Vinjeet Vedic Arithmetic Book || 1 || Chapter 20.01 || Finding Cube Root
Author
लेखक
ॐ जितेन्द्र सिंह तोमर
(M.A., B. Ed., MASSCOM, DNYS )
(Specialist in Basic and Vedic Maths)
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जैसा कि हम जानते हैं कि 'वर्गमूल' ज्ञात करना 'वर्ग करने की संक्रिया की प्रतिलोम संक्रिया है।'
इसी प्रकार 'घनमूल' (cuberoot) ज्ञात करना भी; घन (ज्ञात) करने की संक्रिया की प्रतिलोम संक्रिया है।
As we know that finding the 'square root' is the inverse operation of 'squaring'.
Similarly, finding the 'cuberoot' is also the inverse operation of cubing.
हम जानते हैं कि 2³ = 8 है। तो हम कह सकते हैं कि 8 का घनमूल (cuberoot / ³√8) 2 है।
हम इसे ³√8 = 2 लिखते हैं। संकेत ' ³√ ' घनमूल को व्यक्त करता है।
We know that 2³ = 8. So we can say that the cube root of 8 (cuberoot / ³√8) is 2.
We write it as ³√8 = 2. The symbol ' ³√ ' denotes the cube root.
अब हम आते हैं घनमूल ज्ञात करने पर।
Now we come to finding the cube root.
घनमूल ज्ञात करने के लिए हमें कम से कम 1 से 10 तक तो घनमूल याद होने चाहिए और अधिकतम 1 से 22 तक घनमूल याद कर लें तो हम एक, दो, तीन, चार, पांच और छह अंकों की संख्याओं के घनमूल को आसानी से ज्ञात कर पाएंगे।
To find the cube root, we should remember the cube roots of at least 1 to 10 and if we remember the cube roots of 1 to 22, then we will be able to find the cube root of one, two, three, four, five and six digit numbers easily.
संख्या का घन (1 से 30 तक)
Cube of a number (1 to 30)
Number Cube
संख्या घन
(1)³ 1
(2)³ 8
(3)³ 27
(4)³ 64
(5)³ 125
(6)³ 216
(7)³ 343
(8)³ 512
(9)³ 729
(10)³ 1000
(11)³ 1331
(12)³ 1728
(13)³ 2197
(14)³ 2744
(15)³ 3375
(16)³ 4096
(17)³ 4913
(18)³ 5832
(19)³ 6859
(20)³ 8000
(21)³ 9261
इस अद्भुत तरीके से केवल दिमागी शक्ति का उपयोग करके 4 या 5 या 6 अंकों की संख्या का घनमूल तुरंत निकालने में मदद मिलेगी।
This amazing method will help you find the cube root of 4 or 5 or 6 digit number instantly by using just brain power.
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सबसे बड़ी और सबसे छोटी घन संख्याएं
1 अंक की सबसे छोटी घन संख्या = 1³ = 1
1 अंक की सबसे बड़ी घन संख्या = 2³ = 8
2 अंक की सबसे छोटी घन संख्या = 3³ = 27
2 अंक की सबसे बड़ी घन संख्या = 4³ = 64
3 अंक की सबसे छोटी घन संख्या = 5³ = 125
3 अंक की सबसे बड़ी घन संख्या = 9³ = 729
4 अंक की सबसे छोटी घन संख्या = 10³ = 1000
4 अंक की सबसे बड़ी घन संख्या = 21³ = 9261
5 अंक की सबसे छोटी घन संख्या = 22³ = 10648
5 अंक की सबसे बड़ी घन संख्या = 46³ = 97336
6 अंक की सबसे छोटी घन संख्या = 47³ = 103823
6 अंक की सबसे बड़ी घन संख्या = 99³ = 970299
Largest and Smallest Cube Numbers
Smallest cube number of 1 digit = 1³ = 1
Largest cube number of 1 digit = 2³ = 8
Smallest cube number of 2 digit = 3³ = 27
Largest cube number of 2 digit = 4³ = 64
Smallest cube number of 3 digit = 5³ = 125
Largest cube number of 3 digit = 9³ = 729
Smallest cube number of 4 digit = 10³ = 1000
Largest cube number of 4 digit = 21³ = 9261
Smallest cube number of 5 digit = 22³ = 10648
Largest cube number of 5 digit = 46³ = 97336
Smallest cube number of 6 digit = 47³ = 103823
Largest cube number of 6 digit = 99³ = 970299
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1 से 100 तक की घन संख्याएं
Cube numbers from 1 to 100
उपरोक्त सारणियों से हमें पता चलता है कि, 2 अंकों की संख्या के घन में न्यूनतम चार अंक 10³ = 1000 और अधिकतम 6 अंक होंगे (99³ = 970,299)।
From the above tables we get that, the cube of a 2 digit number will have a minimum of 4 digits (10³ = 1000) and a maximum of 6 digits (99³ = 970,299).
इस परिणाम के आधार पर हम कह सकते हैं कि यदि आपको 6 अंकों की संख्या दी गई है, तो उसके घनमूल में 2 अंक होंगे। Based on this result we can say that if you are given a 6 digit number, then its cube root will have 2 digits.
पूर्ण घनों से घनमूलों को शीघ्र प्राप्त करने के लिए हमें सबसे छोटे (अर्थात प्रथम दस प्राकृतिक संख्याओं के) घन और घनमूल याद करने होंगे।
To quickly find cube roots from perfect cubes we need to memorise the smallest cubes and cube roots (i.e. of first ten natural numbers).
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Cube of a number (1 to 10)
संख्या का घन (1 से 10 तक)
Number Cube
संख्या घन
(1)³ 1
(2)³ 8
(3)³ 27
(4)³ 64
(5)³ 125
(6)³ 216
(7)³ 343
(8)³ 512
(9)³ 729
(10)³ 1000
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किसी सटीक घन के घनमूल का अंतिम अंक निम्न सारणी से स्पष्ट है:
The last digit of the cube root of an exact cube is clear from the following table:
No. Cube P.Cube L.D. P. Cube L.D. Cube R
संख्या घन पूर्ण घन पूर्ण घन अं.अंक घनमूल अं अंक
1 1³ 1 1 1
2 2³ 8 8 2
3 3³ 27 7 3
4 4³ 64 4 4
5 5³ 125 5 5
6 6³ 216 6 6
7 7³ 343 3 7
8 8³ 512 2 8
9 9³ 729 9 9
10 10³ 1000 10 0
1³ = 1 > यदि पूर्ण घन का अंतिम अंक = 1 है, तो घनमूल का अंतिम अंक = 1
2³ = 8 > यदि पूर्ण घन का अंतिम अंक = 8 है, तो घनमूल का अंतिम अंक = 2
3³ = 27 > यदि पूर्ण घन का अंतिम अंक = 7 है, तो घनमूल का अंतिम अंक = 3
4³ = 64 > यदि पूर्ण घन का अंतिम अंक = 4, तो घनमूल का अंतिम अंक = 4
5³ = 125 > यदि पूर्ण घन का अंतिम अंक = 5, तो घनमूल का अंतिम अंक = 5
6³ = 216 > यदि पूर्ण घन का अंतिम अंक = 6, तो घनमूल का अंतिम अंक = 6
7³ = 343 > यदि पूर्ण घन का अंतिम अंक = 3, तो घनमूल का अंतिम अंक = 7
8³ = 512 > यदि पूर्ण घन का अंतिम अंक = 2, तो घनमूल का अंतिम अंक = 8
9³ = 729 > यदि पूर्ण घन का अंतिम अंक = 9, तो घनमूल का अंतिम अंक = 9
1³ = 1 > If last digit of perfect cube = 1, then last digit of cube root = 1
2³ = 8 > If last digit of perfect cube = 8, then last digit of cube root = 2
3³ = 27 > If last digit of perfect cube = 7, then last digit of cube root = 3
4³ = 64 > If last digit of perfect cube = 4, then last digit of cube root = 4
5³ = 125 > If last digit of perfect cube = 5, then last digit of cube root = 5
6³ = 216 > If last digit of perfect cube = 6, then last digit of cube root = 6
7³ = 343 > If last digit of perfect cube = 3, then last digit of cube root = 7
8³ = 512 > If last digit of perfect cube = 2, then last digit of cube root = 8
9³ = 729 > If last digit of perfect cube = 9, then last digit of cube root = 9
दूसरे शब्दों में,
★ 1, 4, 5, 6, 9 और 0 स्वयं को घन के अंतिम अंक के रूप में दोहराते हैं।
★ 2, 3, 7 और 8 के घन का अंतिम अंक उनका परम मित्र होता है (जैसे 2 का परम मित्र 8, 3 का परम मित्र 7, 7 का परम मित्र 3, 8 का परम मित्र 2 है।)।
उस पर भी विचार करें
★ 8 का घन 2 पर समाप्त होता है और 2 का घन 8 पर समाप्त होता है , 7 का घन 3 पर समाप्त होता है और 3 का घन 7 पर समाप्त होता है।
In other words,
★ 1, 4, 5, 6, 9 and 0 repeat themselves as the last digit of the cube.
★ The last digit of the cube of 2, 3, 7 and 8 is their best friend (e.g. 2's best friend is 8, 3's best friend is 7, 7's best friend is 3, 8's best friend is 2.).
Consider that too
★ The cube of 8 ends with 2 and the cube of 2 ends with 8, the cube of 7 ends with 3 and the cube of 3 ends with 7.
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घनमूल निकलने की विधि:
वर्गमूल की तरह घनमूल भी कई प्रकार से निकाले जाते है।
01. पारंपरिक अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा
02. घातांकीय विधि द्वारा
03. भाग विधि द्वारा
04. अनुमान या विलोकनम विधि द्वारा
05. पारंपरिक सूत्र (सर्वसमिका) विधि द्वारा
06. आनयूरूपेण विधि द्वारा
07. गणन विधि व नवांश विधि द्वारा
Method of finding cube root:
Like square root, cube root can also be found in many ways.
01. By traditional prime factorization method
02. By exponential method
03. By division method
04. By estimation or inverse method
05. By traditional formula (identity) method
06. By inverse method
07. By counting method and Navamsa method
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आईए अब एक-एक कर सभी विधियों को सीखने का प्रयास करते हैं।
Let us now try to learn all the methods one by one.
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01. पारंपरिक अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा
इस विधि में दी गई संख्या के अभाज्य गुणनखंड प्राप्त करते हैं फिर उनके तीन-तीन के पर बनाते हैं और उनमें से एक को लेकर घनमूल प्राप्त कर लेते हैं।
इस प्रकार इस विधि में तीन चरण होते हैं।
चरण 1 –> संख्या के अभाज्य गुणनखंड करना।
चरण 2 –> गुणनखंडों के तीन-तीन के युग्म बनाना
चरण 3 –> तीन-तीन के युग्म में से एक अंक लेना
01. By traditional prime factorization method
In this method, we get the prime factors of the given number, then we make triplets of them and take one of them to get the cube root.
Thus, there are three steps in this method.
Step 1 –> Make prime factors of the number.
Step 2 –> Make pairs of triplets of factors.
Step 3 –> Take one digit from the pair of triplets.
गुणनखंडन
Factors
8 = 2 × 2 × 2
27 = 3 × 3 × 3
64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
125 = 5 × 5 × 5
216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
8 का घनमूल ज्ञात करो।
चरण 1 –> संख्या के अभाज्य गुणनखंड करना।
8 = 2 × 2 × 2
चरण 2 –> गुणनखंडों के तीन-तीन के युग्म बनाना
8 = 2 × 2 × 2
चरण 3 –> तीन-तीन के युग्म में से एक अंक लेना
³√8 = 2
Find the cube root of 8.
Step 1 –> Factor the number into prime factors.
8 = 2 × 2 × 2
Step 2 –> Factor the number into triples.
8 = 2 × 2 × 2
Step 3 –> Pick one digit from the pair of triples.
³√8 = 2
27 का घनमूल ज्ञात करो।
चरण 1 –> संख्या के अभाज्य गुणनखंड करना।
27 = 3 × 3 × 3
चरण 2 –> गुणनखंडों के तीन-तीन के युग्म बनाना
27 = 3 × 3 × 3
चरण 3 –> तीन-तीन के युग्म में से एक अंक लेना
³√27 = 3
Find the cube root of 27.
Step 1 –> Factor the number into prime factors.
27 = 3 × 3 × 3
Step 2 –> Factor the number into triples.
27 = 3 × 3 × 3
Step 3 –> Pick one digit from the pair of triples.
³√27 = 3
64 का घनमूल ज्ञात करो।
चरण 1 –> संख्या के अभाज्य गुणनखंड करना।
64 = = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
चरण 2 –> गुणनखंडों के तीन-तीन के युग्म बनाना
64 = = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
चरण 3 –> तीन-तीन के युग्म में से एक अंक लेना
³√64 = 2 × 2 = 2
Find the cube root of 64.
Step 1 –> Factor the number into prime factors.
64 = = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Step 2 –> Factor the numbers into pairs of threes
64 = = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Step 3 –> Take one digit from the pair of triples
³√64 = 2 × 2 = 2
216 का घनमूल ज्ञात करो।
चरण 1 –> संख्या के अभाज्य गुणनखंड करना।
216 = = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
चरण 2 –> गुणनखंडों के तीन-तीन के युग्म बनाना
216 = = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
चरण 3 –> तीन-तीन के युग्म में से एक अंक लेना
³√216 = 2 × 3 = 6
Find the cube root of 216.
Step 1 –> Factor the number into prime factors.
216 = = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Step 2 –> Make pairs of triples of factors
216 = = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
Step 3 –> Take one digit from the pair of triples
³√216 = 2 × 3 = 6
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02. घातांकीय विधि द्वारा
घातांकीय विधि में दी गई संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड प्राप्त करके, उनको घातांकीय रूप में बदल देते हैं।
³√a = a⅓
02. by the exponential method
In the exponential method, obtain the prime factors of the given numbers, and convert them to exponential form.
3√a = a⅓
इस प्रकार इस विधि में तीन चरण होते हैं।
चरण 1 –> संख्या के अभाज्य गुणनखंड करना।
चरण 2 –> गुणनखंडों को घातांकीय रूप में बदल देते हैं।
चरण 3 –> प्राप्त संख्या को सरल करना।
Thus, this method consists of three steps.
Step 1 –> Do prime factorization of the number.
Step 2 –> Convert the factors to exponential form.
Step 3 –> Simplify the received number.
गुणनखंडन
Factors
8 = 2 × 2 × 2 = 2³
27 = 3 × 3 × 3 = 3³
64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁶
125 = 5 × 5 × 5 = 5³
216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 2³ × 3³
8 का घनमूल ज्ञात करो।
चरण 1 –> संख्या के अभाज्य गुणनखंड करना।
8 = 2 × 2 × 2
चरण 2 –> गुणनखंडों को घातांकीय रूप में बदलना
8 = 2 × 2 × 2 = 2³
चरण 3 –> तीन-तीन के युग्म में से एक अंक लेना
³√8 = ³√2³ = 2³/³ = 2¹ = 2
³√8 = 2
Find the cube root of 8
Step 1 –> Do prime factorization of the number.
8 = 2 × 2 × 2
Step 2 –> Convert the factors to exponential form
8 = 2 × 2 × 2 = 2³
Step 3 –> Score one of the pairs of three each
³√8 = ³√2³ = 2³/³ = 2¹ = 2
³√8 =2
27 का घनमूल ज्ञात करो।
चरण 1 –> संख्या के अभाज्य गुणनखंड करना।
27 = 3 × 3 × 3
चरण 2 –> गुणनखंडों के तीन-तीन के युग्म बनाना
27 = 3 × 3 × 3 = 3³
चरण 3 –> तीन-तीन के युग्म में से एक अंक लेना
³√27 = ³√3³ = 3³/³ = 3¹ = 3
³√27 = 3
Find the cube root of 27.
Step 1 –> Factor the number.
27 = 3 × 3 × 3
Step 2 –> Make pairs of triples of factors
27 = 3 × 3 × 3 = 3³
Step 3 –> Take one digit from the pair of triples
³√27 = ³√3³ = 3³/³ = 3¹ = 3
³√27 = 3
64 का घनमूल ज्ञात करो।
चरण 1 –> संख्या के अभाज्य गुणनखंड करना।
64 = = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
चरण 2 –> गुणनखंडों के तीन-तीन के युग्म बनाना
64 = = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁶
चरण 3 –> तीन-तीन के युग्म में से एक अंक लेना
³√64 = ³√2⁶ = 2⁶/³ = 2² = 4
³√64 = 4
Find the cube root of 64.
Step 1 –> Factor the number.
64 = = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Step 2 –> Factor the numbers into pairs of threes
64 = = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁶
Step 3 –> Take one digit from the pair of triples
³√64 = ³√2⁶ = 2⁶/³ = 2² = 4
³√64 = 4
216 का घनमूल ज्ञात करो।
चरण 1 –> संख्या के अभाज्य गुणनखंड करना।
216 = = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
चरण 2 –> गुणनखंडों के तीन-तीन के युग्म बनाना
216 = = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 2³ × 3³
चरण 3 –> तीन-तीन के युग्म में से एक अंक लेना
³√216 = ³√(2×3)³ = 2³/³ × 3³/³ = 2¹ × 3¹ = 2 × 3 = 6
³√216 = 6
Find the cube root of 216.
Step 1 –> Factor the number into prime factors.
216 = = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Step 2 –> Make pairs of triples of factors
216 = = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 2³ × 3³
Step 3 –> Take one digit from the pair of triples
³√216 = ³√(2×3)³ = 2³/³ × 3³/³ = 2¹ × 3¹ = 2 × 3 = 6
³√216 = 6
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03. भाग विधि द्वारा
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04. अनुमान या विलोकनम विधि द्वारा
अनुमान द्वारा पूर्ण घन संख्याओं का घनमूल निकालना
04. Finding cube root of perfect cube numbers by estimation
★ Cube root of four digit perfect cube numbers
★ चार अंकीय पूर्ण घन संख्याओं का घनमूल
उदाहरण 1: 9261 का घनमूल ज्ञात करें
हल – ³√9261
चरण 1 –> तीन तीन अंको का समूह या युग्म बनाएं। जिन्हें LHS और RHS युग्म का नाम दें।
RHS LHS
9 261
चरण 2 –> LHS समूह लें जो 261 है। 261 का अंतिम अंक 1 है।
हम जानते हैं कि, यदि पूर्ण घन का अंतिम अंक 1 है, तो घनमूल का अंतिम अंक भी 1 होगा।
इसलिए घनमूल का सबसे दाहिना या इकाई अंक = 1
चरण 3 –> अब अगला समूह या युग्म लेना है, जो 9 है।
अब हम देखते हैं कि संख्या 9 पूर्ण घन 8 और 27 के बीच है जो क्रमशः 2 और 3 के घन हैं।
यहां हमें छोटी संख्या का (यानी 8) का घनमूल लेंगे जो कि 2 है।
यह 2 हमारे उत्तर का दहाई अंक है।
चरण 4 –>
अतः 9261 का घनमूल = 21 हमारा उत्तर है।
Example 1: Find the cube root of 9261
Sol. – ³√9261
Step 1 –> Make a group or pair of three digits. Name them as LHS and RHS pair.
RHS LHS
9 261
Step 2 –> Take the LHS group which is 261. The last digit of 261 is 1.
We know that, if the last digit of the perfect cube is 1, then the last digit of the cube root will also be 1.
So, the rightmost or unit digit of the cube root = 1
Step 3 –> Now take the next group or pair which is 9.
Now we see that the number 9 lies between the perfect cubes 8 and 27 which are cubes of 2 and 3 respectively. Here we will take the cube root of smaller number (i.e. 8) which is 2.
This 2 is the tens digit of our answer.
Step 4 –> So, cube root of 9261 = 21 is our answer.
उदाहरण 2: 13824 का घनमूल ज्ञात करें
हल – ³√13824
चरण 1 –> तीन तीन अंको का समूह या युग्म बनाएं। जिन्हें LHS और RHS युग्म का नाम दें।
RHS LHS
13 824
चरण 2 –> LHS समूह लें जो 824 है। 824 का अंतिम अंक 4 है।
हम जानते हैं कि, यदि पूर्ण घन का अंतिम अंक 4 है, तो घनमूल का अंतिम अंक भी 4 होगा।
इसलिए घनमूल का सबसे दाहिना या इकाई अंक = 4
चरण 3 –> अब अगला समूह या युग्म लेना है, जो 13 है।
अब हम देखते हैं कि संख्या 13 पूर्ण घन 8 और 27 के बीच है जो क्रमशः 2 और 3 के घन हैं।
यहां हमें छोटी संख्या का (यानी 8) का घनमूल लेंगे जो कि 2 है।
यह 2 हमारे उत्तर का दहाई अंक है।
चरण 4 –>
अतः 13824 का घनमूल = 24 हमारा उत्तर है।
Example 2: Find the cube root of 13824
Sol. – ³√13824
Step 1 –> Take the group or pair of three digits. Name them as LHS and RHS pair.
RHS LHS
13 824
Step 2 –> Take the LHS group which is 824. The last digit of 824 is 4.
We know that, if the last digit of the perfect cube is 4, then the last digit of the cube root will also be 4.
So, the rightmost or unit digit of the cube root = 4
Step 3 –> Now take the next group or pair which is 13.
Now we see that the number 13 lies between the perfect cubes 8 and 27 which are cubes of 2 and 3 respectively.
Here we will take the cube root of the smaller number (i.e. 8) which is 2.
This 2 is the tens digit of our answer.
Step 4 –> So cube root of 13824 = 24 is our answer.
★ पांच अंकीय पूर्ण घन संख्याओं का घनमूल
उदाहरण 2: 185193 का घनमूल ज्ञात करें
हल – ³√185193
चरण 1 –> तीन तीन अंको का समूह या युग्म बनाएं। जिन्हें LHS और RHS युग्म का नाम दें।
RHS LHS
185 193
चरण 2 –> LHS समूह लें जो 193 है। 193 का अंतिम अंक 3 है।
हम जानते हैं कि, यदि पूर्ण घन का अंतिम अंक 3 है, तो घनमूल का अंतिम अंक 3 का परम मित्र अंक 7 होगा।
इसलिए घनमूल का सबसे दाहिना या इकाई अंक = 7
चरण 3 –> अब अगला समूह या युग्म लेना है, जो 185 है।
अब हम देखते हैं कि संख्या 185 पूर्ण घन 125 और 216 के बीच है जो क्रमशः 5 और 6 के घन हैं।
यहां हमें छोटी संख्या का (यानी 125) का घनमूल लेंगे जो कि 5 है।
यह 5 हमारे उत्तर का दहाई अंक है।
चरण 4 –>
अतः 185193 का घनमूल = 57 हमारा उत्तर है।
★ Cube root of five digit perfect cube numbers
Example 2: Find the cube root of 185193
Sol. – ³√185193
Step 1 –> Make a group or pair of three digits. Name them as LHS and RHS pair.
RHS LHS
185 193
Step 2 –> Take the LHS group which is 193. The last digit of 193 is 3.
We know that, if the last digit of the perfect cube is 3, then the last digit of the cube root will be 7 which is the best friend digit of 3.
So, the rightmost or unit digit of the cube root = 7
Step 3 –> Now take the next group or pair which is 185.
Now we see that the number 185 lies between the perfect cubes 125 and 216 which are cubes of 5 and 6 respectively.
Here we will take the cube root of smaller number (i.e. 125) which is 5.
This 5 is the tens digit of our answer.
Step 4 –> So, cube root of 185193 = 57 is our answer.
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05. पारंपरिक सूत्र (सर्वसमिका) विधि द्वारा
जैसा कि हम बीजगणित में एक घन सर्वसमिका पढ़ चुके हैं
(A+B)³ = A³ + 3×A²×B +3×A×B²+B³
05. By traditional formula (identity) method
As we have studied a cube identity in algebra
(A+B)³ = A³ + 3×A²×B +3×A×B²+B³
उदाहरण (1) –> 91125 का घनमूल निकालिये।
Example (1) –> Find the cube root of 91125.
Sol.
हल –>
सबसे पहले संख्या के तीन-तीन के पेअर अर्थात जोड़े बनाते हैं।
First of all, make pairs of three numbers.
| 91 125
A³ |
|
चरण 0 –> यहां जैसे वर्गमूल दाएं तरफ से हल करते हैं वैसे ही घनमूल निकलेंगे।
Step 0 –> Here, the cube roots will be found in the same way as the square root is solved from the right side.
चरण 1 –> पहले चरण में हमें A³ प्राप्त करना होता है। जो पहले जोड़ी से छोटा होता है। जो इस प्रकार प्राप्त होगा।
यहां पहले जोड़ा 91 है। इसके नीचे 91 से छोटा घन लिखना है। जो 4³ = 64 होगा 5³ = 125 यह 91 से ज्यादा हो जाएगा। इसलिए हमें छोटा लेना होगा।
इसे इस प्रकार लिखेंगे। जो संख्या घटकर (91–64=27) आएगी उसे पहली क्षैतिज रेखा के नीचे लिख देंगे। और अगला अंक 1 इस क्षैतिज रेखा के नीचे लिखेंगे तो यह संख्या 271 हो जाएगी। इस प्रकार घनमूल का जो पहला अंक अर्थात दही का अंक प्राप्त होगा उसे पहले जोड़े के ऊपर लिख देंगे। यहां यह 4 प्राप्त हुआ है।
Step 1 –> In the first step, we have to get A³. Which is smaller than the first pair. Which will be obtained as follows.
Here, the first pair is 91. Write the cube smaller than 91 below it. Which will be 4³ = 64 5³ = 125 This will be more than 91. So we have to take the smaller one.
We will write it like this. The number which comes out after reduction (91–64=27) will be written below the first horizontal line. And the next digit 1 will be written below this horizontal line, then this number will become 271. In this way, the first digit of the cube root i.e. the number of the cube root will be written above the first pair. Here we have got 4.
4
| 91 125
A³ = 4³ | –64 ↓
| 27 1
चरण 2 –> यहां की गणना करते ही हमें संख्या के घनमूल का दूसरा अंक अर्थात इकाई का अंक भी प्राप्त हो जाएगा अतः हमें उत्तर भी मिल जाएगा परंतु उत्तर सही है या गलत इसके लिए पूरी प्रक्रिया करें तो ज्यादा बेहतर रहेगा।
Step 2 –> As soon as we calculate here, we will get the second digit of the cube root of the number i.e. the unit digit. Hence, we will get the answer as well but it will be better if we go through the whole process to find out whether the answer is right or wrong.
दूसरे चरण में हमें 3 A² B से B प्राप्त करना होता है।
In the second step, we have to get B from 3 A² B.
4
| 91 125
A³ = 4³ | –64 ↓
3 A² B | 27 1
3×4²×B = 48× B
48×3 = 192
सवाल से हमें A प्राप्त हो गया है। लेकिन B प्राप्त करने के लिए। 48 में ऐसी संख्या की गुणा करनी होगी जो गुणनफल को 271 से कम हो अधिक नहीं।
यदि B को 5 मानते हैं (48×5 = 240) तो यह संख्या 240 प्राप्त होती है यदि B को 6 मानते हैं (48×6 = 288) तो यह संख्या 288 प्राप्त होती है। जो 271 से अधिक है। अतः हमें 5 लेनी होगी।
From the question we have got A. But to get B, we have to multiply 48 by such a number that the product is less than 271 and not more.
If we consider B to be 5 (48×5 = 240) then we get the number 240. If we consider B to be 6 (48×6 = 288) then we get the number 288 which is more than 271. So we have to take 5.
4 5
| 91 125
I A³ = 4³ | –64 ↓↓
II 3 A² B | 27 1↓
| –24 0↓
| 3 12
इस प्रकार घनमूल का दूसरा अंक अर्थात दहाई का अंक प्राप्त होगा उसे दूसरे जोड़े के ऊपर लिख देंगे। यहां यह 5 प्राप्त हुआ है।
इस प्रकार हमारी संख्या 91125 का घनमूल 45 होगा।
In this way, the second digit of the cube root i.e. the tens digit will be obtained and we will write it above the second pair. Here we have got 5.
In this way the cube root of our number 91125 will be 45.
चरण 3 –> यहां की गणना करते ही हमें संख्या के घनमूल का दूसरा अंक अर्थात इकाई का अंक भी प्राप्त हो गया अतः हमें उत्तर भी मिल गया । परंतु उत्तर सही है या गलत इसके लिए पूरी प्रक्रिया करें तो ज्यादा बेहतर रहेगा।
तीसरे चरण में हमें 3 A B² प्राप्त करना होता है।
सवाल से हमें A और B दोनों प्राप्त हो गए ।
3 A B² = 3×4×5² = 300
इसे संख्या 312 घटकर (312–300=12) आएगी उसे तीसरी क्षैतिज रेखा के नीचे लिख देंगे। और अगला अंक 5 इस क्षैतिज रेखा के नीचे लिखेंगे तो यह संख्या 125 हो जाएगी।
Step 3 –> After calculating here, we got the second digit of the cube root of the number i.e. the unit digit, so we got the answer. But it will be better if we go through the whole process to find out whether the answer is right or wrong.
In the third step, we have to get 3 A B².
We got both A and B from the question.
3 A B² = 3×4×5² = 300
This will reduce the number by 312 (312–300=12), which will be written below the third horizontal line. And if we write the next digit 5 below this horizontal line, then this number will become 125.
4 5
| 91 125
I A³ = 4³ | –64 ↓↓↓
II 3 A² B | 27 1↓↓
| –24 0↓↓
III 3 A B² | 3 12↓
3×4×5² = 300 | –3 00↓
| 125
चरण 4 –> चौथे चरण में हमें B³ प्राप्त करना होता है।
सवाल से हमें A और B दोनों प्राप्त हो गए ।
B³ = 5³ = 5×5×5 = 125
इसे संख्या 125 घटकर (125–125=0) आएगी।
आते हमारे चारों चरण सही नकले और हमारा क्षेत्रफल सुनाने आया इसलिए हम कह सकते हैं। इस प्रकार हमारी संख्या 91125 का घनमूल 45 होगा।
इसे संख्या 125 घटकर (125–125=0) आएगी।
अतः हमारे चारों चरण सही निकले और हमारा शेषफल शून्य आया इसलिए हम कह सकते हैं।
कि हमारी संख्या 91125 का घनमूल 45 होगा।
Step 4 –> In the fourth step we have to get B³.
From the question we got both A and B.
B³ = 5³ = 5×5×5 = 125
This way the number will be reduced by 125 (125–125=0).
Since all our four steps were correct and we got the remainder zero, we can say that the cube root of our number 91125 will be 45.
This way the number will be reduced by 125 (125–125=0).
Since all our four steps were correct and we got the remainder zero, we can say that the cube root of our number 91125 will be 45.
4 5
| 91 125
I A³ = 4³ | –64 ↓↓↓
II 3 A² B | 27 1↓↓
| –24 0↓↓
III 3 A B² | 3 12↓
3×4×5² = 300 | –3 00↓
IV B³ = 5³ =125 | 125
| –125
0
उदाहरण (2) –> 175616 का घनमूल निकालिये।
Example (2) –> Find the cube root of 175616.
Sol. –>
हल –>
सबसे पहले संख्या के तीन-तीन के पेअर अर्थात जोड़े बनाते हैं।
Firstly, we make pairs of three numbers.
| 175 616
A³ |
|
चरण 1 –> पहले चरण में हमें A³ प्राप्त करना होता है। जो पहले जोड़ी से छोटा होता है। जो इस प्रकार प्राप्त होगा।
यहां पहले जोड़ा 175 है। इसके नीचे 175 से छोटा घन लिखना है। जो 5³ = 125 होगा 6³ = 216 यह 175 से ज्यादा हो जाएगा। इसलिए हमें छोटा लेना होगा।
इसे इस प्रकार लिखेंगे। जो संख्या घटकर (175–125=50) आएगी इसे पहली क्षैतिज रेखा के नीचे लिख देंगे। और अगला अंक 2 इस क्षैतिज रेखा के नीचे लिखेंगे तो यह संख्या 502 हो जाएगी। इस प्रकार घनमूल का जो पहला अंक अर्थात इकाई का अंक प्राप्त होगा उसे पहले जोड़े के ऊपर लिख देंगे। यहां यह 5 प्राप्त हुआ है।
Step 1 –> In the first step we have to get A³. Which is smaller than the first pair. Which will be obtained in this way.
Here the first pair is 175. Below it, write the cube smaller than 175. Which will be 5³ = 125 6³ = 216 This will be more than 175. So we have to take the smaller one.
It will be written like this. The number which comes after reduction (175–125=50) will be written below the first horizontal line. And the next digit 2 will be written below this horizontal line, then this number will become 502. In this way, the first digit of the cube root i.e. the unit digit will be written above the first pair. Here we have obtained 5.
5
| 175 616
A³ = 5³ | – 125 ↓
| 50 6
चरण 2 –> दूसरे चरण में हमें 3 A² B से B प्राप्त करना होता है।
Step 2 –> In the second step we have to get B from 3 A² B.
5
| 175 616
A³ = 4³ | –125 ↓
3 A² B | 50 6
3×5²×B = 75× B
75×6 = 450
सवाल से हमें A प्राप्त हो गया है। लेकिन B प्राप्त करने के लिए। 75 में ऐसी संख्या की गुणा करनी होगी जो गुणनफल को 502 से कम हो अधिक नहीं।
यदि B को 5 मानते हैं (75×6 = 450) तो यह संख्या 450 प्राप्त होती है यदि B को 7 मानते हैं (75×7 = 525) तो यह संख्या 525 प्राप्त होती है। जो 506 से अधिक है। अतः हमें 6 लेनी होगी।
From the question we have got A. But to get B, we have to multiply 75 by such a number that the product is less than 502 and not more.
If we take B to be 5 (75×6 = 450) then we get the number 450. If we take B to be 7 (75×7 = 525) then we get the number 525 which is more than 506. So we have to take 6.
5 6
| 175 616
I A³ = 4³ | –125 ↓↓
II 3 A² B | 50 6↓
| – 45 0↓
5 61
इस प्रकार घनमूल का दूसरा अंक अर्थात दहाई का अंक प्राप्त होगा उसे दूसरे जोड़े के ऊपर लिख देंगे। यहां यह 6 प्राप्त हुआ है।
इस प्रकार हमारी संख्या 175616 का घनमूल 56 होगा।
In this way, the second digit of the cube root i.e. the tens digit will be obtained and we will write it above the second pair. Here we have got 6.
In this way the cube root of our number 175616 will be 56.
चरण 3 –> तीसरे चरण में हमें 3 A B² प्राप्त करना होता है। जो 741 से कम हो अधिक नहीं।
सवाल से हमें A और B दोनों प्राप्त हो गए ।
3 A B² = 3×5×6² = 15×36 = 540
इसे संख्या 506 घटकर (506–432=74) आएगी उसे तीसरी क्षैतिज रेखा के नीचे लिख देंगे। और अगला अंक 1 इस क्षैतिज रेखा के नीचे लिखेंगे तो यह संख्या 125 हो जाएगी।
Step 3 –> In the third step we have to get 3 A B². Which is less than 741 and not more.
We got both A and B from the question.
3 A B² = 3×5×6² = 15×36 = 540
This number will be reduced by 506 (506–432=74) and we will write it below the third horizontal line. And the next digit 1 will be written below this horizontal line and this number will become 125.
5 6
| 175 616
I A³ = 4³ | –125 ↓↓ ↓
II 3 A² B | 50 6↓↓
| – 45 0↓↓
III 3 A B² | 5 61↓
3×5×7² = 735 | –5 4 0↓
| 2 16
चरण 4 –> चौथे चरण में हमें B³ प्राप्त करना होता है।
सवाल से हमें A और B दोनों प्राप्त हो गए ।
B³ = 6³ = 6×6×6 = 216
इसे संख्या 216 घटकर (216–216 = 0) आएगी।
अतः हमारे चारों चरण सही निकले और हमारा शेषफल शून्य आया इसलिए हम कह सकते हैं।
कि हमारी संख्या 175616 का घनमूल 56 होगा।
Step 4 –> In the fourth step we have to get B³.
From the question we got both A and B.
B³ = 6³ = 6×6×6 = 216
This will reduce the number by 216 (216–216 = 0).
So all our four steps were correct and our remainder came out to be zero, so we can say that the cube root of our number 175616 will be 56.
5 6
| 175 616
I A³ = 4³ | –125 ↓↓ ↓
II 3 A² B | 50 6↓↓
| – 45 0↓↓
III 3 A B² | 5 61↓
3×5×7² = 735 | –5 4 0↓
IV B³ = 6³ =216 | 2 16
| –2 16
0
उदाहरण (3) –> 1520875 का घनमूल निकालिये।
Example (3) –> Find the cube root of 1520875.
Solution –>
हल –>
सबसे पहले संख्या के तीन-तीन के पेअर अर्थात जोड़े बनाते हैं।
Firstly, we make pairs of three numbers.
| 1 520 875
A³ |
|
चरण 1 –> पहले चरण में हमें A³ प्राप्त करना होता है। जो पहली दो जोड़ी से छोटा होता है। जो इस प्रकार प्राप्त होगा।
यहां पहले दो जोड़ा 1520 है। इसके नीचे 1520 से छोटा घन लिखना है। जो 11³ = 1331 होगा 12³ = 1728 यह 1520 से ज्यादा हो जाएगा। इसलिए हमें छोटा लेना होगा।
इसे इस प्रकार लिखेंगे। जो संख्या घटकर (1520–1331=189) आएगी इसे पहली क्षैतिज रेखा के नीचे लिख देंगे। और अगला अंक 8 इस क्षैतिज रेखा के नीचे लिखेंगे तो यह संख्या 1898 हो जाएगी। इस प्रकार घनमूल का जो पहला अंक अर्थात इकाई का अंक प्राप्त होगा उसे पहले जोड़े के ऊपर लिख देंगे। यहां यह 5 प्राप्त हुआ है।
Step 1 –> In the first step we have to get A³. Which is smaller than the first two pairs. Which will be obtained in this way.
Here the first two pairs is 1520. Below it, write the cube smaller than 1520. Which will be 11³ = 1331 12³ = 1728 This will be more than 1520. So we have to take the smaller one.
It will be written like this. The number which comes after reduction (1520–1331=189) will be written below the first horizontal line. And the next digit 8 will be written below this horizontal line, then this number will become 1898. In this way, the first digit of the cube root i.e. the unit digit will be written above the first pair. Here it is obtained 5.
11
| 1 520 875
A³ = 11³ | – 1 331 ↓
| 189 8
चरण 2 –> दूसरे चरण में हमें 3 A² B से B प्राप्त करना होता है।
Step 2 –> In the second step we have to get B from 3 A² B.
11
| 1 520 875
A³ = 11³ | – 1 331 ↓
3 A² B | 189 8
3×11²×B = 363× B | 181 5
363×5 = 1815।
| 8 3
सवाल से हमें A प्राप्त हो गया है। लेकिन B प्राप्त करने के लिए। 363 में ऐसी संख्या की गुणा करनी होगी जो गुणनफल को 1898 से कम हो अधिक नहीं।
यदि B को 5 मानते हैं (363×5 = 1815) तो यह संख्या 1815 प्राप्त होती है। यदि B को 6 मानते हैं (363×6 = 2178) तो यह संख्या 2178 प्राप्त होती है। जो 1898 से अधिक है। अतः हमें 5 लेनी होगी।
We have got A from the question. But to get B, we have to multiply 363 by such a number that the product is less than 1898 and not more.
If we take B to be 5 (363×5 = 1815) then we get the number 1815. If we take B to be 6 (363×6 = 2178) then we get the number 2178 which is more than 1898. So we have to take 5.
11 5
| 1 520 875
A³ = 11³ | – 1 331 ↓
3 A² B | 189 8
3×11²×B = 363× B | 181 5
363×5 = 1815।
| 8 3
इस प्रकार घनमूल का दूसरा अंक अर्थात इहाई का अंक प्राप्त होगा उसे दूसरे जोड़े के ऊपर लिख देंगे। यहां यह 5 प्राप्त हुआ है।
इस प्रकार हमारी संख्या 1520875 का घनमूल 115 होगा। या तो हम इसकी जांच नवांक रूल या बीजांक द्वारा कर ले। या फिर गणना पूरी कर ले। चलो हम गणना पूरी कर लेते हैं।
In this way, the second digit of the cube root i.e. the digit of ihai will be obtained and we will write it above the second pair. Here we have got 5.
In this way the cube root of our number 1520875 will be 115. Either we check it by the new number rule or beejank. Or we can complete the calculation. Let us complete the calculation.
चरण 3 –> तीसरे चरण में हमें 3 A B² प्राप्त करना होता है। जो 741 से कम हो अधिक नहीं।
सवाल से हमें A और B दोनों प्राप्त हो गए ।
3 A B² = 3×5×6² = 15×36 = 540
इसे संख्या 506 घटकर (506–432=74) आएगी उसे तीसरी क्षैतिज रेखा के नीचे लिख देंगे। और अगला अंक 1 इस क्षैतिज रेखा के नीचे लिखेंगे तो यह संख्या 125 हो जाएगी।
Step 3 –> In the third step we have to get 3 A B². Which is less than 741 and not more.
We got both A and B from the question.
3 A B² = 3×5×6² = 15×36 = 540
This number will be reduced by 506 (506–432=74) and we will write it below the third horizontal line. And the next digit 1 will be written below this horizontal line and this number will become 125.
11 5
| 1 520 875
I A³ = 11³ | – 1 331 ↓ ↓ ↓
II 3 A² B | 189 8 ↓↓
3×11²×B = 363× B | 181 5 ↓↓
363×5 = 1815। |
III 3 A B² | 8 3 7↓
3×11×5² = | 8 2 5 ↓
IV B³ = 125 | 1 2 5
| – 1 2 5
0
चरण 4 –> चौथे चरण में हमें B³ प्राप्त करना होता है।
सवाल से हमें A और B दोनों प्राप्त हो गए ।
B³ = 5³ = 5×5×5 = 125
इसे संख्या 125 घटकर (125–125=0) आएगी।
अतः हमारे चारों चरण सही निकले और हमारा शेषफल शून्य आया इसलिए हम कह सकते हैं।
कि हमारी संख्या 1520875 का घनमूल 115 होगा।
Step 4 –> In the fourth step we have to get B³.
From the question we got both A and B.
B³ = 5³ = 5×5×5 = 125
This will reduce the number by 125 (125–125=0).
So all our four steps were correct and our remainder came out to be zero, so we can say that the cube root of our number 1520875 will be 115.
11 5
| 1 520 875
I A³ = 11³ | – 1 331 ↓ ↓ ↓
II 3 A² B | 189 8 ↓↓
3×11²×B = 363× B | 181 5 ↓↓
363×5 = 1815। |
III 3 A B² | 8 3 7↓
3×11×5² = | 8 2 5 ↓
IV B³ = 125 | 1 2 5
| – 1 2 5
0
🌺🌺🌺🪷🪷विनीत वैदिक गणित 🪷🪷🌺🌺🌺
07. गणन विधि व नवांक विधि द्वारा
इस विधि को हम गणन विधि कहेंगे।
दो युग्मीय संख्याओं का घनमूल निकालना।
07. By counting method and nine number method
We will call this method counting method.
Finding the cube root of two paired numbers.
उदाहरण (1) –> 175616 का घनमूल निकालिये।
Example (1) –> Find the cube root of 175616.
Sol. –>
हल –>
सबसे पहले संख्या के तीन-तीन के पेअर अर्थात जोड़े बनाते हैं।
First of all, we make pairs of three numbers.
| 175 616
A³ |
|
चरण 1 –> पहले चरण में अनुमान द्वारा हमें A³ प्राप्त करना होता है। जो पहले जोड़ी से छोटा होता है। जो इस प्रकार प्राप्त होगा।
यहां पहले जोड़ा 175 है। इसके नीचे 175 से छोटा घन लिखना है। जो 5³ = 125 होगा 6³ = 216 यह 175 से ज्यादा हो जाएगा। इसलिए हमें छोटा लेना होगा।
इसे इस प्रकार लिखेंगे। जो संख्या घटकर (175–125=50) आएगी इसे पहली क्षैतिज रेखा के नीचे लिख देंगे। और अगला अंक 2 इस क्षैतिज रेखा के नीचे लिखेंगे तो यह संख्या 502 हो जाएगी। इस प्रकार घनमूल का जो पहला अंक अर्थात इकाई का अंक प्राप्त होगा उसे पहले जोड़े के ऊपर लिख देंगे। यहां यह 5 प्राप्त हुआ है।
Step 1 –> In the first step, we have to get A³ by estimation. Which is smaller than the first pair. Which will be obtained in this way.
Here the first pair is 175. Write the cube smaller than 175 below it. Which will be 5³ = 125 6³ = 216 This will be more than 175. So we have to take the smaller one.
It will be written like this. The number which comes after reduction (175–125=50) will be written below the first horizontal line. And the next digit 2 will be written below this horizontal line, then this number will become 502. In this way, the first digit of the cube root i.e. the unit digit will be written above the first pair. Here we have obtained 5.
5
| 175 616
5³ | – 125 ↓
3 A² = 3×5×5 | 50 6 ÷ 3A²
| 50 6 ÷ 75
Q = 6 R = 6
यहां जो Q है वही हमारा B है।
इस प्रकार हमने B भी प्राप्त कर लिया तो अनुमान के अनुसार हम कह सकते हैं कि 175616 का घनमूल 56 होगा।
Here Q is our B.
This way we got B also so as per estimation we can say that the cube root of 175616 will be 56.
चरण 2 –> अब हमें अपने उत्तर की जांच, दी गई संख्या और उसके उत्तर की जांच नवांक विधि द्वारा करनी होगी।
Step 2 –> Now we have to check our answer, given number and its answer by using Navank method.
(a) दी हुई संख्या 175616 का बीजांक
1+7+5+6+1+6 = 26 => 2+6=8
(a) Exponent of given number 175616
1+7+5+6+1+6 = 26 => 2+6=8
(b) दी हुई संख्या 175616 के घनमूल 56 के बीजांक का घन।
5+6=11=>1+1=2 का घन अर्थात 2³ = 8
(b) Cube of exponent of cube root 56 of given number 175616.
5+6=11=>Cube of 1+1=2 i.e. 2³ = 8
★ यहां a और b दोनों के मान समान है इसलिए 175616 के घनमूल 56 सही है।
★ Here both a and b have equal values so the cube root of 175616 is 56 correct.
तीन युग्मीय संख्याओं का घनमूल निकालना।
Finding the cube root of three pairs of numbers.
Example (2) –> Find the cube root of 11390625.
उदाहरण (2) –> 11390625 का घनमूल निकालिये।
हल –>
Solution –>
सबसे पहले संख्या के तीन-तीन के पेअर अर्थात जोड़े बनाते हैं।
First of all, we make pairs of three-three digits.
| 11 390 625
A³ |
|
क्योंकि सवाल में तीन पैयर अर्थात युग्म बना रहे हैं इसलिए इसका उत्तर तीन अंको अर्थात A B C में प्राप्त होगा।
Because in the question we are making pairs of three, so its answer will be in three digits i.e. A B C.
चरण 1 –> पहले चरण में अनुमान द्वारा हमें A³ प्राप्त करना होता है। जो पहले जोड़ी से छोटा होता है। जो इस प्रकार प्राप्त होगा।
Step 1 –> In the first step we have to get A³ by estimation. Which is smaller than the first pair. Which will be obtained in this way.
यहां पहले जोड़ा 11 है। इसके नीचे 11 से छोटा घन लिखना है। जो 2³ = 8 होगा 3³ = 27 यह 27 संख्या 11 से ज्यादा हो जाएगा। इसलिए हमें छोटा लेना होगा।
Here the first pair is 11. Write the cube smaller than 11 below it. Which will be 2³ = 8 3³ = 27 This 27 will be more than 11. So we have to take the smaller one.
इसे इस प्रकार लिखेंगे। जो संख्या घटकर (11–8=3) आएगी इसे पहली क्षैतिज रेखा के नीचे लिख देंगे। और अगला अंक 3 इस क्षैतिज रेखा के नीचे लिखेंगे तो यह संख्या 33 हो जाएगी। इस प्रकार घनमूल का जो पहला अंक अर्थात इकाई का अंक प्राप्त होगा। उसे पहले जोड़े के ऊपर लिख देंगे। यहां यह 2 प्राप्त हुआ है।
It will be written like this. The number which comes after reduction (11-8=3) will be written below the first horizontal line. And the next digit 3 will be written below this horizontal line, then this number will become 33. In this way the first digit of the cube root i.e. the unit digit will be written above the first pair. Here we have got 2.
2
| 11 390 625
A³=2³ =8 | 8 ↓
| 3 3
चरण 2 –> अब दूसरे चरण में 3 3 ÷ 3A² द्वारा हमें B³ प्राप्त करना होता है। यहां जो Q है; वही हमारा B है।
यहां रिमाइंडर R से हमारा कोई लेना देना नहीं है।
Step 2 –> Now in second step we have to get B³ by 3 3 ÷ 3A². Here Q is our B.
Reminder R has nothing to do with us here.
| 2
| 11 390 625
A³=2³ =8 | 8 ↓
| 3 3 ÷ 3A²
3A² = 3×2×2 =12 | 33 ÷ 12
Q = 2 R = 9
चरण 3 –> अब तीसरे चरण में अनुमान द्वारा हमें C प्राप्त करना होता है। जो तीसरे युग्म के इकाई के अंक से C का अनुमान हो जाता है।
यह तीसरा युग्म 625 है जिसके इकाई का अंक 5 है। जो यह बताता है कि पूर्ण घन संख्या 11390625 के घनमूल के इकाई का अंक 5 होगा।
इस प्रकार हमें C भी प्राप्त हो गया।
Step 3 –> Now in the third step we have to get C by estimation. Which is the estimation of C from the unit digit of the third pair.
This third pair is 625 whose unit digit is 5. Which tells that the unit digit of the cube root of the perfect cube number 11390625 will be 5.
This way we also got C.
चरण 4 –> अब चौथे चरण में हम उत्तर की जांच करेंगे।
अब हमें अपने उत्तर की जांच, दी गई संख्या और उसके उत्तर की जांच नवांक विधि द्वारा करनी होगी।
Step 4 –> Now in the fourth step we will check the answer.
Now we have to check our answer, given number and its answer by Navank method.
(a) दी हुई संख्या का बीजांक = (b) दी हुई संख्या के घनमूल के बीजांक का घन।
(a) Exigency of the given number = (b) Cube of the exigency of cube root of the given number.
(a) दी हुई संख्या 11390625 का बीजांक
1+1+3+9+0+6+2+5 = 27 => 2+1 = 9
(a) Exigency of the given number 11390625
1+1+3+9+0+6+2+5 = 27 => 2+1 = 9
(b) दी हुई संख्या 11390625 के घनमूल 225 के बीजांक का घन।
2+2+5 = 9 => 9 का घन
अर्थात 9³ = 7+2+9=18=>1+8=9
(b) Cube of the exigency of cube root 225 of the given number 11390625.
2+2+5 = 9 => Cube of 9
i.e. 9³ = 7+2+9=18=>1+8=9
★ यहां (a) और (b) दोनों के मान समान है; इसलिए 11390625 के घनमूल 225 सही है।
★ Here both (a) and (b) have same value; so cube root 225 of 11390625 is correct.
उदाहरण (2) –> 257259456 का घनमूल निकालिये।
हल –>
Example (2) –> Find the cube root of 257259456.
Solution –>
सबसे पहले संख्या के तीन-तीन के पेअर अर्थात जोड़े बनाते हैं।
First of all, we make pairs of three-three digits.
| 257 259 456
A³ |
|
क्योंकि सवाल में तीन पर अर्थात युग्म बना रहे हैं इसलिए इसका उत्तर तीन अंको अर्थात A B C में प्राप्त होगा।
Because in the question we are making pairs of three-three digits, so its answer will be in three digits i.e. A B C.
चरण 1 –> पहले चरण में अनुमान द्वारा हमें A³ प्राप्त करना होता है। जो पहले जोड़ी से छोटा होता है। जो इस प्रकार प्राप्त होगा।
Step 1 –> In the first step we have to get A³ by estimation. Which is smaller than the first pair. Which will be obtained in this way.
यहां पहले जोड़ा 257 है। इसके नीचे 257 से छोटा घन लिखना है। जो 6³ = 216 होगा 7³ = 343 यह 257 से ज्यादा हो जाएगा। इसलिए हमें छोटा लेना होगा।
Here the first pair is 257. Below it we have to write the cube smaller than 257. Which will be 6³ = 216 7³ = 343 This will be more than 257. So we have to take the smaller one.
इसे इस प्रकार लिखेंगे। जो संख्या घटकर (257–216=3) आएगी इसे पहली क्षैतिज रेखा के नीचे लिख देंगे। और अगला अंक 3 इस क्षैतिज रेखा के नीचे लिखेंगे तो यह संख्या 33 हो जाएगी। इस प्रकार घनमूल का जो पहला अंक अर्थात इकाई का अंक प्राप्त होगा। उसे पहले जोड़े के ऊपर लिख देंगे। यहां यह 2 प्राप्त हुआ है।
It will be written in this way. The number which comes after reduction (257–216=3) will be written below the first horizontal line. And the next digit 3 will be written below this horizontal line, then this number will become 33. In this way the first digit of the cube root i.e. the unit digit will be written above the first pair. Here we have got 2.
6
| 257 259 456
A³=6³ = 216 | – 216 ↓
| 41 2 ÷
चरण 2 –> अब दूसरे चरण में 3 3 ÷ 3A² द्वारा हमें B³ प्राप्त करना होता है। यहां जो Q है; वही हमारा B है।
यहां रिमाइंडर R से हमारा कोई लेना देना नहीं है।
Step 2 –> Now in second step we have to get B³ by 3 3 ÷ 3A². Here Q is our B.
Reminder R has nothing to do with us here.
6 3
| 257 259 456
A³=6³ = 216 | – 216 ↓
| 41 2 ÷ 3A²
3A² = 3×6×6 =108 | 41 2 ÷ 108
Q = 3 R = 88
412 –324 = 88
चरण 3 –> अब तीसरे चरण में अनुमान द्वारा हमें C प्राप्त करना होता है। जो तीसरे युग्म के इकाई के अंक से C का अनुमान हो जाता है।
यह तीसरा युग्म 456 है जिसके इकाई का अंक 6 है। जो यह बताता है कि पूर्ण घन संख्या 257 259 456 के घनमूल के इकाई का अंक 6 होगा।
इस प्रकार हमें C भी प्राप्त हो गया।
Step 3 –> Now in the third step we have to get C by estimation. C is estimated from the unit digit of the third pair.
This third pair is 456 whose unit digit is 6. Which tells that the unit digit of the cube root of the perfect cube number 257 259 456 will be 6.
This way we also got C.
चरण 4 –> अब चौथे चरण में हम उत्तर की जांच करेंगे।
अब हमें अपने उत्तर की जांच, दी गई संख्या और उसके उत्तर की जांच नवांक विधि द्वारा करनी होगी।
(a) दी हुई संख्या का बीजांक = (b) दी हुई संख्या के घनमूल के बीजांक का घन।
Step 4 –> Now in the fourth step we will check the answer.
Now we have to check our answer, given number and its answer by navank method.
(a) Exponent of the given number = (b) Cube of the exponent of cube root of the given number.
(a) दी हुई संख्या 257 259 456 का बीजांक
2+5+7+2+5+9+4+5+6 = 45 => 4+5 = 9
(a) The exponent of the given number 257 259 456
2+5+7+2+5+9+4+5+6 = 45 => 4+5 = 9
(b) दी हुई संख्या 257 259 456 के घनमूल 456 के बीजांक का घन।
6+3+6 = 15 => 1+5 = 6 का घन
अर्थात 6³ = 2+1+6 = 9
(b) The cube of the exponent of the given number 257 259 456.
6+3+6 = 15 => Cube of 1+5 = 6
i.e. 636 = 2+1+6 = 9
★ यहां (a) और (b) दोनों के मान समान है; इसलिए 257259456 के घनमूल 636 सही है।
★ Here both (a) and (b) have the same value; hence the correct cube root of 257259456 is 636.
उदाहरण (3) –> 258474853 का घनमूल निकालिये।
हल –>
Example (3) –> Find the cube root of 258474853.
Solution –>
सबसे पहले संख्या के तीन-तीन के पेअर अर्थात जोड़े बनाते हैं।
First of all, we make pairs of three-three digits.
| 258 474 853
A³ |
|
क्योंकि सवाल में तीन पर अर्थात युग्म बना रहे हैं इसलिए इसका उत्तर तीन अंको अर्थात A B C में प्राप्त होगा।
Because in the question we are making pairs of three, so its answer will be in three digits i.e. A B C.
चरण 1 –> पहले चरण में अनुमान द्वारा हमें A³ प्राप्त करना होता है। जो पहले जोड़ी से छोटा होता है। जो इस प्रकार प्राप्त होगा।
Step 1 –> In the first step we have to get A³ by estimation. Which is smaller than the first pair. Which will be obtained in this way.
यहां पहले जोड़ा 257 है। इसके नीचे 257 से छोटा घन लिखना है। जो 6³ = 216 होगा 7³ = 343 यह 257 से ज्यादा हो जाएगा। इसलिए हमें छोटा लेना होगा।
Here the first pair is 257. Below it we have to write the cube smaller than 257. Which will be 6³ = 216 7³ = 343 This will be more than 257. So we have to take the smaller one.
इसे इस प्रकार लिखेंगे। जो संख्या घटकर (257–216=3) आएगी इसे पहली क्षैतिज रेखा के नीचे लिख देंगे। और अगला अंक 3 इस क्षैतिज रेखा के नीचे लिखेंगे तो यह संख्या 33 हो जाएगी। इस प्रकार घनमूल का जो पहला अंक अर्थात इकाई का अंक प्राप्त होगा। उसे पहले जोड़े के ऊपर लिख देंगे। यहां यह 2 प्राप्त हुआ है।
It will be written in this way. The number which comes after reduction (257–216=3) will be written below the first horizontal line. And the next digit 3 will be written below this horizontal line, then this number will become 33. In this way the first digit of the cube root i.e. the unit digit will be written above the first pair. Here we have got 2.
6
| 258 474 853
A³=6³ = 216 | – 216 ↓
| 41 2
चरण 2 –> अब दूसरे चरण में 3 3 ÷ 3A² द्वारा हमें B³ प्राप्त करना होता है। यहां जो Q है; वही हमारा B है।
यहां रिमाइंडर R से हमारा कोई लेना देना नहीं है।
Step 2 –> Now in second step we have to get B³ by 3 3 ÷ 3A². Here Q is our B.
Reminder R has nothing to do with us here.
6 3
| 258 474 853
A³=6³ = 216 | – 216 ↓
| 42 4 ÷ 3A²
3A² = 3×6×6 =108 | 42 4 ÷ 108
Q = 3 R = 100
424 –324 = 100
चरण 3 –> अब तीसरे चरण में अनुमान द्वारा हमें C प्राप्त करना होता है। जो तीसरे युग्म के इकाई के अंक से C का अनुमान हो जाता है।
यह तीसरा युग्म 853 है जिसके इकाई का अंक 7 है। जो यह बताता है कि पूर्ण घन संख्या 258 474 853 के घनमूल के इकाई का अंक 7 होगा।
इस प्रकार हमें C भी प्राप्त हो गया।
Step 3 –> Now in the third step we have to get C by estimation. C is estimated from the unit digit of the third pair.
This third pair is 853 whose unit digit is 7. Which tells that the unit digit of the cube root of the perfect cube number 258 474 853 will be 7.
This way we also got C.
चरण 4 –> अब चौथे चरण में हम उत्तर की जांच करेंगे।
अब हमें अपने उत्तर की जांच, दी गई संख्या और उसके उत्तर की जांच नवांक विधि द्वारा करनी होगी।
(a) दी हुई संख्या का बीजांक = (b) दी हुई संख्या के घनमूल के बीजांक का घन।
Step 4 –> Now in the fourth step we will check the answer.
Now we have to check our answer, given number and its answer by Navank method.
(a) Exigency of the given number = (b) Cube of the exigency of the cube root of the given number.
(a) दी हुई संख्या 258474853 का बीजांक
2+5+8+4+7+4+8+5+3 = 19
=> 1+9 = 10 => 1+0 = 1
(a) Exigency of the given number 258474853
2+5+8+4+7+4+8+5+3 = 19
=> 1+9 = 10 => 1+0 = 1
(b) दी हुई संख्या 258474853 के घनमूल 637 के बीजांक का घन।
6+3+7 = 16 => 1+6 = 7 का घन
अर्थात 7³ = 343 = 3+4+3 = 10 => 1+0 = 1
(b) Cube of the exigency of the cube root 637 of the given number 258474853.
6+3+7 = 16 => Cube of 1+6 = 7
i.e. 7³ = 343 = 3+4+3 = 10 => 1+0 = 1
★ यहां (a) और (b) दोनों के मान समान है; इसलिए 258474853 के घनमूल 637 सही है।
★ Here the values of both (a) and (b) are same; Therefore cube root of 258474853 is 637 correct.
चार युग्मीय संख्याओं का घनमूल निकालना।
Finding the cube root of four pairwise numbers.
उदाहरण (4) –> 76819825251 का घनमूल निकालिये।
हल –>
Example (4) –> Find the cube root of 76819825251.
Solution –>
सबसे पहले संख्या के तीन-तीन के पेअर अर्थात जोड़े बनाते हैं।
First of all, we make pairs of three-three digits.
| 76 819 825 251
A³ |
|
क्योंकि सवाल में चार पेअर अर्थात युग्म बन रहे हैं इसलिए इसका उत्तर चार अंको अर्थात A B C D में प्राप्त होगा।
Because four pairs are being formed in the question, so its answer will be in four digits i.e. A B C D.
चरण 1 –> पहले चरण में अनुमान द्वारा हमें A³ प्राप्त करना होता है। जो पहले जोड़ी से छोटा होता है। जो इस प्रकार प्राप्त होगा।
Step 1 –> In the first step, we have to get A³ by estimation. Which is smaller than the first pair. Which will be obtained in this way.
यहां पहले जोड़ा 76 है। इसके नीचे 76 से छोटा घन लिखना है। जो 4³ = 64 होगा 5³ = 125 यह 76 से ज्यादा हो जाएगा। इसलिए हमें छोटा लेना होगा।
Here the first pair is 76. Write the cube smaller than 76 below it. Which will be 4³ = 64 5³ = 125 This will be more than 76. So we have to take the smaller one.
इसे इस प्रकार लिखेंगे। जो संख्या घटकर (76–64=12) आएगी इसे पहली क्षैतिज रेखा के नीचे लिख देंगे। और अगला अंक 8 इस क्षैतिज रेखा के नीचे लिखेंगे तो यह संख्या 128 हो जाएगी। इस प्रकार घनमूल का जो पहला अंक अर्थात इकाई का अंक प्राप्त होगा। उसे पहले जोड़े के ऊपर लिख देंगे। यहां यह 4 प्राप्त हुआ है।
Here the first pair is 76. Write the cube smaller than 76 below it. Which will be 4³ = 64 5³ = 125 This will be more than 76. So we have to take the smaller one.
4
| 76 819 825 251
A³=4³ = 64 | – 64 ↓
| 12 8
चरण 2 –> अब दूसरे चरण में 12 8 ÷ 3A² द्वारा हमें B प्राप्त करना होता है। यहां दूसरे चरण का जो Q है; वही हमारा B है।
यहां रिमाइंडर R से हमारा कोई लेना देना नहीं है।
Step 2 –> Now in the second step we have to get B by dividing 12 8 ÷ 3A². Here Q of the second step is our B.
Reminder R has nothing to do with us here.
6
| 76 819 825 251
A³=4³ = 64 | – 64 ↓
| 12 8 ÷ 3A²
3A² = 3×4×4 =48 | 12 8 ÷ 48
Q = 2 R = 100
128 –96 = 32
चरण 3 –> अब दूसरे चरण में 12 8 ÷ 3A² द्वारा हमें B प्राप्त करना होता है। यहां दूसरे चरण का जो Q है; वही हमारा B है।
यहां रिमाइंडर R से हमारा कोई लेना देना नहीं है।
Step 3 –> Now in the second step we have to get B by dividing 12 8 ÷ 3A². Here Q of the second step is our B.
Reminder R has nothing to do with us here.
6 2
| 76 819 825 251
A³=4³ = 64 | – 64 ↓
| 12 8 ÷ 3A²
3A² = 3×4×4 =48 | 12 8 ÷ 48
Q = 2 R = 32
128 –96 = 32
4 2
| 76 819 825 251
A³=4³ = 64 | – 64 ↓
| 12 8 ÷ 3A²
3A² = 3×4×4 =48 | 12 8 ÷ 48
Q = 2 R = 32
अब आगे की प्रक्रिया इस प्रकार होगी।
R (Next digit) – A³ × B³ के केवल त्रियक गुणन का योग
Now the further process will be as follows.
R (Next digit) – Sum of only ternary product of A³ × B³
Sum of only ternary product of A³ × B³
A³ × B³ के केवल त्रियक गुणन का योग
A³ = A B
B³ = C D
A×D + C×D
Sum of only ternary product of 4³ × 2³
4³ × 2³ के केवल त्रियक गुणन का योग
4³ = 6 4
2³ = 0 8
6×8 + 0×4 = 48 +0 = 48
4 2 5 1
| 76 819 825 251
A³=4³ = 64 | – 64 ↓
| 12 8 ÷ 3A²
3A² = 3×4×4 =48 | 12 8 ÷ 48
Q = 2 R = 32
A³× B³= 4³×2³ | R (Next digit ↓) – A³ × B³
| 32 1 – 48 = 273
| 27 3 ÷ 48
Q = 5 R = 33
चरण 4 –> अब चौथे चरण में अनुमान द्वारा हमें D प्राप्त करना होता है। जो तीसरे युग्म के इकाई के अंक से D का अनुमान हो जाता है।
यह तीसरा युग्म 251 है जिसके इकाई का अंक 1 है। जो यह बताता है कि पूर्ण घन संख्या 76819825251 के घनमूल के इकाई का अंक 1 होगा।
इस प्रकार हमें C भी प्राप्त हो गया।
Step 4 –> Now in the fourth step we have to get D by estimation. Which is the estimation of D from the unit digit of the third pair.
This third pair is 251 whose unit digit is 1. Which tells that the unit digit of the cube root of the perfect cube number 76819825251 will be 1.
This way we also got C.
चरण 5 –> अब चौथे चरण में हम उत्तर की जांच करेंगे।
अब हमें अपने उत्तर की जांच, दी गई संख्या और उसके उत्तर की जांच नवांक विधि द्वारा करनी होगी।
(a) दी हुई संख्या का बीजांक = (b) दी हुई संख्या के घनमूल के बीजांक का घन।
Step 5 –> Now in the fourth step we will check the answer.
Now we have to check our answer, given number and its answer by Navank method.
(a) Exigency of the given number = (b) Cube of the exigency of cube root of the given number.
(a) दी हुई संख्या 76819825251 का बीजांक
7+6+8+1+9+8+2+5+2+5+1 = 18
=> 1+8 = 9
(a) Exigency of the given number 76819825251
7+6+8+1+9+8+2+5+2+5+1 = 18
=> 1+8 = 9
(b) दी हुई संख्या 76819825251 के घनमूल 4251 के बीजांक का घन।
4+2+5+1 = 12 => 1+2 = 3 का घन
अर्थात 3³ = 27 = 2+7 = 9
(b) Cube of the exigency of cube root 4251 of the given number 76819825251.
4+2+5+1 = 12 => Cube of 1+2 = 3
i.e. 3³ = 27 = 2+7 = 9
★ यहां (a) और (b) दोनों के मान समान है; इसलिए 76819825251 का घनमूल 4251 सही है।
★ Here the values of both (a) and (b) are same; Therefore the cube root of 76819825251 is 4251.
उदाहरण (5) –> 76928302277 का घनमूल निकालिये।
हल –>
Example (5) –> Find the cube root of 76928302277.
Solution –>
सबसे पहले संख्या के तीन-तीन के पेअर अर्थात जोड़े बनाते हैं।
First of all, we make pairs of three-three digits.
| 76 928 302 277
A³ |
|
क्योंकि सवाल में चार पेअर अर्थात युग्म बन रहे हैं इसलिए इसका उत्तर चार अंको अर्थात A B C D में प्राप्त होगा।
Because four pairs are being formed in the question, so its answer will be in four digits i.e. A B C D.
चरण 1 –> पहले चरण में अनुमान द्वारा हमें A³ प्राप्त करना होता है। जो पहले जोड़ी से छोटा होता है। जो इस प्रकार प्राप्त होगा।
Step 1 –> In the first step, we have to get A³ by estimation. Which is smaller than the first pair. Which will be obtained in this way.
यहां पहले जोड़ा 76 है। इसके नीचे 76 से छोटा घन लिखना है। जो 4³ = 64 होगा 5³ = 125 यह 76 से ज्यादा हो जाएगा। इसलिए हमें छोटा लेना होगा।
Here the first pair is 76. Write the cube smaller than 76 below it. Which will be 4³ = 64 5³ = 125 This will be more than 76. So we have to take the smaller one.
इसे इस प्रकार लिखेंगे। जो संख्या घटकर (76–64=12) आएगी इसे पहली क्षैतिज रेखा के नीचे लिख देंगे। और अगला अंक 8 इस क्षैतिज रेखा के नीचे लिखेंगे तो यह संख्या 128 हो जाएगी। इस प्रकार घनमूल का जो पहला अंक अर्थात इकाई का अंक प्राप्त होगा। उसे पहले जोड़े के ऊपर लिख देंगे। यहां यह 4 प्राप्त हुआ है।
It will be written like this. The number which comes after reduction (76–64=12) will be written below the first horizontal line. And the next digit 8 will be written below this horizontal line, then this number will become 128. In this way, the first digit of the cube root i.e. the unit digit will be written above the first pair. Here we have got 4.
4
| 76 928 302 277
A³=4³ = 64 | – 64 ↓
| 12 9
चरण 2 –> अब दूसरे चरण में 12 9 ÷ 3A² द्वारा हमें B प्राप्त करना होता है। यहां दूसरे चरण का जो Q है; वही हमारा B है।
यहां रिमाइंडर R से हमारा कोई लेना देना नहीं है।
Step 2 –> Now in second step we have to get B by dividing 12 9 ÷ 3A². Here Q of second step is our B.
Reminder R has nothing to do with us here.
4
| 76 928 302 277
A³=4³ = 64 | – 64 ↓
| 12 9 ÷ 3A²
3A² = 3×4×4 =48 | 12 9 ÷ 48
Q = 2 R = 33
129 –96 = 33
चरण 3 –> अब दूसरे चरण में 12 9 ÷ 3A² द्वारा हमें B प्राप्त करना होता है। यहां दूसरे चरण का जो Q है; वही हमारा B है।
यहां रिमाइंडर R से हमारा कोई लेना देना नहीं है।
Step 3 –> Now in the second step we have to get B by dividing 129 ÷ 3A². Here Q of the second step is our B.
Reminder R has nothing to do with us here.
4 2
| 76 928 302 277
A³=4³ = 64 | – 64 ↓
| 12 9 ÷ 3A²
3A² = 3×4×4 =48 | 12 9 ÷ 48
Q = 2 R = 33
129 –96 = 33
4 2
| 76 928 302 277
A³=4³ = 64 | – 64 ↓
| 12 9 ÷ 3A²
3A² = 3×4×4 =48 | 12 9 ÷ 48
Q = 2 R = 33
अब आगे की प्रक्रिया इस प्रकार होगी।
R (Next digit) – A³ × B³ के केवल त्रियक गुणन का योग
Now the further process will be as follows.
R (Next digit) – Sum of only ternary product of A³ × B³
Sum of only ternary product of A³ × B³
A³ × B³ के केवल त्रियक गुणन का योग
A³ = A B
B³ = C D
A×D + C×D
4³ × 2³ के केवल त्रियक गुणन का योग
Sum of only ternary product of 4³ × 2³
4³ = 6 4
2³ = 0 8
6×8 + 0×4 = 48 +0 = 48
4 2 5 1
| 76 928 302 277
A³=4³ = 64 | – 64 ↓
| 12 9 ÷ 3A²
3A² = 3×4×4 =48 | 12 9 ÷ 48
Q = 2 R = 33
A³× B³= 4³×2³ | R (Next digit ↓) – A³ × B³
| 33 2 – 48 = 283
| 28 4 ÷ 48
Q = 5 R = 44
चरण 4 –> अब चौथे चरण में अनुमान द्वारा हमें D प्राप्त करना होता है। जो तीसरे युग्म के इकाई के अंक से D का अनुमान हो जाता है।
यह तीसरा युग्म 277 है जिसके इकाई का अंक 3 है। जो यह बताता है कि पूर्ण घन संख्या 76928302277 के घनमूल के इकाई का अंक 3 होगा।
इस प्रकार हमें C भी प्राप्त हो गया।
Step 4 –> Now in the fourth step we have to get D by estimation. Which is the estimation of D from the unit digit of the third pair.
This third pair is 277 whose unit digit is 3. Which tells that the unit digit of the cube root of the perfect cube number 76928302277 will be 3.
This way we also got C.
चरण 5 –> अब चौथे चरण में हम उत्तर की जांच करेंगे।
अब हमें अपने उत्तर की जांच, दी गई संख्या और उसके उत्तर की जांच नवांक विधि द्वारा करनी होगी।
(a) दी हुई संख्या का बीजांक = (b) दी हुई संख्या के घनमूल के बीजांक का घन।
Step 5 –> Now in the fourth step we will check the answer.
Now we have to check our answer, given number and its answer by Navank method.
(a) Exigency of given number = (b) Cube of exigency of cube root of given number.
(a) दी हुई संख्या 76928302277 का बीजांक
7+6+9+2+8+3+0+2+2+7+7 = 8
(a) Exigency of given number 76928302277
7+6+9+2+8+3+0+2+2+7+7 = 8
(b) दी हुई संख्या 76928302277 के घनमूल 4253 के बीजांक का घन।
4+2+5+3 = 5 => 5 का घन
अर्थात 5³ = 125 = 1+2+5 = 8
(b) Cube of exigency of cube root 4253 of given number 76928302277.
4+2+5+3 = 5 => Cube of 5
i.e. 5³ = 125 = 1+2+5 = 8
★ यहां (a) और (b) दोनों के मान समान है; इसलिए 76928302277 का घनमूल 4253 सही है।
★ Here both (a) and (b) have same value; so cube root 4253 of 76928302277 is correct.
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