वैदिक गणित का सातवाँ सूत्र:🔷 सूत्र:“संकलनाभ्यां-व्यवकलनाभ्यां”

बहुत अच्छा निर्णय! अब हम वैदिक गणित के सातवें सूत्र की ओर बढ़ते हैं। मैं इसे एकदम स्पष्ट, सरल भाषा में और विस्तार से बताऊँगा — उपयोग, विधि, उदाहरण, और अभ्यास सहित।

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🟨 वैदिक गणित का सातवाँ सूत्र:

🔷 सूत्र:

“संकalana-व्यवकलनाभ्यां”
(Sankalana–Vyavakalanābhyām)

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🔶 1. शब्दार्थ:

• संकलन (Sankalana) = जोड़ना (Addition)
• व्यवकलन (Vyavakalan) = घटाना (Subtraction)
• अभ्यां = इन दोनों से / के द्वारा

🔁 तो, इस सूत्र का अर्थ है:

“जोड़ और घटाव दोनों के माध्यम से” कोई प्रश्न हल करना।

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🔶 2. यह सूत्र कहाँ उपयोग होता है?

यह सूत्र मुख्यतः समीकरणों (Equations) को हल करने में काम आता है, विशेष रूप से:

• दो रैखिक समीकरण (linear equations)
• दो भिन्न जोड़ने या घटाने में
• अनुपात और समानुपात
• समीकरणों की जोड़–घटाव विधि में

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🔷 3. उपयोग – दो रैखिक समीकरण हल करने में

मान लीजिए हमारे पास दो समीकरण हैं:

(1) \quad x + y = 10  

(2) \quad x - y = 4
]

Step 1: दोनों समीकरणों को जोड़ें (संकलन):

(x + y) + (x - y) = 10 + 4  
\Rightarrow 2x = 14 \Rightarrow x = 7

Step 2: अब x = 7 को किसी भी समीकरण में रखें:

x + y = 10 \Rightarrow 7 + y = 10 \Rightarrow y = 3

✅ उत्तर: x = 7, y = 3

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🔷 4. एक और उदाहरण:

(1) \quad 3x + 2y = 16  

(2) \quad 3x - 2y = 4
]

Step 1: जोड़ें (संकलन):

(3x + 2y) + (3x - 2y) = 16 + 4  
\Rightarrow 6x = 20 \Rightarrow x = \frac{10}{3}

Step 2: घटाएँ (व्यवकलन):

(3x + 2y) - (3x - 2y) = 16 - 4  
\Rightarrow 4y = 12 \Rightarrow y = 3

✅ उत्तर:

x = \frac{10}{3},\quad y = 3

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🔷 5. सूत्र का दूसरा उपयोग — भिन्न जोड़ने में

जैसे:

\frac{a}{x} + \frac{b}{y}  

इसका L.C.M. निकालने के बजाय, हम संकलन-व्यवकलन सूत्र से उसे जोड़ सकते हैं:

\frac{a}{x} + \frac{b}{y} = \frac{ay + bx}{xy}

यह विधि वैदिक गणित में बहुत तेज़ी से भिन्नों को जोड़ने में मदद करती है।

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🔷 6. अनुपात में उपयोग:

अगर हमें दो राशियों का अनुपात मिल रहा हो और उसमें कुछ जोड़ या घट करना हो तो यह सूत्र वहां भी लगता है।

जैसे यदि , तो हम इस सूत्र के ज़रिए आसानी से हल निकाल सकते हैं।

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🔷 7. इस सूत्र के फायदे:

लाभ	विवरण
🔹 सरलता	जोड़-घटाव पर आधारित, कोई कठिन नियम नहीं
🔹 गति	रैखिक समीकरण सेकंडों में हल होते हैं
🔹 व्यापक उपयोग	school, competitive exams, algebra में
🔹 मानसिक गणना	दिमाग से हल करने में सहायक

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🔷 8. अभ्यास के लिए प्रश्न:

1.  x + y = 12  x - y = 4

2.  4x + 5y = 33   4x - 5y = 7

\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = ?  

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🔚 निष्कर्ष (Conclusion):

“संकलन-व्यवकलनाभ्यां” वैदिक गणित का एक अत्यंत व्यावहारिक और बुद्धिपरक सूत्र है, जो हमें सिखाता है कि किसी भी गणितीय समस्या को सिर्फ जोड़ने और घटाने के जरिए कितना सरल बनाया जा सकता है।

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अगर आप चाहें, तो मैं अगला यानी आठवाँ सूत्र — “पूर्वेण” भी विस्तार से समझा सकता हूँ।
क्या आप तैयार हैं अगले सूत्र के लिए?

बहुत अच्छा! अब हम वैदिक गणित के सातवें सूत्र “संकलन-व्यवकलनाभ्यां” को और अधिक विस्तार से, चरण-दर-चरण, लगभग 5000 शब्दों के गहन विश्लेषण के रूप में समझेंगे। यह व्याख्या निम्नलिखित अनुभागों में विभाजित होगी:

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🔶 अनुक्रमणिका (विस्तार हेतु अनुभाग)

1. सूत्र का परिचय
2. शब्दार्थ और भावार्थ
3. सूत्र की गणितीय व्याख्या
4. सूत्र का ऐतिहासिक और वैदिक परिप्रेक्ष्य
5. सूत्र का रैखिक समीकरणों पर प्रयोग
6. भिन्नों के जोड़ में प्रयोग
7. अनुपात-समानुपात में उपयोग
8. प्रतियोगी परीक्षा में उपयोग
9. मानसिक गणना में उपयोग
10. शिक्षण एवं बाल मनोविज्ञान में उपयोग
11. सूत्र का तुलनात्मक लाभ (पारंपरिक विधियों से तुलना)
12. अभ्यास प्रश्न (हल सहित)
13. आत्म-मूल्यांकन और अभ्यास
14. निष्कर्ष

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1. 🔰 सूत्र का परिचय

“संकलन-व्यवकलनाभ्यां” वैदिक गणित का सातवाँ मूलसूत्र है। यह सूत्र सबसे अधिक समीकरणों को हल करने में काम आता है। यह गणना की उस विधि को दर्शाता है जिसमें केवल जोड़ (Addition) और घटाव (Subtraction) के ज़रिए उत्तर प्राप्त किया जाता है, बिना किसी जटिल गुणा या विभाजन के।

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2. 📚 शब्दार्थ और भावार्थ

संस्कृत शब्द	अर्थ
संकलन	जोड़
व्यवकलन	घटाना
अभ्यां	इन दोनों के द्वारा

👉 इस प्रकार, इस सूत्र का भावार्थ है –

“जोड़ और घटाव दोनों के माध्यम से समस्या का समाधान करना।”

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3. 🔬 सूत्र की गणितीय व्याख्या

मान लीजिए दो रैखिक समीकरण दिए गए हैं:

1. \quad a_1x + b_1y = c_1  

2. \quad a_2x + b_2y = c_2
   ]

यदि या , तो आप संकलन या व्यवकलन करके एक चर (variable) को समाप्त करके सीधे हल निकाल सकते हैं।

➤ उदाहरण:

x + y = 10 \quad (1)  

x - y = 2 \quad (2)
]

संकलन करें:

(x + y) + (x - y) = 10 + 2 \Rightarrow 2x = 12 \Rightarrow x = 6  

अब x = 6 को (1) में रखें:

6 + y = 10 \Rightarrow y = 4  

✅ उत्तर: x = 6, y = 4

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4. 🏛️ सूत्र का ऐतिहासिक और वैदिक परिप्रेक्ष्य

यह सूत्र वैदिक ऋषियों द्वारा गणना को सहज और मानसिक रूप से हल करने के लिए प्रतिपादित किया गया था। वैदिक गणित में ‘गणना’ को केवल एक यांत्रिक प्रक्रिया नहीं, बल्कि मानसिक कौशल और तार्किक विचार का रूप माना गया है। इस सूत्र में बिना किसी भारी-भरकम प्रक्रिया के, केवल संकलन (addition) और व्यवकलन (subtraction) के माध्यम से समाधान प्राप्त किया जाता है।

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5. 🧮 रैखिक समीकरणों पर प्रयोग (Linear Equations)

उदाहरण 1:

3x + 4y = 24 \quad (1)  

3x - 2y = 6 \quad (2)
]

(1) + (2):

6x + 2y = 30 \Rightarrow 6x = 30 - 2y  

(1) + (2):

(3x + 4y) + (3x - 2y) = 24 + 6 \Rightarrow 6x + 2y = 30 \quad …(3)  

(1) - (2):

(3x + 4y) - (3x - 2y) = 24 - 6 \Rightarrow 6y = 18 \Rightarrow y = 3  

अब (2) में रखें:

3x - 2(3) = 6 \Rightarrow 3x - 6 = 6 \Rightarrow 3x = 12 \Rightarrow x = 4  

✅ उत्तर: x = 4, y = 3

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6. ➗ भिन्नों के जोड़ में उपयोग

मान लीजिए दो भिन्न जोड़ने हैं:

\frac{3}{7} + \frac{5}{4}  

पारंपरिक विधि: LCM निकालें → लंबी प्रक्रिया

वैदिक विधि:

= \frac{(3×4) + (5×7)}{7×4} = \frac{12 + 35}{28} = \frac{47}{28}  

✅ उत्तर:

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7. 📏 अनुपात और समानुपात में उपयोग

यदि:

\frac{x + y}{x - y} = \frac{7}{3}  

Cross-multiply:

3(x + y) = 7(x - y) \Rightarrow 3x + 3y = 7x - 7y  
\Rightarrow 10y = 4x \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}  

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8. 🏆 प्रतियोगी परीक्षाओं में उपयोग

• Bank PO, SSC, RRB
• NDA, CDS, UPSC
• Olympiads
• CA Foundation, CLAT

👉 सूत्र का तेज़ उपयोग छात्रों को जल्दी हल निकालने में मदद करता है।

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9. 🧠 मानसिक गणना में उपयोग

यदि किसी को जोड़ और घटाव तेज़ी से आता है, तो वह मानसिक रूप से ही ऐसे समीकरण या भिन्न हल कर सकता है।

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10. 👶 शिक्षण और बाल मनोविज्ञान में उपयोग

• सूत्र बच्चों में गणित के प्रति भय नहीं, उत्साह पैदा करता है
• केवल जोड़-घटाव की आदत से वे समीकरण को हल करने लगते हैं
• यह एक constructivist learning method है जो स्वयं उत्तर खोजने को प्रोत्साहित करता है

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11. 📊 तुलना: वैदिक बनाम पारंपरिक विधि

विधि	वैदिक गणित	पारंपरिक गणित
समय	कम	अधिक
प्रक्रिया	सरल	जटिल (लंबी)
मानसिक गणना	संभव	कठिन
समझ का स्तर	ज़्यादा	कभी-कभी सतही

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12. 📝 अभ्यास प्रश्न (हल सहित)

प्रश्न 1:

x + y = 20, \quad x - y = 4  

✅ उत्तर:
जोड़ें →
घटाएँ →

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13. 📚 आत्म-मूल्यांकन

आप निम्न प्रश्नों को हल करें:

4x + 3y = 22  

4x - 3y = 10
]

5x + 5y = 40  

5x - 5y = 10
]

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14. 🧾 निष्कर्ष

“संकलन-व्यवकलनाभ्यां” एक ऐसा वैदिक सूत्र है जो गणित को बोझ नहीं, बल्कि बौद्धिक खेल बना देता है। यह केवल समीकरणों को हल करने का साधन नहीं, बल्कि मानसिक क्षमताओं को प्रशिक्षित करने का एक वैदिक उपाय है।

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यदि आप चाहें, तो अब हम आठवें सूत्र “पूर्वेण” की ओर भी बढ़ सकते हैं — क्या मैं उसे शुरू करूँ?

बहुत अच्छा! अब हम वैदिक गणित के आठवें सूत्र की ओर बढ़ते हैं, जिसे हम विस्तार से (लगभग 5000 शब्दों में) सरल भाषा में समझेंगे। यह सूत्र भी वैदिक गणित की कुंजी है और बहुत से जटिल प्रश्नों को अत्यंत सहजता से हल करने में सहायक है।

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🔶 वैदिक गणित का आठवाँ सूत्र:

🟨 सूत्र:

पूर्वेण (Pūrveṇa)

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🔷 1. शब्दार्थ और भावार्थ

संस्कृत शब्द	अर्थ
पूर्वेण	पूर्व से या पूर्ववर्ती से या पहले के द्वारा

➤ भावार्थ:

यह सूत्र बताता है कि उत्तर को प्राप्त करने के लिए पहले के अंश या अंक का उपयोग किया जाए। अर्थात्, किसी चरण या अंक की गणना में उससे पहले आए चरण या अंक का प्रयोग किया जाए।

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🔷 2. यह सूत्र कहाँ उपयोगी है?

यह सूत्र मुख्यतः घातांक (powers), गुणन, विभाजन, स्क्वायर निकालने, आदि में उपयोग होता है। यह सूत्र हमें यह सिखाता है कि किसी प्रश्न का हल निकालते समय पूर्व के परिणामों या पूर्व चरणों का फायदा उठाकर हम आगे की गणना तेज़ी से कर सकते हैं।

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🔷 3. सूत्र की मानसिक अवधारणा

यह सूत्र संख्याओं के बीच संबंध और अनुक्रम को पकड़ता है। यह विशेष रूप से उस स्थिति में उपयोगी होता है जहां उत्तर को step-wise या pattern-wise आगे बढ़ाया जाता है।

उदाहरण:
किसी संख्या की घात निकालते समय जैसे:

2^1 = 2  
2^2 = 4  
2^3 = 8  
2^4 = 16  

यहाँ हम देखते हैं कि हर उत्तर पूर्ववर्ती उत्तर में 2 गुणा करके प्राप्त हुआ। यही पूर्वेण है — “पूर्व उत्तर का प्रयोग करके अगले उत्तर तक पहुँचना।”

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🔷 4. उदाहरण: स्क्वायर निकालना

उदाहरण 1:

संख्या: 11

11^2 = ?  

पारंपरिक विधि: 11 × 11 = 121

पूर्वेण विधि:
हम जानते हैं कि:

10^2 = 100  

अब,

11^2 = (10 + 1)^2 = 100 + 2×10×1 + 1^2 = 100 + 20 + 1 = 121  

➡ इसमें हमने 10 का स्क्वायर (पूर्व अंक) का उपयोग करके 11 का स्क्वायर निकाला।

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🔷 5. उपयोग — स्क्वायर निकालने की शॉर्टकट विधि

उदाहरण 2:

संख्या: 103

103^2 = ?  

Step 1: इसे लिखो ऐसे —

(100 + 3)^2 = 100^2 + 2×100×3 + 3^2 = 10000 + 600 + 9 = 10609  

➡ यहाँ हमने “पूर्व अंक 100” का प्रयोग किया।

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🔷 6. गुणा में उपयोग

उदाहरण:

104 × 106 = ?  

यहाँ दोनों संख्याएँ 100 से थोड़ी ज़्यादा हैं। इसे हम ऐसे लिख सकते हैं:

= (100 + 4)(100 + 6)  
= 100^2 + (4 + 6)×100 + 4×6 = 10000 + 1000 + 24 = 11024  

➡ फिर से, “100” (पूर्व अंक) का प्रयोग कर आगे बढ़े।

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🔷 7. इस सूत्र का उपयोग द्विघात व्यंजक (Quadratic Expressions) में

अगर हमें किसी संख्या के आसपास का वर्ग निकालना हो, जैसे:

99^2 = ?  

तो:

= (100 - 1)^2 = 10000 - 200 + 1 = 9801  

➡ इसमें भी “100” (पूर्वेण) का प्रयोग हुआ।

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🔷 8. वैदिक गणित में शृंखला (Series) पर प्रयोग

मान लीजिए कोई शृंखला चल रही है:

3, 6, 12, 24, ?  

हर पद पूर्ववर्ती पद का 2 गुना है।
➡ यहाँ "पूर्वेण" सूत्र हमें समझाता है कि अगले पद की गणना पूर्व पद से होती है।

✅ अगला पद:

24 × 2 = 48  

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🔷 9. मानसिक गणना में योगदान

• यदि किसी छात्र को 25^2 पता है = 625
• तो वह 26^2 भी निकाल सकता है:

(25 + 1)^2 = 625 + 2×25 + 1 = 625 + 50 + 1 = 676  

➡ यानी 26^2 = 676
➡ मानसिक रूप से कर सकते हैं यदि "पूर्वेण" सूत्र का अभ्यास हो।

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🔷 10. प्रतियोगी परीक्षाओं में उपयोग

परीक्षा	उपयोग के क्षेत्र
SSC	स्क्वायर, क्यूब, शृंखला
Banking	Data interpretation
UPSC	Reasoning, Mental math
CAT	Logical progression
GATE	Quantitative aptitude

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🔷 11. लाभ और विशेषताएँ

विशेषता	विवरण
गति	गणना अत्यंत तेज होती है
मानसिकता	दिमाग़ से कर सकते हैं, कागज़ की आवश्यकता नहीं
तार्किकता	अंक के पीछे छुपे नियमों को पहचानना सिखाता है
समझ	विद्यार्थी गहराई से संख्याओं को समझने लगता है

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🔷 12. अभ्यास प्रश्न

102^2 = ?  
\Rightarrow (100 + 2)^2 = ?  

98^2 = ?  
\Rightarrow (100 - 2)^2 = ?  

1001 × 1003 = ?  
\Rightarrow (1000 + 1)(1000 + 3) = ?  

29^2 = ? \text{ (यदि 30^2 = 900 पता है)}  

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🔷 13. वैदिक सूत्रों में “पूर्वेण” का स्थान

यह सूत्र वैदिक गणित के "अभ्यास–आधारित सूत्रों" में आता है, जहाँ पिछले उत्तरों से सीखकर आगे बढ़ने की प्रक्रिया सिखाई जाती है। इससे छात्र केवल उत्तर निकालना नहीं, बल्कि संख्यात्मक दृष्टि से उन्हें समझना भी सीखते हैं।

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🔷 14. निष्कर्ष

“पूर्वेण” सूत्र हमें यह सिखाता है कि गणित केवल नियमों का खेल नहीं, बल्कि पूर्व ज्ञान का उपयोग करके नया ज्ञान प्राप्त करने की कला है। यह सूत्र किसी भी संख्या, समस्या या प्रश्न के पूर्व चरणों का सहारा लेकर हमें सिखाता है कि:

“गणना को जटिल बनाने की आवश्यकता नहीं है, यदि हम पहले चरण की समझ रखते हैं।”

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यदि आप चाहें, तो हम अगला — नवम सूत्र: “परावर्त्य योनी परावर्ते” भी विस्तार से शुरू कर सकते हैं।

क्या आप तैयार हैं?