विनजीत वैदिक अंकगणित पुस्तक || 1 || अध्याय 18.06 || A9 वाली संख्या से भाग करना

विनजीत वैदिक अंकगणित पुस्तक || 1 || अध्याय 18.06 || A9 वाली संख्या से भाग करना 

Vinjeet Vedic Arithmetic Book || 1 || Chapter 18.05 || Dividing by numbers starting with A9

Author

लेखक

ॐ जितेन्द्र सिंह तोमर

M.A., B.Ed., DNYS, MASSCOM

(Specialist in Basic and Vedic Maths)

13/5/10/12/2021

05.09 वैदिक गणित (09) || भाग || A9 वाली संख्या से भाग करना 

Vinjeet Vedic Arithmetic Book || 1 || Chapter 18.05 || Dividing by numbers starting with A9

Author

Dividing by A9

🌺🌺🌺🪷🪷 Vinjeet Vedic Maths 🪷🪷🌺🌺

PART 01

🌺🌺🌺🪷🪷 Vinjeet Vedic Maths 🪷🪷🌺🌺

Single digit No.÷ A9

0/A9 = ?

1/19 = ?

1/29 = ?

1/39 = ?

1/49 = ?

1/59 = ?

1/69 = ?

1/79 = ?

1/89 = ?

1/99 = ?

🌺🌺🌺🪷🪷 Vinjeet Vedic Maths 🪷🪷🌺🌺

PART 02

🌺🌺🌺🪷🪷 Vinjeet Vedic Maths 🪷🪷🌺🌺

Dividing by A9

Algebraic proof :

Any fraction in the form 1/A9 can be written as

बीजगणितीय प्रमाण :

1/A9 के रूप में किसी भी भिन्न को इस प्रकार लिखा जा सकता है

1/A9 = 1/ [(a + 1) x –1] where x = 10 

                 1 

 = ________________________ 

      ( a + 1 ) x [1 – 1/(a+1)x ] 

             1

 = ___________ [1 – 1/(a+1)x] ^–1

      ( a + 1 ) x 

          1 

 = __________ [1 + 1/(a+1)x +1/(a+1)x²+ ......]

      ( a + 1 ) x 

 = 1/(a+1)x + 1/(a+1)²x² +1/(a+1)³x³+ ....... ad infinitum

= 10^–1(1/(a+1))+10^–2(1/(a+1)²) +10³ (1/(a+1)³) +  ...... ad infinitum

This series explains the process of ekadhik. 

 Now consider the problem of 1 / 19. From above we get 

यह श्रृंखला एकाधिक की प्रक्रिया बताती है। अब 1/19 की समस्या पर विचार करें। ऊपर से हमें मिलता है।

 1 / 19 = 10–¹ (1/(1+1)) + 10–² (1/(1+1)²) + 10–³ (1/(1+1)³) + ---- 

 ( since a=1) 

 = 10–¹ (1/2) + 10–² (1/2)² + 10–³ (1/3)³ + ....

 = 10–¹ (0.5) + 10–² (0.25) + 10–³ (0.125)+ .....

 = 0.05 + 0.0025 + 0.000125 + 0.00000625+ .....

 = 0.052631

🌺🌺🌺🪷🪷 Vinjeet Vedic Maths 🪷🪷🌺🌺

2x^2–1

🌺🌺🌺🪷🪷 Vinjeet Vedic Maths 🪷🪷🌺🌺

PART 02

🌺🌺🌺🪷🪷 Vinjeet Vedic Maths 🪷🪷🌺🌺

Double digit No.÷ 19

Division Method : : 

Value of 1 / 19. 

The numbers of decimal places before repetition is the difference of

numerator and denominator, i.e., 19 –1=18 places. It saw that number will repeat after 18 digits.

For the denominator 19, the purva (previous) is 1. 

Hence Ekadhikena purva (one more than the previous) is 1 + 1 = 2 or 1+19=20. 

दोहरे अंक वाली संख्या÷19

विभाजन विधि : :

1/19 का मान.

पुनरावृत्ति से पहले दशमलव स्थानों की संख्या का अंतर है

अंश और हर, यानी, 19 -1=18 स्थान। इसमें देखा गया कि 18 अंकों के बाद नंबर रिपीट होगा।

हर 19 के लिए, पूर्व (पिछला) 1 है।

अत: एकाधिकेन पूर्व (पिछले से एक अधिक) 1 + 1 = 2 या 1+19=20 है।

🌺🌺🌺🪷🪷 Vinjeet Vedic Maths 🪷🪷🌺🌺

The sutra is applied in two different context. 

a) by Division Method

b) by Multiplication Method

c) by Half Calculation 

Now the method of division is as follows: 

सूत्र को दो अलग-अलग संदर्भों में लागू किया जाता है।

a) डिवीजन विधि द्वारा

b) गुणन विधि द्वारा

c) अर्ध गणना द्वारा

अब विभाजन की विधि इस प्रकार है:

🌺🌺🌺🪷🪷 Vinjeet Vedic Maths 🪷🪷🌺🌺

A) DIVISION METHOD

Step. 1 : 

Divide numerator 1 by 20. 

 i.e., 1 / 20 = 0.1 / 2 = .10 

( 0 times, 1 remainder) 

Step. 2 : Divide 10 by 2 

 i.e., 0.0₀5

( 5 times, 0 remainder ) 

Step. 3 : Divide 5 by 2 

 i.e., 0.05₁2 

( 2 times, 1 remainder ) 

Step. 4 : Divide 12 i.e., 12 by 2 

 i.e., 0.0526 

(6 times, No remainder) 

Step. 5 : Divide 6 by 2

i.e., 0.05263 

( 3 times, No remainder ) 

Step. 6 : Divide 3 by 2 

 i.e., 0.05263₁1

(1 time, 1 remainder ) 

Step. 7 : Divide 11 i.e., 11 by 2 

 i.e., 0.052631₁5 

(5 times, 1 remainder ) 

Step. 8 : Divide ₁5 i.e., 15 by 2 

 i.e., 0.0526315₁7 

( 7 times, 1 remainder ) 

Step. 9 : Divide ₁7 i.e., 17 by 2 

 i.e., 0.05263157₁8 

(8 times, 1 remainder ) 

Step. 10 : Divide ₁8 i.e., 18 by 2 

 i.e., 0.0526315789 

(9 times, No remainder ) 

Step. 11 : Divide 9 by 2 

 i.e., 0.0526315789₁4 

(4 times, 1 remainder ) 

Step. 12 : Divide ₁4 i.e., 14 by 2 

 i.e., 0.052631578947 

( 7 times, No remainder ) 

Step. 13 : Divide 7 by 2 

 i.e.,, 0.052631578947₁3 

( 3 times, 1 remainder ) 

Step. 14 : Divide ₁3 i.e.,, 13 by 2 

 i.e., 0.0526315789473₁6 

( 6 times, 1 remainder ) 

Step. 15 : Divide ₁6 i.e.,, 16 by 2 

 i.e., 0.052631578947368 

(8 times, No remainder ) 

Step. 16 : Divide 8 by 2 

 i.e., 0.0526315789473684 

( 4 times, No remainder )

Step. 17 : Divide 4 by 2 

 i.e., 0.05263157894736842 

( 2 times, No remainder ) 

Step. 18 : Divide 2 by 2 

 i.e., 0.052631578947368421 

( 1 time, No remainder ) 

Now from step 19, i.e., dividing 1 by 2, Step 2 to Step. 18 repeats thus giving  0 

                 ________________________ 

 1 / 19 = 0.052631578947368421 

 or 

1/19 = 0.052631578947368421...... 

Note that we have completed the process of division only by using ‘2’. 

Nowhere the division by 19 occurs. 

🌺🌺🌺🪷🪷 Vinjeet Vedic Maths 🪷🪷🌺🌺

A) विभाजन विधि

चरण 1 :

अंश 1 को 20 से विभाजित करें.

  यानी, 1/20 = 0.1/2 = .10

(0 बार, 1 शेष)

चरण 2: 10 को 2 से भाग दें

  यानी, 0.005

(5 बार, 0 शेष)

चरण 3: 5 को 2 से विभाजित करें

  यानी, 0.0512

(2 बार, 1 शेष)

चरण 4: 12 यानि 12 को 2 से भाग दें

  यानी, 0.0526

(6 बार, कोई शेष नहीं)

चरण 5 : 6 को 2 से विभाजित करें

यानी, 0.05263

(3 बार, कोई शेष नहीं)

चरण 6 : 3 को 2 से भाग दें

  यानी, 0.0526311

(1 बार, 1 शेष)

चरण 7: 11 यानी 11 को 2 से भाग दें

  यानी, 0.05263115 

(5 गुना, 1 शेष)

चरण 8: 15 यानी 15 को 2 से भाग दें

  यानी, 0.052631517 

(7 गुना, 1 शेष)

चरण 9: 17 यानि 17 को 2 से भाग दें

  यानी, 0.0526315718

(8 बार, 1 शेष)

चरण 10 : 18 अर्थात 18 को 2 से भाग दें

  यानी, 0.0526315789

(9 बार, कोई शेष नहीं)

चरण 11 : 9 को 2 से भाग दें

  यानी, 0.052631578914

(4 बार, 1 शेष)

चरण 12 : 14 अर्थात 14 को 2 से भाग दें

  यानी, 0.052631578947

(7 बार, कोई शेष नहीं)

चरण 13 : 7 को 2 से भाग दें

  यानी, 0.05263157894713

(3 बार, 1 शेष)

चरण 14 : 13 अर्थात, 13 को 2 से विभाजित करें

  यानी, 0.052631578947316

(6 बार, 1 शेष)

चरण 15 : 16 अर्थात, 16 को 2 से विभाजित करें

  यानी, 0.052631578947368 

(8 बार, कोई शेष नहीं)

चरण 16 : 8 को 2 से भाग दें

  यानी, 0.0526315789473684 

(4 बार, कोई शेष नहीं)

चरण 17 : 4 को 2 से भाग दें

  यानी, 0.05263157894736842

(2 बार, कोई शेष नहीं)

चरण 18 : 2 को 2 से विभाजित करें

  यानी, 0.052631578947368421

(1 बार, कोई शेष नहीं)

अब चरण 19 से, अर्थात, 1 को 2 से विभाजित करते हुए, चरण 2 से चरण तक। 18 बार दोहराने पर 0 मिलता है

                  ______________________

  1/19 = 0.052631578947368421

  या

1/19 = 0.052631578947368421......

ध्यान दें कि हमने विभाजन की प्रक्रिया केवल '2' का उपयोग करके पूरी की है।

19 से विभाजन कहीं नहीं हुआ।

🌺🌺🌺🪷🪷 Vinjeet Vedic Maths 🪷🪷🌺🌺

BY Multiplication Method

🌺🌺🌺🪷🪷 Vinjeet Vedic Maths 🪷🪷🌺🌺

एकाधिकेन पूर्वेण का अर्थ है पहले से एक अधिक। इसका अर्थ ये है की 1 का एकाधिक 1 + 1 = 2 होगा, 3 का एकाधिक 3 + 1 = 4 होगा। यहां हम 9 से समाप्त होने वाले भाग को इस सूत्र से हल करने का प्रयास करेंगे.

उदाहरण:- 1/19 को हल करें

हल :- यदि भिन्न का हर 9 से समाप्त हो जैसे 1/19, 1/29, 1/39, हो तथा अंश 1 हो (यह जरुरी नहीं है) को जब आप भाग देंगे तो आपका उत्तर एक आवर्ती दशमलव में आएगा। 

आवर्ती दशमलव कितने होंगे जानने के लिए हमें हर में से अंश को घटना होगा। यहाँ हर 19 और अंश 1 है। अतः आवर्ती दशमलव 19 –1 = 18 अंक का होगा।

19 में 9 से पूर्व 1 है और 1 का एकाधिक 1 + 1 = 2 होगा। 

आइये इसी एकाधिक का प्रयोग कर इस भाग को आसानी से भाग करें।

यहां हम भाग के स्थान पर गुणा करेंगे।

हमें पहले से ही ज्ञात है कि 9 अंत हर वाली संख्याओं को के भाग का पहला अंक 1 होता है।

यहाँ हमारा गुणक अंक 1 का एकाधिक 1 + 1 = 2  है। सबसे पहले  1 लिखें और इसमें गुणक 2 से गुणा करते रहें और जो गुणनफल प्राप्त हो उसे संख्या के बाएं (लेफ्ट) और लिखते चले जाएं।

पहला पद :-                                                          1

दूसरा पद :                                                          21

(1 को गुणक 2 से गुणा कर संख्या के बाएं (लेफ्ट) लिखें।)

तीसरा पद :-                                                     421 

(2 को गुणक 2 से गुणा कर संख्या 2 के बाएं (लेफ्ट) लिखें।)

चौथा पद :-                                                     8421

(4 को गुणक 2 से गुणा कर संख्या 4 के बाएं (लेफ्ट) लिखें।)

पांचवा पद :-                                               ₁68421 

(8 × 2 = ₁6; 6 को लिखा गया है और शेष 1 को नीचे लिखा है)

छठा पदः-                                                ₁368421 

(6 X 2 =12, +1 = 13 का 3 लिखा गया है और शेष 1 को नीचे लिखा है) 

सातवां पद:-                                             7368421 

(3 X 2, = 6+1 = 7)

आठवां पदः-                                        ₁47368421 

(7 X 2 =14)

नौवा पद :                                           947368421 

(4 X 2, = 8, +1 = 9)

दशवां पद :-                                     ₁8947368421

(9 X 2 =18)

ग्यारहवां पद :-                              ₁78947368421

(8 X 2 =16,+1=17)

बारहवाँ पदः                               ₁578947368421

(7 X 2 =14,+1=15)

तेरहवां पद :-                            ₁1578947368421

(5 X 2 =10,+1=11)

चौदहवां पद:-                           31578947368421

(1 X 2 =2,+1=3)

पन्द्रहवां पद :-                        631578947368421

(3 X 2 =6)

सोलहवां पदः-                    ₁2631578947368421

(6 X 2 =12)

सत्रहवां पद:-                     52631578947368421

(2 X 2 =4,+1=5)

अठारहवां0पद :-            ₁052631578947368421

(2 X 5 =10)

अतः 1 / 19 = 0.052631578947368421

अठारहवां पद के बाद अंकों की पुनरावृति शुरू हो जाएगी अतः पूरे उत्तर को आप एक लाइन में लिखने का प्रयास करें।

🌺🌺🌺🪷🪷 Vinjeet Vedic Maths 🪷🪷🌺🌺

B) MULTIPLICATION METHOD: 

Value of 1 / 19 

First we recognize the last digit of the denominator of the type 1 / a9. Here the last digit is 9. 

For a fraction of the form in whose denominator 9 is the last digit, we take the case of 1 / 19 as follows: 

For 1 / 19, 'previous' of 19 is 1. And one more than of it is 1 + 1 = 2. 

Therefore 2 is the multiplier for the conversion. 

We write the last digit in the numerator as 1 and follow the steps leftwards. 

Step 1 :-                                                            1

Step 2  :                                                          21

(Multiply 1 by 2, put to left) 

Step 3 :-                                                        421 

(Multiply 2 by 2, put to left)

Step 4 :-                                                     8421

(Multiply 4 by 2, put to left) 

Step 5 :-                                                 ₁68421 

(Multiply 8 by 2 =₁6, 1 carried over, 6 put to left) 

Step 6 :-                                               ₁368421 

(6 × 2 =12, + 1 [carry over]  = 13, 1 carried over, 3 put to left ) 

Step 7 :-                                               7368421 

(3 X 2, = 6+1 = 7)

Step 8 :-                                          ₁47368421 

(7 X 2 =14)

Step 9 :-                                          947368421 

(4 X 2, = 8, +1 = 9)

Step 10 :-                                   ₁8947368421

(9 X 2 =18)

Step 11 :-                                  ₁78947368421

(8 X 2 =16,+1=17)

Step 12 :-                                ₁578947368421

(7 X 2 =14,+1=15)

Step 13 :-                             ₁1578947368421

(5 X 2 =10,+1=11)

Step 14 :-                             31578947368421

(1 X 2 =2,+1=3)

Step 15 :-                           631578947368421

(3 X 2 =6)

Step 16 :-                       ₁2631578947368421

(6 X 2 =12)

Step 17 :-                       52631578947368421

(2 X 2 =4,+1=5)

Step 18 :-                    ₁052631578947368421

(5 X 2 =10)

Now from step 18 onwards the same numbers and order towards left continue. 

Thus 1 / 19 = 0.052631578947368421

यहाँ आपकी सुविधा के लिए पुरे प्रक्रिया को पुरे चरणों में दिखाया गया था जिसे अभ्यास के साथ साथ आप एक लाइन में करते हुए वैदिक गणित के सूत्रों के रहस्यों से पर्दा उठा सकते हैं. इसी कड़ी में आप 1/29, 1/39 को हल करने का प्रयास करें. अगले अंक में नये उदाहरणों और सूत्रों पर चर्चा करेंगे.

🌺🌺🌺🪷🪷 Vinjeet Vedic Maths 🪷🪷🌺🌺

BY Half Calculation Method

🌺🌺🌺🪷🪷 Vinjeet Vedic Maths 🪷🪷🌺🌺

तृतीय विधि :-

उपरोक्त विधि में 18 अंकों तक गणना बताई गई है। वैदिक गणित द्वारा इस गणना को संक्षिप्त भी कर सकते हैं। 

इसके लिए सर्वप्रथम हम 1/19 के सभी भागफल (0526 31578 947368421) के प्रथम 9 अंकों (947368421) को आड़ी पंक्ति में लिखें तथा बाद के 9 अंकों (0526 31578) को दूसरी आड़ी पंक्ति में प्रथम पंक्ति के ठीक नीचे लिखें फिर देखें -

947368421

0526 31578 

999999999

यहां हम देखते हैं कि एक अंक उपर का तथा एक अंक नीचे का योग करने पर योगफल 9 आता है इसी तरह सभी अंकों का योगफल 9 आता है। 

इस संक्रिया से हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि जब भागफल में आधा काम हो जाए तो वैदिक गणित के एक सूत्र निखिलम् नवतः से शेष आधा भागफल प्राप्त कर सकते हैं। यह विधि हमारी मेहनत को और आधा कर देगी। 

अब हमें यह सोचना है कि हमें किस प्रकार पता चलेगा कि आधा अंकों की संख्या कितनी होगी, इसके लिए हम सर्वप्रथम दिए गए भिन्न में अंश के अंक तथा हर के अंक का (19 – 1 = 18) का अंतर करेंगे तथा उसे पुनः 2 से विभाजित (18 ÷ 2 = 9) करेंगे।

Third method :-

Calculation up to 18 digits is described in the above method. This calculation can also be summarized using Vedic mathematics. 

For this, first of all, we write the first 9 digits (947368421) of all the quotients of 1/19 (0526 31578 947368421) in a horizontal row and the next 9 digits (0526 31578) in the second horizontal row, just below the first row, then see -

947368421

0526 31578 

999999999

Here we see that on adding one digit above and one digit below, the sum is 9. Similarly, the sum of all the digits is 9. 

From this operation we come to the conclusion that when half the work is done in the quotient, the remaining half quotient can be obtained from Nikhilam Navatah, a formula of Vedic mathematics. This method will further reduce our hard work to half. 

Now we have to think that how will we know the number of half digits, for this we will first differentiate the numerator and denominator digits of the given fraction (19 – 1 = 18) and again divide it by 2. Will divide (18 ÷ 2 = 9).

A very interesting thing comes to light in the multiplication process that is 

i) The division process has not been used at all in this process.

ii) Instead of continuously dividing 1 by 19, we simply multiplied 1 by 2 and then continued multiplying the result by 2 continuously. 

iii) As we have told you earlier that the number of digits here will be 19 – 1 = 18.

iv) Since in the multiplication process the numbers are obtained from right to left ( ←) from RHS to LHS ( ←), hence the rightmost digit will be considered as the first digit.

v) As we have already learned that if the quotient is half of 18 (18/2=9), we get 9 digits, then we can get the remaining 9 digits as 9's complement.

★ We get the first digit of the quotient as 1, then the 10th digit of the quotient, the complement of 1 to 9, will be 8.

Sum of first digit + 10th digit = 1 + 8 = 9

★ Now by multiplying this 1 by 2 we get the second digit of the quotient as 2. So the 11th digit of the quotient 2 to 9's complement will be 7.

Sum of 2nd digit + 11th digit = 2 + 7 = 9 

★ Similarly, from the third digit of the quotient, the twelfth digit of the quotient, from the fourth digit, the thirteenth digit of the quotient, from the fifth digit, the fourteenth digit of the quotient, from the sixth digit, the fifteenth digit of the quotient, from the seventh digit, the sixteenth digit of the quotient. 

The seventeenth digit of the quotient is obtained from the eighth digit and the eighteenth digit of the quotient is obtained from the ninth digit.

★ From the above observations, we conclude that if we find the first 9 digits, further digits can be obtained in 9's complement. 

which will be like this 

   9, 4, 7, 3, 6, 8, 4, 2, 1 

   0, 5, 2, 6, 3, 1, 5, 7, 8 

In this way the entire quotient will be 0.052631578947368421.

गुणन प्रक्रिया में एक बड़ी दिलचस्प बात सामने आती है कि 

i) इस प्रक्रिया में विभाजन प्रक्रिया का बिल्कुल भी उपयोग नहीं किया गया है।

ii) हमने लगातार 1 को 19 से विभाजित करने के बजाय, केवल 1 को 2 से गुणा किया और उसके उपरांत परिणामी को लगातार 2 से गुणा करना जारी रखा जाता है। 

iii)  जैसा कि हम आपको पहले बता चुके हैं कि यहां अंकों की संख्या 19 – 1 = 18 होगी।

iv) चूंकि गुणन प्रक्रिया में संख्याएं दाएं से बाएं ओर (←) RHS से LHS (←) की तरफ प्राप्त होती हैं इसलिए सबसे दांया अंक पहला अंक माना जाएगा।

v) जैसा कि हम पहले ही जान चुके हैं कि यदि भागफल 18 के आधे (18/2=9), 9 अंक यदि हमें मिल जाए तो हम बाकी के 9 अंक, 9 के पूरकों के रूप में प्राप्त कर सकते हैं।

★ हमें भागफल का पहला अंक 1 प्राप्त होता है तो भागफल का 10 वां अंक 1 से 9 का पूरक 8 होगा।

पहले अंक + 10वें अंक का योग = 1 + 8 = 9

★ अब इस 1 को  2 से गुणा करने पर हमें भागफल का दूसरा अंक 2 प्राप्त होता है। तो भागफल का 11 वां अंक 2 से 9 का पूरक 7 होगा।

दूसरे अंक + 11वें अंक का योग = 2 + 7 = 9 

★ इसी तरह भागफल के तीसरे अंक से भागफल का बारहवां अंक, चौथे अंक से भागफल का तेरहवां अंक, पांचवें अंक से भागफल का चौदहवां अंक तथा छठवें अंक से भागफल का पंद्रहवां अंक, सातवें अंक से भागफल का सौलहवां अंक 

आठवें अंक से भागफल का सत्रहवां अंक तथा नवें अंक से भागफल का अट्ठारहवां अंक प्राप्त होता है।

★ उपरोक्त अवलोकनों से, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि यदि हम पहले 9 अंक पाते हैं, तो आगे के अंक 9 के पूरक के रूप में प्राप्त किए जा सकते हैं। 

जो इस प्रकार होंगे 

  9, 4, 7, 3, 6, 8, 4, 2, 1 

  0, 5, 2, 6, 3, 1, 5, 7, 8 

इस प्रकार संपूर्ण भागफल 0.052631578947368421 प्राप्त होगा। 

विभाजन प्रक्रिया में भी बड़ी दिलचस्प बात सामने आती है कि 

i) विभाजन प्रक्रिया में हमें लगातार 1 को 19 से विभाजित करने के बजाय, केवल 1 को 2 से विभाजित किया जाता है और उसके उपरांत परिणामी को लगातार 2 से विभाजन करना जारी रखा जाता है। 

ii)  जैसा कि हम आपको पहले बता चुके हैं कि यहां अंकों की संख्या 19 – 1 = 18 होगी।

iii) चूंकि विभाजन प्रक्रिया में संख्याएं बाएं से दाएं ओर (→) LHS से RHS (→) की तरफ प्राप्त होती हैं इसलिए सबसे बांया अंक पहला अंक माना जाएगा।

iv) जैसा कि हम पहले ही जान चुके हैं कि यदि भागफल 18 के आधे (18/2=9), 9 अंक यदि हमें मिल जाए तो हम बाकी के 9 अंक, 9 के पूरकों के रूप में प्राप्त कर सकते हैं।

★ हमें भागफल का अट्ठारहवां अंक 0 प्राप्त होता है तो भागफल का नौवां अंक 0 से 9 का पूरक 9 होगा।

अट्ठारहवां अंक + 9वें अंक का योग = 0 + 9 = 9

★ अब इस 1 को  2 से भाग करने पर हमें भागफल का 17वां अंक 5 प्राप्त होता है। तो भागफल का 8वां अंक 5 से 9 का पूरक 4 होगा।

17वां अंक + 8वें अंक का योग = 5 + 4 = 9 

★ इसी तरह भागफल के 16वां अंक से भागफल का 7वां अंक, 15वां अंक से भागफल का 6वां अंक, 14वें अंक से भागफल का 5वां अंक तथा 13वें अंक से भागफल का 4वां अंक, 12वें अंक से भागफल का 3सरा अंक 

11वें अंक से भागफल का 2सरा अंक तथा 10वें अंक से भागफल का पहला अंक प्राप्त होता है।

उपरोक्त अवलोकनों से, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि यदि हम पहले 9 अंक पाते हैं, तो आगे के अंक 9 के पूरक के रूप में प्राप्त किए जा सकते हैं। 

जो इस प्रकार होंगे 

  0, 5, 2, 6, 3, 1, 5, 7, 8 

  9, 4, 7, 3, 6, 8, 4, 2, 1 

इस प्रकार संपूर्ण भागफल 0.052631578947368421 प्राप्त होगा। 

A very interesting thing also emerges in the division process that is:

i) In the division process, instead of continuously dividing 1 by 19, we simply divide 1 by 2 and then continue dividing the resultant by 2 continuously. 

ii) As we have told you earlier that the number of digits here will be 19 – 1 = 18.

iii) Since in the division process the numbers are obtained from left to right (→) from LHS to RHS (→) hence the leftmost digit will be considered as the first digit.

iv) As we have already learned that if the quotient is half of 18 (18/2=9), we get 9 digits, then we can get the remaining 9 digits as 9's complement.

★ If the eighteenth digit of the quotient is 0, then the ninth digit of the quotient, the complement of 0 to 9, will be 9.

Eighteenth digit + sum of 9th digit = 0 + 9 = 9

★ Now by dividing this 1 by 2 we get 5, the 17th digit of the quotient. So the 8th digit of the quotient will be the complement of 5 to 9 4.

Sum of 17th digit + 8th digit = 5 + 4 = 9 

★ Similarly, from the 16th digit of the quotient, the 7th digit of the quotient, from the 15th digit, the 6th digit of the quotient, from the 14th digit, the 5th digit of the quotient, from the 13th digit, the 4th digit of the quotient, from the 12th digit, the 3rd digit of the quotient. 

The second digit of the quotient is obtained from the 11th digit and the first digit of the quotient is obtained from the 10th digit.

From the above observations, we conclude that if we find the first 9 digits, further digits can be obtained in 9's complement. 

which will be like this 

   0, 5, 2, 6, 3, 1, 5, 7, 8 

   9, 4, 7, 3, 6, 8, 4, 2, 1 

In this way the entire quotient will be 0.052631578947368421.

It is interesting to note that we have 

 i) not at all used division process 

 ii) instead of dividing 1 by 19 continuously, just multiplied 1 by 2 and continued to multiply the resultant successively by 2. 

Observations :

 a) For any fraction of the form 1 / a9 i.e., in whose denominator 9 is the digit in the units place and a is the set of remaining digits, the value of the fraction is in recurring decimal form and the repeating block’s right most digit is 1. 

 

b) Whatever may be a9, and the numerator, it is enough to follow the said process with (a+1) either in division or in multiplication. 

c) Starting from right most digit and counting from the right, we see ( in the given example 1 / 19) 

 Sum of 1st digit + 10th digit = 1 + 8 = 9

Sum of 2nd digit + 11th digit = 2 + 7 = 9 

 - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - 

Sum of 9th digit + 18th digit = 9+ 0 = 9 

 From the above observations, we conclude that if we find first 9 digits, further digits can be derived as complements of 9. 

i) Thus at the step 8 in division process we have 0.052631517 and next step. 9 gives 

0.052631578 

Now the complements of the numbers 

 0, 5, 2, 6, 3, 1, 5, 7, 8 from 9 

 9, 4, 7, 3, 6, 8, 4, 2, 1 follow the right order 

 i.e.,, 0.052631578947368421 

 Now taking the multiplication process we have 

Step. 8 : 147368421 

Step.9: 947368421 

 

Now the complements of 1, 2, 4, 8, 6, 3, 7, 4, 9 from 9 

 i.e.,, 8, 7, 5, 1, 3, 6, 2, 5, 0 precede in successive steps, giving the 

answer. 

 0.052631578947368421. 

d) When we get (Denominator – Numerator) as the product in the 

multiplicative process, half the work is done. We stop the multiplication there and mechanically write the remaining half of the answer by merely taking down complements from 9. 

e) Either division or multiplication process of giving the answer can be put in a single line form. 

Example 2: Find 1 / 39 by Ekadhika process. 

 

Now by multiplication method, Ekadhikena purva is 3 + 1 = 4 

1/39 = 1/40

 

1 / 39 = ---------------------1 

 = -------------------------------------41 

 = ----------------------------------₁641 

 = ---------------------------------₂5641 

 = --------------------------------₂25641 

 = -------------------------------₁025641 

 

Here the repeating block happens to be block of 6 digits. 

Now the rule predicting the completion of half of the computation does not hold. The complete block has to be computed by ekadhika process. 

 

Now continue and obtain the result. Find reasons for the non-applicability of 

the said ‘rule’.

उदाहरण 2: एकाधिका प्रक्रिया द्वारा 1/39 खोजें। 

  अब गुणन विधि से एकाधिकेन पूर्व 3 + 1 = 4 है 

1/39 = 1/40

  1 /39 =---------------------------------1 

  =-----------------------------------------41 (4×1=4)

  = -------------------------------------₁641 (4×4=₁6)

  =------------------------------------₂5641 (4×6+1=₂5)

  =----------------------------------₂25641 (4×5+2=₂2)

  =--------------------------------₁025641 (4×2+2=₁0)

यहां 6 अंकों केबाद हे संख्या पूर्ण पुनरावृत्ति दर्शाती है

इस लिए अब आधी गणना पूरी होने की भविष्यवाणी करने वाला नियम लागू नहीं होता। संपूर्ण ब्लॉक की गणना एकाधिका प्रक्रिया द्वारा की जानी है। 

 

अब जारी रखें और परिणाम प्राप्त करें। उक्त 'नियम' के लागू न होने के कारणों का पता लगाएं।

🌺🌺🌺🪷🪷 Vinjeet Vedic Maths 🪷🪷🌺🌺

Example1 :

 1. Find 1 / 49 by ekadhikena process. 

 Now ‘previous’ is 4. ‘One more than the previous’ is 4 + 1 = 5.

Now by division right ward from the left by ‘5’. 

 1 / 49 = .10 - - - - - - - - - - - -(divide 1 by 50) 

 = .02 - - - - - - - - - (divide 2 by 5, 0 times, 2 remainder ) 

 = .0220 - - - - - - --(divide 20 by 5, 4 times) 

 = .0204 - - - - - - -( divide 4 by 5, 0 times, 4 remainder ) 

 = .020440 -- - -- - ( divide 40 by 5, 8 times ) 

 = .020408 - - - - - (divide 8 by 5, 1 time, 3 remainder ) 

 = .02040831 - - - -(divide 31 by 5, 6 times, 1 remainder ) 

 = .02040811 6 - - - - - - - continue 

 = .0204081613322615306111222244448 - -- - - - - 

 On completing 21 digits, we get 48 

i.e.,,Denominator - Numerator = 49 – 1 = 48 stands. 

i.e, half of the process stops here. The remaining half can be obtained as 

complements from 9. 

 . Thus 1 / 49 = 0.020408163265306122448 

 . 979591836734693877551 

 

Now finding 1 / 49 by process of multiplication left ward from right by 5, 

we get 

 1 / 49 = ------------------------------------1 

 = ---------------------------------------------51 

 = -------------------------------------------2551 

 = ------------------------------------------27551 

 = ---- 483947294594118333617233446943383727551 

 i.e., Denominator – Numerator = 49 – 1 = 48 is obtained as 5×9+3

 Carry over ) = 45 + 3 = 48. Hence half of the process is over. The 

remaining half is automatically obtained as complements of 9. 

 Thus 1 / 49 = ---------------979591836734693877551 

 = 0.020408163265306122448 

       979591836734693877551

🌺🌺🌺🪷🪷 Vinjeet Vedic Maths 🪷🪷🌺🌺

Find the recurring decimal form of the fractions 1 / 29, 1 / 59,  1 / 69, 1 / 79, 1 / 89 using Ekadhika process if possible. 

Judge whether the rule of completion of half the computation holds good in such cases.

D₁D₁