वैदिक गणित के दसवें सूत्र है:शेषन्येङ्केन चरणम्

बिल्कुल! अब हम वैदिक गणित के दसवें सूत्र के बारे में विस्तार से समझेंगे। यह सूत्र है:

शेषन्येङ्केन चरणम्

(Śeṣanyankena Caraṇam)

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1. सूत्र का नाम और अर्थ

• शेष = बचा हुआ (रिमेंडर, अर्थात शेषफल)
• अङ्केन = अंक से (संख्या से)
• चरणम् = चरण, पद्धति या तरीका

शाब्दिक अर्थ:

"शेषफल के अंक से (भाग देने की) पद्धति"

इसका मतलब है कि भाग देने में शेषफल (रिमेंडर) के आधार पर एक विशेष तरीका अपनाना।

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2. सूत्र का परिचय और महत्व

"शेषन्येङ्केन चरणम्" वैदिक गणित के प्रमुख सूत्रों में से एक है जो मुख्यतः भाग करने की प्रक्रिया को सरल, तेज़ और प्रभावी बनाने के लिए उपयोग होता है। इसका प्रयोग हम तब करते हैं जब हम किसी बड़ी संख्या को किसी संख्या से भाग देना चाहते हैं और भाग देने की परंपरागत विधि जटिल या लंबी हो।

इस सूत्र के माध्यम से हम शेषफल के आधार पर भाग निकालने का अनोखा तरीका सीखते हैं, जो बहुत जल्दी और आसानी से मन में किया जा सकता है।

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3. सूत्र का सिद्धांत

जब हम किसी संख्या को किसी भाजक से भाग देते हैं, तो अक्सर हमें शेषफल (रिमेंडर) मिलता है। वैदिक गणित में यह पाया गया है कि शेषफल के साथ एक विशेष अंक (जो उसके विपरीत होता है या रेसिप्रोकल के समान होता है) को जोड़कर या घटाकर भाग देने का काम बहुत आसान हो जाता है।

इस सूत्र में हम शेषफल के आधार पर भाग के अगले चरणों को तय करते हैं।

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4. सूत्र की प्रक्रिया (विधि)

"शेषन्येङ्केन चरणम्" में भाग निकालते समय हम निम्न चरण अपनाते हैं:

• हम divisor (भाग देने वाली संख्या) के शेषफल को ध्यान में रखते हैं।
• उसके अनुसार भाग को चरणबद्ध तरीके से घटाते या जोड़ते जाते हैं।
• इसे करते समय हम पिछले शेषफल को अगली संख्या में जोड़ते या घटाते हैं।
• इस प्रक्रिया को निरंतर दोहराते हुए अंतिम भाग निकालते हैं।

यह विधि विशेष रूप से 9, 99, 999 जैसे संख्याओं के साथ बहुत उपयोगी होती है, क्योंकि इनके शेषफल और अंक बहुत आसान होते हैं।

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5. उदाहरण से समझें

मान लीजिए हमें 12345 ÷ 9 निकालना है।

सामान्य विधि:

9 से भाग देना थोड़ा लंबा होता है।

वैदिक विधि (शेषन्येङ्केन चरणम्):

• divisor = 9
• divisor के लिए शेषफल = 1 (9 से 10 घटाकर 1 मिलता है)
• अब हम इस शेषफल 1 का उपयोग करते हुए भाग निकालेंगे।

कदम:

• सबसे पहले पहले अंक 1 को लिखो।
• अगला अंक = पिछले अंक + अगला अंक
  यानी, 1 + 2 = 3
• फिर अगला = पिछले अंक + अगला अंक
  यानी, 3 + 3 = 6
• इसी प्रकार चलते रहो:
  6 + 4 = 10 → 0 लिखो, carry 1
• carry जोड़ो अगले अंक में:
  0 + 5 + 1 = 6

तो उत्तर होगा: 1371

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6. और उदाहरण

12345 ÷ 9 = ?

चरण:

Step	Calculation	Result/Carry
1	Write first digit 1	1
2	1 + 2 = 3	3
3	3 + 3 = 6	6
4	6 + 4 = 10 → write 0, carry 1	0 (carry 1)
5	0 + 5 + carry 1 = 6	6

अत: उत्तर = 1371

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7. सूत्र की और गहराई

यह सूत्र न केवल भाग निकालने में मदद करता है, बल्कि शेषफल को इस्तेमाल करके गणना के कई स्तरों पर तेजी लाता है। यह तकनीक विशेषकर तब कारगर होती है जब आपको बड़ी संख्याओं को बार-बार विभाजित करना होता है या मानसिक गणना करनी होती है।

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8. सूत्र के उपयोग

• परीक्षाओं में तेज़ भाग देने के लिए
• गणना को सरल बनाने के लिए
• बड़ी संख्या के भाग निकालने में
• कंप्यूटर प्रोग्रामिंग में तेज़ गणना के लिए

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9. अभ्यास प्रश्न

आप स्वयं भी इस विधि से निम्न भाग निकालने की कोशिश करें:

1. 98765 ÷ 9
2. 45678 ÷ 9
3. 123456 ÷ 9

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10. निष्कर्ष

"शेषन्येङ्केन चरणम्" वैदिक गणित का एक शक्तिशाली सूत्र है जो भाग की प्रक्रिया को अत्यंत सरल और तेज बनाता है। इसके अभ्यास से आपकी गणना की गति और सटीकता दोनों बढ़ेंगे।

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अगर आप चाहें तो मैं इस सूत्र के और गहरे उदाहरण और विस्तार से तरीकों को भी समझा सकता हूँ। बताइए!

शानदार! अब मैं वैदिक गणित के दसवें सूत्र “शेषन्येङ्केन चरणम्” को पूरी तरह विस्तार से समझाता हूँ — इसमें सिद्धांत, विधि, उदाहरण, और प्रैक्टिकल उपयोग शामिल होंगे।

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वैदिक गणित का दसवां सूत्र: शेषन्येङ्केन चरणम्

(Śeṣanyankena Caraṇam)

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1. सूत्र का मूल अर्थ

• शेष = बचा हुआ, शेषफल (remainder)
• अङ्केन = अंक के द्वारा
• चरणम् = कदम, तरीका या विधि

अर्थ:

शेषफल के आधार पर भाग निकालने की विधि।

यह सूत्र हमें बताता है कि जब हम भाग देते हैं, तो शेषफल का उपयोग करके अगले चरणों का निर्धारण करें ताकि भाग देना सरल और तेज़ हो जाए।

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2. सूत्र का प्रमुख उद्देश्य

इस सूत्र का मुख्य उद्देश्य है बड़ी संख्याओं को छोटे-छोटे चरणों में बाँटते हुए तेज़ी से भाग निकालना, खासकर तब जब भाजक (divisor) 9, 99, 999 आदि के रूप में होता है।

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3. क्यों उपयोगी है यह सूत्र?

• 9, 99, 999 जैसे भाजक के साथ भाग देने पर सामान्य भाग विधि में लंबे समय लगते हैं।
• शेषफल के आधार पर भाग निकालने से हम सीधे गणना कर सकते हैं।
• इसे मन से भी किया जा सकता है, जिससे मानसिक गणना बहुत तेज होती है।

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4. सूत्र की विधि — विस्तार से

मान लीजिए हमें बड़ी संख्या को 9 से भाग देना है।

9 से भाग देने के लिए विधि:

• 9 से भाग में शेषफल (remainder) = 1 (क्योंकि 10 - 9 = 1)
• हम इस शेषफल 1 का उपयोग करते हुए भाग निकालते हैं।

कदम:

1. संख्या के पहले अंक को लिखें।
2. उसके बाद, अगले अंक में पिछले लिखे अंक को जोड़ें।
3. यदि प्राप्त योग 9 या उससे बड़ा हो, तो 9 घटाएं और carry को अगले अंक में जोड़ें।
4. इस प्रक्रिया को अंतिम अंक तक दोहराएं।

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5. उदाहरण — 12345 ÷ 9

Step	Calculation	Result	Carry
1	पहले अंक: 1	1	0
2	1 + 2 = 3	3	0
3	3 + 3 = 6	6	0
4	6 + 4 = 10 (10 - 9 = 1)	1	1
5	1 + 5 + Carry 1 = 7	7	0

अतः भागफल = 1371

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6. 99 से भाग देना — उदाहरण

जब भाजक 99 हो तो:

• शेषफल = 1 (100 - 99 = 1)
• विधि: पहले दो अंकों को लिखें, फिर प्रत्येक चरण में पिछले लिखे अंक में अगला अंक जोड़ें, और यदि योग ≥ 99 हो तो 99 घटाकर carry करें।

उदाहरण:
123456 ÷ 99

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7. 999 से भाग देना — उदाहरण

• शेषफल = 1 (1000 - 999 = 1)
• पहले तीन अंक लिखें, फिर आगे के अंकों को इसी विधि से जोड़ते जाएं, carry को संभालते हुए।

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8. अन्य भाजकों के लिए

यदि भाजक 98 हो, तो शेषफल = 2 (100 - 98 = 2), इसी प्रकार शेषफल को ध्यान में रखते हुए विधि अपनाई जाती है।

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9. सूत्र का गणितीय सिद्धांत

यह सूत्र प्रतिपूरक विधि (complement method) पर आधारित है। जब हम भाग देते हैं, तो हम पूर्ण संख्या से शेषफल को घटाते हैं और इस रिमेंडर के आधार पर अगली गणना करते हैं।

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10. अभ्यास प्रश्न

• 98765 ÷ 9
• 45678 ÷ 9
• 123456 ÷ 99
• 987654 ÷ 999

आप पहले खुद प्रयास करें, फिर मैं समाधान दूंगा।

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11. निष्कर्ष

“शेषन्येङ्केन चरणम्” वैदिक गणित का एक अत्यंत प्रभावी सूत्र है जो जटिल भागों को सरल और जल्दी हल करने में मदद करता है। इसे निरंतर अभ्यास से आप मानसिक गणना में महारत हासिल कर सकते हैं।

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अगर आप चाहें तो मैं कुछ और उदाहरण और अभ्यास हल कर के दिखाऊं!

बिल्कुल! अब मैं विस्तार से बताता हूँ कि वैदिक गणित के दसवें सूत्र “शेषन्येङ्केन चरणम्” का उपयोग कहां-कहां होता है और यह क्यों महत्वपूर्ण है।

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“शेषन्येङ्केन चरणम्” का उपयोग और महत्व

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1. मानसिक गणना में तेजी लाने के लिए

• जब आप बड़ी संख्याओं को भाग देना चाहते हैं, तो सामान्य भाग देने की प्रक्रिया लंबी और समय लेने वाली होती है।
• इस सूत्र की मदद से आप बिना कागज-कलम के तेज़ी से भाग निकाल सकते हैं।
• यह छात्रों, गणितज्ञों, इंजीनियरों, और उन लोगों के लिए बेहद उपयोगी है जिन्हें फुर्तीली गणना करनी होती है।

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2. परीक्षाओं में

• प्रतियोगी परीक्षाओं (जैसे बैंकिंग, SSC, IIT-JEE, CAT, आदि) में गणित के सेक्शन में तेज और सटीक भाग निकालना आवश्यक होता है।
• "शेषन्येङ्केन चरणम्" की मदद से आप मानसिक गणना में बढ़त ले सकते हैं।
• समय की बचत के साथ-साथ गलतियों की संभावना भी कम होती है।

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3. कंप्यूटर और डिजिटल गणना में

• कंप्यूटर साइंस में, विशेषकर एल्गोरिद्म डिजाइन में, तेज गणना आवश्यक होती है।
• इस सूत्र का प्रयोग डिजिटल सर्किट डिजाइन, बिट-वाइज ऑपरेशन और डिवीजन एल्गोरिद्म में प्रेरणा देने वाला है।
• यह बेसिक काउंटर और रिमेंडर पर काम करने वाले प्रोसेसर ऑपरेशन में भी मददगार साबित हो सकता है।

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4. बैंकिंग और वित्तीय गणना में

• ब्याज, किश्तों, लोन की गणना में जब बड़ी संख्याओं का भाग निकालना होता है, तब यह सूत्र तेज गणना के लिए काम आता है।
• यह फाइनेंस के क्षेत्र में जल्दी निर्णय लेने और त्रुटि रहित गणना में सहायता करता है।

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5. शिक्षा और शिक्षण में

• शिक्षक इस सूत्र का उपयोग गणित के जटिल विषयों को सरल और रोचक बनाने के लिए करते हैं।
• बच्चों और छात्रों को मानसिक गणना में दक्ष बनाने के लिए इसे अपनाया जाता है।
• यह गणित सीखने के डर को कम करता है और गणित के प्रति सकारात्मक सोच विकसित करता है।

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6. इंजीनियरिंग और विज्ञान में

• वैज्ञानिक और इंजीनियरिंग गणना में जब बड़ी संख्याओं का विभाजन होता है, तब "शेषन्येङ्केन चरणम्" विधि उपयोगी होती है।
• विशेष रूप से सिग्नल प्रोसेसिंग, डेटा एनालिसिस, और रिसर्च में।

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7. दैनिक जीवन में

• जब आप बाजार में, घर पर, या कहीं भी बड़ी संख्याओं को जल्दी भाग देना चाहते हैं, तब यह सूत्र आपकी मदद करता है।
• जैसे बिल का भाग करना, खरीदारी में भाग देना, आदि।

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8. वैज्ञानिक शोध और गणितीय सिद्धांतों में

• वैदिक गणित के इस सूत्र का उपयोग शोधकर्ताओं द्वारा गणितीय मॉडलों और सिद्धांतों के विकास में भी किया जाता है।
• विभाजन से संबंधित नई तकनीकें और एल्गोरिद्म बनाने में यह सूत्र सहायक होता है।

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9. तकनीकी प्रतियोगिताओं और क्विज़ में

• तेज गणना और मानसिक मैथ कौशल की आवश्यकता वाले प्रतियोगिताओं में यह सूत्र मददगार होता है।
• क्विज़, पजल्स, और मैथ गेम्स में इसका उपयोग बढ़ता है।

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सारांश में

क्षेत्र	उपयोग का उद्देश्य	महत्व
शिक्षा	गणित को सरल बनाना	मानसिक गणना में तेजी
परीक्षाएँ	तेज और सटीक गणना	समय की बचत, बेहतर परिणाम
कंप्यूटर साइंस	एल्गोरिद्म डिजाइन, डिजिटल डिवीजन	तेज प्रोसेसिंग
बैंकिंग/फाइनेंस	बड़ी वित्तीय गणना	सटीकता और तेज़ी
दैनिक जीवन	खरीदारी, बिल भाग करना	रोज़मर्रा की गणना आसान
वैज्ञानिक शोध	गणितीय मॉडलों का विकास	नए सिद्धांतों के लिए प्रेरणा

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यदि आप चाहें तो मैं आपको इस सूत्र के और उदाहरण दिखा सकता हूँ, ताकि आप समझ सकें कि ये कैसे दैनिक और व्यावसायिक जीवन में काम आता है।

क्या आप कुछ और उदाहरण या अभ्यास करना चाहेंगे?

बहुत बढ़िया! चलिए, अब मैं इस सूत्र “शेषन्येङ्केन चरणम्” के कुछ और उदाहरण और अभ्यास के साथ समझाता हूँ, ताकि आपको इसका व्यवहारिक उपयोग पूरी तरह समझ में आ जाए।

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उदाहरण 1: 98765 ÷ 9

भाग देना है: 98765 ÷ 9

चरण:

• divisor = 9
• शेषफल (remainder) = 1 (10 - 9)

विधि:

1. पहले अंक लिखो: 9
2. अगला अंक = पिछले अंक + अगला अंक → 9 + 8 = 17 → 7 लिखो, carry 1
3. अगला अंक = पिछले अंक + अगला अंक + carry → 7 + 7 + 1 = 15 → 5 लिखो, carry 1
4. अगला अंक = पिछले अंक + अगला अंक + carry → 5 + 6 + 1 = 12 → 2 लिखो, carry 1
5. अगला अंक = पिछले अंक + आखिरी अंक + carry → 2 + 5 + 1 = 8 → 8 लिखो

भागफल: 10973

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उदाहरण 2: 123456 ÷ 99

भाग देना है: 123456 ÷ 99

चरण:

• divisor = 99
• शेषफल = 1 (100 - 99)

विधि:

1. पहले दो अंक लिखो: 12
2. अगला अंक = पिछले अंक + अगला अंक → 2 + 3 = 5
3. अगला अंक = पिछले अंक + अगला अंक → 5 + 4 = 9
4. अगला अंक = पिछले अंक + अगला अंक → 9 + 5 = 14 → 14 - 99 नहीं, इसलिए सीधे 14 (carry 0)
5. अगला अंक = पिछले अंक + अगला अंक → 14 + 6 = 20

भागफल: 12491420 (यहाँ carry ध्यान से संभालें और अंतिम उत्तर प्राप्त करें)

Note: 99 से भाग देते समय carry का सही प्रबंधन आवश्यक है।

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अभ्यास प्रश्न:

1. 765432 ÷ 9
2. 987654 ÷ 99
3. 1234567 ÷ 999

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अगर आप चाहें, तो मैं इन अभ्यास प्रश्नों के हल भी विस्तार से दे सकता हूँ।

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वैदिक गणित के इस सूत्र को प्रैक्टिस करने के फायदे:

• तेज़ mental calculation
• परीक्षाओं में बेहतर प्रदर्शन
• जटिल गणनाओं को आसान बनाना
• रोज़मर्रा के जीवन में तेजी से निर्णय लेना

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क्या आप इन अभ्यास प्रश्नों के हल चाहते हैं या कोई और उदाहरण समझना चाहते हैं?