वैदिक गणित को सीखने के लिए विनकुलम् के  सिद्धांतों को जानना बहुत ही आवश्यक है। विनकुलम् को वैदिक गणित में रेखांक या रेखांकित अंक या ऋणांक या ऋणात्मक अंक के नाम से भी जाना जाता है।

वर्तमान में गणित में संकलन, व्यवकलन, गुणा और भाग में एक ही समय में केवल दस धनात्मक संख्याओं (शून्य से नौ तक 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ) का प्रयोग किया जाता है अर्थात उसके सभी अंक धनात्मक होते हैं। 

इस प्रकार हम कह सकते हैं कि वैदिक गणित में हम निम्न चौदह अंकों का ही उपयोग करते हैं जैसे 0,  1, 2, 3, 4, 5, 6 या –4 या 4', 7 या –3 या 3' , 8 या –2 या 2', 9 या  –1 या 1' आदि।

जैसे –* एक अंक की संख्या 7 अंक धनात्मक हैं।

* दो अंक की संख्या 75 के सभी अंक धनात्मक हैं।

* तीन अंक की संख्या 785 के सभी अंक धनात्मक हैं।

इसी प्रकार बड़ी संख्या संख्य 8273505 के सभी अंक धनात्मक हैं। 

Rekhaank or Rekhaankit ank or Vinkulam – Theory and Application

It is very important to know the principles of Vinkulam in order to learn Vedic Mathematics. Vinkulam is also known as Rekhaank or Rekhaankit ank or Negative Number or dash digit in Vedic mathematics.

At present, only ten positive numbers (Zero to nine 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ) are used in addition, subtraction, multiplication and division in mathematics. That is, all numbers are positive in mathematics.

Thus we can say that in Vedic maths we use only 14 following numbers like 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 or –4 or 4' , 7 or –3 or 3' , 8 or –2  or 2', 9 or – 1 or 1' etc.

For Example 

* All the digits of the single digit number 1, 3, 7, 6, 5 are positive.

* All the digits of the two digit number 75 are positive.

* All the digits of the three digit number 785 are positive.

Similarly all the digits of the big number number 8273505 are positive.

वैसे तो वैदिक गणित में 0 से 9 तक सभी अंकों का उपयोग होता है, परंतु अपनी सुविधा और कुछ गणनाओं को सुलभ बनाने के लिए हम इन्हें 5 या 5 से छोटे अंक या संख्याओं के रूप में ही लेते हैं। अर्थात इन गणनाओं में बड़े अंकों 6, 7, 8, 9 का प्रयोग नहीं किया जाता है। 

अंक 6, 7, 8, 9 को छोटे अंकों में परिवर्तित करने की प्रक्रिया में हमें ऋणात्मक अंक प्राप्त होते हैं। साथ ही  वैदिक गणित में धनात्मक एवं ऋणात्मक दोनों प्रकार के अंकों का प्रयोग किया जाता है। 

Although all the numbers from 0 to 9 are used in Vedic mathematics, but for our convenience and to make some calculations accessible, we take them as numbers or numbers less than 5 or 5 only. That is, the big numbers 6, 7, 8, 9 are not used in these calculations.

In the process of converting the numbers 6, 7, 8, 9 into smaller numbers, we get negative numbers. Also, both positive and negative numbers are used in Vedic mathematics.

वैदिक गणित में प्रयुक्त होने वाली संख्याओं के सभी अंक 5 या 5 से छोटे रखे जाते हैं।

वैदिक गणित ( Vedic Mathematics ) में संख्याओं के अंकों को ऋणात्मक रूप में लिखने को विनकुलम् कहते हैं। वैदिक गणित में ऋणात्मक अंक ( –2 ) को, अंक 2 के ऊपर ऋणात्मक चिह्न लगाकर याा बार चिन्ह द्वारा व्यक्त किया जाता है। हम यहां इसे –2 या 2' लिखेंगे। जो विनकुलम् दो या ऋण 2 पढ़ा जाएगा।

वैदिक गणित में प्रयुक्त होने वाली संख्याओं में सभी अंक 5 या 5 से छोटे रखे जाते हैं। अतः संख्या में जो भी अंक 5 से बड़े ( 6, 7, 8, 9 ) होते हैं, उन सभी ( 6, 7, 8, 9 ) अंकों के स्थान पर उनके विनकुलम् अंक रख देते हैं।

All digits of numbers used in Vedic maths are kept as 5 or less than 5.

In Vedic Mathematics, writing the digits of numbers in negative form is called Vinkulam. In Vedic mathematics, a negative number (–2) is expressed by putting a negative sign above the number 2 or by a bar symbol. Here we will write it as –2 or 2'. Which will be read Vinkulam two or minus 2.

In the numbers used in Vedic mathematics, all numbers are kept 5 or less than 5. Therefore, whatever digits are greater than 5 (6, 7, 8, 9) in the number, all those (6, 7, 8, 9) digits are replaced by their Vinkulam digits.

इस प्रकार हम कह सकते हैं कि वैदिक गणित में हम गणना को छोटा वह सरल बनाने के लिए शून्य सहित प्राकृतिक अंकों के साथ साथ विनकुलम अंकों का उपयोग करते हैं ।  इस प्रकार वैदिक गणित में केवल 14 प्रकार के अंकों का ही उपयोग किया जाता है। जो निम्न हैं → 0,  1, 2, 3, 4, 5, 6 या –4, 7 या –3 , 8 या –2, 9 या  –1 आदि।

Thus we can say that we use vinculum numbers along with natural numbers including zero to make calculations small and simple in Vedic Maths. Thus only 14 types of digits are used in Vedic mathematics. Which are as follows → 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 or –4, 7 or –3, 8 or –2, 9 or –1 etc.

किसी अंक का विनकुलम् अंक या विनकुलम् ज्ञात करना :

5 से बड़े जिस अंक का भी विनकुलम् ज्ञात करना होता है। विनकुलम् बड़े अंक का '10 से ऋणात्मक विचलन' होता हैं।

चूंकि 5 से बड़े अंक 6, 7, 8 और 9 सभी 10 से कम हैं, इसलिए इनके 10 से विचलन ऋणात्मक चिन्ह वाले होंगे। विचलन से प्राप्त इन अंकों को उनके सामने ऋणात्मक चिन्ह (–) या  ऊपर डेश चिन्ह ( ' ) लगाकर प्रदर्शित किया जाता है। इन रेखांकित अंकों को विनकुलम् या विनकुलम् अंक कहते हैं।

उदाहरणार्थ

अंक 6 का विनकुलम् ज्ञात करना।

अंक 6 का 10 से विचलन = 6 –10 = –4 या 4'

अंक 6 का विनकुलम् (अंक) = –4 या 4'

इसी प्रकार, अंक 7 का विनकुलम् (अंक) = 7–10=–3 या 3'

तथा

अंक 8 को विनकूलम् (अंक) = 8–10=–2 या 2'

अंक 9 का विलकुलम् (अंक) =9–10=–1 या 1'

To find Vinkulam number or Vinkulam of a number:

Vinkulam of any number greater than 5 has to be found. Vinkulam is the 'negative deviation from 10' of the larger number.

Since numbers greater than 5, 6, 7, 8 and 9 are all less than 10, their deviations from 10 will have negative signs. These numbers obtained from deviations are displayed by putting a negative sign (–) in front of them or a dash sign (') above them. These underlined numbers are called Vinkulam or Vinkulam numbers.

For Example

To find Vinkulam of number 6.

Deviation of number 6 from 10 = 6 –10 = –4 or 4'

Vinkulam (digit) of number 6 = –4 or 4'

Similarly, Vinkulam (digit) of number 7 = 7–10=–3 or 3'

And

Vinkulam (digit) of number 8 = 8–10=–2 or 2'

Vilakulam (digit) of number 9 =9–10=–1 or 1'

(6) निखिलम् सूत्र :

निखिलम् सूत्र है –

'निखिलम् नवत: चरमं दशतः' अर्थात 'प्रत्येक अंक को 9 में से तथा अन्तिम दाएँ अंक को 10 में से घटाओ।' 

निखिलम् सूत्र की सहायता से अंकों के समूह का भी विनकुलम् सरलतापूर्वक प्राप्त कर सकते है। अतः यह निखिलम् सूत्र दी हुई सामान्य संख्या को विनकुलम् संख्या के रूप में लिखने का एक सशक्त साधन है।

(6) Nikhilam Sutra:

Nikhilam Sutra is –

'Nikhilam Navatah Charam Dashatah' means 'Subtract each digit from 9 and the last right digit from 10.'

With the help of Nikhilam Sutra, Vinakulam of a group of numbers can be easily obtained. Hence, this Nikhilam formula is a powerful means of writing the given ordinary number in the form of Vinkulam Number.

(7) साधारण संख्या को विनकूलम् संख्या के रूप में लिखना:

किसी संख्या को विनकुलम् रूप में लिखने के लिए उस संख्या में आने वाले 5 से बड़े अंकों को उनके विनफुलम् अंकों से बदल दिया जाता है। और संख्या में जो अंक 5 से छोटे होते हैं उन्हें ज्यों का त्यों ही लिख दिया जाता है।

अब हम विनकुलम् अंक लिखने की पूरी विधि का विस्तार से वर्णन करेंगे।

(7) Writing an ordinary number in the form of Vinkulam number:

To write a number in Vinkulum form, the digits greater than 5 in that number are replaced with their Vinkulum digits. And the digits in the number which are less than 5 are written as they are.

Now we will describe in detail the complete method of writing Vinkulam numbers.

किसी अंक का विनकुलम् ज्ञात करना :

5 से बड़े जिस अंक का विनकुलम् ज्ञात करना हो तो उसका ’10 से विचलन’ ज्ञात कर लेते हैं। इस प्रकार जो ऋणात्मक अंक आता है। उसी को हम उस संख्या का विनकुलम अंक कहते हैं।

To find the vinculum of a number:

If we want to find the vinkulam of a number greater than 5, then its 'deviation from 10' is found. In this way, the negative soul number that comes, is a Vinkulam number.

Important Notes -

If there is no digit on the left side of the number used to find Vinkulam, then zero is written there. i.e. 0+1=1

उदाहरणार्थ 

संख्या 94 या 094 को विनकुलम् रूप में लिखिए।

अंक 9 का विनकुलम् (अंक) = •0(9–10)4

अंक 9 के बायीं ओर 0 में 1 जोड़ने पर,

0+1=1

अतः

94=11'4

संक्षेप में 

94 = 094 = (0+1)(9–10)4=1(–1)4=11'4

for example

Write the number 94 or 094 in Vinkulam form.

Vinkulam (digit) of number 9 = •0(9–10)4

By adding 1 to 0 on the left side of the number 9,

0+1=1

Therefore

94=11'4

in short

94 = 094 = (0+1)(9–10)4=1(–1)4=11'4

उदाहरण – 

* अंक 6 का विनकुलम् ज्ञात करना।
 अंक 6 का 10 से विचलन = 6 – 10 = –4
 अंक 6 का विनकुलम् = overline{4}

* अंक 7 का विनकुलम् ज्ञात करना।
 अंक 7 का 10 से विचलन = 7 – 10 = –3
 अंक 7 का विनकुलम् = overline{ 3}

* अंक 8 का विनकुलम् ज्ञात करना।
 अंक 8 का 10 से विचलन = 8 – 10 = –2
 अंक 8 का विनकुलम् = overline{2}

इसी प्रकार, 

* अंक 9 का विनकुलम् ज्ञात करना।
 अंक 9 का 10 से विचलन = 9 – 10 = –1
 अंक 9 का विनकुलम् = overline{1}

* To find Vinkulam of number 6. 

Deviation of number 6 from 10 = 6 – 10 = –4

Vinkulam of number 6 = overline{4}

* To find Vinkulam of number 7.

  Deviation of number 7 from 10 = 7 – 10 = –3

  Vinkulam of digit 7 = overline{ 3}

* To find Vinkulam of number 8.

  Deviation of number 8 from 10 = 8 – 10 = –2

  Vinkulam of digit 8 = overline{2}

Similarly,

* To find Vinkulam of number 9.

  Deviation of number 9 from 10 = 9 – 10 = –1

  Vinkulam of digit 9 = overline{1}


इस प्रकार हम पाते हैं कि 0, 1, 2, 3, 4 व 5 के विनकुलम नहीं होते केवल 5 से बड़े अंक 6, 7, 8 व 9 के ही विनकुलम होते हैं।

अंक 6 का विनकुलम् =  –4

अंक 7 का विनकुलम् = –3

अंक 8 का विनकुलम् = –2

अंक 9 का विनकुलम् = –1

Thus we find that 0, 1, 2, 3, 4 and 5 do not have vinculum, only 6, 7, 8 and 9 numbers greater than 5 have vinculum.

Vinkulam of number 6 = –4

Vinkulam of number 7 =–3

Vinkulam of number 8 =–2

Vinkulam of number 9 =–1

वैदिक गणित में प्रयुक्त होने वाली संख्याओं में सभी अंक 5 या 5 से छोटे रखे जाते हैं। अतः संख्या में जो भी अंक 5 से बड़े ( 6, 7, 8, 9 ) होते हैं, उन सभी ( 6, 7, 8, 9 ) अंकों के स्थान पर उनके विनकुलम् अंक रख देते हैं।

6 का विनकुलम् अंक –4, 

7 का विनकुलम् अंक –3 , 

8 का विनकुलम् अंक –2, 

9 का विनकुलम् अंक  –1

We used and kept the digits smaller than 5 or in the form of 1, 2, 3, 4, 5 or less than 5 in Vedic maths.

Therefore, whatever digits are greater than 5 (6, 7, 8, 9) in the number, in place of all those (6, 7, 8, 9) digits, their Vinkulam digits are written.

Vinkulam of 6 is –4,

Vinkulam of 7 is –3,

Vinkulam of 8 is –2,

Vinkulam of 9 is –1.

1. निम्न संख्याओं को विनकुलम संख्या में लिखो।
1, 9, 2, 8, 3, 7, 4, 6, 5

उत्तर
1, –1, 2, –2,  3, –3, 4, –4, 5


साधारण संख्या को विनकुलम् संख्या में बदलना :

किसी संख्या को विनकुलम् के रूप में लिखने के लिए उस संख्या में आने वाले 5 से बड़े अंकों को उनके विनकुलम् अंकों में बदल देते हैं। 5 से छोटे अंकों को ज्यों का त्यों लिखते हैं। अब भिन्न-भिन्न उदाहरणों के माध्यम से पूरी विधि को सीखेंगे –

एक अंक के सामान्य अंकों के विनुकुलम अंक बनाना हम सीख चुके हैं।

दो अंकों के सामान्य अंको को विनकुलम अंको में बदलने के नियम।

नियम नंबर 1

संख्याओं को देखो तथा 5 से बड़े अंको को ब्रैकेट ( ) में लिखो।

नियम नंबर 2

यदि ब्रैकेट ( ) में केवल एक अंक है तो उसे 10 में से घटाओ और उससे आगे वाले अंक में 1 जोड़ 

Converting ordinary number to Vinkulam number:

To write a number in Vinkulam form, the digits greater than 5 appearing in that number are changed to their Vinkulam digits. Numbers less than 5 are written as they are. Now we will learn the whole method through different examples.

We have learned to make vinukulam digits of common digits of a digit.

Rules for converting two digit normal numbers into Vinculum numbers.

Rule Number 1

Look at the numbers and put the digits greater than 5 in brackets ( ).

Rule Number 2

If there is only one digit in brackets ( ), subtract it from 10 and add 1 to the digit next to it.

प्रकार 1

जब पूर्वोत्तम अंक अन्य अंको से के मुकाबले पांच या  पांच से छोटे हों तो।

Type 1 

Where the Purvotmanka is less than 5 than the other's.

* 18 का विनकुलम लिखिए।

* Write the vinculum of 18.

Sol. 

18 = 1(8) = 1(8–10) = •1 (–2)

 = 2 2'


* 27 का विनकुलम लिखिए।

* Write the vinculum of 27.

Sol. 

27 = 2(7) = 2(7–10) = •2(–3) = 3 3'


* 46 का विनकुलम लिखिए।

* Write the vinculum of 46.

Sol. 

46 = 4(6) = 4(6–10) = •4(–4) = 5 4'


प्रकार 2

जब पूर्वोत्तम अंक अन्य अंको के मुकाबले पांच या  पांच से बड़े हों तो।

Type 2 

Where the Purvotmanka is more than 5 than the other's.

* 89 का विनकुलम लिखिए।

* Write the vinculum of 89.

Sol.

089 = 0(89) 

निखिलम नवत: चरमं दशत: नियम से।

By Nikhilam Navatah Charam Dashatah Sutra. 

= •0(8–9) (9–10)= 1(–1)(–1) = 1 1' 1'


* 76 का विनकुलम लिखिए।

* Write the vinculum of 76.

Sol.

076 = 0(76) 

निखिलम नवत: चरमं दशत: नियम से।

By Nikhilam Navatah Charam Dashatah Sutra. 

= •0(7–9) (6–10)= 1(–2)(–4) = 1 2' 4'


तीन अंकों के सामान्य अंको को विनकुलम अंको में बदलने के नियम।

नियम नंबर 1

संख्याओं को देखो तथा 5 से बड़े अंको को ब्रैकेट ( ) में लिखो।

नियम नंबर 2

यदि ब्रैकेट ( ) में केवल एक अंक है तो उसे 10 में से घटाओ और उससे आगे वाले अंक में 1 जोड़ 

प्रकार 1 – जब केवल इकाई का अंक पांच से बड़ा हो।

जैसे

* 318 का विनकुलम लिखिए।

Write the vinculum of 318.

Sol.

318 = 31(8) = 31(8–10) = 3•1(–2) = 32 2'

* 247 का विनकुलम लिखिए।

Write the vinculum of 247.

Sol.

247 = 24(7) = 24(7–10) = 2•4(–3) =25 3' 

* 145 का विनकुलम लिखिए।

Write the vinculum of 145.

Sol.

146 = 14(6) = 14(6–10) = 1•4(–4) = 15 4' 

प्रकार 2

* 189 का विनकुलम लिखिए।

Write the vinculum of 189.

Sol.

189 = 1(89) 

निखिलम नवत: चरमं दशत: नियम से।

By Nikhilam Navatah Charam Dashatah Sutra. 

= •1(8–9) (9–10)= 2(–1)(–1) = 2 1' 1'

* 276 का विनकुलम लिखिए।

Write the vinculum of 276.

Sol.

276 = 2(76) 

निखिलम नवत: चरमं दशत: नियम से।

By Nikhilam Navatah Charam Dashatah Sutra. 

= •2(7–9) (6–10)= 3 2' 4'


किसी भी बड़ी संख्या का विनकुलम लिखना

* 26786 का विनकुलम लिखिए।

Write the vinculum of 26786.

Sol.

26786 = 2(6786) 

निखिलम नवत: चरमं दशत: नियम से।

By Nikhilam Navatah Charam Dashatah Sutra. 

= •2(6–9) (7–10)(8–9) (6–10)

= 3(–3)(–3)(–2) (–4) 

= 3 3' 3' 2' 4'

संख्या 681786 को विनकुलम् रूप में लिखना।

681786 

= (68)1(786) 

= 0(68)1(786) 

= •0(68)•1(786) 

= 1(6–9)(8–10) 2(7–9)(8–9)(6–10) 

= 1(–3)(–2) 2 (–2)(–1)(–4)