विनजीत वैदिक अंकगणित पुस्तक || 1 || अध्याय 10.02 || निखिलम सूत्र गुणन उपाधार (गुणन विधि)

विनजीत वैदिक अंकगणित पुस्तक || 1 || अध्याय 10.02 || निखिलम सूत्र गुणन उपाधार (गुणन विधि)

Vinjeet Vedic Arithmetic Book || 1 || Chapter 10.03 || Nikhilam Sutra Multiplication Substrate (Multiplication Method)

Author

लेखक

ॐ जितेन्द्र सिंह तोमर

(M.A., B. Ed., MASSCOM, DNYS )

(Specialist in Basic and Vedic Maths)

सौ (100) के उप-आधारों के लिए 

Nikhilam (निखिलम् सूत्र) – उपाधार प्रयोग

आइए पहले हम आधार और उप-आधार के बारे में जान लेते हैं । इसे आप पहले भी पढ़ चुके हैं।

आधार– वैदिक गणित में आधार एक महत्वपूर्ण अंक है जो 10 या उसकी घात अर्थात पावर के रूप में लिया जाता है।

यह 10 की पावर 0 (जीरो) को छोड़कर सभी पावर के रूप में लिया जा सकता है क्योंकि 10 की पावर जीरो का मान 1(एक) होता है और किसी भी संख्या का आधार 1(एक) नहीं लिया जा सकता।

10⁰ = 1

10¹ = 10

10² = 100

10³ = 1000

10⁴ = 10000

उप-आधार या उपाधार – किसी भी आधार को किसी पूर्णांक से गुणा करने पर प्राप्त संख्या उसका उप-आधार कहलाती है।

उप आधार = आधार × पूर्णांक 

15 के लिए उपाधार = 10 × 1 = 10

34 के लिए उपाधार = 10 × 3 = 30

63 के लिए उपाधार = 10 × 6 = 60

83 के लिए उपाधार = 10 × 8 = 80

215 के लिए उपाधार = 100 × 2 = 200

384 के लिए उपाधार = 100 × 3 = 300

763 के लिए उपाधार = 100 × 7 = 700

813 के लिए उपाधार = 100 × 8 = 800

515 के लिए उपाधार = 100 × 5 = 500

434 के लिए उपाधार = 100 × 4 = 400

8384 के लिए उपाधार = 1000 × 3 = 8000

7631 के लिए उपाधार = 1000 × 7 = 7000

8123 के लिए उपाधार = 1000 × 8 = 8000

5615 के लिए उपाधार = 1000 × 5 = 5000

4374 के लिए उपाधार = 1000 × 4 = 4000

इसी प्रकार आप अन्य उपाधार भी निकाल सकते हैं।

                                             उपाधार 

पूर्णांक या उप आधार अंक  = ––––——

                                             आधार

अब आते हैं 'उप-आधार' के निकट के संख्याओं का इस विधि से गुणन पर

10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100 ... ये सब 10 के गुणज (multiple) हैं। तो इनके आसपास की संख्याओं के लिए इन्हें आधार चुना जा सकता है। जबकि 10, 20, 50, 100 आदि 100 के गुणज के साथ साथ 100 के गुणनखंड (factor) भी हैं। 

100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000 आदि 1000 के गुणज हैं जबकि 100, 200, 500, 1000  आदि 1000 के गुणज के साथ साथ 1000 के गुणनखंड भी हैं।

इस प्रकार हम कह सकते हैं कि ऊपर के ये जो गुणज और गुणनखंड हैं वह अपने  संगत आधार संख्या से बने उप -आधार हैं।

जब दो संख्याएँ, जो आधार 10ⁿ या 10 की घात के निकट नही हो तो उनका गुणनफल सूत्र निखिलम् - उपाधार द्वारा ज्ञात किया जाता हैं।

यहां दो स्थितियां सामने आती है। 

(1) जब उप आधार, मुख्य आधार का गुणज हो तथा 

(2) दूसरी स्थिति वह होती है जब उप आधार, मुख्य आधार का गुणनखंड हो।

गुणा द्वारा

पहली स्थिति में अर्थात जब उप आधार, मुख्य आधार का गुणज हो तो मुख्य पूर्णांक यह आधार अंक प्राप्त करते हैं और उसकी गुणा LHS वाले भाग में करते हैं जबकि RHS वाले भाग को यूं ही छोड़ देते हैं। 

भाग द्वारा

दूसरी स्थिति में अर्थात जब उप आधार, मुख्य आधार का गुणनखंड हो तो पूर्णांक यह आधार अंक प्राप्त करते हैं और उसकी भाग LHS में करते हैं जबकि RHS को यूं ही छोड़ देते हैं। 

प्रथम स्थिति

सूत्र पर आधारित विधि:

1.    संख्याओं का निकटतम उपाधार चुनकर विचलन ज्ञात करते हैं।

विचलन = संख्या - उपाधार

D            d

D            e 

2.    उपाधार के सापेक्ष विचलनों को उनकी संख्या के सामने लिखते हैं।

D            d

D            e 

         /

3.    तिरछी रेखा (/) से गुणनफल स्थान के दो भाग करते हैं।

D            d

D            e 

            /d×e

4.    दायें पक्ष में विचलनों का गुणनफल लिखते हैं।

5.    बायें पक्ष में कोई भी एक संख्या तथा दूसरी संख्या के विचलन का योग कर उसे उपाधार अंक से गुणा कर लिखते हैं।

6.    उपाधार में जितने शून्य हो, उतने ही अंक दायें पक्ष में रखते हैं।

* यदि आधार 10 हो तो दायें पक्ष में एक अंक रखेंगे, दो अंक हो तो दहाई का अंक बायें पक्ष में जोड़ देते हैं।

* यदि आधार 100 हो तो दायें पक्ष में दो अंक रखेंगे, एक अंक हो तो उससे पूर्व 0 लिखते हैं तथा तीन अंक हो तो सैकडे़ का अंक बायें पक्ष में जोड़ देते हैं।

7.    विचलनों का गुणनफल यदि ॠणात्मक हो तो बायें पक्ष से आवश्यकतानुसार अंक लेकर दायें पक्ष को धनात्मक में बदलते हैं।

First Stage 

Method based on formula:

1. Deviation is found by choosing the nearest basis of the numbers.

deviation = number - base

D             d

D             e 

2. The relative deviations of the components are written in front of their numbers.

D             d

D             e 

          /

3. The slant line (/) divides the product space into two parts.

D             d

D             e 

             /d×e

4. Write the product of deviations on the right side.

5. On the left side, sum the deviation of any one number and another number and multiply it by the base digit.

6. As many zeros are there in the base, the same number of digits are kept in the right side.

* If the base is 10 then one digit will be kept on the right side, if it is two digits then the tens digit will be added on the left side.

* If the base is 100 then two digits will be kept on the right side, if there is one digit then 0 is written before it and if there are three digits then the hundredth digit is added on the left side.

7. If the product of deviations is negative then the right side is changed to positive by taking necessary numbers from the left side.

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(a) जब दोनों संख्याएं उप आधार से बड़ी हों।

(a) When both the numbers are greater than the sub base.

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Example (1) 205 X 204

205          +5       

204          +4                

LHS                                      / RHS

=2×[205+(+4) या 204+(+5)]/5×4

= 2×209/20

= 418 / 20 

= 41820

संकेत -

1.   मुख्य आधार 100 निकटतम आधार 200, उपाधार अंक 2 तथा उपाधार = 100 x 2 = 200 

अत: 

विचलन = 205 – 200 = +5

विचलन = 204 – 200 = +4

2.    दायें पक्ष (RHS) में विचलनों का गुणनफल लिखते हैं।

= (+5)×(+4)

= 20

3.    बायें पक्ष (LHS)में एक संख्या व दूसरी संख्या के विचलन का योग को उपाधार अंक से गुणा कर लिखते हैं।

=2×[205 + (+4) या 204 + (+5)]

= 2×209 

= 418

4.    अभीष्ट गुणनफल LHS/RHS

= 418/20

= 41820

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Example (1) 205 X 204

205 +5

204 +4

LHS/RHS

=2×[205+(+4) or 204+(+5)]/5×4

= 2×209/20

= 418 / 20

= 41820

Hint 

1. Main base 100, nearest base 200, sub base number 2 and sub base = 100 x 2 = 200

Hence

Deviation = 205 – 200 = +5

Deviation = 204 – 200 = +4

2. Write the product of deviations on the right side (RHS).

= (+5)×(+4)

= 20

3. In the left side (LHS), the sum of deviations of one number and another number is written by multiplying it by the base digit.

=2×[205 + (+4) or 204 + (+5)]

= 2×209

= 418

4. Required product LHS/RHS

= 418/20

= 41820

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Example (2) 302 X 304

302          +2       

304          +4                

LHS                                      / RHS

=3×[302 + (+4) या 304 + (+2)]/2×4

= 3×306/08

= 918 / 08 

= 91808

संकेत -

1. मुख्य आधार 100 निकटतम आधार 300, उपाधार अंक 3 तथा उपाधार = 100 x  = 300 

अत: 

विचलन = 302 – 300 = +2

विचलन = 304 – 300 = +4

2.    दायें पक्ष (RHS) में विचलनों का गुणनफल लिखते हैं। आधार 100 है इस लिए 2 अंक लेंगे।

= (+2)×(+4)

= 08

3.    बायें पक्ष (LHS)में एक संख्या व दूसरी संख्या के विचलन का योग को उपाधार अंक से गुणा कर लिखते हैं।

=3×[302 + (+4) या 304 + (+2)]

= 3×306

= 918 

4.    अभीष्ट गुणनफल LHS/RHS

= 918 / 08 

= 91808

Example (2) 302 X 304

302          +2       

304          +4                

LHS                                      / RHS

=3×[302 + (+4) या 304 + (+2)]/2×4

= 3×306/08

= 918 / 08 

= 91808

Hint 

1. Main base 100, nearest base 300, sub base number 3 and sub base = 100 x = 300

Hence

Deviation = 302 – 300 = +2

Deviation = 304 – 300 = +4

2. Write the product of deviations on the right side (RHS). Base is 100 so 2 marks will be taken.

= (+2)×(+4)

= 08

3. In the left side (LHS), the sum of deviations of one number and another number is written by multiplying it by the base digit.

=3×[302 + (+4) or 304 + (+2)]

= 3×306

= 918

4. Required product LHS/RHS

= 918 / 08

= 91808

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Example (3) 404 X 407

404          +4       

407          +7                    

=4×[404+(+7) या 407+(+4)] /4×7

= 4×411/ 28

= 1644 / 28

= 164428

संकेत -

1. मुख्य आधार 100 निकटतम आधार 400, उपाधार अंक 4 तथा उपाधार = 100 x  = 400 

अत:

विचलन = 404 – 400 = +4

विचलन = 407 – 400 = +7

2.    दायें पक्ष (RHS) में विचलनों का गुणनफल लिखते हैं। आधार 100 है इस लिए 2 अंक लेंगे।

= (+4) × (+7) 

= 28

3.    बायें पक्ष (LHS)में एक संख्या व दूसरी संख्या के विचलन का योग को उपाधार अंक से गुणा कर लिखते हैं।

=4×[404+(+7) या 407+(+4)] 

= 4×411

= 1644 

= 1644

4.    अभीष्ट गुणनफल LHS/RHS

= 1644 / 28

= 164428

Example (3) 404 X 407

404          +4       

407          +7                    

=4×[404+(+7) या 407+(+4)] /4×7

= 4×411/ 28

= 1644 / 28

= 164428

Hint 

1. Main base 100, nearest base 400, sub base number 4 and sub base = 100 x = 400

Hence

Deviation = 404 – 400 = +4

Deviation = 407 – 400 = +7

2. Write the product of deviations on the right side (RHS). Base is 100 so 2 marks will be taken.

= (+4) × (+7)

= 28

3. In the left side (LHS), the sum of deviations of one number and another number is written by multiplying it by the base digit.

=4×[404+(+7) or 407+(+4)]

= 4×411

= 1644

= 1644

4. Required product LHS/RHS

= 1644 / 28

= 164428

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Example (4) 504 X 507

504          +4       

507          +7                    

=5×[504+(+7) या 507+(+4)] /4x7

= 5×511/ 28

= 2555 / 28

= 255528

संकेत -

1. मुख्य आधार 100 निकटतम आधार 500, उपाधार अंक 5 तथा उपाधार = 100 x  5 = 500 

अत:

विचलन = 504 – 500 = +4

विचलन = 507 – 500 = +7

2.    दायें पक्ष (RHS) में विचलनों का गुणनफल लिखते हैं। आधार 100 है इस लिए 2 अंक लेंगे।

= (+4) × (+7) 

= 28

3.    बायें पक्ष में एक संख्या व दूसरी संख्या के विचलन का योग को उपाधार अंक से गुणा कर लिखते हैं।

=5×[504+(+7) या 507+(+4)] /4x7

= 5×511/ 28

4.    अभीष्ट गुणनफल LHS/RHS

= 2555 / 28

= 255528

Example (4) 504 X 507

504          +4       

507          +7                    

=5×[504+(+7) या 507+(+4)] /4x7

= 5×511/ 28

= 2555 / 28

= 255528

Hint 

1. Main base 100, nearest base 500, sub base number 5 and sub base = 100 x 5 = 500

Hence

Deviation = 504 – 500 = +4

Deviation = 507 – 500 = +7

2. Write the product of deviations on the right side (RHS). Base is 100 so 2 marks will be taken.

= (+4) × (+7)

= 28

3. On the left side, the sum of deviations of one number and another number is written by multiplying it by the base digit.

=5×[504+(+7) or 507+(+4)] /4x7

= 5×511/ 28

4. Required product LHS/RHS

= 2555 / 28

= 255528

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(b) जब एक संख्या उप आधार से बड़ी तथा दूसरी संख्या उप आधार से छोटी हों तो।

(b) When one number is greater than the sub base and the other number is smaller than the sub base.

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Example (5) 409 X 505

यहां उप-आधार = 500 है

499          –1       

505          +5                    

=5×[499+(+5) या 505+(–1)] /–1×+5

= 5×504/ –5

= 2520/ –05

[Remove Negative (–) sign]

(Take 1 from 2520 and add 100 to –05)

= (2520–1)/ (100–05)

= 2519/95

= 251995

संकेत

1. मुख्य आधार 100 निकटतम आधार 500, उपाधार अंक 5 तथा उपाधार = 100 x  5 = 500 

2. उपाधार से विचलन 

499   – 500 =   –1       

505   –  500 =   +5      

3. दायाँ पक्ष (RHS) 

–1 x +5 = –05 

4. बायाँ पक्ष (LHS)  

5×[499+5 या 505 –1] 

= 5×504. 

= 2520

5. अभीष्ट गुणनफल LHS/RHS

= 2520/–05

6. ऋणात्मक अंक को धनात्मक अंक में बदलने के लिए बाएं पक्ष में से एक घटा देते हैं (LHS–1) तथा दाएं पक्ष में 10 जोड़ (10+RHS) देते हैं।

= (2520–1)/ (100–05)

= 2519/95

= 251995

Example (5) 409 X 505

Here the sub base is = 500 

499          –1       

505          +5                    

=5×[499+(+5) या 505+(–1)] /–1×+5

= 5×504/ –5

= 2520/ –05

[Remove Negative (–) sign]

(Take 1 from 2520 and add 100 to –05)

= (2520–1)/ (100–05)

= 2519/95

= 251995

Hint

1. Main base 100, nearest base 500, sub base number 5 and sub base = 100 x 5 = 500

2. Deviation from the basis

499 – 500 = –1

505 – 500 = +5

3. Right Side (RHS)

–1 x +5 = –05

4. Left Side (LHS)

5×[499+5 or 505 –1]

= 5×504.

= 2520

5. Required product LHS/RHS

= 2520/–05

6. To convert a negative number to a positive number, one is subtracted from the left side (LHS–1) and 10 is added to the right side (10+RHS).

= (2520–1)/ (100–05)

= 2519/95

= 251995

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Example (6) 498 X 506

यहां उप-आधार = 50 है

498          –2       

506          +6                   

=5×[498+(+6) या 506+(–2)] /–2×+6

= 5×504/ –12

= 2520/ –12

[Remove Negative (–) sign]

(Take 1 from 2520 and add 100 to –12)

= (2520–1)/ (100–12)

= 2519/88

= 251988

संकेत

1. मुख्य आधार 100 निकटतम आधार 500, उपाधार अंक 5 तथा उपाधार = 100 x  5 = 500 

2. उपाधार से विचलन 

498   – 500 =   –2       

506   –  500 =   +6      

3. दायाँ पक्ष (RHS) 

–2 x +6 = –12 

4. बायाँ पक्ष (LHS)  

=5×[498+(+6) या 506+(–2)] 

= 5×504

= 2520

5. अभीष्ट गुणनफल LHS/RHS

= 2520/ –12

[Remove Negative (–) sign]

(Take 1 from 2520 and add 100 to –12)

= (2520–1)/ (100–12)

= 2519/88

= 251988

Example (6) 498 X 506

Here sub-base is = 50 

498          –2       

506          +6                   

=5×[498+(+6) Or 506+(–2)] /–2×+6

= 5×504/ –12

= 2520/ –12

[Remove Negative (–) sign]

(Take 1 from 2520 and add 100 to –12)

= (2520–1)/ (100–12)

= 2519/88

= 251988

Hint

1. Main base 100, nearest base 500, sub base number 5 and sub base = 100 x 5 = 500

2. Deviation from the basis

498 – 500 = –2

506 – 500 = +6

3. Right Side (RHS)

–2 x +6 = –12

4. Left Side (LHS)

=5×[498+(+6) or 506+(–2)]

= 5×504

= 2520

5. Required product LHS/RHS

= 2520/ –12

[Remove Negative (–) sign]

(Take 1 from 2520 and add 100 to –12)

= (2520–1)/ (100–12)

= 2519/88

= 251988

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Example (7) 608 X 594

यहां उप-आधार = 600 है

608          +8       

594          –6                   

=6×[608+(–6) या 594+(+8)] /+8×–6

= 6×602/ –48

= 3612/ –48

[Remove Negative (–) sign]

(Take 1 from 3612 and add 100 to –48)

= (3612–1)/ (100–48)

= 3611/52

= 361152

संकेत

1. मुख्य आधार 100 निकटतम आधार 600, उपाधार अंक 5 तथा उपाधार = 100 x  6= 600 

2. उपाधार से विचलन 

608   – 600 =   +8       

594   –  600 =  –6      

3. दायाँ पक्ष (RHS) 

+8 x –6 = –48 

4. बायाँ पक्ष (LHS)  

=6×[608+(–6) या 594+(+8)] 

= 6×602

= 3612

5. अभीष्ट गुणनफल LHS/RHS

= 3612/–48

[Remove Negative (–) sign]

(Take 1 from 3612 and add 100 to –48)

= (3612–1)/ (100–48)

= 3611/52

= 361152

Example (7) 608 X 594

Here sub-base is = 600 

608          +8       

594          –6                   

=6×[608+(–6) Or 594+(+8)] /+8×–6

= 6×602/ –48

= 3612/ –48

[Remove Negative (–) sign]

(Take 1 from 3612 and add 100 to –48)

= (3612–1)/ (100–48)

= 3611/52

= 361152

Hint

1. Main base 100, nearest base 600, sub base number 5 and sub base = 100 x 6 = 600

2. Deviation from the basis

608 – 600 = +8

594 – 600 = –6

3. Right Side (RHS)

+8 x –6 = –48

4. Left Side (LHS)

=6×[608+(–6) or 594+(+8)]

= 6×602

= 3612

5. Required product LHS/RHS

= 3612/–48

[Remove Negative (–) sign]

(Take 1 from 3612 and add 100 to –48)

= (3612–1)/ (100–48)

= 3611/52

= 361152

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(c) जब आधार 100 का सीधा आधा हो तो। 

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Example (8) 49 X 55

यहां उप-आधार = 50 है

49          –1       

55          +5                    

=5×[49+(+5)] या 5×[55+(–1)] /–1×+5

= 5×54/ –5

= 270/ –5

[Remove Negative (–) sign]

(Take 1 from 270 and add 10 to –5)

= (270–1)/ (10–5)

= 269/5

= 2695

संकेत

1. उपाधार = 50 (=100/2).

2. उपाधार से विचलन 

49   – 50 =   –1       

55   –  50 =   +5      

3. दायाँ पक्ष (RHS) 

–1 x +5 = –5 

4. बायाँ पक्ष (LHS)  

5×[49+5 या 55 –1] 

= 5×54. 

= 270

5. अभीष्ट गुणनफल LHS/RHS

= 270/–5

6. ऋणात्मक अंक को धनात्मक अंक में बदलने के लिए बाएं पक्ष में से एक घटा देते हैं (LHS–1) तथा दाएं पक्ष में 10 जोड़ (10+RHS) देते हैं।

= (270–1)/ (10–5)

= 269/5

= 2695

Example (8) 49 X 55

Here sub-base is = 50 

49          –1       

55          +5                    

=5×[49+(+5)] Or 5×[55+(–1)] /–1×+5

= 5×54/ –5

= 270/ –5

[Remove Negative (–) sign]

(Take 1 from 270 and add 10 to –5)

= (270–1)/ (10–5)

= 269/5

= 2695

Hint

1. Sub base = 50 (=100/2).

2. Deviation from the base is 50

49 – 50 = –1

55 – 50 = +5

3. Right Side (RHS)

–1 x +5 = –5

4. Left Side (LHS)

5×[49+5 or 55 –1]

= 5×54.

= 270

5. Required product LHS/RHS

= 270/–5

6. To convert a negative number to a positive number, one is subtracted from the left side (LHS–1) and 10 is added to the right side (10+RHS).

= (270–1)/ (10–5)

= 269/5

= 2695

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Practice Time (1)

(a) 1. Multiply the followings:

निम्नलिखित की गुणा करो।

1) 201 X 204                 

2) 309 X 308

3) 409 X 403                 

4) 509 X 505

5) 609 X 606                 

6) 709 X 707

7) 809 X 809                 

8) 909 X 902

9) 209 X 301                 

10) 398 X 302

11) 488 X 401                 

12) 598 X 502

13) 688 X 603                 

14) 708 X 794

15) 289 X 205                 

16) 308 X 496

17) 408 X 597                 

18) 608 X 598

19) 608 X 799                 

20) 797 X 801

21) 397 X 402                

22) 497 X 505

23) 597 X 607               

24) 407 X 398

25) 497 X 502