Vinjeet Vedic Arithmetic Book || 1 || Chapter 20.01 || finding square root
Author
लेखक
ॐ जितेन्द्र सिंह तोमर
(M.A., B. Ed., MASSCOM, DNYS )
(Specialist in Basic and Vedic Maths)
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वर्गमूल ज्ञात करना
जिस प्रकार योग की प्रतिलोम (विपरीत) संक्रिया घटाना है और गुणा की प्रतिलोम संक्रिया भाग है। इसी तरह वर्गमूल प्राप्त करना भी वर्ग की प्रतिलोम संक्रिया है।
धनात्मक वर्गमूल संख्या को √ संकेत से व्यक्त करते हैं।
Finding the Square Root
Just as the inverse operation of addition is subtraction and the inverse operation of multiplication is division. Similarly, obtaining square root is also the inverse operation of square.
Positive square root numbers are expressed with the symbol √.
हमें ज्ञात है
1² = 1, अतः 1 का वर्गमूल 1 है।
2² = 4, अतः 4 का वर्गमूल 2 है।
3² = 9, अतः 9 का वर्गमूल 3 है।
4² = 16, अतः 16 का वर्गमूल 4 है।
5² = 25, अतः 25 का वर्गमूल 5 है।
6² = 36, अतः 36 का वर्गमूल 6 है।
7² = 49, अतः 49 का वर्गमूल 7 है।
8² = 64, अतः 64 का वर्गमूल 8 है।
9² = 81, अतः 81 का वर्गमूल 9 है।
We Know
1² = 1, so the square root of 1 is 1.
2² = 4, so the square root of 4 is 2.
3² = 9, so the square root of 9 is 3.
4² = 16, so the square root of 16 is 4.
5² = 25, so the square root of 25 is 5.
6² = 36, so the square root of 36 is 6.
7² = 49, so the square root of 49 is 7.
8² = 64, so the square root of 64 is 8.
9² = 81, so the square root of 81 is 9.
ध्यान रहे कि किसी पूर्ण वर्ग संख्या के दो समाकलित (एक साथ) वर्गमूल होते हैं। यहां हम किसी प्राकृत संख्या के केवल धनात्मक वर्गमूल की ही बात करेंगे।
Keep in mind that any perfect square number has two integrated (simultaneous) square roots. Here we will talk only about the positive square root of any natural number.
Statement Conclusion
कथन निष्कर्ष
1² = 1 √1 = 1
2² = 4 √4 = 2
3² = 9 √9 = 3
4² = 16 √16 = 4
5² = 25 √25 = 5
6² = 36 √36 = 6
7² = 49 √49 = 7
8² = 64 √64 = 8
9² = 81 √81 = 9
10² = 100 √100 = 10
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वर्गमूल ज्ञात करने की विधियां
★ पारंपरिक विधियां
(1) घटाने की संक्रिया द्वारा
(2) अभाज्य गुणनखंडन के द्वारा
(3) दीर्घ विभाजन विधि या भागफल या भाग विधि से
(4) अनुमान विधि द्वारा
★ वैदिक विधियां
Methods Of Finding Square Roots
★ Traditional methods
(1) By the operation of subtraction
(2) By prime factorization
(3) By quotient or division method
(4) By estimation method
★ Vedic methods
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(1) घटाने की संक्रिया द्वारा
क्या आपको याद है कि प्रथम n विषम प्राकृत संख्याओं का योग n² है। अतः प्रत्येक वर्ग संख्या को 1 से प्रारंभ कर क्रमागत प्राकृत संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
(1) By the operation of subtraction
Do you remember that the sum of the first n odd natural numbers is n². Therefore, every square number can be expressed as the sum of consecutive natural numbers starting from 1.
√9 को लीजिए
Find the √9
(i) 9 – 1 = 8
(ii) 8 – 3 = 7
(iii) 5 – 5 = 0
√9 = 3
संख्या 1 से लगातार विषम संख्याओं को 9 में से घटाने पर 3सरा पद 0 प्राप्त होता है।
अतः √9 = 3
By subtracting consecutive odd numbers from number 1 to 9, the 3rd term is 0.
Hence √9 = 3.
√25 को लीजिए
Find the √25
(i) 25 – 1 = 24
(ii) 24 – 3 = 21
(iii) 21 – 5 = 16
(iv) 16 – 7 = 9
(v) 9 – 9 = 0
संख्या 1 से लगातार विषम संख्याओं को 25 में से घटाने पर 5वाँ पद 0 प्राप्त होता है।
अतः √25 = 5
By subtracting consecutive odd numbers from number 1 to 25, the 5th term is 0.
Hence √25 = 5.
√81 को लीजिए
Find the √81
(i) 81 – 1 = 80
(ii) 80 – 3 = 77
(iii) 77 – 5 = 72
(iv) 72 – 7 = 65
(v) 65 – 9 = 56
(vi) 56 – 11 = 45
(vii) 45 – 13 = 32
(viii) 32 – 15 = 17
(ix) 17 – 17 = 0
संख्या 1 से लगातार विषम संख्याओं को 81 में से घटाने पर 9वाँ पद 0 प्राप्त होता है।
अतः √81 = 9।
By subtracting consecutive odd numbers from number 1 to 81, the 9th term is 0.
Hence √81 = 9.
इस नियम का उपयोग करते हुए आप किसी भी पूर्ण वर्ग संख्या का वर्गमूल ज्ञात कर सकते हैं।
लेकिन इसमें समय और मेहनत अधिक लगती है। फिर भी हमें यह विधि सीख लेनी चाहिए।
Using this rule you can find the square root of any perfect square number.
But it takes more time and effort. But we should learn this method.
Practice Time –> 1
1 से प्रारंभ होने वाली विषम संख्याओं को बार-बार घटाने पर प्राप्त निम्नलिखित संख्याएँ पूर्ण वर्ग हैं या नहीं?
यदि यह संख्या पूर्ण वर्ग हैं तो इसके वर्गमूल ज्ञात कीजिए।
Are the following numbers obtained by repeatedly subtracting odd numbers starting from 1, perfect squares or not?
If this number is a perfect square then find its square root.
(i) 25
(ii) 36
(iii) 49
(iv) 55
(v) 90
(vi) 121
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(2) अभाज्य गुणनखंडन के द्वारा
निम्न संख्याओं एवं उनके वर्गों को अभाज्य गुणनखंडन के रूप में लिखिए :
1) इस विधि में सबसे पहले संख्या के गुणनखंड कर लेते हैं।
2) प्रत्येक जोड़े में से एक को वर्गमूल के रूप में ले लिया जाता है।
(2) By prime factorisation
Write the following numbers and their squares in the form of prime factors:
1) In this method, the numbers are first factorised.
2) One of each pair is taken as the square root.
6 = 2 × 3
8 = 2 × 2 × 2
12 = 2 × 2 × 3
15 = 3 × 5
36 = 2 × 2 × 3 × 3
64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3
225 = 3 × 3 × 5 × 5
Find √324
2 | 324
2 | 162
3 | 81
3 | 27
3 | 9
3 | 3
| 1
√324 = √(2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 )
Take single digit from the pairs
√324 = 2 × 3 × 3
√324 = 18
Find √256
2 | 256
2 | 128
2 | 64
2 | 32
2 | 16
2 | 8
2 | 4
2 | 2
| 1
√256 = √(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 )
Take single digit from the pairs
√324 = 2 × 2 × 2 × 2
√324 = 16
Find √6400
2 | 6400
2 | 3200
2 | 1600
2 | 800
2 | 400
2 | 200
2 | 100
2 | 50
5 | 25
5 | 5
| 1
√6400 = √(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5)
Take single digit from the pairs
√6400 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5
√6400 = 80
छोटी संख्याओं के लिए तो यह विधि ठीक है। परंतु बड़ी संख्याओं के लिए अभाज्य गुणनखंड विधि से वर्गमूल ज्ञात करना लंबा और कठिन होता है।
This method is suitable for small numbers. But for large numbers, finding the square root by prime factorization method is long and difficult.
Practice Time –> 2
अभाज्य गुणनखंड विधि से निम्न संख्याओं का वर्गमूल ज्ञात कीजिए:
Find the square root of the following numbers by prime factorization method:
(i) 729
(ii) 400
(iii) 529
(iv) 4096
(v) 7744
(v) 9604
(vii) 5929
(viii) 9216
(ix) 1764
(x) 8100
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(3) दीर्घ विभाजन विधि या नाभागफल या भाग विधि से
जब संख्याएँ बड़ी हों तब अभाज्य गुणनखंड विधि से वर्गमूल ज्ञात करना लंबा और कठिन होता है। इस समस्या से निकलने के लिए हम दीर्घ विभाजन विधि का प्रयोग करते हैं। इसके लिए हमें वर्गमूल में अंकों की संख्या को ज्ञात करने की आवश्यकता है।
(3) Long division method or quotient or division method
When the numbers are large, finding the square root by prime factorization method is long and difficult. To overcome this problem, we use long division method. For this, we need to find the number of digits in the square root.
निम्नलिखित सारणी को देखिए :
अतः वर्गमूल में अंकों की संख्या के बारे में हम क्या कह सकते हैं
यदि एक पूर्ण वर्ग संख्या 1 अंकों या 2 अंकों की हो? हम कह सकते हैं कि यदि एक पूर्ण वर्ग संख्या 1 अंकों की या 2 अंकों की है तब इसका वर्गमूल 1 अंकों का होगा।
यदि एक पूर्ण वर्ग संख्या 3 अंकों की या 4 अंकों की है तब इसका वर्गमूल 2 अंकों का होगा।
यदि एक पूर्ण वर्ग संख्या 5 अंकों की या 6 अंकों की है तब इसका वर्गमूल 3 अंकों का होगा।
So what can we say about the number of digits in the square root
if a perfect square number is 1 digit or 2 digit? We can say that if a perfect square number is 1 digit or 2 digit then its square root will be 1 digit.
If a perfect square number is 3 digit or 4 digit then its square root will be 2 digit.
If a perfect square number is 5 digit or 6 digit then its square root will be 3 digit.
इस जानकारी से हम कह सकते हैं कि एक पूर्ण वर्ग संख्या में
n अंक हैं और n सम संख्या है तो उसके वर्गमूल में n/2 अंक होंगे।
और यदि n विषम संख्या है तो उसके वर्गमूल में (n+1)/2 अंक होंगे।
यह विधि किसी भी संख्या के वर्गमूल में अंकों की संख्या ज्ञात करने में उपयोगी होगी।
From this information we can say that a perfect square number has
n digits and if n is even number then its square root will have n/2 digits.
And if n is odd number then its square root will have (n+1)/2 digits.
This method will be useful in finding the number of digits in the square root of any number.
दीर्घ विभाजन विधि द्वारा वर्गमूल ज्ञात करना
256 का वर्गमूल ज्ञात करना है।
हल
संख्या 256 के वर्गमूल में अंकों की संख्या का 2 होगी। सरल शब्दों में कह सकते हैं जितने युग्म (जोड़े) उतने अंक।
Finding square root by long division method
Find the square root of 256.
Solution
The number of digits in the square root of 256 will be 2. In simple words, we can say that there are as many digits as there are pairs.
चरण 1 –> इकाई स्थान से प्रारंभ करते हुए प्रत्येक युग्म पर बार का निशान लगाइए। यदि अंकों की संख्या विषम है तब बाएँ तरफ़ एक अंक पर बार का निशान लगाइए।
अतः 256 को हम इस प्रकार लिखेंगे।
Step 1 –> Starting from unit place, mark each pair with a bar. If the number of digits is odd then mark a bar on one digit to the left.
So we will write 256 like this.
_________________
|
| 2 56
|
चरण 2 –>
अब उस सबसे बड़ी संख्या को ज्ञात कीजिए जिसका वर्ग सबसे बाईं तरफ़ के बार के नीचे लिखी संख्या से कम या बराबर हो।
Step 2 –>
Now find the largest number whose square is less than or equal to the number written under the leftmost bar.
_____। 1__________
|
1 | 2 56
|_–1___________
| 1
यहां भाज्य 2 को भाजक1 से भाग देने पर 1 प्राप्त होता है। जिसे भाज्य 2 के नीचे लिख कर घटा लेते हैं।
Here, on dividing dividend 2 by divisor 1, we get 1. Which is written below dividend 2 and then subtracted.
चरण 3 –>
अगले युग्म को पहले शेषफल के दाएँ लिखिए। ( इस स्थिति में 56 है।) अतः अगली भाज्य 256 होगी।
Step 3 –>
Write the next pair to the right of the first remainder. ( In this case it is 56.) So the next dividend will be 256.
_____। 1____6______
|
1 | 2 56
|_–1___↓________
2 6 | 1 56
× 6 |_–1___56________
×
भागफल का दुगना दूसरी पंक्ति में लिखते हैं।
Twice the quotient is written in the second line.
सबसे बाई बार के नीचे भाज्य (यहाँ 2) के साथ भाजक और भागफल के रूप में इस संख्या को लीजिए। भाग कीजिए और शेषफल ज्ञात कीजिए (इस स्थिति में । है।)
Take this number as the divisor and quotient with the dividend (here 2) under the leftmost bar. Divide and find the remainder (in this case .)
_______1__________
|
1 | 1 69
|_1___________
| ×
2 2 529
चरण 3 अगली बार के नीचे की संख्या को शेषफल के दाएँ लिखिए। (अर्थात् इस स्थिति में 29 है।) अतः अगली भाज्य 129 होगी।
2 529 129
चरण 4 भाजक को दुगुना कीजिए और इसे इसके दाएँ में खाली स्थान के साथ लिखिए।
चरण 5 रिक्त स्थान को भरने के लिए सबसे बड़े संभावित अंक का अनुमान लगाइए जो कि भागफल में नया अंक होगा और नए भाजक को नए भागफल से गुणा करने पर गुणनफल भाज्य से कम या बराबर होगी। इस स्थिति में 42 x 2 = 84
2 529 4 129 4
23
चूंकि 43 × 3 = 129, अतः शेषफल प्राप्त करने के लिए नया अंक 3 चुनते हैं
चरण 6 क्योंकि शेषफल 0 है और दी गई संख्या में कोई अंक शेष नहीं है, अतः √529 = 23
2 529 43 129 -129
• अब 4096 को हल कीजिए:
चरण 1 इकाई स्थान से प्रारंभ करते हुए प्रत्येक युग्म के ऊपर बार लगाइए (4096)।
चरण 2 एक सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जो सबसे बाईं तरफ़ के बार के नीचे लिखी 6 संख्या से कम या बराबर हो (6 407)। इस संख्या को भाजक और सबसे बाई तरफ बार के नीचे संख्या को भाज्य के रूप में लीजिए। भाग दीजिए और शेषफल (इस स्थिति में अर्थात् 4) ज्ञात कीजिए।
6 4096 36 4
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(4) अनुमान विधि द्वारा
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