बहुत अच्छा! अब हम वैदिक गणित के नवम सूत्र की ओर बढ़ते हैं, जिसे हम विस्तारपूर्वक और सहज भाषा में समझेंगे, साथ ही इसके व्यावहारिक उपयोगों को भी जानेंगे।
🟨 वैदिक गणित का नवम सूत्र:
परावर्त्य योनि परावर्ते
🔷 1. सूत्र का अर्थ:
| संस्कृत | हिंदी अर्थ |
|---|---|
| परावर्त्य | उल्टा करने योग्य, उलटा करें |
| योनि | स्थान, स्थिति, रूप |
| परावर्ते | उलटने में, प्रतिवर्ती |
🔸 भावार्थ:
इसका सामान्य अर्थ है:
"परावर्त्य संख्या को उलट कर प्रयोग करो।"
यानी, जब कोई संख्या डिवाइडर (divisor) के रूप में हो और वह दस या उसके किसी रूप में न हो, तब उसे परावर्त्य (reciprocal या complement) बनाकर उपयोग करें।
यह सूत्र मुख्यतः विभाजन (division) के क्षेत्र में प्रयोग किया जाता है, विशेषकर जब भाजक (divisor) 9, 99, 999 आदि जैसे पूर्ण संख्याएँ न होकर अन्य सामान्य संख्याएँ हों।
🔷 2. परावर्त्य का तात्पर्य क्या है?
"परावर्त्य" का अर्थ है किसी संख्या का पूरक (complement) या प्रतिलोम (reciprocal) लेना।
उदाहरण:
| संख्या | 10 से पूरक (complement) |
|---|---|
| 2 | 8 (10 - 2) |
| 7 | 3 |
| 6 | 4 |
इस सूत्र में, जब हम किसी कठिन संख्या से भाग देते हैं, तब उस संख्या को "परावर्त्य" रूप में बदलकर एक विशेष तकनीक से भाग करने योग्य बनाते हैं।
🔷 3. इस सूत्र की आवश्यकता क्यों पड़ी?
मान लीजिए, हमें 1 को 7 से भाग देना है:
\frac{1}{7} = ?
यह दशमलव में एक लंबी आवर्ती संख्या देता है:
0.142857142857...
पारंपरिक विधि से इसे पूरी तरह प्राप्त करने में समय लगता है। लेकिन वैदिक गणित का यह सूत्र हमें एक तकनीक देता है जिससे हम बहुत तेजी से इसका उत्तर निकाल सकते हैं।
🔷 4. इस सूत्र के प्रयोग की विधि (सिद्धांत)
जब हमें कोई संख्या ऐसी संख्या से भाग देनी हो, जो 9, 99, 999 आदि की तरह न हो, तब हम उस संख्या को एक विशेष तरीके से परावर्त्य रूप में लाते हैं और उसका प्रयोग करके उत्तर निकालते हैं।
🔷 5. उदाहरणों के माध्यम से समझें
🟩 उदाहरण 1:
\frac{1}{7} = ?
Step 1: 7 का पूरक निकालो (10 का पूरक नहीं, यहाँ हम विशेष "परावर्त्य रूप" का उपयोग करेंगे)
वैदिक गणित कहता है कि हमें एक "दिव्यांक" निकालना होता है, जो उस संख्या को दस के किसी निकटतम रूप से घटाने पर प्राप्त होता है।
वैदिक तकनीक से 7 का परावर्त्य रूप:
➤ 7 → 1 | 4 2 8 5 7 (बार-बार दोहराव)इसलिए:
\frac{1}{7} = 0.\overline{142857}
]
यहाँ परावर्त्य क्रम हमें एक repeating decimal देता है जिसे हम पहचान सकते हैं और उसका प्रयोग करके किसी भी संख्या को 7 से भाग दे सकते हैं।
🟩 उदाहरण 2:
\frac{1}{13} = ?
परंपरागत रूप में यह है:
\frac{1}{13} = 0.\overline{076923}
परावर्त्य सूत्र हमें यह क्रम देता है:
13 → 1 | 07 69 23
तो:
\frac{1}{13} = 0.076923076923...
]
इसकी सहायता से आप 2/13, 3/13, आदि भी तत्काल निकाल सकते हैं।
🔷 6. व्यावहारिक उपयोग — जैसे: 1/19
\frac{1}{19} = ?
उत्तर:
0.052631578947368421 (18-digit cycle)
➡ वैदिक परावर्त्य क्रम की सहायता से इसे एक चक्रीय पद्धति में पहचाना और दोहराया जा सकता है।
🔷 7. अन्य अनुप्रयोग: दो अंकों की संख्या से भाग
जैसे:
\frac{1}{23}, \frac{1}{17}, \frac{1}{29}
इनका दशमलव रूप भी आवर्ती होता है, और वैदिक सूत्र "परावर्त्य योनि परावर्ते" का प्रयोग करके इनका उत्तर जल्दी ज्ञात किया जा सकता है।
🔷 8. इस सूत्र का लाभ
| लाभ | विवरण |
|---|---|
| गति | लंबी दशमलव श्रृंखलाओं को तेज़ी से निकाल सकते हैं |
| पहचान | प्रत्येक भाजक का एक चक्रीय क्रम होता है जिसे पहचाना जा सकता है |
| कम याददाश्त | रटे-रटाए टेबल की बजाय परावर्त्य क्रम से उत्तर |
| आवर्ती दशमलव | Repeating decimals आसानी से पहचाने जाते हैं |
🔷 9. प्रतियोगी परीक्षा में उपयोग
| परीक्षा | प्रश्न प्रकार |
|---|---|
| SSC | सरल भागफल निकालना |
| UPSC | विकल्पों की तुलना |
| Banking | क्विक गणना (Fast calculation) |
| CAT | डेटा व्याख्या में तेज उत्तर |
🔷 10. अभ्यास के लिए प्रश्न
\frac{1}{17} = ?
\frac{2}{13} = ?
\frac{4}{7} = ?
\frac{1}{29} = ?
🔷 11. निष्कर्ष:
"परावर्त्य योनि परावर्ते" सूत्र हमें यह सिखाता है कि जब पारंपरिक तरीके धीमे या कठिन हो, तब वैदिक गणित की तकनीकें हमें शुद्ध, तेज़ और मानसिक रूप से हल निकालने में सक्षम बनाती हैं।
यह सूत्र विभाजन को सरल बनाता है, विशेषकर जब भाजक कोई जटिल संख्या हो और भाग देना समय लेने वाला हो।
यदि आप चाहें, तो अब हम दसवें सूत्र "शेषन्येङ्केन चरणम्" पर भी विस्तार से चर्चा शुरू कर सकते हैं।
क्या आगे बढ़ें?
बहुत उत्तम! आइए अब वैदिक गणित के नवम सूत्र "परावर्त्य योनि परावर्ते" को और अधिक विस्तार से, उदाहरणों और सिद्धांत सहित लगभग 5000 शब्दों के रूप में गहराई से समझते हैं।
🔶 वैदिक गणित का नवम सूत्र: परावर्त्य योनि परावर्ते
📘 1. सूत्र का गूढ़ अर्थ और भाष्य:
संस्कृत मूल:
"परावर्त्य योनि परावर्ते"
- परावर्त्य – जिसका परावर्तन किया जा सके; अर्थात "Reciprocal" या "complement" लेने योग्य।
- योनि – उत्पत्ति स्थान, या विधि, प्रक्रिया।
- परावर्ते – परावर्तित रूप में उपयोग करना।
भावार्थ:
"उसे परावर्तित रूप में प्रयुक्त करो जो परावर्त्य हो।"
यह सूत्र विशेषतः उन गणनाओं में उपयोगी होता है, जहाँ हमें किसी ऐसी संख्या से भाग देना होता है जो सरल भाजक न हो (जैसे 7, 13, 17, 19 आदि)। इन मामलों में इस सूत्र द्वारा हमें रैखिक रूप से भाग करने की तकनीक प्राप्त होती है।
📗 2. सूत्र की मूल प्रकृति – क्यों यह विशेष है?
पारंपरिक कठिनाई:
जब हम किसी संख्या को 7, 13 या 17 जैसी संख्याओं से भाग देते हैं, तो परिणाम एक लंबी आवर्ती दशमलव संख्या के रूप में आता है। उदाहरण:
\frac{1}{7} = 0.142857142857...\ (\text{repeats})
इस दशमलव को पारंपरिक विधि से प्राप्त करना कठिन और समय लेने वाला होता है।
वैदिक समाधान:
"परावर्त्य योनि परावर्ते" सूत्र हमें बताता है कि ऐसे जटिल भाजकों को "परावर्त्य" बनाकर मानसिक गणना द्वारा उत्तर प्राप्त किया जा सकता है।
📙 3. सूत्र का गणितीय सिद्धांत:
परावर्त्य (Reciprocal) का विचार:
यदि कोई संख्या A है, तो उसका परावर्त्य होता है:
\frac{1}{A}
लेकिन वैदिक गणित इसमें केवल गणितीय reciprocal नहीं बल्कि रचनात्मक पूरक (Constructive Complement) का भी प्रयोग करता है।
उदाहरण:
| संख्या | पूरक (Complement to 10) | पूरक (Complement to 100) |
|---|---|---|
| 2 | 8 | 98 |
| 13 | 87 | 87 |
| 17 | 83 | 83 |
हम इन पूरकों का प्रयोग करते हैं मन से भाग निकालने में, जिससे दशमलव के स्थान पर हमें चक्रीय रूप (Cyclic Form) में उत्तर प्राप्त होता है।
📕 4. चरणबद्ध विधि (Step-by-step Method)
यह विधि विशेष रूप से 1 से विभाजित भाजकों के लिए कार्य करती है।
उदाहरण:
\frac{1}{7} = ?
चरण 1: पहचानें कि यह एक जटिल भाजक है
- 7, 13, 17, 19 आदि संख्याओं को हम “Non-standard divisors” कहते हैं।
चरण 2: परावर्त्य क्रम की खोज करें
- इन संख्याओं के दशमलव परिणामों में एक विशेष चक्रीय अनुक्रम होता है।
उदाहरण:
\frac{1}{7} = 0.\overline{142857} \quad (\text{6 digits cycle})
चरण 3: यह अनुक्रम "परावर्त्य क्रम" कहलाता है
- इससे हम भाग देने के लिए एक विशेष गुणन क्रम बना सकते हैं।
📘 5. विशेष तकनीक: मन से भाग देने की विधि
अब हम समझेंगे कि कैसे इस सूत्र की सहायता से 2 अंकों या उससे अधिक अंकों की संख्याओं को भाग दिया जाता है।
उदाहरण:
\frac{123456}{7}
पारंपरिक रूप से बहुत कठिन, लेकिन वैदिक तकनीक से इसे निम्न प्रकार से सुलझाया जा सकता है:
चरण 1: परावर्त्य क्रम –
1 ÷ 7 = 0.142857
→ परावर्त्य अनुक्रम = 142857
इस क्रम को गुणन क्रम (Multiplication Cycle) की तरह उपयोग करें।
चरण 2: विभाजन
- संख्याओं को दाएँ से बाँए लेते हुए, परावर्त्य क्रम के अनुसार गुणा करते जाइए और उत्तर बनाते जाइए।
(इस प्रक्रिया को हम अभ्यास प्रश्नों में नीचे विस्तार से करेंगे।)
📗 6. परावर्त्य दशमलव क्रम की तालिका
| भाजक | दशमलव रूप | चक्रीय क्रम |
|---|---|---|
| 7 | 0.142857 | 142857 |
| 13 | 0.076923 | 076923 |
| 17 | 0.058823 | 0588235294117647 |
| 19 | 0.052631 | 052631578947368421 |
| 23 | 0.043478 | 0434782608695652173913 |
इन सभी में चक्रीय अनुक्रम दोहराते हैं और उन्हें “परावर्त्य क्रम” कहा जाता है।
📙 7. अधिक गहरे उदाहरण
उदाहरण 1:
\frac{1}{13} = ?
चरण 1: 13 → 0.076923
चरण 2: यह 6 अंकों का चक्रीय क्रम है:
076923
तो,
\frac{1}{13} = 0.\overline{076923}
उदाहरण 2:
\frac{2}{13} = 2 × \frac{1}{13} = 2 × 0.076923
उत्तर:
= 0.153846
]
इसी प्रकार:
\frac{3}{13} = 0.230769
यानी यदि आपने 1 ÷ 13 का परावर्त्य क्रम याद कर लिया, तो आप 2 से 12 तक किसी भी संख्या को 13 से भाग दे सकते हैं मन से।
📕 8. वैदिक प्रणाली की तुलना पारंपरिक से
| बिंदु | पारंपरिक विधि | वैदिक विधि |
|---|---|---|
| गति | धीमी | तेज |
| याददाश्त | टेबल पर निर्भर | चक्रीय क्रम याद करना |
| गणना | लम्बी दशमलव विधि | क्रमिक गुणन |
| मानसिक क्षमता | अधिक लगती है | सरल क्रम के आधार पर |
📘 9. उपयुक्त स्थान जहाँ यह सूत्र उपयोगी है
| क्षेत्र | उदाहरण |
|---|---|
| प्रतियोगी परीक्षा | SSC, UPSC, Bank, Railway में तीव्र गणना |
| गणित शिक्षक | छात्रों को भाग की मानसिक विधि सिखाने में |
| अंकगणितीय शोध | दशमलव चक्रीयता और संख्याओं की संरचना |
| प्रोग्रामिंग में | कंप्यूटरों में चक्रीय दशमलव पैटर्न पहचान |
📗 10. अभ्यास प्रश्न
आप चाहें तो इन प्रश्नों को हल करने का प्रयास करें और मैं उत्तर की पुष्टि कर सकता हूँ:
\frac{3}{7} = ?
\frac{5}{13} = ?
\frac{4}{19} = ?
\frac{9}{17} = ?
\frac{11}{23} = ?
📙 11. सारांश:
“परावर्त्य योनि परावर्ते” वैदिक गणित का एक अत्यंत शक्तिशाली सूत्र है जो किसी भी कठिन भाजक को परावर्त्य दशमलव चक्रीय क्रम में बदलकर उस पर तेज़ मानसिक गणना की सुविधा देता है।
यह सूत्र:
- दशमलव के जटिल भागों को पहचानता है,
- उसे क्रम में बदलता है,
- और उसी के आधार पर हमें विभाजन करता है।
📘 अगला चरण:
यदि आप चाहें, तो मैं अब अगला सूत्र:
🔟 शेषन्येङ्केन चरणम् (दशवां सूत्र)
का भी विस्तार से विश्लेषण कर सकता हूँ।
क्या मैं आगे बढ़ाऊँ?
बहुत अच्छा! अब हम वैदिक गणित के नवम सूत्र “परावर्त्य योनि परावर्ते” को और भी गहरे, चरणबद्ध और विश्लेषणात्मक ढंग से समझेंगे। इसमें हम इस सूत्र का इतिहास, गूढ़ दर्शन, चक्रीय दशमलवों का सिद्धांत, विविध उदाहरण, अनुप्रयोग, और अभ्यासों सहित विस्तार करेंगे – जिससे आप इस सूत्र की पूर्णता से mastery प्राप्त कर सकें।
🟩 वैदिक गणित का नवम सूत्र: परावर्त्य योनि परावर्ते
("Use the Reciprocal in the Appropriate Form")
🔷 1. सूत्र का दार्शनिक और वैदिक अर्थ
संस्कृत विश्लेषण:
- परावर्त्य = जिसका परावर्तन किया जा सकता है, अर्थात जिसे उल्टा या रेसिप्रोकल बनाया जा सकता है।
- योनि = उत्पत्ति स्थान या विधि।
- परावर्ते = उसे परावर्तित रूप में उपयोग करो।
सरल व्याख्या:
"उस वस्तु को उल्टा (Reciprocal) करके उस स्वरूप में प्रयोग करो जिससे कार्य हो सके।"
यह सूत्र हमें रेसिप्रोकल विधि से भाग देने के लिए प्रेरित करता है। विशेष रूप से उन संख्याओं में जिनसे सीधे भाग देना कठिन होता है, इस सूत्र के माध्यम से हम चक्रीय दशमलव का उपयोग कर उत्तर निकाल सकते हैं।
🔷 2. सूत्र की उपयोगिता
- जब कोई संख्या 7, 13, 17, 19, 23 आदि से विभाज्य होनी हो, तब पारंपरिक विधि बहुत जटिल और लंबी होती है।
- इस सूत्र द्वारा हम इन संख्याओं के चक्रीय दशमलव (Cyclic Decimals) याद कर लेते हैं और उनका रैखिक उपयोग करते हैं।
- इससे हमें मन से ही तेज़ी से भाग देने की शक्ति प्राप्त होती है।
🔷 3. चक्रीय दशमलव (Cyclic Decimals) क्या हैं?
कुछ अंश ऐसे होते हैं जिनका दशमलव रूप बार-बार एक ही क्रम में दोहराता है। जैसे:
\frac{1}{7} = 0.\overline{142857}
यहां 142857 बार-बार दोहर रहा है — इस क्रम को परावर्त्य दशमलव क्रम कहते हैं।
इस क्रम की एक चक्रीय विशेषता होती है:
1 \div 7 = 0.142857
2 \div 7 = 0.285714
3 \div 7 = 0.428571
4 \div 7 = 0.571428
5 \div 7 = 0.714285
6 \div 7 = 0.857142
हर उत्तर में 142857 का ही चक्र चलता है, पर आरंभिक अंक बदल जाते हैं।
🔷 4. सूत्र की विधि – चरणबद्ध तरीका
चरण 1: पहचानें कि भाजक कठिन है
जैसे, 7, 13, 17, 19, 23 आदि।
चरण 2: उसका चक्रीय दशमलव प्राप्त करें
उदाहरण:
\frac{1}{7} = 0.\overline{142857}
चरण 3: इस चक्रीय क्रम को याद रखें
| भाजक | चक्रीय क्रम |
|---|---|
| 7 | 142857 |
| 13 | 076923 |
| 17 | 0588235294117647 |
| 19 | 052631578947368421 |
| 23 | 0434782608695652173913 |
चरण 4: गुणा करके उत्तर निकालें
अब यदि आप से कहा जाए:
123456 को 7 से भाग दो
तो परंपरागत भाग विधि के स्थान पर आप 142857 के अनुसार उत्तर बना सकते हैं।
🔷 5. एक विशेष तकनीक – मन से उत्तर निकालना
मान लीजिए:
\frac{1}{7} = 0.142857
\Rightarrow \frac{2}{7} = 2 \times 0.142857 = 0.285714
इसी प्रकार:
\frac{3}{7} = 0.428571
\frac{4}{7} = 0.571428
\frac{5}{7} = 0.714285
\frac{6}{7} = 0.857142
अब केवल 1 ÷ 7 याद रखो, बाकी उत्तर आसानी से मिल जाते हैं।
🔷 6. गहरे अभ्यास के उदाहरण
उदाहरण 1:
\frac{4}{13} = ?
1 ÷ 13 = 0.076923
→ 076923 × 4 =
→ 4 × 3 = 12, carry 1
→ 4 × 2 = 8 + 1 = 9
→ 4 × 9 = 36, carry 3
→ 4 × 6 = 24 + 3 = 27
→ 4 × 7 = 28 + 2 = 30
→ 4 × 0 = 0 + 3 = 3
क्रम: 307692 →
\frac{4}{13} = 0.307692
उदाहरण 2:
\frac{7}{19} = ?
1 ÷ 19 = 0.052631578947368421
→ Multiply by 7
→ क्रम:
7 × 1 = 7
7 × 2 = 14
7 × 3 = 21
7 × 4 = 28
7 × 5 = 35
…
क्रमशः → 0.368421052631578947
उत्तर:
\frac{7}{19} = 0.368421052631578947
🔷 7. सूत्र का वैज्ञानिक गणितीय आधार
यदि कोई संख्या p एक prime है, तो की दशमलव अभिव्यक्ति या तो समाप्त होती है, या चक्रीय होती है।
वैदिक गणित इस विशेष चक्रीयता को पहचानता है और उसे गुणन अनुक्रम के रूप में उपयोग करता है।
🔷 8. यह सूत्र किन कार्यों में सहायक है?
| क्षेत्र | उपयोग |
|---|---|
| मानसिक गणना | प्रतिस्पर्धी परीक्षाओं में उत्तर देने की गति बढ़ाना |
| विद्यालय गणित | दशमलव और भिन्न के संबंध को सरल बनाना |
| प्रोग्रामिंग | रैखिक दशमलव निर्माण, फ्रैक्शनल मोड |
| शुद्ध गणित | संख्या सिद्धांत में चक्रीयता का अध्ययन |
🔷 9. अभ्यास प्रश्न
स्वयं हल करें और चाहें तो मैं जांच दूँ:
\frac{6}{7} = ?
\frac{9}{13} = ?
\frac{11}{19} = ?
\frac{5}{23} = ?
\frac{8}{17} = ?
🔷 10. निष्कर्ष
"परावर्त्य योनि परावर्ते" सूत्र हमें यह सिखाता है कि जटिल लगने वाले विभाजनों को भी एक चक्रीय नियम द्वारा साधा जा सकता है। यह सूत्र केवल गणना की गति नहीं बढ़ाता, बल्कि बुद्धि को चतुर और स्मृति को तेज़ बनाता है।
यह एक शुद्ध वैदिक शैली है जहाँ हम मूल संरचना (Reciprocal) को पहचान कर उसका सृजनात्मक उपयोग करते हैं।
यदि आप चाहें...
मैं अब अगले सूत्र:
🔟 "शेषन्येङ्केन चरणम्"
पर आगे बढ़ सकता हूँ।
क्या आप इसके लिए तैयार हैं?
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