विनजीत वैदिक अंकगणित पुस्तक || 1 || अध्याय 20.06 || द्वंद योग द्वारा वर्गमूल ज्ञात करना Vinjeet Vedic Arithmetic Book || 1 || Chapter 20.06 || Finding square root of
Authorलेखक
ॐ जितेन्द्र सिंह तोमर
(M.A., B. Ed., MASSCOM, DNYS )
(Specialist in Basic and Vedic Maths)
🌺🌺🌺🪷🪷विनीत वैदिक गणित 🪷🪷🌺🌺🌺
Vinjeet Vedic Arithmetic Book || 1 || Chapter 20.06 || Finding square root of
Author
लेखक
ॐ जितेन्द्र सिंह तोमर
(M.A., B. Ed., MASSCOM, DNYS )
(Specialist in Basic and Vedic Maths)
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द्वंद योग द्वारा वर्गमूल निकालना
द्वंद योग द्वारा वर्गमूल निकालने के लिए तीन गणनाएं बार-बार की जाते हैं।
ध्यान रहे कि संख्या में जितने जोड़े होते हैं उत्तर अर्थात वर्गमूल में भी उतने ही अंक आते हैं।
इसके प्रत्येक चरण में दो क्रियाएं होती हैं। 1. घटना और 2. भाग करना
★ घटाने की क्रिया में ही द्वंद का उपयोग करना होता है।
Finding square root by dwand yog
Three calculations are done repeatedly to find square root by dwand yog.
Keep in mind that the number of pairs in a number is equal to the number of digits in the answer i.e. square root.
There are two actions in each of its steps. 1. Subtraction and 2. Division
★ Dwand has to be used only in the action of subtraction.
भाग की क्रियाएं कितनी बार होंगी।
RHS से पहले जोड़े या युग्म को छोड़ने के उपरांत जितने युग्म बचेंगे उनके बराबर बार आपको भाग करना होगा।
How many times will the division operation be performed.
After dropping the first pair or pairs from the RHS, you will have to perform the division equal to the number of pairs that remain.
घटा की क्रियाएं कितनी बार होंगी।
RHS से पहले जोड़े या युग को छोड़ने के उपरांत जितने युग्म बचेंगे उनके दुगने के बराबर बार आपको घटा करना होगा।
परंतु जैसे ही हम सवाल करते हैं कुछ ही क्रिया करने के बाद उत्तर आ जाता है । अतः उत्तर के कुल अंक प्राप्त हो जाते हैं परन्तु कुछ अंक अभी भी क्रिया के लिए बचे रह जाते हैं।
अब बचे अंकों का क्या करें। उत्तर तो मिल गया परंतु इससे यह कहना कठिन है कि उत्तर सही है अथवा गलत। इस समस्या को दूर करने के लिए हमें पूरा सवाल करना पड़ेगा। और हमारा उत्तर शून्य आना चाहिए। इसके लिए हमें बाकी बचे अंकों को भी प्रयोग में लाना पड़ेगा।
How many times will the subtraction operation be done.
After leaving the first pair or era from the RHS, you will have to subtract twice as many pairs as will be left.
But as soon as we solve the problem, the answer is obtained after doing some operations. So, the total marks of the answer are obtained but some marks are still left for the operation.
Now what to do with the remaining marks. The answer is obtained but it is difficult to say whether the answer is right or wrong. To solve this problem, we will have to solve the entire problem. And our answer should be zero. For this, we will have to use the remaining marks as well.
प्रक्रिया
Process
(ⅰ) सबसे पहले संख्या को लिखें और इकाई की ओर (←) से शुरू करके उसको युग्म (जोड़ों) में विभक्त कर लें।
AB CD
(ⅰ) First write the number and divide it into pairs starting from the unit side (←).
AB CD
(ⅰi) इसके उपरांत, पहले जोड़े को ऊधर्वाधर (होरिजेंटल) लाइन से शेष भाग से अलग कर लेते हैं। इसमें प्रयुक्त कॉलम्स को को हम RC (दांया कॉलम), MC (मध्य कॉलम) और LC (बांया कॉलम) के नाम से जानेंगे।
LC (बांया कॉलम) में लिखे जाने वाले अंकों के बीच में थोड़ा-थोड़ा स्थान छोड़कर रखते हैं।
(ⅰi) After this, the first pair is separated from the rest by a vertical (horizontal) line. The columns used in this will be known as RC (right column), MC (middle column) and LC (left column).
The numbers written in LC (left column) are kept with a little space in between them.
RC MC LC
| A B | C D E G
| |
| m² |
(iii) MC में AB से छोटी पूर्ण वर्ग संख्या ज्ञात करें। माना वह m² है। अब AB के नीचे वाले क्षैतिज रेखा के नीचे लिखे।
(iii) Find the smallest perfect square number in MC less than AB. Let it be m². Now write it below the horizontal line below AB.
(iv) अब RC वाले भाग में m का दुगना लिखेंगे । हम इस 2×m को भाजक कहेंगे।
(iv) Now in the RC part we will write twice of m. We will call this 2×m the divisor.
हमारी वास्तविक गणना अब शुरू होती है।
Our actual calculations begin now.
चरण 1 –> भाज्य युग्म – वर्गमूल के प्रथम अंक 4 का द्वंद
= AB – m² = p शेषफल
अब इस शेषफल को अगले अंक से थोड़ा पहले तथा उसके नीचे लिखते हैं। अब यह संख्या p C हो जाएगी। जिसे हम नया भाज्य कहेंगे।
Step 1 –> Dividend pair – Dual of the first digit 4 of the square root
= AB – m² = p Remainder
Now write this remainder a little before and below the next digit. Now this number will become p C. Which we will call the new dividend.
RC MC LC
| 2 1 | 1 6
8 | | 5
| 4 |
(iv) AB – m² = p शेषफल से छोटी पूर्ण वर्ग संख्या ज्ञात करें। उसे अब AB के नीचे वाले क्षैतिज रेखा के नीचे लिखे।
(iv) AB – m² = p Find the smallest perfect square number with the remainder. Now write it below the horizontal line below AB.
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चार अंकीय संख्याओं का वर्गमूल
Square roots of four digit numbers
उदाहरण –> 1
2116 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए
Example –> 1
Find the square root of 2116
(ⅰ) सबसे पहले संख्या को लिखें और इकाई की ओर (←) से शुरू करके उसको युग्म (जोड़ों) में विभक्त कर लें।
21 16
(ⅰ) First write the number and break it into pairs starting from the unit side (←).
21 16
(ⅰi) इसके उपरांत, पहले जोड़े को ऊधर्वाधर (होरिजेंटल) लाइन से शेष भाग से अलग कर लेते हैं।
(ⅰi) After this, separate the first pair from the rest by a vertical (horizontal) line.
RC MC LC
| 2 1 | 1 6
| |
| |
(iii) 21 से छोटी पूर्ण वर्ग संख्या ज्ञात करें।
21 > पूर्ण वर्ग संख्या 4² = 16 है। इस 4 को अब MC के नीचे वाले क्षैतिज रेखा के नीचे लिखे। यह हमारे वर्गमूल का प्रथम अंक है।
(iii) Find the perfect square number less than 21.
21 > The perfect square number is 4² = 16. Now write this 4 under the horizontal line below MC. This is the first digit of our square root.
RC MC LC
| 2 1 | 1 6
8 | |
| 4 |
(iv) अब RC वाले भाग में 4 का दुगना लिखेंगे । हम इस 2×4=8 को भाजक कहेंगे।
(iv) Now in the RC part, we will write twice of 4. We will call this 2×4=8 as divisor.
हमारी वास्तविक गणना अब शुरू होती है।
Our actual calculation starts now.
चरण 1 –> घटाना
भाज्य युग्म – वर्गमूल के प्रथम अंक 4 का द्वंद
= 21 –16 = 5 शेषफल
Step 1 –> Subtraction
Dividend pair – the dual of the first digit of the square root 4
= 21 –16 = 5 Remainder
अब इस शेषफल को अगले अंक से थोड़ा पहले तथा उसके नीचे लिखते हैं। अब यह संख्या 51 हो जाएगी। जिसे हम नया भाज्य कहेंगे।
Now write this remainder a little before and below the next digit. Now this number will become 51. Which we will call the new dividend.
RC MC LC
| 2 1 | 1 6
8 | | 5
| 4 |
चरण 2 –> भाग करना
नया भाज्य ÷ भाजक
= 51 /8 => Q = 6 , R = 3
यह Q अर्थात 6 वर्गमूल का दूसरा अंक बन जाएगा और LC की क्षैतिज रेखा के नीचे लिखा जाएगा। परंतु रिमाइंडर अर्थात शेषफल 3, LC के 6 से पूर्व लिख दिया जाएगा। अब यह संख्या 36 हो जाएगी। जिसे हम नया भाज्य कहेंगे।
Step 2 –> Division
New dividend ÷ divisor
= 51 /8 => Q = 6 , R = 3
This Q i.e. 6 will become the second digit of the square root and will be written below the horizontal line of LC. But reminder i.e. remainder 3 will be written before 6 of LC. Now this number will become 36. Which we will call the new dividend.
RC MC LC
| 2 1 | 1 6
8 | | 5 3
| 4 | 6
चरण 3 –> घटाना
नया भाज्य युग्म – वर्गमूल के LC प्रथम अंक 6 का द्वंद
= 36 –6² = 36 –36 = 0 शेषफल
अब इस शेषफल को अगले अंक से थोड़ा पहले तथा उसके नीचे लिखते हैं। अब यह संख्या 0 हो जाएगी। जिसे हम नया भाज्य कहेंगे।
√2116 = 46
Step 3 –> Subtraction
New Dividend Pair – Dual of the first digit 6 of the square root
= 36 –6² = 36 –36 = 0 Remainder
Now write this remainder a little before and below the next digit. Now this number will become 0. Which we will call new dividend.
√2116 = 46
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उदाहरण –> 2
5776 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए
Example –> 2
Find the square root of 5776
(ⅰ) सबसे पहले संख्या को लिखें और इकाई की ओर (←) से शुरू करके उसको युग्म (जोड़ों) में विभक्त कर लें।
(ⅰ) First write the number and divide it into pairs starting from the unit side (←).
57 76
(ⅰi) इसके उपरांत, पहले जोड़े को ऊधर्वाधर (होरिजेंटल) लाइन से शेष भाग से अलग कर लेते हैं।
(ⅰi) After this, separate the first pair from the rest of the part by a vertical (horizontal) line.
RC MC LC
| 5 7 | 7 6
| |
| |
(iii) 57 से छोटी पूर्ण वर्ग संख्या ज्ञात करें।
57 > पूर्ण वर्ग संख्या 7² = 49 है। इस 7 को अब MC के नीचे वाले क्षैतिज रेखा के नीचे लिखे। यह हमारे वर्गमूल का प्रथम अंक है।
(iii) Find the perfect square number smaller than 57.
57 > The perfect square number is 7² = 49. Now write this 7 under the horizontal line below MC. This is the first digit of our square root.
RC MC LC
| 57 | 7 6
14 | |
| 7 |
(iv) अब RC वाले भाग में 7 का दुगना लिखेंगे । हम इस 2×7= 14 को भाजक कहेंगे।
(iv) Now write the double of 7 in the RC part. We will call this 2×7= 14 the divisor.
हमारी वास्तविक गणना अब शुरू होती है।
Our actual calculation starts now.
चरण 1 –> घटाना
भाज्य युग्म – वर्गमूल के प्रथम अंक 4 का द्वंद
= 57 –7² = 57 –49 = 8 शेषफल
अब इस शेषफल 8 को LC में अगले अंक 7 से थोड़ा पहले तथा उसके नीचे लिखते हैं। अब यह संख्या 87 हो जाएगी। जिसे हम नया भाज्य कहेंगे।
Step 1 –> Subtraction
Dividend pair – the dual of the first digit 4 of the square root
= 57 –7² = 57 –49 = 8 Remainder
Now write this remainder 8 in the LC a little before and below the next digit 7. Now this number will become 87. Which we will call the new dividend.
RC MC LC
| 57 | 7 6
14 | | 8
| 7 |
चरण 2 –> भाग करना
नया भाज्य ÷ भाजक
= 87 /14 => Q = 6 , R = 3
यह Q अर्थात 6 वर्गमूल का दूसरा अंक बन जाएगा और LC की क्षैतिज रेखा के नीचे लिखा जाएगा। परंतु रिमाइंडर अर्थात शेषफल 3, LC के 6 से पूर्व लिख दिया जाएगा। अब यह संख्या 36 हो जाएगी। जिसे हम नया भाज्य कहेंगे।
Step 2 –> Division
New dividend ÷ divisor
= 87 /14 => Q = 6 , R = 3
This Q i.e. 6 will become the second digit of the square root and will be written below the horizontal line of the LC. But reminder i.e. remainder 3 will be written before 6 in the LC. Now this number will become 36. Which we will call the new dividend.
RC MC LC
| 57 | 7 6
14 | | 8 3
| 7 | 6
चरण 3 –> घटाना
नया भाज्य युग्म – वर्गमूल के LC प्रथम अंक 6 का द्वंद
= 36 –6² = 36 –36 = 0 शेषफल
अब इस शेषफल को अगले अंक से थोड़ा पहले तथा उसके नीचे लिखते हैं। अब यह संख्या 0 हो जाएगी। जिसे हम नया भाज्य कहेंगे।
√5776 = 76
Step 3 –> Subtraction
New Dividend Pair – Dual of the first digit 6 of the square root LC
= 36 –6² = 36 –36 = 0 Remainder
Now write this remainder a little before and below the next digit. Now this number will become 0. Which we will call new dividend.
√5776 = 76
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पांच अंकीय संख्याओं का वर्गमूल
Square root of five digit numbers
Example –> 3
Find the square root of 48841
उदाहरण –> 3
48841 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए
(ⅰ) सबसे पहले संख्या को लिखें और इकाई की ओर (←) से शुरू करके उसको युग्म (जोड़ों) में विभक्त कर लें।
(ⅰ) First of all write the number and divide it into pairs starting from the unit side (←).
4 88 41
(ⅰi) इसके उपरांत, पहले जोड़े को ऊधर्वाधर (होरिजेंटल) लाइन से शेष भाग से अलग कर लेते हैं।
(ⅰi) After this, separate the first pair from the rest by a vertical line.
RC MC LC
| 4 | 8 8 4 1
| |
| |
(iii) 6 से छोटी पूर्ण वर्ग संख्या ज्ञात करें।
38 > पूर्ण वर्ग संख्या 6² = 36 है। इस 6 को अब MC के नीचे वाले क्षैतिज रेखा के नीचे लिखे। यह हमारे वर्गमूल का प्रथम अंक है।
(iii) Find the perfect square number smaller than 6.
38> The perfect square number is 6² = 36. Now write this 6 under the horizontal line below MC. This is the first digit of our square root.
RC MC LC
| 4 | 8 8 4 1
| |
| 2 |
(iv) अब RC वाले भाग में 2 का दुगना लिखेंगे । हम इस 2×2= 4 को भाजक कहेंगे।
(iv) Now in the RC part, write the double of 2. We will call this 2×2= 4 as the divisor.
RC MC LC
| 4 | 8 8 4 1
4 | | 0
| 2 |
हमारी वास्तविक गणना अब शुरू होती है।
Our actual calculation starts now.
★ यहां LC में दो युग्म हैं इसलिए भाग दो बार तथा घटा 2 × 2 = 4 बार होगी। यहां कुल क्रियाओं की संख्या 2+4=6 होगी।
★ Here there are two pairs in LC so division will happen twice and subtraction will happen 2 × 2 = 4 times. Here total number of operations will be 2+4=6.
चरण 1–> घटाना
भाज्य युग्म – वर्गमूल के प्रथम अंक 2 का द्वंद
= 4 –2² = 4 –4 = 0 शेषफल
अब इस शेषफल 0 को LC में अगले अंक 8 से थोड़ा पहले तथा उसके नीचे लिखते हैं। अब यह संख्या 08 हो जाएगी। जिसे हम नया भाज्य कहेंगे।
Step 1–> Subtraction
Dividend pair – Dual of first digit 2 of square root
= 4 –2² = 4 –4 = 0 Remainder
Now this remainder 0 is written a little before and below the next digit 8 in LC. Now this number will become 08. Which we will call new dividend.
RC MC LC
| 4 | 8 8 4 1
4 | | 0 0
| 2 | 2
चरण 2 –> भाग करना
नया भाज्य ÷ भाजक
= 08 /4 => Q = 2 , R = 0
यह Q अर्थात 2 वर्गमूल का दूसरा अंक बन जाएगा और LC की क्षैतिज रेखा के नीचे लिखा जाएगा। परंतु रिमाइंडर अर्थात शेषफल 0, LC के 8 से पूर्व लिख दिया जाएगा। अब यह संख्या 08 हो जाएगी। जिसे हम नया भाज्य कहेंगे।
Step 2–> Division
New dividend ÷ divisor
= 08 /4 => Q = 2 , R = 0
This Q i.e. 2 will become the second digit of square root and will be written below the horizontal line of LC. But the reminder i.e. remainder 0 will be written before 8 of LC. Now this number will become 08. Which we will call new dividend.
RC MC LC
| 4 | 8 8 4 1
4 | | 0 0
| 2 | 2
चरण 3 –> घटाना
नया भाज्य युग्म – वर्गमूल के LC प्रथम अंक 6 का द्वंद
= 08 –2² = 8 – 4 = 4 शेषफल
Step 3 –> Subtraction
New dividend pair – Dual of first digit 6 of LC of square root
= 08 –2² = 8 – 4 = 4 remainder
चरण 4 –> भाग करना
नया भाज्य ÷ भाजक
= 4 /4 => Q = 1 , R = 0
यह Q अर्थात 1 वर्गमूल का तीसरा अंक बन जाएगा और LC की क्षैतिज रेखा के नीचे लिखा जाएगा। परंतु रिमाइंडर अर्थात शेषफल 0, LC के 4 से पूर्व लिख दिया जाएगा। अब यह संख्या 04 हो जाएगी।
Step 4 –> Division
New dividend ÷ divisor
= 4 /4 => Q = 1 , R = 0
This Q i.e. 1 will become the third digit of square root and will be written below the horizontal line of LC. But the reminder i.e. remainder 0 will be written before 4 of LC. Now this number will become 04.
RC MC LC
| 4 | 8 8 4 1
4 | | 0 0 0
| 2 | 2 1
इस प्रकार हमें हमारे प्रश्न का उत्तर 221 तो मिल गया। परंतु यह सही है अथवा गलत यह जानना अभी बाकी है इसलिए अब जो भी क्रियाएं होगी। वे केवल घटाने वाली होगी। अब किसी भी स्टेप में भाग नहीं होगा।
This way we got the answer of our question 221. But it is yet to be known whether it is right or wrong, so now whatever operations will be done, they will be only subtraction. Now there will be no division in any step.
चरण 5 –> घटाना
नया भाज्य युग्म – वर्गमूल के LC प्रथम अंक 21 का द्वंद
= 04 –1×2×2 = 4 – 4 = 0 शेषफल
Step 5 –> Subtraction
New Dividend Pair – Dual of the first digit 21 of the square root LC
= 04 –1×2×2 = 4 – 4 = 0 Remainder
RC MC LC
| 4 | 8 8 4 1
4 | | 0 0 0 0
| 2 | 2 1
चरण 6 –> घटाना
नया भाज्य युग्म – वर्गमूल के LC प्रथम अंक 4 का द्वंद
= 01 –1² = 1 – 1 = 0 शेषफल
Step 6 –> Subtract
New factorial pair – Dual of LC first digit 4 of square root
= 01 –1² = 1 – 1 = 0 Remainder
इस प्रकार छः चरणों में हमारा वर्गमूल निकल आया।
जो एकदम सही है क्योंकि इसका शेषफल शून्य (0) है। अगर शेषफल शून्य (0) नहीं आता तो हमारा वर्गमूल गलत माना जाता।
√48841 = 221
Which is absolutely correct because its remainder is zero (0). If the remainder was not zero (0), then our square root would have been considered wrong.
√48841 = 221
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छः अंकीय संख्याओं का वर्गमूल
Square root of six digit numbers
Example –> 4
Find the square root of 389376
उदाहरण –> 4
389376 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए
(ⅰ) सबसे पहले संख्या को लिखें और इकाई की ओर (←) से शुरू करके उसको युग्म (जोड़ों) में विभक्त कर लें।
(ⅰ) First of all write the number and divide it into pairs starting from the unit side (←).
38 93 76
(ⅰi) इसके उपरांत, पहले जोड़े को ऊधर्वाधर (होरिजेंटल) लाइन से शेष भाग से अलग कर लेते हैं।
(ⅰi) After this, separate the first pair from the rest by a vertical line.
RC MC LC
| 38 | 9 3 7 6
| |
| |
(iii) 6 से छोटी पूर्ण वर्ग संख्या ज्ञात करें।
38 > पूर्ण वर्ग संख्या 6² = 36 है। इस 6 को अब MC के नीचे वाले क्षैतिज रेखा के नीचे लिखे। यह हमारे वर्गमूल का प्रथम अंक है।
(iii) Find the perfect square number smaller than 6.
38 > The perfect square number is 6² = 36. Now write this 6 under the horizontal line below MC. This is the first digit of our square root.
RC MC LC
| 38 | 9 3 7 6
| |
| 6 |
(iv) अब RC वाले भाग में 2 का दुगना लिखेंगे । हम इस 2×2= 4 को भाजक कहेंगे।
(iv) Now write the double of 2 in the RC part. We will call this 2×2= 4 as divisor.
RC MC LC
| 38 | 9 3 7 6
12 | |
| 6 |
हमारी वास्तविक गणना अब शुरू होती है।
Now our actual calculation starts.
★ यहां LC में दो युग्म हैं इसलिए भाग दो बार तथा घटा 2 × 2 = 4 बार होगी। यहां कुल क्रियाओं की संख्या 2+4=6 होगी।
★ Here LC has two pairs so division will be twice and subtraction will be 2 × 2 = 4 times. Here total number of operations will be 2+4=6.
चरण 1–> घटाना
भाज्य युग्म – वर्गमूल के प्रथम अंक 2 का द्वंद
= 38 –6² = 38 –36 = 2 शेषफल
अब इस शेषफल 2 को LC में अगले अंक 2 से थोड़ा पहले तथा उसके नीचे लिखते हैं। अब यह संख्या 12 हो जाएगी। जिसे हम नया भाज्य कहेंगे।
Step 1–> Subtraction
Divisive pair – Dual of first digit 2 of square root
= 38 –6² = 38 –36 = 2 Remainder
Now write this remainder 2 in LC a little before and below the next digit 2. Now this number will become 12. Which we will call new dividend.
RC MC LC
| 38 | 9 3 7 6
12 | | 2
| 6 |
चरण 2 –> भाग करना
नया भाज्य ÷ भाजक
= 29 /12 => Q = 2 , R = 5
यह Q अर्थात 2 वर्गमूल का दूसरा अंक बन जाएगा और LC की क्षैतिज रेखा के नीचे लिखा जाएगा। परंतु रिमाइंडर अर्थात शेषफल 5, LC के 3 से पूर्व लिख दिया जाएगा। अब यह संख्या 53 हो जाएगी। जिसे हम नया भाज्य कहेंगे।
Step 2 –> Divide
New dividend ÷ divisor
= 29 /12 => Q = 2 , R = 5
This Q i.e. 2 will become the second digit of the square root and will be written below the horizontal line of LC. But the reminder i.e. remainder 5 will be written before 3 of LC. Now this number will become 53. Which we will call new dividend.
RC MC LC
| 38 | 9 3 7 6
12 | | 2 5
| 6 | 2 4
चरण 3 –> घटाना
नया भाज्य युग्म – वर्गमूल के LC प्रथम अंक 6 का द्वंद
= 53 –2² = 53 – 4 = 49 शेषफल
Step 3 –> Subtract
New dividend pair – Dual of the first digit 6 of the square root LC
= 53 –2² = 53 – 4 = 49 Remainder
चरण 4 –> भाग करना
नया भाज्य ÷ भाजक
= 49 /12 => Q = 4 , R = 1
यह Q अर्थात 4 वर्गमूल का तीसरा अंक बन जाएगा और LC की क्षैतिज रेखा के नीचे लिखा जाएगा। परंतु रिमाइंडर अर्थात शेषफल 1, LC के 7 से पूर्व लिख दिया जाएगा। अब यह संख्या 17 हो जाएगी।
Step 4 –> Divide
New dividend ÷ divisor
= 49 /12 => Q = 4 , R = 1
This Q i.e. 4 will become the third digit of the square root and will be written below the horizontal line of LC. But as a reminder i.e. remainder 1 will be written before 7 of LC. Now this number will become 17.
RC MC LC
| 38 | 9 3 7 6
12 | | 2 5 1 1
| 6 | 2 4
इस प्रकार हमें हमारे प्रश्न का उत्तर 624 तो मिल गया। परंतु यह सही है अथवा गलत यह जानना अभी बाकी है इसलिए अब जो भी क्रियाएं होगी। वे केवल घटाने वाली होगी। अब किसी भी स्टेप में भाग नहीं होगा।
This way we got the answer of our question 624. But it is yet to be known whether it is right or wrong, so whatever actions will be done now, they will be only subtraction. Now there will be no division in any step.
चरण 5 –> घटाना
नया भाज्य युग्म – वर्गमूल के LC प्रथम अंक 24 का द्वंद
= 17 –2×4×2 = 17 – 16 = 1 शेषफल
Step 5 –> Subtraction
New factorial pair – Dual of LC first digit 24 of square root
= 17 –2×4×2 = 17 – 16 = 1 remainder
RC MC LC
| 38 | 9 3 7 6
12 | | 2 5 1 1
| 6 | 2 4
चरण 6 –> घटाना
नया भाज्य युग्म – वर्गमूल के LC प्रथम अंक 4 का द्वंद
= 14 –4² = 16 – 16 = 0 शेषफल
Step 6 –> Subtraction
New factorial pair – Dual of LC first digit 4 of square root
= 14 –4² = 16 – 16 = 0 remainder
इस प्रकार छः चरणों में हमारा वर्गमूल निकल आया।
जो एकदम सही है क्योंकि इसका शेषफल शून्य (0) है। अगर शेषफल शून्य (0) नहीं आता तो हमारा वर्गमूल गलत माना जाता।
√389376 = 624
This way we got our square root in six steps.
Which is absolutely correct because its remainder is zero (0). If the remainder was not zero (0) then our square root would have been considered wrong.
√389376 = 624
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सात अंकीय संख्याओं का वर्गमूल
Square root of seven digit numbers
Example –> 5
Find the square root of 1522756
उदाहरण –> 5
1522756 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए
(ⅰ) सबसे पहले संख्या को लिखें और इकाई की ओर (←) से शुरू करके उसको युग्म (जोड़ों) में विभक्त कर लें।
(ⅰ) First of all write the number and divide it into pairs starting from the unit side (←).
1 52 27 56
(ⅰi) इसके उपरांत, पहले जोड़े को ऊधर्वाधर (होरिजेंटल) लाइन से शेष भाग से अलग कर लेते हैं।
(ⅰi) After this, separate the first pair from the rest by a vertical line.
RC MC LC
| 1 | 5 2 2 7 5 6
| |
| |
(iii) 2 से छोटी पूर्ण वर्ग संख्या ज्ञात करें।
1 > पूर्ण वर्ग संख्या 1² = 1 है। इस 1 को अब MC के नीचे वाले क्षैतिज रेखा के नीचे लिखे। यह हमारे वर्गमूल का प्रथम अंक है।
(iii) Find the perfect square number smaller than 2.
1> The perfect square number is 1² = 1. Now write this 1 under the horizontal line below MC. This is the first digit of our square root.
RC MC LC
| 1 | 5 2 2 7 5 6
| |
| 1 |
(iv) अब RC वाले भाग में 2 का दुगना लिखेंगे । हम इस 2×2= 4 को भाजक कहेंगे।
(iv) Now write the double of 2 in the RC part. We will call this 2×2= 4 as divisor.
RC MC LC
| 1 | 5 2 2 7 5 6
2 | |
| 1 |
हमारी वास्तविक गणना अब शुरू होती है।
Our actual calculation starts now.
★ यहां LC में तीन युग्म हैं इसलिए भाग 3 बार तथा घटा 2 × 3 = 6 बार होगी। यहां कुल क्रियाओं की संख्या 3+6=9 होगी।
★ Here LC has three pairs so division will be 3 times and subtraction will be 2 × 3 = 6 times. Here total number of operations will be 3+6=9.
चरण 1–> घटाना
भाज्य युग्म – वर्गमूल के प्रथम अंक 2 का द्वंद
= 1 –1² = 1 –1 = 0 शेषफल
अब इस शेषफल 0 को LC में अगले अंक 5 से थोड़ा पहले तथा उसके नीचे लिखते हैं। अब यह संख्या 05 हो जाएगी। जिसे हम नया भाज्य कहेंगे।
Step 1–> Subtraction
Dividend pair – Dual of first digit 2 of square root
= 1 –1² = 1 –1 = 0 Remainder
Now write this remainder 0 in LC a little before and below the next digit 5. Now this number will become 05. Which we will call new dividend.
RC MC LC
| 1 | 5 2 2 7 5 6
2 | | 0
| 1 |
चरण 2 –> भाग करना
नया भाज्य ÷ भाजक
= 05 /2 => Q = 2 , R = 1
यह Q अर्थात 2 वर्गमूल का दूसरा अंक बन जाएगा और LC की क्षैतिज रेखा के नीचे लिखा जाएगा। परंतु रिमाइंडर अर्थात शेषफल 1, LC के 2 से पूर्व लिख दिया जाएगा। अब यह संख्या 12 हो जाएगी। जिसे हम नया भाज्य कहेंगे।
Step 2 –> Divide
New dividend ÷ divisor
= 05 /2 => Q = 2 , R = 1
This Q i.e. 2 will become the second digit of the square root and will be written below the horizontal line of LC. But the reminder i.e. remainder 1 will be written before 2 of LC. Now this number will become 12. Which we will call new dividend.
RC MC LC
| 1 | 5 2 2 7 5 6
2 | | 0 1
| 1 | 2
चरण 3 –> घटाना
नया भाज्य युग्म – वर्गमूल के LC प्रथम अंक 6 का द्वंद
= 12 –2² = 12 – 4 = 8 शेषफल
Step 3 –> Subtract
New Dividend Pair – Dual of LC first digit 6 of square root
= 12 –2² = 12 – 4 = 8 Remainder
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चरण 4 –> भाग करना Cancelled
नया भाज्य ÷ भाजक
= 8 /2 => Q = 4 , R = 0
यह Q अर्थात 4 वर्गमूल का तीसरा अंक बन जाएगा और LC की क्षैतिज रेखा के नीचे लिखा जाएगा। परंतु रिमाइंडर अर्थात शेषफल 0, LC के अगले 2 से पूर्व लिख दिया जाएगा। अब यह संख्या 02 हो जाएगी।
Step 4 –> Divide Cancelled
New Dividend ÷ Divisor
= 8 /2 => Q = 4 , R = 0
This Q i.e. 4 will become the third digit of square root and will be written below the horizontal line of LC. But reminder i.e. remainder 0 will be written before the next 2 of LC. Now this number will become 02.
RC MC LC
| 1 | 5 2 2 7 5 6
2 | | 0 1 0
| 1 | 2 4
चरण 5 –> घटाना Cancelled
नया भाज्य युग्म – वर्गमूल के LC प्रथम अंक 24 का द्वंद
= 02 –2×4×2 = 02 – 16 = –14 शेषफल
Step 5 –> Subtraction Cancelled
New factorial pair – Dual of LC first digit 24 of square root
= 02 –2×4×2 = 02 – 16 = –14 Remainder
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चूंकि संख्या यहां ऋणात्मक (नेगेटिव) आ गई इसलिए इससे पूर्व के दो चरण अर्थात चौथा चरण और पांचवा चरण हमें कैंसिल करना होगा और चौथे चरण में Q एक काम करके 4 –1 = 3 लिखेंगे।
Since the number has come negative here, we have to cancel the previous two steps i.e. fourth step and fifth step and in the fourth step we will do one thing by doing Q and write 4 –1 = 3.
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चरण 4 –> भाग करना Cancelled
नया भाज्य ÷ भाजक
= 8 /2 => Q = 3 , R = 2
यह Q अर्थात 3 वर्गमूल का तीसरा अंक बन जाएगा और LC की क्षैतिज रेखा के नीचे लिखा जाएगा। परंतु रिमाइंडर अर्थात शेषफल 2, LC के अगले 2 से पूर्व लिख दिया जाएगा। अब यह संख्या 22 हो जाएगी।
Step 4 –> Division Cancelled
New dividend ÷ divisor
= 8 /2 => Q = 3 , R = 2
This Q i.e. 3 will become the third digit of the square root and will be written below the horizontal line of LC. But the reminder i.e. remainder 2 will be written before the next 2 of LC. Now this number will become 22.
RC MC LC
| 1 | 5 2 2 7 5 6
2 | | 0 1 2
| 1 | 2 3
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चरण 5 –> घटाना Cancelled
नया भाज्य युग्म – वर्गमूल के LC प्रथम अंक 24 का द्वंद
= 22 –2×3×2 = 22 – 12 = 10 शेषफल
Step 5 –> Subtraction Cancelled
New Dividend Pair – Dual of LC first digit 24 of square root
= 22 –2×3×2 = 22 – 12 = 10 Remainder
चरण 6 –> भाग करना Cancelled
नया भाज्य ÷ भाजक
= 10 /2 => Q = 5 , R = 0
यह Q अर्थात 5 वर्गमूल का चौथा अंक बन जाएगा और LC की क्षैतिज रेखा के नीचे लिखा जाएगा। परंतु रिमाइंडर अर्थात शेषफल 0, LC के 7 से पूर्व लिख दिया जाएगा। अब यह संख्या 07 हो जाएगी।
Step 6 –> Division Cancelled
New Dividend ÷ Divisor
= 10 /2 => Q = 5 , R = 0
This Q i.e. 5 will become the fourth digit of square root and will be written below the horizontal line of LC. But reminder i.e. remainder 0 will be written before 7 of LC. Now this number will become 07.
RC MC LC
| 1 | 5 2 2 7 5 6
2 | | 0 1 2 0
| 1 | 2 3 5
इस प्रकार हमें हमारे प्रश्न का उत्तर 1235 तो मिल गया। परंतु यह सही है अथवा गलत यह जानना अभी बाकी है इसलिए अब जो भी क्रियाएं होगी। वे केवल घटाने वाली होगी। अब किसी भी स्टेप में भाग नहीं होगा।
This way we got the answer to our question 1235. But it is yet to be known whether it is right or wrong, so now whatever actions will happen, they will be only subtraction. Now there will be no division in any step.
चरण 7 –> घटाना Cancelled
नया भाज्य युग्म – वर्गमूल के LC प्रथम अंक 235 का द्वंद
= 07 –(2×5×2 +3²) = 07 – 29 = –22 शेषफल
Step 7 –> Subtraction Cancelled
New factorial pair – Dual of LC first digit 235 of square root
= 07 –(2×5×2 +3²) = 07 – 29 = –22 Remainder
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चूंकि संख्या यहां ऋणात्मक (नेगेटिव) आ गई इसलिए इससे पूर्व के दो चरण अर्थात चौथा चरण और पांचवा चरण हमें कैंसिल करना होगा और चौथे चरण में Q एक काम करके 5 –1 = 4 लिखेंगे।
Since the number has come negative here, we have to cancel the previous two steps i.e. fourth step and fifth step and in the fourth step we will do one thing by doing Q and write 5 –1 = 4.
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चरण 6 –> भाग करना Cancelled
नया भाज्य ÷ भाजक
= 10 /2 => Q = 4 , R = 2
यह Q अर्थात 5 वर्गमूल का चौथा अंक बन जाएगा और LC की क्षैतिज रेखा के नीचे लिखा जाएगा। परंतु रिमाइंडर अर्थात शेषफल 2, LC के 7 से पूर्व लिख दिया जाएगा। अब यह संख्या 27 हो जाएगी।
Step 6 –> Division Cancelled
New dividend ÷ divisor
= 10 /2 => Q = 4 , R = 2
This Q i.e. 5 will become the fourth digit of the square root and will be written below the horizontal line of LC. But the reminder i.e. remainder 2 will be written before 7 of LC. Now this number will become 27.
RC MC LC
| 1 | 5 2 2 7 5 6
2 | | 0 1 2 2 2 1
| 1 | 2 3 4
इस प्रकार हमें हमारे प्रश्न का उत्तर 1234 तो मिल गया। परंतु यह सही है अथवा गलत यह जानना अभी बाकी है इसलिए अब जो भी क्रियाएं होगी। वे केवल घटाने वाली होगी। अब किसी भी स्टेप में भाग नहीं होगा।
This way we got the answer of our question 1234. But it is still to be known whether it is right or wrong, so now whatever actions will happen, they will be only subtraction. Now there will be no division in any step.
चरण 7 –> घटाना Cancelled
नया भाज्य युग्म – वर्गमूल के LC प्रथम अंक 234 का द्वंद
= 27 –(2×4×2 +3²) = 27 – 25 = 2 शेषफल
Step 7 –> Subtraction Cancelled
New factorial pair – Dual of LC first digit of square root 234
= 27 –(2×4×2 +3²) = 27 – 25 = 2 remainder
चरण 8 –> घटाना Cancelled
नया भाज्य युग्म – वर्गमूल के LC प्रथम अंक 34 का द्वंद
= 25 –(3×4×2) = 25 – 24 = 1 शेषफल
Step 8 –> Subtraction Cancelled
New factorial pair – Dual of LC first digit of square root 34
= 25 –(3×4×2) = 25 – 24 = 1 remainder
चरण 9 –> घटाना Cancelled
नया भाज्य युग्म – वर्गमूल के LC प्रथम अंक 4 का द्वंद
= 16 –(4²) = 16 – 16 = 0 शेषफल
Step 9 –> Subtraction Cancelled
New factorial pair – Dual of LC first digit of square root 4
= 16 –(4²) = 16 – 16 = 0 remainder
इस प्रकार नौ चरणों में हमारा वर्गमूल निकल आया।
जो एकदम सही है क्योंकि इसका शेषफल शून्य (0) है। अगर शेषफल शून्य (0) नहीं आता तो हमारा वर्गमूल गलत माना जाता।
√1522756 = 1234
Thus, our square root came out in nine steps.
Which is absolutely correct because its remainder is zero (0). If the remainder was not zero (0), then our square root would have been considered wrong.
√1522756 = 1234
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Practice Time 01
(01) 2116
(02) 5776
(03) 3969
(04) 9801
(05) 1024
(06) 2304
(07) 3136
(08) 3249
(09) 3481
(10) 4489
(11) 52441
(12) 11025
(13) 15625
(14) 52441
(15) 10609
(16) 389376
(17) 390625
(18) 393129
(19) 538756
(20) 540225
(21) 1522756
(22) 1525225
(23) 1782225
(24) 5452225
(25) 5387041
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