विनजीत वैदिक अंकगणित पुस्तक || 1 || अध्याय 11.01 || तीन संख्याओं (A×B×C) की एक साथ गुणा

विनजीत वैदिक अंकगणित पुस्तक || 1 || अध्याय 11.01 || तीन संख्याओं की एक साथ गुणा 

Vinjeet Vedic Arithmetic Book || 1 || Chapter 11.01 || Multiplication of three numbers together

Author

लेखक

ॐ जितेन्द्र सिंह तोमर

(M.A., B. Ed., MASSCOM, DNYS )

(Specialist in Basic and Vedic Maths)

🌺🌺🌺🪷🪷 Vinjeet Vedic Maths 🪷🪷🌺🌺

 गुणन (Multiplication) 

तीन संख्याओ a×b×c की एक साथ गुणा करना

~विचलन विधि 

~ सूत्र - निखिलम् ( Nikhilam) 

 गुणन- प्रक्रिया (Multiplication - method) के लिए एक सूत्र निखिलम् है जिसके माध्यम से आधार (base)- 10, 100, 1000, 10000... इत्यादि तथा उपाधार (sub-base) -  20, 30, 200, 300, 4000, 50000,..... इत्यादि के नजदीक के संख्याओं का गुणनफल सरल तथा रोचक ढ़ंग से प्राप्त किया जा सकता है। 

Multiplication

Multiplying three numbers a×b×c together

~deviation method

~ Sutra - Nikhilam

Nikhilam has a formula for the multiplication method through which base – 10, 100, 1000, 10000… etc. and sub-base – 20, 30, 200, 300, 4000. The product of numbers near , 50000, ..... etc. can be obtained in a simple and interesting way.

🌺🌺🌺🪷🪷 Vinjeet Vedic Maths 🪷🪷🌺🌺

~आधार अथवा उपाधार के निकटता के आधार पर विचलन विधि को दो भागों में विभाजित किया जा सकता है। 

प्रथम - आधार अथवा उपाधार से छोटी संख्या 

यथा 9, 8,....., 99, 98, 97,...., 998, 997, 996, 989,...., 9997, 9996,...... इत्यादि। 

द्वितीय - आधार अथवा उपाधार से बड़ी संख्या 

यथा 11, 12,..., 101, 102,..., 1002, 1003,....., 10002, 10003, 10004... इत्यादि ।

~On the basis of proximity to the base or sub-base, the deviation method can be divided into two parts.

First – number smaller than the base or sub-base

Like 9, 8,....., 99, 98, 97,...., 998, 997, 996, 989,...., 9997, 9996,...... etc.

Second - Number greater than the base or sub-base

Like 11, 12,..., 101, 102,..., 1002, 1003,....., 10002, 10003, 10004... etc.

🌺🌺🌺🪷🪷 Vinjeet Vedic Maths 🪷🪷🌺🌺

तीन संख्याओ a×b×c की एक साथ गुणा करना

Multiplying three numbers a×b×c together

🌺🌺🌺🪷🪷 Vinjeet Vedic Maths 🪷🪷🌺🌺

तीन संख्याओं का गुणा -

गुणन संक्रिया में तीन खण्ड़ बनाते हैं।

1. प्रथम खण्ड़ = कोई भी एक संख्या + (शेष दो संख्याओं के विचलन का योग)
2. मध्य खण्ड़ = दो-दो विचलनों के गुणनफल का योग
3. तीसरा खण्ड़ = तीनों विचलनों का गुणन फल

इस भाग में विचलन विधि के अन्तर्गत हम आधार से बड़ी तथा छोटी संख्याओं के गुणन प्रक्रिया को समझने का प्रयास करेंगे—

इस विधि  हम तीन अंकों की संख्याओं के गुणन प्रक्रिया को विभिन्न उदाहरणों के द्वारा समझने का प्रयास करेंगे। 

उदाहरण (1) 

 N₁ × N₂ × N₃

यहाँ Aa आधार 10 से a बड़ा है तथा B आधार 10 से b बड़ा है तथा C आधार 10 से c बड़ा है।

Multiplication of three numbers -

Three divisions are formed in the multiplication operation.

First part = any one number + (sum of deviations of remaining two numbers)

Middle segment = sum of product of two deviations

Third section = product of multiplication of all three deviations

In this part, under the variation method, we will try to understand the process of multiplication of numbers larger and smaller than the base -

In this method we will try to understand the process of multiplication of three digit numbers through various examples.

Example 1)

  N1 × N2 × N3

Here Aa is greater than a in base 10, b is greater than b in base 10 and c is greater than c in base 10.

🌺🌺🌺🪷🪷 Vinjeet Vedic Maths 🪷🪷🌺🌺

  N₁ × N₂ × N₃

 N₁       →      V₁ 

 N₂       →      V₂ 

 N₃       →      V₃

LHS

N₁ × V₂ × V₃ 

N₂ × V₃ × V₁ 

N₃ × V₁ × V₂ 

MS

V₁ V₂ + V₂ V₃ + V₃ V₁

RHS

V₁ × V₂ × V₃

N₁ × N₂ × N₃ = LHS / MS / RHS

🌺🌺🌺🪷🪷 Vinjeet Vedic Maths 🪷🪷🌺🌺

यहाँ उपरोक्त प्रश्न के उत्तर को तीन पक्ष में विभक्त करेंगे बांया पक्ष, मध्य पक्ष तथा दांया पक्ष 

LHS/MS/RHS

RHS दांया पक्ष - 

= { V₁ × V₂ × V₃ } 

= z  

MS मध्य पक्ष - 

= { V₁ V₂ + V₂ V₃ + V₃ V₁ }

= y

LHS बांया पक्ष - 

N₁×V₂×V₃ या N₂×V₃×V₁ या N₃×V₁×V₂

अतः N₁ × N₂ × N₃ = x/ y / z 

                               = xyz ( उत्तर) 

Here the answer to the above question will be divided into three parts: left side, middle side and right side.

LHS/MS/RHS

RHS right side -

= { V1 × V2 × V3 }

=z

MS middle side -

= { V1 V2 + V2 V3 + V3 V1 }

= y

LHS left side -

N1×V2×V3 or N2×V3×V1 or N3×V1×V2

Hence N1 × N2 × N3 = x/ y / z

                                = xyz (answer)

🌺🌺🌺🪷🪷 Vinjeet Vedic Maths 🪷🪷🌺🌺

Formula

N₁ × N₂ × N₃ 

= [N₁×V₂×V₃] / [V₁V₂+V₂V₃+V₃V₁] / [V₁ × V₂ × V₃]

उदाहरण (1) 

 12 × 13 × 14 

यहाँ 12 आधार 10 से 2 बड़ा है तथा 13 आधार 10 से 3 बड़ा है तथा 14 आधार 10 से 4 बड़ा है। 

( 12 / + 2 ) × ( 13  / + 3 ) × ( 14 / +4) 

( 12  + 2 ) 

( 13  + 3 ) 

( 14  + 4 ) 

यहाँ उपरोक्त प्रश्न के उत्तर को तीन पक्ष में विभक्त करेंगे बांया पक्ष, मध्य पक्ष तथा दांया पक्ष 

LHS/MS/RHS

RHS दांया पक्ष - 

= { (+ 2) × (+ 3) × (+4)} 

= + 24  

MS मध्य पक्ष - 

= { (+2) × (+3) + (+3) × (+4) + (+4) × (+2 )} 

= (+6) + (+12) + ( +8) 

= 26 

LHS बांया पक्ष - 

= 12 + 3 +4, 13 + 2 +4 या 14 +2 +3 

= 19 

अतः 12 × 13 × 14 = 19  / ²6 / ²4 

                               = 19 +2 /  6 +2 / 4 

                               = 21 8 4 ( उत्तर) 

Formula

N1 × N2 × N3

= [N1×V2×V3] / [V1V2+V2V3+V3V1] / [V1 × V2 × V3]

Example 1)

  12×13×14

Here 12 base 10 is 2 bigger than 10, 13 base 10 is 3 bigger than 10 and 14 base 10 is 4 bigger than that.

( 12 / + 2 ) × ( 13 / + 3 ) × ( 14 / +4)

( 12 + 2 )

( 13 + 3 )

( 14 + 4 )

Here the answer to the above question will be divided into three parts: left side, middle side and right side.

LHS/MS/RHS

RHS right side -

= { (+ 2) × (+ 3) × (+4)}

= + 24

MS middle side -

= { (+2) × (+3) + (+3) × (+4) + (+4) × (+2 )}

= (+6) + (+12) + (+8)

= 26

LHS left side -

= 12 + 3 +4, 13 + 2 +4 or 14 +2 +3

= 19

So 12 × 13 × 14 = 19 / ²6 / ²4

                                = 19 +2 / 6 +2 / 4

                                = 21 8 4 (Answer)

🌺🌺🌺🪷🪷 Vinjeet Vedic Maths 🪷🪷🌺🌺

By Formula

N₁×N₂×N₃

= [N₁×N₂×N₃]/[(ab)+(bc)+(ca)] / [abc]

12 × 13 × 14 

= 12+3+4 /2×3+3×4+4×2/2×3×4

= 17 /6+12+8/24

= 17 /26/24

= 17 / ²6/ ²6 

= 21 / 8 / 6 

= 2186 ( Ans.)

🌺🌺🌺🪷🪷 Vinjeet Vedic Maths 🪷🪷🌺🌺

उदाहरण (2) 

11 × 12 × 13 

यहाँ 11 आधार 10 से 1 बड़ा है तथा 12 आधार 10 से 2 बड़ा है तथा 13 आधार 10 से 4 बड़ा है। 

( 11 / + 1 ) × ( 12 / + 2 ) × ( 13 / +3) 

( 11 + 1 ) 

( 12 + 2 ) 

( 13 + 3 ) 

यहाँ उपरोक्त प्रश्न के उत्तर को तीन पक्ष में विभक्त करेंगे बांया पक्ष, मध्य पक्ष तथा दांया पक्ष 

LHS/MS/RHS

RHS दांया पक्ष - 

= { (+ 1) × (+ 2) × (+3)} 

= + 06  

MS मध्य पक्ष - 

= { (+1) × (+2) + (+2) × (+3) + (+3) × (+1 )} 

= (2) + (6) + (3) 

= 11 

LHS बांया पक्ष - 

= 11 + 2 +3, 12 + 4 +1 या 13 +1 +2 

= 16 

अतः 11 × 12 × 3 = 16 / ¹1 / ⁰6 

                               = 17 / 2 / 6 

                               = 1726 ( Ans.) 

Example (2)

11×12×13

Here 11 base 10 is 1 bigger than 12 base 10 is 2 bigger and 13 base 10 is 4 bigger than that.

( 11 / + 1 ) × ( 12 / + 2 ) × ( 13 / +3)

( 11 + 1 )

( 12 + 2 )

( 13 + 3 )

Here the answer to the above question will be divided into three parts: left side, middle side and right side.

LHS/MS/RHS

RHS right side -

= { (+ 1) × (+ 2) × (+3)}

= + 06

MS middle side -

= { (+1) × (+2) + (+2) × (+3) + (+3) × (+1 )}

= (2) + (6) + (3)

= 11

LHS left side -

= 11 + 2 +3, 12 + 4 +1 or 13 +1 +2

= 16

So 11 × 12 × 3 = 16 / ¹1 / ⁰6

                                = 17 / 2 / 6

                                = 1726 (answer)

🌺🌺🌺🪷🪷 Vinjeet Vedic Maths 🪷🪷🌺🌺

By Formula

Aa × Bb × Cc 

= [A ± b ± c]/[(ab)+(bc)+(ca)] / [abc]

11 × 12 × 13 

= 11+2+3 /1×2+2×3+3×1/1×2×3

= 16 /2+6+3/6

= 16 /11/6

= 16 / ¹2 / ⁰6 

= 17 / 2 / 6 

= 1726 ( Ans.)

🌺🌺🌺🪷🪷 Vinjeet Vedic Maths 🪷🪷🌺🌺

तीन संख्याओं का गुणा -

गुणन संक्रिया में तीन खण्ड़ बनाते हैं।

1. प्रथम खण्ड़ = उपाधार संख्या का वर्ग x [कोई भी एक संख्या + शेष दो संख्याओं के विचलन का योग]
2. मध्य खण्ड़ = [दो-दो विचलनों के गुणनफल का योग] x उपाधार अंक
3. तीसरा खण्ड़ = तीनों विचलनों का गुणन फल

Multiplication of three numbers -

Three divisions are formed in the multiplication operation.

1. First part = square of base number x [any one number + sum of deviations of remaining two numbers]

2. Middle segment = [Sum of product of two deviations] x Base number

3. Third section = product of multiplication of all three deviations

🌺🌺🌺🪷🪷 Vinjeet Vedic Maths 🪷🪷🌺🌺 

Example: 21 × 23 × 26

21          +1

23          +3

26          +6

______________________________

= 2² [26+3+1] / 2 [3+18+6] / (+1) (+3) (+6)

= 4 x 30 / 2 x 27 / 18

= 120 / ₅4/ ₁8

= 120 / ₅5 / 8

= 12558

संकेत -

1.    निकटतम आधार 10, उपाधार अंक 2 तथा उपाधार = 10 x 2 = 20; अत:

विचलन = 21 – 20 = +1

विचलन = 23 – 20 = +3

विचलन = 26 – 20 = +6

2.    तीसरे खण्ड़ में तीनों विचलनों का गुणनफल लिखते हैं।

= (+1) x (+3) x (+6) = 18

3.    मध्य खण्ड़ में दो-दो विचलनों के गुणनफल के योग को उपाधार अंक से गुणा कर लिखते हैं।

= [(+1 x +3) + (+3 x+6) + (+1 x+6)] x 2 = [3+18+6] = 27 x 2 = 54

4.    प्रथम खण्ड़ में उपाधार संख्या का वर्ग x [कोई भी एक संख्या + शेष दो संख्याओं के विचलन का योग] लिखते हैं।

= 2² [21 + 3 + 6]  व 2² [23 + 1 +6]  व 2² [26 + 1 + 3] = 4 x 30= 120

5.    आधार में जितने शून्य हो मध्य तथा तीसरे खण्ड़ में उतने ही अंक होने चाहिऐ, अत: अंकों को समायोजित करते हैं।

6.    अभीष्ट गुणनफल = 12558

Example: 21 × 23 × 26

21          +1

23          +3

26          +6

______________________________

= 2² [26+3+1] / 2 [3+18+6] / (+1) (+3) (+6)

= 4 x 30 / 2 x 27 / 18

= 120 / ₅4/ ₁8

= 120 / ₅5 / 8

= 12558

Hint -

1. Nearest base is 10, base digit is 2 and base number = 10 x 2 = 20; Hence

Deviation = 21 – 20 = +1

Deviation = 23 – 20 = +3

Deviation = 26 – 20 = +6

2. In the third section, the product of all three deviations is written.

= (+1) x (+3) x (+6) 

= 18

3. In the middle section, the sum of the product of two deviations is written by multiplying it by the base digit.

= [(+1 x +3) + (+3 x+6) + (+1 x+6)] x 2 

= [3+18+6] 

= 27 x 2

 = 54

4. In the first section, the square of the base number x [any one number + the sum of the deviations of the remaining two numbers] is written.

= 22 [21 + 3 + 6] & 22 [23 + 1 +6] & 22 [26 + 1 + 3] 

= 4 x 30

= 120

5. There should be as many digits in the middle and third sections as there are zeros in the base, hence the digits are adjusted.

6. Required product = 12558

🌺🌺🌺🪷🪷 Vinjeet Vedic Maths 🪷🪷🌺🌺

उदाहरण (3)

98 × 97 × 94 

यहाँ 98 आधार 100 से 02 छोटा है, 97 आधार 100 से 03 छोटा है तथा 94 आधार 100 से 06 छोट़ा है 

(98 / – 02) × ( 97/ – 03) × (94/– 06) 

यहाँ उपरोक्त प्रश्न के उत्तर को तीन पक्ष में विभक्त करेंगे बांया  दांया पक्ष, मध्य पक्ष तथा बांया पक्ष। 

दांया पक्ष 

 { (– 02) × (–03) × (–06) 

= – 36 ) 

मध्य पक्ष   

{ (–02) × ( –03) + ( – 03) × (–04) + (–04) × ( –02) 

= { +06 + 12 + 08} 

= + 26 

बांया पक्ष 

{ (98 – 03 – 06) या (97 –02 –06) या (94 – 02 – 03 )} 

= 89 

अतः 98 × 97 × 94 

= 89  / +26 / - 36 

= 89  / (26 - 1) / (100 -  36)

=  89 /25/64 

=  892564 ( Ans.) 

Example (3)

98×97×94

Here 98 base is 02 less than 100, 97 base is 03 less than 100 and 94 base is 06 less than 100.

(98/ – 02) × (97/ – 03) × (94/ – 06)

Here the answer to the above question will be divided into three aspects: left, right, middle and left.

Right Side

  { (–02) × (–03) × (–06)

= (– 36 )

Middle Side

{ (–02) × ( –03) + ( – 03) × (–04) + (–04) × ( –02)

= { +06 + 12 + 08}

= + 26

Left Side

{ (98 – 03 – 06) or (97 –02 –06) or (94 – 02 – 03 )}

= 89

So 98 × 97 × 94

= 89 / +26 / - 36

= 89 / (26 - 1) / (100 - 36)

= 89/25/64

= 892564 (Ans.)

🌺🌺🌺🪷🪷 Vinjeet Vedic Maths 🪷🪷🌺🌺

उदाहरण ( 4 ) 

 1006 × 997 × 1011 

यहाँ 1006 आधार 1000 से 006 बड़ा है, 997 आधार 1000 से 003 छोटा है तथा 1011 आधार 1000 से 011 बड़ा है। 

( 1006 / + 006 ) × ( 997 / – 003) × ( 1011  / + 011 ) 

यहाँ उपरोक्त प्रश्न के उत्तर को तीन पक्ष में विभक्त करेंगे  दांया पक्ष, मध्य पक्ष तथा दांया पक्ष। 

दांया पक्ष - 

{ (+ 006) × (– 003) × (+011) = –198 } 

मध्य पक्ष - 

{ (+ 006) ×(–003) + (–003)× (+011) + (+011) × (+006)} 

= { – 018 + ( – 033) + 066} 

= 015 

बांया पक्ष - 

(1006 – 003 + 011 या 997 + 011 + 006 या 1011 + 006 – 003 = 1014 ) 

अतः 

     106 × 997 × 1011  

 = 1014 / 015 / – 198 

 =  1014 / (015 – 1) / (1000 – 198) 

= 1014/ 014 /802

= 1014/ 014 /802 (उत्तर )  

Example (4)

  1006 × 997 × 1011

Here 1006 is 006 larger than base 1000, 997 is 003 smaller than base 1000 and 1011 is 011 larger than base 1000.

( 1006 / + 006 ) × ( 997 / – 003) × ( 1011 / + 011 )

Here the answer to the above question will be divided into three parts: right side, middle side and right side.

Right Side -

{ (+ 006) × (– 003) × (+011) = –198 }

Middle Side -

{ (+ 006) ×(–003) + (–003)× (+011) + (+011) × (+006)}

= { – 018 + ( – 033) + 066}

= 015

Left Side -

(1006 – 003 + 011 or 997 + 011 + 006 or 1011 + 006 – 003 = 1014)

Therefore

      106 × 997 × 1011

  = 1014 / 015 / – 198

  = 1014 / (015 – 1) / (1000 – 198)

= 1014/ 014 /802

= 1014/ 014 /802 (Ans.)

🌺🌺🌺🪷🪷 Vinjeet Vedic Maths 🪷🪷🌺🌺

Practice Time

अभ्यास 01

(1) 12 × 14 × 13

(2) 11 × 12 × 13 

(3) 13 × 14 × 15

(4) 12 × 14 × 16

(5) 101 × 102 × 103

(6) 102 × 103 × 105 

(7) 104 × 106 × 108 

(8) 111 × 102 × 108 

(9) 1008 × 1007 × 1004 

(10) 1001 × 1002 × 1003 

(11) 1004 × 1006 × 1008 

(12)  10003 × 10008 × 10009 

(13)  10002 × 10004 × 10006 

(14)  10003 × 10009 × 10009 

Q. (1) 12 × 13 × 14 

Sol.

By Formula

Aa × Bb × Cc 

= [A + b + c]/[(ab)+(bc)+(ca)] / [abc]

12 × 13 × 14 

12             2

13             3

14             4

= [12+3+4] /[2×3+3×4+4×2]/[2×3×4]

= 19 /6+12+8/24

= 19 /26/24

(By slashing method Base is 10 so that we will take only single number)

= 19 / ²6/ ²4

= 21 / 8 / 4

= 2184 (Ans.)

🌺🌺🌺🪷🪷 Vinjeet Vedic Maths 🪷🪷🌺🌺

Practice Time 

अभ्यास 02

(1) 8 × 9 × 7

(2) 9 × 7 × 6

(3) 5 × 9 × 7

(4) 9 × 7 × 5 

(5) 99 × 98 × 96

(6) 92 × 94 × 96

(7) 93 × 94 × 97

(8) 95 × 97 × 99

(9) 999 × 998 × 997

(10) 996 × 991 × 992 

(11) 998 × 997 × 996 

(12) 991 × 993 × 996 

(13) 9996 × 9991 × 9992 

(14) 9998 × 9997 × 9996 

(15) 9991 × 9993 × 9996 

Q. (1) 8 × 9 × 7 

Sol.

By Formula

Aa × Bb × Cc 

= [A + b + c]/[(ab)+(bc)+(ca)] / [abc]

8 × 9 × 7 

8          –2

9          –1

7          –3

= [8–1–3] /[(–2)×(–1)+(–1) ×(–3) +(–3)×(–2)]/[–2×–1×–3]

= 4 /2 +3+6/–6

= 4 /11–1/(10–6)

(By slashing method Base is 10 so that we will take only single number)

= 4 / 10 / 4

= 5/ 0 / 4

= 504 (Ans.)

🌺🌺🌺🪷🪷 Vinjeet Vedic Maths 🪷🪷🌺🌺

Practice Time 

अभ्यास 03

(1) 8 × 11 × 7 

(2) 9 × 12 × 6 

(3) 11 × 9 × 12

(4) 13 × 8 × 15 

(5) 12 × 8 × 14 

(6) 92 × 103 × 94 

(7) 93 × 104 × 97

(8)  91 × 112 × 105 = 

(9) 105 × 107 × 99 = 

(10) 111 × 99 × 108 = 

(11) 1008 × 998 × 1012 = 

(12) 996 × 991 × 1012 

(13) 1008 × 997 × 1009 = 

(14)  995 × 988 × 1001 = 

(15)  991 × 988 × 1002 = 

(16)  1013 × 997 × 1004 =

(17)  10012 × 10008 × 9999 

(18)  9997 × 10002 × 9995 = 

(19)  9993 × 9989 × 10015 = 

(20)  10014 × 9994 × 10017 =

(21)  1025 × 1015 × 986

Q. (1) 8 × 11 × 7 

Sol.

By Formula

Aa × Bb × Cc 

= [A + b + c]/[(ab)+(bc)+(ca)] / [abc]

8 × 11 × 7

8             –2

11             1

7             –3

= [8+1–3] /[–2×1+1×–3+(–3)×–2] / [–2×1×–3]

=  6/–2–3+6/6

= 6 /1/6

(By slashing method Base is 10 so that we will take only single number)

= 6/ 1/ 6

= 616 ( Ans.)

🌺🌺🌺🪷🪷 Vinjeet Vedic Maths 🪷🪷🌺🌺