधार से बड़ी संख्या का विचलन धनात्मक होता है।
LHS RHS
A – a
B + b
(A+b) or (B–a) / (–a×b)
अथवा
LHS RHS
A + a
B – b
(A–b) or (B+a) / (a×–b)
आधार 100000 के लिए
प्रथम स्थिति
आइए पहले हम उन प्रश्नों को हल करने का प्रयास करते हैं जिनके विचलन आधार से छोटे होते हैं।
जब दोनों संख्याएं आधार से छोटी हो तो दोनों विचलन ऋणात्मक होंगे।
(a) Multiplying between 99980 to 100000
99980 से 100000 तक की संख्याओं के मध्य गुणा करना।
आधार 100000 के लिए
Base 100000
LHS RHS
A – a
B – b
(A–b) or (B–a) / (–a×–b)
Example : (1) 99990 × 99980
Sol.
Base 100000
LHS RHS
99990 –00010
99980 –00020
= 99990 + (–00020) / (–00010) x (–00020)
Or
= 99980 + (–00010) / (–00010) x (–00020)
= 99970 / +00200
= 9997000200
यहां निकटतम आधार 100000; अत:
विचलन = 99990 – 100000 = –00010
विचलन = 99980 – 100000 = –00020
Example : (2) 99980 × 99991
Sol.
Base 100000
99980 – 00020
99991 – 00009
= 99980 + (–00020) / (–00020) x (–00009)
Or
= 99991 + (–00020) / (–00020) x (–00009)
= 99960 / 00180
= 9996000180
संकेत -
1. निकटतम आधार 100000 अत:
विचलन = 99980 – 100000 = – 00020
विचलन = 99991 – 100000 = – 00009
Practice Time (1)
दूसरी स्थिति
आइए अब हम उन प्रश्नों को हल करने का प्रयास करते हैं जिनके विचलन आधार से बड़े होते हैं।
जब दोनों संख्याएं आधार से बड़ी हो तो दोनों विचलन धनात्मक होंगे।
(b) Multiplying between 100000 to 100020
100000 से 100020 तक की संख्याओं के मध्य गुणा करना।
आधार 100000 के लिए
Example : (3) 100001 × 100003
Sol.
LHS RHS
100001 +00001
100003 +00003
यहां निकटतम आधार 100000; अत:
विचलन = 100001 – 100000 = +00001
विचलन = 100003 – 100000 = +00003
Example : (3) 100001 × 100003
Sol.
Base 100000
LHS RHS
100001 +00001
100003 +00003
(100001+00003)or(100003+00001)/(+00001×+00003)
=100004/00003 (Base 100000 take double digit)
=10000400003
तीसरी स्थिति
जब एक संख्या आधार से बड़ी हो तथा दूसरी आधार से छोटी हो तो दोनों विचलन में एक ऋणात्मक तथा दूसरा धनात्मक होंगा।
विचलनों का गुणनफल यदि ॠणात्मक हो तो बायें पक्ष से आवश्यकतानुसार अंक लेकर दायें पक्ष को धनात्मक में बदलते हैं।
(b) Multiplying between 99980 to 100020
99980 से 100020 तक की संख्याओं के मध्य गुणा करना।
Example : (4) 99989 × 100007
Base 100000
99989 – 00011
100007 + 00007
= 99989 + (+00007) / (–00011) x (+00007)
Or
= 100007 + (–00011) / (–00011) x (+00007)
= 99996 / (–00077)
[Remove Negative (–) sign]
(Write complement of – 00077 from base 100000, for this subtract 1 from 99996 in other words Take 1 from 99996 and add 100000 to –00077)
= (99996–1) / (100000 – 00077)
= 99995 / 90923
= 9999599923
Example : (5) 100009 × 99980
Base 100000
LHS RHS
100009 +00009
99980 –00020
यहां निकटतम आधार 100000; अत:
विचलन = 100009 – 100000 = +00009
विचलन = 99980 – 100000 = – 00020
= 99980 + (+00009) / (–00020) x (+00009)
Or
= 100009 + (–00020) / (–00020) x (+00009)
= 99989 / (–00180)
[Remove Negative (–) sign]
(Write complement of – 00180 from base 100000, for this subtract 1 from 99989 in other words Take 1 from 99989 and add 100000 to –00180)
= (99989–1) / (100000 – 00180)
= 99988 / 99820
= 9998899820
Example : (6) 100002 × 99997
Base 100000
LHS RHS
100002 +00002
99997 –00003
(100002–00003) or (99997+00002)/(+00002×–00003)
=99999/–00006
[Remove Negative (–) sign]
(Write complement of – 00006 from base 100000, for this subtract 1 from 99999 in other words Take 1 from 99999 and add 100000 to –00006)
=(99999–1)/(100000–00006)
=9999899994
Practice Time (3)
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