21.3 सरलीकरण के सूत्र

3. सरलीकरण के सूत्र

किसी गणितीय व्यंजक को साधारण भिन्न या संख्यात्मक रूप में बदलने की प्रक्रिया ‘सरलीकरण’ कहलाती है।

इसके अन्तर्गत गणितीय संक्रियाओं ; जैसे जोड़, घटाव, गुणा, भाग व कोष्टक आदि को BODMAS क्रम के आधार पर हल करते हुए दिए गए व्यंजक का मान प्राप्त किया जाता है।

कोष्ठक चार प्रकार के होते हैं –

― → रेखा कोष्ठक (Line Bracket)

( ) → छोटा कोष्ठक (Simple or Small Bracket)

{ } → मझला कोष्ठक (Curly Bracket)

[ ] → बड़ा कोष्ठक (Square Bracket)

ध्यान रहे कि इन कोष्टक को हम इसी क्रम में सरल करते हैं ।

यदि कोष्ठक के पहले ऋण चिह्न हो, तो सरल करने पर अन्दर के सभी चिह्न बदल जाते हैं।

BODMAS का नियम : BODMAS में कोष्ठक (Bracket), का (of), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition), तथा घटाव (Subtraction) की क्रिया एक साथ कि जाती हैं।

अतः BODMAS संबंधी प्रश्नों को हल करने के लिए प्रश्नों को उपर्युक्त दिए गए क्रम में ही हल करें अर्थात सबसे पहले Bracket की क्रिया करते हैं
Bracket में सबसे पहले रेखा कोष्ठक ( – ) फिर छोटा कोष्ठक ( ) फिर मझोला कोष्ठ { } फिर बड़ा कोष्ठक [ ] को हल करते हैं।
तब का (of) की क्रिया, फिर भाग (÷) की क्रिया, फिर गुणा (×) की क्रिया तथा अंत में घटाव की क्रिया करते हैं उपर्युक्त क्रियाओं में से एक या अधिक के अनुपस्थित रहने पर क्रम में कोई परिवर्तन नहीं होता हैं।

B → कोष्ठक ( Bracket ) रेखा कोष्ठक, छोटा कोष्ठक, मझला कोष्ठक, बड़ा कोष्ठक

O → का ( Of )

D → भाग ( Division )

M → गुणा ( Multiplication )

A → योग ( Addition )

S → अन्तर ( Subtraction )

उपरोक्त क्रम के अलावा व्यंजकों के सरलीकरण में विभिन्न बीजगणितीय सूत्रों का भी प्रयोग किया जाता है।

सरलीकरण की महत्वपूर्ण सर्वसमिकाएं :

उभयनिष्ट गुणक : 

c(a+b) = ca + cb

द्विपद का वर्ग :

* (a+b)² = a² + 2ab + b²

* (a-b)² = a² – 2ab + b²

दो पदों के योग एवं अन्तर का गुणनफल : 

a² – b² = (a+b) (a–b)

अन्यान्य सर्वसमिकाएँ (घनों का योग व अंतर) :

* a³ + b³ = (a+b) (a² – ab + b²)

* a³ – b³ = (a–b) (a² + ab + b²)

द्विपद का घन :

* (a + b)³ = a³ + 3ab(a + b) + b³

* (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

* (a – b)³ = a³ – 3ab(a – b)– b³

* (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

बहुपद का वर्ग :

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca

दो द्विपदों का गुणन जिनमें एक समान पद हो : 

(x + a )(x + b ) = x² + (a + b )x + ab

गौस (Gauss) की सर्वसमिका : 

a³ + b³ + c³ – 3abc = (a+b+c) (a² + b² + c² – ab -bc – ca)

लिजेन्द्र (Legendre) सर्वसमिका

* (a+b)² + (a-b)² = 2(a² + b²)

* (a+b)² – (a-b)² = 4ab)

* (a+b)⁴ – (a-b)⁴ = 8ab(a² + b²)

लाग्रेंज (Lagrange) की सर्वसमिका

* (a² + b²)(x² + y²) = (ax+by)² + (ay–bx)²

* (a² + b² + c²) (x² + y² + z²) = (ax + by + cz)² + (ay – bx)² + (az – cx)² + (bz – cy )²