विनजीत वैदिक अंकगणित पुस्तक || 1 || अध्याय 01.04 || वैदिक गणित में प्रयुक्त अंकों के प्रकार

विनजीत वैदिक अंकगणित पुस्तक 00.01 || अध्याय 01.04 || वैदिक गणित में प्रयुक्त अंकों के प्रकार

लेखक

Vinjit Vedic Arithmetic Book 00.01 || Chapter 01.04 || Types of exact numbers in Vedic Mathematics

Author 

ॐ जितेन्द्र सिंह तोमर

(M.A., B. Ed., MASSCOM, DNYS )

(Specialist in Basic and Vedic Maths)

भाग 01

Part 01

निखिलांक (निखिल अंक) और चरमांक (चरम अंक)

चरम अंक या चारमांक या अंतिम अंक या अंतिमांक या इकाई अंक

चरम अंक या चारमांक का अर्थ होता है अंतिम अंक अर्थात सबसे बड़ा या Lefter most अंक। इसे हम हिंदी में इकाई या इंग्लिश में Once कह सकते हैं। इसे हम अंतिम अंक End नंबर भी कहते हैं।

किसी संख्या का चरमांक या अंतिम अंक ज्ञात करना

संख्या 5 का चरमांक = 5

संख्या 10 का चरमांक = 0

Nikhilank (Nikhil number) and Charmank (extreme number)

Extreme Digit or Four Digit or Last Digit or Final Digit or Unit Digit

Extreme digit or Charmank means the last digit i.e. the biggest or Left most digit. We can call it Unit or ekai in Hindi or Once in English. We also call it the last digit end number.

Finding the Extreme or Last Digit of a Number

extremum of number (or Charmank) 5 = 5

extremum of number (or Charmank) 10 = 0

चरमांक या अंतिम अंक दो प्रकार के होते हैं 

1. प्राकृतिक अंक और 

2. संयुक्त अंक 

1. प्राकृतिक अंक:– जो अंक प्राकृतिक रूप से बने हैं । अर्थात 0 से 9 तक के  दसों अंक प्राकृतिक अंक हैं।

प्राकृतिक अंक – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 और 9

2. संयुक्त अंक:– जो अंक प्राकृतिक अंकों के उपयोग से बनते हैं , संयुक्त अंक कहलाते हैं। ये भी दो प्रकार के हो सकते हैं ।

(i) हासिल रहित (नॉन कैरी) अंक और 

(ii) हासिल सहित (कैरी) अंक

There are two types of extreme or last digit

1. Natural Digit and

2. Composite Digit 

1. Natural Digit: – The digit which is made naturally is called Natural digits. That is, all the ten numbers from 0 to 9 are natural digits.

Natural digits – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 and 9

2. Composite digit: – The digits which are made using natural digits are called composite digits. These can also be of two types.

(i) Non-carry Digits and

(ii) Carry Digits

बिना हासिल के अंक  (नॉन कैरी अंक) और हासिल के अंक (कैरी अंक)

बिना हासिल के अंक (नॉन कैरी अंक)

शून्य से 9 तक (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 व 9) के अंको को बिना हासिल के अंक अर्थात नॉन कैरी अंक कहते हैं। यह केवल एक ही अंक से मिलकर बने हैं इसलिए इन्हें हम एक अंकीय अंक या सिंगल डिजिट अंक भी कहते हैं।

Non-carry Digits and Carry Digits

Non-Carry digits 

The numbers from 0 to 9 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 and 9) are called non-carry numbers. These are made up of only one digit, so we also call them one digit number or single digit number.

हासिल के अंक (कैरी अंक)

दो अंकों या उससे अधिक अंकों से बने अंकों को हासिल के अंक या कैरी अंक कहते हैं। 

दहाई, सैकड़ा, हजार इत्यादि को मिलाकर हम कैरी अंक कहते हैं। 

ये दो या अधिक अंकों से मिलकर बने हैं इसलिए इन्हें हम बहुअंकीय अंक या मल्टी डिजिट अंक भी कहते हैं।

Carry Digits 

The numbers made up of two or more digits are called carry numbers.

We call carry digit to assuming tens, hundreds, thousands etc., 

These are made up of two or more digits, hence we also call them multi-digit numbers.

निखिल अंक (शेषांक)

इकाई के अलावा जो शेष अंक बचता है । उसे हम निखिल अंक कहते हैं। यह संख्या में इकाई के अलावा लिखा हुआ शेष भाग है ।

संख्या = (शेषांक) (इकाई)

या

संख्या = (निखिल अंक) (चरमांक)

Nikhil Ank (Remain digit)

The remain digit of the number other than the unit is called it Nikhil Ank. It is the remain digit of the number written apart from the unit.

Number = (remain digit) (units)

Or

Number = (Nikhil ank) (Charmank)

किसी संख्या का निखिलांक ज्ञात करना

यहां  (निखिलांक) चरमांक लिखा है

संख्या 5 का निखिलांक         =        (0)5

संख्या 10 का निखिलांक       =        (1)0

संख्या 24 का निखिलांक       =        (2)4

finding the exponent of a number

Here (Nihilank) Charmank the extreme is written

Nihilank of number 5 = (0)5

Nihilank of number 10 = (1)0

Nihilank of number 24 = (2)4

भाग 02

सामान्य अंक और विनकुलम अंक (ऋणात्मक अंक)

वैदिक गणित में हम गणना को छोटा वह सरल बनाने के लिए शून्य सहित प्राकृतिक अंकों के साथ साथ विनकुलम अंकों का उपयोग करते हैं ।वैसे तो वैदिक गणित में 0 से 9 तक सभी अंकों का उपयोग होता है, परंतु अपनी सुविधा और कुछ गणनाओं को सुलभ बनाने के लिए हम इन्हें 5 या 5 से छोटे अंक या संख्याओं के रूप में ही लेते हैं। अर्थात इन गणनाओं में बड़े अंकों 6, 7, 8, 9 का प्रयोग नहीं किया जाता है। 

वैदिक गणित में केवल 14 प्रकार के अंको का ही उपयोग किया जाता है। जो निम्न हैं → 0,  1, 2, 3, 4, 5, 6 या –4, 7 या –3 , 8 या –2, 9 या  –1 आदि।

0, 1, 2, 3, 4, 5 के अंंको का हम यूं ही उपयोग करते हैं जबकि अंक 6, 7, 8, 9 को छोटे अंकों में परिवर्तित करने की प्रक्रिया में हमें ऋणात्मक अंक प्राप्त होते हैं। साथ ही  वैदिक गणित में धनात्मक एवं ऋणात्मक दोनों प्रकार के अंकों का प्रयोग किया जाता है। 

Part 02

Normal Digits and Vinculum Digits (Negative Digits)

In Vedic mathematics, we use natural digits including zero as well as vinculum digits to make the calculations simple, small and short. 

Although all the numbers from 0 to 9 are used in Vedic mathematics, but for their convenience and to make some calculations accessible. We take these digits in the form of 1, 2, 3, 4, 5 or less than 5 to make them easy. The big numbers 6, 7, 8, 9 are not used in these calculations.

Only 14 types of numbers are used in Vedic mathematics. Which are as follows –>  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 or –4, 7 or –3, 8 or –2, 9 or –1 etc.

We use the digits 0, 1, 2, 3, 4, 5 simply as they are, whereas in the process of converting the digits 6, 7, 8, 9 into smaller numbers, we get negative numbers 6 or –4, 7 or –3, 8 or –2, 9 or –1 etc. Thus we can say that both positive and negative numbers are used in Vedic mathematics.

सामान्य अंक 

यदि अंकों का उपयोग हम सामान्यतः गणितीय अंकों के रूप में करते हैं। तो यही अंक सामान्य अंक कहलाते हैं। यह शून्य (0) से शुरु होकर अनंत (∞) तक जाते हैं।

Normal Digits 

If digits are commonly used by us in the form of mathematical digits. So these digits are called normal digits. It starts from zero (0) and goes to infinity (∞).

विनकुलम्

वैदिक गणित ( Vedic Mathematics ) में संख्याओं में अंकों को ऋणात्मक रूप में लिखने को विनकुलम् कहते हैं और इन अंकों को विनकुलम् अंक कहते हैं। 

Vinkulam

In Vedic mathematics, the writing of digits in negative form is called Vinkulam and these digits are called Vinkulam digits.

वैदिक गणित में ऋणात्मक अंक ( –m ) को, अंक m के ऊपर ऋणात्मक चिह्न लगाकर या बार चिन्ह द्वारा व्यक्त किया जाता है।

In Vedic mathematics, a negative digit (–m) is expressed by putting a negative sign above the digit m or by a bar symbol.

वैदिक गणित में प्रयुक्त होने वाली संख्याओं में सभी अंक 5 या 5 से छोटे रखे जाते हैं। अतः संख्या में जो भी अंक 5 से बड़े ( 6, 7, 8, 9 ) होते हैं, उन सभी ( 6, 7, 8, 9 ) अंकों के स्थान पर उनके विनकुलम् अंक रख देते हैं।

6 का विनकुलम् अंक –4, 

7 का विनकुलम् अंक –3 , 

8 का विनकुलम् अंक –2, 

9 का विनकुलम् अंक  –1

We used and kept the digits smaller than 5 or in the form of 1, 2, 3, 4, 5 or less than 5 in Vedic maths.

Therefore, whatever digits are greater than 5 (6, 7, 8, 9) in the number, in place of all those (6, 7, 8, 9) digits, their Vinkulam digits are written.

Vinkulam of 6 is –4,

Vinkulam of 7 is –3,

Vinkulam of 8 is –2,

Vinkulam of 9 is –1.

भाग 03

एकाधिक अंक (एक अधिक अंक Successor परावर्ती अंक) और एक न्यूनांक (एक न्यून अंक Predecessor पूर्ववर्ती अंक)

एकाधिक अंक (एक अधिक अंक) या परवर्ती अंक या Successor

Part 03

Ekadhika (एकाधिक): Ekadhika means “one more”.

Ekadhik Ank (One more from digit. Successor of the digit) and Ekanyuna Ank (One less from digit, Predecessor of digit)

Ekadhik Ank (One more from digit. Successor of the digit) 

एकाधिक अंक (एक अधिक अंक) जैसा कि नाम से ही ज्ञात होता है कि एक अधिक अंक अर्थात संख्या से अगला अंक एकाधिक अंक है। इसे हम परवर्ती अंक के रूप में भी जानते हैं। इसे हम इंग्लिश में Successor के नाम से जानते हैं।  यह संख्या हमें एक जोड़ने पर प्राप्त होती है। 

Ekadhik Ank (One More Digit), As the name itself suggests that one more digit i.e. the next digit from the number is Ekadhik Ank. We also know this as the subsequent or parvarti digit. We know it by the name of Successor in English. We get Ekadhik Ank by adding one in the digit.

Part 04

Ekanyuna (एकन्यून): Ekanyuna means “one less”.

एकन्यून अंक (एक न्यून अंक) या पूर्ववर्ती अंक या Prediccessor

एकन्यून अंक [एक न्यून (कम) अंक] जैसा कि नाम से ही ज्ञात होता है कि एक कम अंक अर्थात संख्या से पहला अंक एकन्यून अंक है। इसे हम पूर्ववर्ती अंक के रूप में भी जानते हैं। इसे हम इंग्लिश में Prediccessor के नाम से जानते हैं। यह संख्या हमें एक घटाने पर प्राप्त होती है। 

Ekanyuna Ank (one less from digit) or Preceding digit or Prediccessor

Ekanyuna Ank (one less from digit), As the name itself suggests that one less digit, means the first digit from the number Ekanyuna Ank. We also know it as the preceding or porvavarti digit. We know it by the name of Prediccessor in English. We get this number by subtracting one in the digit.

भाग 05 (A)

परममित्र अंक :

वे अंक जो गणना में एक दूसरे के सहायक बनते हैं परम मित्र अंक कहलाते हैं। अंको मे परम मित्रता होती है तथा वे कठिन परिस्थिति मे अपने मित्र अंको की सहायता करते हैं। आइए देखें कि किन अंकों मे मित्रता होती है -

9 का मित्र 1 होता है।

8 का मित्र 2 होता है।

7 का मित्र 3 होता है।

6 का मित्र 4 होता है तथा 

5 का मित्र 5 होता है। 

उपरोक्त मित्र अंकों का अवलोकन करने पर ज्ञात होता है कि जिन दो अंको का योग 10 हो वे आपस मे मित्र होते हैं। यह एक दूसरे के 10 के पूरक हैं।

ध्यान रहे कि किसी संख्या का पूरक उसके निकटतम आधार से लिया जाता है।

Part 05 (A)

Parammitra Ank:

Those numbers which help each other in the calculation are called Param Mitra Ank. These Numbers have ultimate friendship and they help their friend numbers in difficult situations. Let's see which numbers have friendship -

9's friend is 1 and 1's friend is 9 

8's friend is 2 and 2's friend is 8 

7's friend is 3 and 3's friend is 7 

6's friend is 4 and 4's friend is 6 

5's friend is 5.

From the observation of the above friend numbers, it is known that the two numbers whose sum is 10, they are best friends of each other. These are 10's complement of each other.

Keep in mind that the complement of a number is taken from its nearest base.

भाग 05 (B)

आधार– वैदिक गणित में आधार एक महत्वपूर्ण अंक है जो 10 या उसकी घात अर्थात पावर के रूप में लिया जाता है।

यह 10 की पावर 0 (जीरो) को छोड़कर सभी पावर के रूप में लिया जा सकता है क्योंकि 10 की पावर जीरो का मान 1(एक) होता है और किसी भी संख्या का आधार 1(एक) नहीं लिया जा सकता।

10⁰ = 1

10¹ = 10

10² = 100

10³ = 1000

10⁴ = 10000

Part 05 (B)

Base

In Vedic mathematics, Aadhaar is an important number which is taken as 10 or its power.

This power of 10 can be taken as a power except 0 (zero) because the value of power zero of 10 is 1 (one) and the base of any number cannot be taken as 1 (one).

10⁰ = 1

10¹ = 10

10² = 100

10³ = 1000

10⁴ = 10000

भाग 05 (C)

उप-आधार या उपाधार – किसी भी आधार को किसी पूर्णांक से गुणा करने पर प्राप्त संख्या, उसका उप-आधार कहलाती है। यह संख्या का निकटतम शून्ययुक्त दहाई होता है।

उप आधार = आधार × पूर्णांक 

15 के लिए उपाधार = 10 × 1 = 10

34 के लिए उपाधार = 10 × 3 = 30

63 के लिए उपाधार = 10 × 6 = 60

83 के लिए उपाधार = 10 × 8 = 80

इसी प्रकार आप अन्य उपाधार भी निकाल सकते हैं।

               उपाधार

पूर्णांक = ––––——

                आधार

Part 05 (C)

Sub-base

The number obtained by multiplying any base with an integer is called its sub-base. It is the nearest lowest tenths of the number.

Sub Base = Base × Integer

Sub-base of 15 maybe 10

Sub-base for 15 = 10 × 1 = 10

Sub-base of 34 maybe 30

Sub-base for 34 = 10 × 3 = 30

Sub-base of 63 maybe 60

Sub-base for 63 = 10 × 6 = 60

Sub-base of 86 maybe 80

Sub-base for 86 = 10 × 8 = 80

In the same way you can remove other Sub-base as well.

                Sub-base

Integer =___________

                 Base

215 के लिए उपाधार = 100 × 2 = 200

384 के लिए उपाधार = 100 × 3 = 300

763 के लिए उपाधार = 100 × 7 = 700

813 के लिए उपाधार = 100 × 8 = 800

515 के लिए उपाधार = 100 × 5 = 500

434 के लिए उपाधार = 100 × 4 = 400

8384 के लिए उपाधार = 1000 × 3 = 8000

7631 के लिए उपाधार = 1000 × 7 = 7000

8123 के लिए उपाधार = 1000 × 8 = 8000

5615 के लिए उपाधार = 1000 × 5 = 5000

4374 के लिए उपाधार = 1000 × 4 = 4000

भाग 05 (D)

पूरक

जिन दो अंकों का योग 10 या 10 की घात के रूप में होता हैं, वे परस्पर एक दूसरे के पूरक अंक कहलाते हैं।

यहां पूरक के लिए लिया जाने वाला आधार पूरकीय आधार कहलाएगा। जो पूर्व में वर्णित आधार से अलग है।

★ 10 से कम संख्याओं का पूरकीय आधार 10 होगा।

★ 11 से 99 तक की संख्याओं का पूरकीय आधार 100 होगा।

★ 101 से 999 तक की संख्याओं का पूरकीय आधार 1,000 होगा।

★ 1001 से 9999 तक की संख्याओं का पूरकीय आधार 10,000 होगा।

* 10 से कम संख्याओं का पूरक 10 से निकाला जाता है।

6 का पूरक होगा : 10 – 6 = 4

2 का पूरक होगा : 10 – 2 = 8

8 का पूरक होगा : 10 – 8 = 2

* 11 से 99 तक की संख्याओं का आधार 100 (सौ) लिया जाता है।

24 का पूरक होगा : 100 – 24 = 76. 

43 का पूरक होगा : 100 – 43 = 57. 

64 का पूरक होगा : 100 – 64 = 36. 

73 का पूरक होगा: 100 – 73 = 27

95 का पूरक होगा : 100 – 95 = 05   

*101 से लेकर 999 तक की संख्याओं के लिए आधार 1000 लिया जाएगा।

123 का पूरक होगा : 1000 – 123 = 877.  

235 का पूरक होगा : 1000 – 253 = 765.  

459 का पूरक होगा: 1000 – 459 = 541.
623 का पूरक होगा : 1000 – 623 = 377.  

962 का पूरक होगा : 1000 – 962 = 038.  

* इसी प्रकार हम बड़े संख्याओं का भी पूरक निकाल सकते हैं।

51326 का पूरक होगा: 100000–51326 = 48674.

5351326 का पूरक होगा: 10000000–5351326 = 4648674.

Part 05 (D)

Complement 

The sum of two numbers which is in the form of 10 or power of 10, are called complement of each other.

Here the base of the compliment is known as complementary base.

★ Complementary base of numbers less than 10 will be 10.

★ Complementary base of numbers from 11 to 99 will be 100.

★ The complement base of numbers from 101 to 999 will be 1,000.

★ The complement base of numbers from 1001 to 9999 will be 10,000.

The complement of numbers less than 10 is taken from 10.

Complement of 6 will be : 10 – 6 = 4

2's complement will be : 10 – 2 = 8

Complement of 8 will be : 10 – 8 = 2

* The base of numbers from 11 to 99 is 100 (hundred).

Complement of 24 will be : 100 – 24 = 76.

Complement of 43 will be : 100 – 43 = 57.

Complement of 64 is: 100 – 64 = 36.

Complement of 73 will be: 100 – 73 = 27

Complement of 95 will be : 100 – 95 = 05

*For numbers from 101 to 999, base 1000 will be taken.

Complement of 123 will be: 1000 – 123 = 877.

Complement of 235 will be: 1000 – 253 = 765.

The one's complement of 459 is: 1000 – 459 = 541.

Complement of 623 will be: 1000 – 623 = 377.

Complement of 962 will be : 1000 – 962 = 038.

Similarly, we can also find the complement of large numbers.

One's complement of 51326 would be: 100000–51326 = 48674.

The one's complement of 5351326 is: 10000000–5351326 = 4648674.

भाग 06 

विचलन व विचलन के प्रकार

जब दी गई संख्या में से आधार या उपाधार घटा दिया जाए तो प्राप्त होने वाला शेषफल विचलन कहलाता हैं।

अतः हम कह सकते हैं कि विचलन दो प्रकार दो प्रकार के होते हैं। 

आधार से विचलन तथा उप आधार से विचलन।

      विचलन = संख्या – आधार

      विचलन = संख्या – उपाधार

ज्ञात रहे कि विचलन धनात्मक तथा ऋणात्मक दोनों प्रकार का हो सकता है । जैसे कि यदि संख्या आधार या उपाधार से बड़ी हैं तो विचलन  धनात्मक होता हैं, और यदि संख्या छोटी हैं तो विचलन ॠणात्मक होता हैं। 

आधार में जितने शून्य होते हैं विचलन में उतने ही अंक रखते हैं।

* आधार 10 के सापेक्ष संख्या 18 का 

विचलन = 18 – 10 = + 8

* आधार 10 के सापेक्ष संख्या 9 का 

विचलन = 9 – 10 = – 1

* आधार 100 के सापेक्ष संख्या 197 का 

विचलन = 197– 100 = 97

* आधार 100 के सापेक्ष संख्या 97 का 

विचलन = 97– 100 = – 03

Part 09

Deviation And Types Of Deviation

Deviation

When the base or sub-base is subtracted from the given number, the remainder obtained is called deviation.

So we can say that there are two types of deviations.

Deviation from base and deviation from sub base.

       Deviation = Number – Base

       Deviation = Number – Base

It should be noted that deviation can be of both positive and negative types. For example, if the number is greater than the base or sub-base, the deviation is positive, and if the number is smaller, the deviation is negative.

As many zeros are there in the base, the same number of digits are kept in the deviation.

* Deviation of number 18 with respect to base 10

Deviation = 18 – 10 = + 8

*  Deviation of number 9 with respect to base 10

Deviation = 9 – 10 = – 1

* Deviation of number 197 with respect to base 100

Deviation = 197 – 100 = 97

* Deviation of number 97 with respect to base 100

Deviation = 97 – 100 = – 03