विनजीत वैदिक अंकगणित पुस्तक || 1 || अध्याय 20.02 || घनमूल ज्ञात करना भाग विधि द्वारा
लेखक
ॐ जितेन्द्र सिंह तोमर
(M.A., B. Ed., MASSCOM, DNYS )
(Specialist in Basic and Vedic Maths)
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किसी संख्या का घनमूल ज्ञात करने की तीन विधियाँ हैं।
इस तरह की रचना बनाएं। यहां भाज्य Devidend (D) वह संख्या है जिसका घनमूल निकालना होता है।
There are three methods to find the cube root of a number.
Make a construction like this. Here Dividend (D) is the number whose cube root is to be found.
। Quotient (Q) भागफल
Devisor | Devidend (D)
(d) | भाज्य
भाजक |
|
| Reminder (R) शेषफल
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1. भाग विधि
चरण 1 –> वह संख्या लिखिए जिसका घनमूल आप ज्ञात करना चाहते हैं।
abc def
चरण 2 –> अंकों को दाईं ओर से तीन-तीन के समूहों में लिखें।
abc def
चरण 3 –> अंकों को इस प्रकार सज्जित करें।
1. Division Method
Step 1 –> Write the number whose cube root you want to find.
abc def
Step 2 –> Write the digits in groups of three from the right.
abc def
Step 3 –> Arrange the digits as follows.
LHS RHS
।
Devisor | abc def
(d) |
भाजक |
|
| Reminder (R) शेषफल
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उदाहरण 1. भाग विधि द्वारा 15635 का घनमूल ज्ञात करो।
हल –
चरण 1 –> मान लीजिए हमें 15635 का गन भी ज्ञात करना है। तो 15635 के अंकों को दाईं ओर से तीन-तीन के समूहों (15 635) में लिखें।
abc def
चरण 2 –> अंकों को इस प्रकार सज्जित करें।
Example 1. Find the cube root of 15635 by division method.
Solution –
Step 1 –> Suppose we have to find the product of 15635. Then write the digits of 15635 in groups of three from the right side (15 635).
abc def
Step 2 –> Arrange the digits in this way.
।
| 1 5 6 3 5
|
|
|
|
चरण 3 (a) –> d के स्थान पर अपनी सुविधा के अनुसार abc संख्या के बराबर या उससे कम घन वाली संख्या लेनी है। हमें यहां abc से अधिक मान वाली संख्या नहीं लेनी है।
d के लिए 15 से छोटी पूर्ण घन संख्या 8 है जो 2 का घन है। अतः यहां d = 2 लेना होगा। अतः d और Q के स्थान पर 2 लिखेंगे।
और 15 के नीचे 2³ = 8 लिखेंगे
Step 3 (a) –> In place of d, take a number equal to or less than the cube of abc as per your convenience. We do not have to take a number greater than abc here.
For d, the perfect cube number smaller than 15 is 8 which is the cube of 2. So here we have to take d = 2. So, we will write 2 in place of d and Q.
And under 15, we will write 2³ = 8
। 2
2 | 1 5 6 3 5
| 8
|
|
|
चरण 3 (b) –> अब 2 के नीचे दो बार 2 लिखते हैं। और 15 में से 8 घटकर (15 –8 = 7) दूसरी क्षैतिज RHS लाइन के नीचे 7 लिखते हैं।
Step 3 (b) –> Now write 2 twice below 2. And after subtracting 8 from 15 (15 – 8 = 7) write 7 below the second horizontal RHS line.
। 2
2 | 1 5 6 3 5
+ 2 | –8
+ 2 |
|
| 7
चरण 3 (c) –> अब दूसरी क्षैतिज LHS लाइन के नीचे तीनों 2 को जोड़कर लिखते हैं। और इसके आगे एक रिक्त स्थान छोड़ देते हैं। इस प्रकार हमें नया d, 6 प्राप्त होता है।
Step 3 (c) –> Now write all the three 2’s together below the second horizontal LHS line. And leave a blank space after it. Thus we get new d, 6.
। 2
2 | 1 5 6 3 5
+ 2 | –8
+ 2 |
|
6 __ | 7
चरण 4 (a) –> 635 को दूसरी क्षैतिज RHS लाइन के नीचे परंतु 7 के आगे लिखते हैं। इस प्रकार यह संख्या 7635 हो जाती है।
Step 4 (a) –> Write 635 below the second horizontal RHS line but before 7. Thus, this number becomes 7635.
। 2
2 | 1 5 6 3 5
+ 2 | –8 ↓
+ 2 | ↓
|
6 __ | 7 635
★ क्षैतिज RHS लाइन के 7635 में से इकाई और दहाई छोड़ देने पर बचे 76 को नया d, 6 और Q के गुणनफल से भाग करते हैं।
★ After dropping unit and tens from 7635 on the horizontal RHS line, divide the remaining 76 by the product of new d, 6 and Q.
76. 76
___ = ___. = 6
6×2 12
चरण 4 (b) –> ★ अब इस 6 को नए d, 6 के आगे रिक्त स्थान में तथा उसके नीचे दो बार लिख देते हैं।
Step 4 (b) –> ★ Now write this 6 twice in the blank space in front of new d, 6 and below it.
। 2
2 | 1 5 6 3 5
+ 2 | –8 ↓
+ 2 | ↓
|
6 6 | 7 635
+6 |
+6 |
|
★a) अब इस 6 से की नए d, 6 और Q =2 से गुणा करके इसके आगे दो शून्य लिख देते हैं।
6 × 2 × 6 = 72 00
★a) Now multiply this 6 with the new d, 6 and Q = 2 and write two zeros after it.
6 × 2 × 6 = 7200
★b) अब नया d, 66 प्राप्त होता है, अब इसे दोनों 6 से गुणा करके प्राप्त हुए परिणामों को ★a) के साथ जोड़ते हैं ।
66 × 6 × 6 = 2376
अब 7200+2376 = 9576
★b) Now the new d is 66, now multiply it with both the 6s and add the results obtained with ★a).
66 × 6 × 6 = 2376
Now 7200+2376 = 9576
इस परिणाम के बारे में तीन निर्णय निकाल कर सामने आएंगे
Three decisions will be made about this result
नंबर 1 –> या तो परिणाम बराबर होंगे
यदि परिणाम बराबर है तो हमें घनमूल प्राप्त हो गया है।
Number 1 –> Either the results will be equal
If the results are equal, we have obtained the cube root.
नंबर 2 –> या फिर परिणाम बड़ा होगा
यदि परिणाम बड़ा है तो इस नए d को एक काम करके गणना पुनः करते हैं।
Number 2 –> Or the result will be bigger
If the result is bigger, then the calculation is repeated by subtracting this new d by one.
नंबर 3 –> या फिर परिणाम छोटा होगा।
यदि परिणाम छोटा है तो गणना आगे बढ़ा दी जाएगी।
Number 3 –> Or the result will be smaller.
If the result is smaller, the calculation will be carried forward.
यदि यह योग दूसरी क्षैतिज रेखा के नीचे लिखे अंक से ज्यादा है तो इस संख्या को एक काम करके गणना पुनः करते हैं। यहां ऐसा ही हुआ है इसलिए 6 के स्थान पर हमें 5 चुनना होगा और यह गणना पुनः करनी होगी।
If this sum is more than the number written below the second horizontal line, then the calculation is repeated by subtracting this number by one. This is what has happened here, so instead of 6, we have to choose 5 and repeat this calculation.
चरण 4 (b) –> ★ अब इस 5 को नए d, 5 के आगे रिक्त स्थान में तथा उसके नीचे दो बार लिख देते हैं।
Step 4 (b) –> ★ Now write this 5 in the blank space in front of the new d, 5 and twice below it.
। 2
2 | 1 5 6 3 5
+ 2 | –8 ↓
+ 2 | ↓
|
6 5 | 7 635
+5 |
+5 |
75 |
★a) अब इस 5 से की नए d, 6 और Q =2 से गुणा करके इसके आगे दो शून्य लिख देते हैं।
5 × 2 × 6 = 60 00
★a) Now multiply this 5 with new d, 6 and Q =2 and write two zeros in front of it.
5 × 2 × 6 = 60 00
★b) अब नया d, 65 प्राप्त होता है, अब इसे दोनों 5 से गुणा करके प्राप्त हुए परिणामों को ★a) के साथ जोड़ते हैं ।
65 × 5 × 5 = 1625
अब 6000+1625 = 7625
★b) Now new d is 65, now multiply it with both 5 and add the results obtained with ★a).
65 × 5 × 5 = 1625
Now 6000+1625 = 7625
यहां यह योग दूसरी क्षैतिज रेखा के नीचे लिखे अंक के बराबर है। आते तीसरी क्षैतिज RHS के नीचे शून्य शेष बचता है।
तो इस प्रकार हमें दूसरा Q =5 प्राप्त हुआ जिसे 2 के आगे Q वाली लाइन में लिख देते हैं।
Here this sum is equal to the number written below the second horizontal line. Now zero remains below the third horizontal RHS.
So in this way we get another Q =5 which is written in the line with Q in front of 2.
। 2 5
2 | 1 5 6 3 5
+ 2 | –8 ↓
+ 2 | ↓
|
6 5 | 7 635
+5 | 7 635
+5 |
75 | 0
क्या हमारा परिणाम सही है तो इसे जचने का एक तरीका है।
अंतिम d = 3 × Q होगा ।
75 = 3 × 25
75 = 75
अतः
³√15635 = 25 उत्तर
There is a way to check if our result is correct.
The final result is d = 3 × Q.
75 = 3 × 25
75 = 75
So, ³√15635 = 25 Answer
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उदाहरण 2. भाग विधि द्वारा 1771561 का घनमूल ज्ञात करो।
हल –
Example 2. Find the cube root of 1771561 by division method.
Solution –
चरण 1 –> मान लीजिए हमें 1771561 का गन भी ज्ञात करना है। तो 1771561 के अंकों को दाईं ओर से तीन-तीन के समूहों (1 771 561) में लिखें।
abc def
Step 1 –> Suppose we have to find the product of 1771561. Then write the digits of 1771561 in groups of three from the right side (1 771 561).
abc def
चरण 2 –> अंकों को इस प्रकार सज्जित करें।
Step 2 –> Arrange the digits in this way.
।
| 1 771 561
|
|
|
|
चरण 3 (a) –> d के स्थान पर अपनी सुविधा के अनुसार abc संख्या के बराबर या उससे कम घन वाली संख्या लेनी है। हमें यहां abc से अधिक मान वाली संख्या नहीं लेनी है।
d के लिए 1 से छोटी पूर्ण घन संख्या 1 है जो 1 का घन है। अतः यहां d = 1 लेना होगा। अतः d और Q के स्थान पर 1 लिखेंगे।
और 1 के नीचे 1³ = 1 लिखेंगे
Step 3 (a) –> In place of d, take a number equal to or less than the cube of abc as per your convenience. We do not have to take a number greater than abc here.
For d, the perfect cube number smaller than 1 is 1 which is the cube of 1. So here we have to take d = 1. So, we will write 1 in place of d and Q.
And under 1, we will write 1³ = 1
। 1
1 | 1 771 561
+1 | 1
+1 |
|
|
चरण 3 (b) –> अब 1 के नीचे दो बार 1 लिखते हैं। और 1 में से 1 घटकर (1 –1 = 0) दूसरी क्षैतिज RHS लाइन के नीचे 0 लिखते हैं।
Step 3(b) –> Now write 1 twice below 1. And by subtracting 1 from 1 (1 –1 = 0) write 0 below the second horizontal RHS line.
। 1
1 | 1 771 561
+1 | 1
+1 |
|
3 __ | 0
चरण 3 (c) –> अब दूसरी क्षैतिज LHS लाइन के नीचे तीनों 1 को जोड़कर लिखते हैं। और इसके आगे एक रिक्त स्थान छोड़ देते हैं। इस प्रकार हमें नया d, 3 प्राप्त होता है।
Step 3(c) –> Now write all the three 1’s below the second horizontal LHS line. And leave a blank space after it. Thus we get new d, 3.
। 1
1 | 1 771 561
+1 | –1
+1 |
|
3 __ | 0
चरण 4 (a) –> 771 को दूसरी क्षैतिज RHS लाइन के नीचे परंतु 0 के आगे लिखते हैं। इस प्रकार यह संख्या 0771 हो जाती है।
Step 4 (a) –> Write 771 below the second horizontal RHS line but before 0. This number becomes 0771.
। 1
1 | 1 771 561
+1 | –1 ↓
+1 | ↓
|
3 __ | 0 771
★ क्षैतिज RHS लाइन के 0771 में से इकाई और दहाई छोड़ देने पर बचे 07 को नया d, 3 और Q =1 के गुणनफल से भाग करते हैं।
★ After dropping units and tens from 0771 on the horizontal RHS line, divide the remaining 07 by the product of new d, 3 and Q = 1.
07. 07
___ = ___. = 2
3×1 3
चरण 4 (b) –> ★ अब इस 2 को नए d, 3 के आगे रिक्त स्थान में तथा उसके नीचे दो बार लिख देते हैं।
Step 4 (b) –> ★ Now write this 2 in the blank space before the new d, 3 and twice below it.
। 1
1 | 1 771 561
+1 | –1 ↓
+1 | ↓
|
3 2 | 0 771
+ 2 | – 728
+ 2 |
|
3 6 | 43
★a) अब इस 2 से की नए d, 3 और Q =1 से गुणा करके इसके आगे दो शून्य लिख देते हैं।
2 × 3 × 1 = 6 00
★a) Now multiply this 2 with the new d, 3 and Q = 1 and write two zeros in front of it.
2 × 3 × 1 = 6 00
★b) अब नया d, 32 प्राप्त होता है, अब इसे दोनों 2 से गुणा करके प्राप्त हुए परिणामों को ★a) के साथ जोड़ते हैं ।
32 × 2 × 2 = 128
अब 600+128 = 728
★b) Now the new d is 32, now multiply it with both 2 and add the results obtained with ★a).
32 × 2 × 2 = 128
Now 600+128 = 728
यहां यह योग दूसरी क्षैतिज रेखा के नीचे लिखकर घटाते है। जिसमें 43 शेष बचता है, अतः तीसरी क्षैतिज RHS के नीचे 43 लिख देते है।
तो इस प्रकार हमें दूसरा Q =2 प्राप्त हुआ जिसे 1 के आगे Q वाली लाइन में लिख देते हैं।
Here this sum is written below the second horizontal line and then subtracted. In which 43 remains, so write 43 below the third horizontal RHS.
So in this way we get the second Q = 2 which is written in the line with Q in front of 1.
चरण 5 (a) –> 561 को तीसरी क्षैतिज RHS लाइन के नीचे परंतु 43 के आगे लिखते हैं। इस प्रकार यह संख्या 43561 हो जाती है।
Step 5 (a) –> Write 561 below the third horizontal RHS line but ahead of 43. Thus, the number becomes 43561.
। 1 2 1
1 | 1 771 561
+1 | –1 ↓ ↓
+1 | ↓ ↓
|
3 2 | 0 771 ↓
+ 2 | – 728 ↓
+ 2 | ↓
|
36 1 | 43 561
1 |
1 |
363 |
★ तीसरी क्षैतिज RHS लाइन के 43561 में से इकाई और दहाई छोड़ देने पर बचे 435 को नया d, 32 और Q =12 के गुणनफल से भाग करते हैं।
★ After dropping units and tens from 43561 in the third horizontal RHS line, divide the remaining 435 by the product of new d, 32 and Q = 12.
435 435
______ = ______ = 1
32×12 384
★a) अब इस 1 से नए d, 32 और Q =12 से गुणा करके इसके आगे दो शून्य लिख देते हैं।
1 × 36 × 12 = 432 00
★a) Now multiply this 1 with new d, 32 and Q = 12 and write two zeros after it.
1 × 36 × 12 = 432 00
★b) अब नया d, 36 प्राप्त होता है, अब इसे दोनों 1 से गुणा करके प्राप्त हुए परिणामों को ★a) के साथ जोड़ते हैं ।
361 × 1 × 1 = 361
अब 43200+361 = 43561
★b) Now we get new d, 36, now multiply it with both 1’s and add the results obtained with ★a).
361 × 1 × 1 = 361
Now 43200+361 = 43561
। 1 2 1
1 | 1 771 561
+1 | –1 ↓ ↓
+1 | ↓ ↓
|
3 2 | 0 771 ↓
+ 2 | – 728 ↓
+ 2 | ↓
|
36 1 | 43 561
1 | 43 561
1 |
363 | 0
क्या हमारा परिणाम सही है तो इसे जचने का एक तरीका है।
अंतिम d = 3 × Q होगा ।
363 = 3 × 121
363 = 363
अतः
³√1771561 = 121 उत्तर
There is a way to check if our result is correct.
The final result is d = 3 × Q.
363 = 3 × 121
363 = 363
So, ³√1771561 = 121 Answer
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