विनजीत वैदिक अंकगणित पुस्तक || 1 || अध्याय 19.09 || वर्ग निखिलम सूत्र आधार, उपाधार द्वारा
Vinjeet Vedic Arithmetic Book || 1 || Chapter 19.09 || Square, Nikhilam Sutra By Base, Upadhar
Author
लेखक
ॐ जितेन्द्र सिंह तोमर
(M.A., B. Ed., MASSCOM, DNYS )
(Specialist in Basic and Vedic Maths)
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जब केवल आधार (10,100,1000,10000,..अथवा उपाधार)के निकट के संख्याओं का गुणन किया जाता है.
जैसे :- 98², 99², 94², 86², 93², 102², 97², 103², 107² , -- ये सभी संख्याओं के जोड़े (pairs) 100 के निकट हैं.
When numbers are close to the base (10,100,1000,10000,..or subbase) are multiplied.
Like:- 98², 99², 94², 86², 93², 102², 97², 103², 107², -- all these pairs of numbers are close to 100.
Let us now learn to find squares by multiplying by Nikhilam method.
आइये अब हम निखिलं विधि से गुणा करके वर्ग निकालना सीखते हैं।
(A) जब संख्या आधार से कम हो
When number is smaller than base
A x A
A –m
A –m
(A–m)/–m×–m
(B) जब संख्या आधार से अधिक हो
When number is more than base
A x A
A +m
A +m
(A+m)/+m×+m
(01) आधार 10 के लिए
(01) For base 10
(A) जब संख्या आधार से कम हो
When number is smaller than base
Example (01) 8²
8 x 8
8 –2
8 –2
(8–2)/–2×–2
6/4
64
★ संख्या 8, आधार 10 से 2 कम हैं इसलिए इनके सामने –2 लिखा गया है।
★ –2 x –2 = 4 उत्तर/गुणनफल का दांया भाग है।
★ 8 –2 =6 उत्तर/गुणनफल का बांया भाग है।
और इस तरह से 6/4 = 64.
★ The number 8 is 2 less than base 10; That is why –2 is written in front of them.
★ –2 x –2 = 4 is the answer/right side of the product.
★ 8 –2 =6 The answer is the left side of the product.
And thus 6/4 = 64.
8² = 64
Example (02) 9²
9 x 9
9 –1
9 –1
(9–1)/–1×–1
8/1
81
★ संख्या 9, आधार 10 से 1 कम हैं इसलिए इनके सामने –1 लिखा गया है।
★ –1 x –1 = 1 उत्तर/गुणनफल का दांया भाग है।
★ 9 –1 =8 उत्तर/गुणनफल का बांया भाग है।
और इस तरह से 8/1 = 81.
★ The number 9 is 1 less than base 10, hence –1 is written in front of it.
★ –1 x –1 = 1 is the answer/right side of the product.
★ 9 –1 =8 is the left side of the answer/product.
And thus 8/1 = 81.
9² = 81
(B) जब संख्या आधार से अधिक हो
When number is more than base
Example (03) 12²
12 x 12
12 2
12 2
(12+2)/2×2
14/4
144
★ संख्या 12 आधार 10 से 2 अधिक हैं इसलिए इनके सामने 2 लिखा गया है।
★ 2 x 2 = 4 उत्तर/गुणनफल का दांया भाग है।
★ 12 + 2 =14 उत्तर/गुणनफल का बांया भाग है।
और इस तरह से 14/4 = 144.
★ The number 12 is 2 more than base 10, hence 2 is written in front of it.
★ 2 x 2 = 4 is the product/right side of the answer.
★ 12 + 2 =14 is the answer/left side of the product.
And thus 14/4 = 144.
12² = 144
Example (04) 15²
15 x 15
15 5
15 5
(15+5)/5×5
20/²5
225
★ संख्या 15, आधार 10 से 5 अधिक हैं इसलिए इनके सामने 5 लिखा गया है।
★ 5 x 5 = 25 उत्तर/गुणनफल का दांया भाग है।
★ 15 + 5 =20 उत्तर/गुणनफल का बांया भाग है।
और इस तरह से 20/²5 = 225.
★ The number 15 is 5 more than base 10, hence 5 is written in front of it.
★ 5 x 5 = 25 is the answer/right side of the product.
★ 15 + 5 =20 is the answer/left side of the product.
And thus 20/²5 = 225.
15² = 225
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(02) आधार 100 के लिए
For base 100
(A) जब संख्या आधार से कम हो
When number is less than base
Example (05) 98²
98 x 98
98 –02
98 –02
(98–2)/–02×–02
96/04
9604
★ इस में 98 आधार 100 से 2 कम हैं इसलिए इनके सामने –02 लिखा गया है।
★ –02 x –02 = –04 उत्तर/गुणनफल का दांया भाग है।
★ 98 –02 =96 .उत्तर/गुणनफल का बांया भाग है।
और इस तरह से 96/04 = 9604.
★ The number 98 is 2 less than base 100, hence –02 is written in front of it.
★ –02 x –02 = –04 is the right side of the answer/product.
★ 98 –02 =96. is the left side of the answer/product.
And thus 96/04 = 9604.
98² = 9604
Example (06) 91²
91 x 91
91 –09
91 –09
(91–9)/–09×–09
82/81
8281
★ संख्या 91 आधार 100 से 9 कम हैं इसलिए इनके सामने –09 लिखा गया है।
★ –09 x –09 = –81 उत्तर/गुणनफल का दांया भाग है।
★ 91 –9 =82 .उत्तर/गुणनफल का बांया भाग है।
और इस तरह से 82/81 = 8281.
★ The number 91 is 9 less than base 100, hence –09 is written in front of it.
★ –09 x –09 = –81 is the right side of the answer/product.
★ 91 –9 =82. The answer is the left side of the product.
And thus 82/81 = 8281.
91² = 8281
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(B) जब संख्या आधार से अधिक हो
When number is more than base
Example (07) 102²
102 x 102
102 +02
102 +02
(102+2)/+02×+02
104/04
10404
★ इस में 102 आधार 100 से 2 अधिक हैं इसलिए इनके सामने +02 लिखा गया है।
★ +02 x +02 = +04 उत्तर/गुणनफल का दांया भाग है।
★ 102 +02 =104 .उत्तर/गुणनफल का बांया भाग है।
और इस तरह से 104/04 = 10404.
★ In this 102 bases are 2 more than 100, hence +02 is written in front of them.
★ +02 x +02 = +04 is the right side of the answer/product.
★ 102 +02 =104 is the left side of the answer/product.
And thus 104/04 = 10404.
102² = 10404
Example (08) 109²
109 x 109
109 +09
109 +09
(109+9)/+09×+09
118/81
11881
★ संख्या 109 आधार 100 से 9 अधिक हैं इसलिए इनके सामने +09 लिखा गया है।
★ +09 x +09 = 81 उत्तर/गुणनफल का दांया भाग है।
★ 109 + 9 =118 .उत्तर/गुणनफल का बांया भाग है।
और इस तरह से 118/81 = 11881.
★ The number 109 is 9 more than the base 100, hence +09 is written in front of it.
★ +09 x +09 = 81 is the answer/right side of the product.
★ 109 + 9 =118 is the answer/left side of the product.
And thus 118/81 = 11881.
109² = 11881
हम निखिलम सूत्र द्वारा गुणा पहले ही सीख चुके हैं। जबकि वर्ग एक विशेष प्रकार की गुणा है। जिसमें गुण्य और गुणांक दोनों एक ही प्रकार की संख्या होती हैं।
अतः वर्ग और गुणा में मात्र अंतर इतना है कि वर्ग में गुण्य और गुणांक दोनों एक ही प्रकार की संख्या होते हैं।
अतः हम आधार के निकट की 3, 4 या 5 या उसे बड़ी संख्याओं के वर्ग भी आसानी से निकाल सकते हैं।
We have already learned multiplication by Nikhilam Sutra. Whereas square is a special type of multiplication. In which both the Multiplicand and the Multiplier are numbers of the same type.
Therefore, the only difference between square and multiplication is that in square, both the Multiplicand and the Multiplier are the same type of numbers.
Therefore, we can easily find the squares of 3, 4 or 5 or even larger numbers near the base.
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Practice Time 01
01. Find the Square of the followings by multiplying sub base method:
उप-आधार गुणन विधि द्वारा निम्नलिखित के वर्ग ज्ञात करो।
1) 14 X 14
2) 19 X 19
3) 42 X 42
4) 54 X 54
5) 17 X 17
6) 32 X 32
7) 55 X 55
8) 84 X 84
9) 74 X 74
10) 68 X 68
11) 80 X 80
12) 70 X 70
13) 37 X 37
14) 84 X 84
15) 92 X 92
16) 37 X 37
17) 72 X 72
18) 38 X 38
19) 78 X 78
20) 99 X 99
21) 26 X 26
22) 66 X 66
23) 77 X 77
24) 88 X 88
25) 99 X 99
02. Find the Square of the followings by base method:
आधार विधि द्वारा निम्नलिखित के वर्ग ज्ञात करो।
1) 14²
2) 19²
3) 42²
4) 54²
5) 17²
6) 32²
7) 55²
8) 84²
9) 74²
10) 68²
11) 80²
12) 70²
13) 37²
14) 84²
15) 92²
16) 37²
17) 72²
18) 38²
19) 78²
20) 99²
21) 26²
22) 66²
23) 77²
24) 88²
25) 99²
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उप-आधार विधि द्वारा वर्ग ज्ञात करना।
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अब आते हैं 'उप-आधार' के निकट के संख्याओं का वर्ग इस विधि से करने पर।
Now let us come to squaring the numbers near the 'sub-base' by this method.
10, 20, 30, 40, 50 ...ये सब 10 के गुणज (multiple) हैं। 10, 20, 50 ये सब 100 के गुणनखंड (factor) हैं।
500 व 200, 100 का गुणज भी है और 1000 का गुणनखंड भी है।
10, 20, 30, 40, 50...these are all multiples of 10. 10, 20, 50 are all factors of 100.
500 and 200 are multiples of 100 and also factors of 1000.
ये गुणज और गुणनखंड ही वास्तव में अपने संगत आधार संख्या से बने उप -आधार हैं।
इसके लिए हमें उप-आधार अंक प्राप्त करना होता है। जो हमारे आधार और उप-आधार का अनुपात होता है। अपनी सुविधा के लिए हम उप आधार को कैपिटल यू (U) से दर्शाते हैं।
These multiples and factors are actually sub-bases made up of their corresponding base numbers.
For this we have to get sub-base points. Which is the ratio of our base and sub-base. For our convenience, we denote sub-base with capital U.
आधार
उप-आधार अंक = ___________
उप-आधार
Base
Sub base No. = __________
Sub base
(A) जब संख्या उप-आधार से कम हो
When number is less than sub base
A x A
A –m
A –m
U(A–m)/–m×–m
(B) जब संख्या उप-आधार से अधिक हो
When number is more than sub base
A x A
A +m
A +m
U(A+m)/+m×+m
वर्ग सूत्र =
उपाधारांक × [संख्या + विचलन] / विचलन²
उपाधारांक × [संख्या + विचलन] / विचलन²
Square Formula =
Upaadhaar Ank × [Number + Deviation] / Deviation²
(A) जब संख्या उप-आधार से कम हो
When number is less than sub base
Example (09) 28²
[28 में आधार 10 तथा उप-आधार 30 है, तो उप-आधार अंक = 30 / 10 = 3 होगा।]
[In 28, base is 10 and sub-base is 30, then sub-base digit will be = 30 / 10 = 3.]
28 x 28 =
28 –2
28 –2
3(28–2)/–2×–2
3(26)/4
784
★ इस में 28 उप-आधार 30 से 2 कम हैं। तथा उपाधार अंक 30/10=3 होगा। इसका विचलन 2 होगा, इसलिए इनके सामने +2 लिखा गया है।
★ 2 x 2 = 4 उत्तर/गुणनफल का दांया भाग है।
★ 2(22+2) = 48 उत्तर/गुणनफल का बांया भाग है।
और इस तरह से 48/4 = 484.
★ The number 28 is 2 less than the sub-base 30. And the base number will be 30/10=3. Its deviation will be 2, hence +2 is written in front of it.
★ 2 x 2 = 4 is the answer/right side of the product.
★ 2(22+2) = 48 is the answer/left side of the product.
And thus 48/4 = 484.
28² = 784
Example (10) 47²
[47 में आधार 10 तथा उप-आधार 50 है, तो उप-आधार अंक = 50 / 10 = 5 होगा।]
[In 47, base is 10 and sub-base is 50, then sub-base number will be = 50 / 10 = 5]
47 x 47 =
47 –3
47 –3
5(47–3)/–3×–3
5(44)/9
220/9
2209
★ संख्या 47 उपाधार 50 से 3 कम हैं। तथा उपाधार अंक 50/10=5 होगा। इसका विचलन 3 होगा, इसलिए इनके सामने –3 लिखा गया है।
★ –3 x –3 = 9 उत्तर/गुणनफल का दांया भाग है।
★ 5(47–3) = 5(44)=220 .उत्तर/गुणनफल का बांया भाग है।
और इस तरह से 220/9 = 2209.
★ Number 47 is 3 less than base 50. And sub base number will be 50/10=5. Its deviation will be 3, hence –3 is written in front of it.
★ –3 x –3 = 9 is the answer/right side of the product.
★ 5(47–3) = 5(44)=220. is the answer/left side of the product.
And thus 220/9 = 2209.
47² = 2209
Example (11) 76²
[76 में आधार 10 तथा उप-आधार 80 है, तो उप-आधार अंक = 80 / 10 = 8 होगा।]
[In 76, base is 10 and sub-base is 80, then sub-base number will be = 80 / 10 = 8.]
76 x 76 =
76 –4
76 –4
8(76–4)/–4×–4
8(72)/¹6
576/¹6
5776
★ संख्या 76 उपाधार 80 से 4 कम हैं। तथा उपाधार अंक 80/10=8 होगा। इसका विचलन 4 होगा, इसलिए इनके सामने –4 लिखा गया है।
★ 4 x 4 = 16 उत्तर/गुणनफल का दांया भाग है।
★ 8(76–4) = 8(72)=576 .उत्तर/गुणनफल का बांया भाग है।
और इस तरह से 576/¹6 = 5776.
★ The number 76 is 4 less than the base 80. And the sub base number will be 80/10=8. Its deviation will be 4, hence –4 is written in front of it.
★ 4 x 4 = 16 is the answer/right side of the product.
★ 8(76–4) = 8(72)=576. is the answer/left side of the product.
And thus 576/¹6 = 5776.
76² = 5776
(B) जब संख्या उप-आधार से अधिक हो
When number is more than sub base
Example (12) 22²
[22 में आधार 10 तथा उप-आधार 20 है, तो उप-आधार अंक = 20 / 10 = 2 होगा।]
[In 22, base is 10 and sub-base is 20, then sub-base digit will be = 20 / 10 = 2.]
22 x 22 =
22 +2
22 +2
2(22+2)/2×2
2(24)/4
484
★ संख्या 22 उप-आधार 20 से 2 अधिक हैं। तथा उपाधार अंक 20/10=2 होगा। इसका विचलन 2 होगा, इसलिए इनके सामने +2 लिखा गया है।
★ 2 x 2 = 4 उत्तर/गुणनफल का दांया भाग है।
★ 2(22+2) = 48 उत्तर/गुणनफल का बांया भाग है।
और इस तरह से 48/4 = 484.
★ The number 22 is 2 more than the sub-base 20. And the sub base number will be 20/10=2. Its deviation will be 2, hence +2 is written in front of it.
★ 2 x 2 = 4 is the answer/right side of the product.
★ 2(22+2) = 48 is the answer/left side of the product.
And thus 48/4 = 484.
22² = 484
Example (13) 43²
[43 में आधार 10 तथा उप-आधार 40 है, तो उप-आधार अंक = 40 / 10 = 4 होगा।]
[In 43, base is 10 and sub-base is 40, then sub-base digit will be = 40 / 10 = 4.]
43 x 43 =
43 +3
43 +3
4(43+3)/3×3
4(46)/9
184/9
1849
★ संख्या 43 उपाधार 40 से 3 अधिक हैं। तथा उपाधारअंक 4 होगा। इसका विचलन 3 होगा, इसलिए इनके सामने +3 लिखा गया है।
★ 3 x 3 = 9 उत्तर/गुणनफल का दांया भाग है।
★ 4(43+3) = 4(46)=184 उत्तर/गुणनफल का बांया भाग है।
और इस तरह से 184/9 = 1849.
★ The number 43 is 3 more than the base 40. And the sub base number will be 4. Its deviation will be 3, hence +3 is written in front of it.
★ 3 x 3 = 9 is the answer/right side of the product.
★ 4(43+3) = 4(46)=184 is the left side of the answer/product.
And thus 184/9 = 1849.
43² = 1849
Example (14) 76²
[76 में आधार 10 तथा उप-आधार 70 है, तो उप-आधार अंक = 70 / 10 = 7 होगा।]
[In 76, base is 10 and sub-base is 70, then sub-base number will be = 70 / 10 = 7.]
76 x 76 =
76 +6
76 +6
7(76+6)/6×6
7(82)/³6
574/³6
5776
★ संख्या 76 उपाधार 70 से 6 अधिक हैं। तथा उपाधार अंक 70/10=7 होगा। इसका विचलन 6 होगा, इसलिए इनके सामने +6 लिखा गया है।
★ 6 x 6 = 36 उत्तर/गुणनफल का दांया भाग है।
★ 7(76+6) = 7(82)=574 उत्तर/गुणनफल का बांया भाग है।
और इस तरह से 574/³6 = 5776.
★ Number 76 has 6 more than base 70. And the base number will be 70/10=7. Its deviation will be 6, hence +6 is written in front of it.
★ 6 x 6 = 36 is the answer/right side of the product.
★ 7(76+6) = 7(82)=574 is the answer/left side of the product.
And thus 574/³6 = 5776.
76² = 5776
Practice Time 02
01. Multiply the followings by sub base method:
उप-आधार विधि द्वारा निम्नलिखित की गुणा करो।
1) 14 X 14
2) 29 X 29
3) 32 X 32
4) 45 X 45
5) 51 X 51
6) 32 X 32
7) 55 X 55
8) 84 X 84
9) 74 X 74
10) 68 X 68
11) 80 X 80
12) 70 X 70
13) 37 X 37
14) 84 X 84
15) 92 X 92
16) 37 X 37
17) 72 X 72
18) 38 X 38
19) 78 X 78
20) 99 X 99
21) 26 X 26
22) 66 X 66
23) 77 X 77
24) 88 X 88
25) 99 X 99
02. Find the Square of the followings by sub base method:
उप-आधार विधि द्वारा निम्नलिखित के वर्ग ज्ञात करो।
1) 14²
2) 19²
3) 42²
4) 54²
5) 17²
6) 32²
7) 55²
8) 84²
9) 74²
10) 68²
11) 80²
12) 70²
13) 37²
14) 84²
15) 92²
16) 37²
17) 72²
18) 38²
19) 78²
20) 99²
21) 26²
22) 66²
23) 77²
24) 88²
25) 99²
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