Nikhilam navatascharamam Dasatah
निखिलं नवतः चरमं दशतः।
(निखिलम् सूत्र) - आधार
जब दो संख्याएँ, आधार 10ⁿ , 10 या 10 की घात के निकट हो तो *उनका गुणनफल सूत्र निखिलम् - आधार* द्वारा ज्ञात किया जाता हैं।
सूत्र पर आधारित विधि:
संख्याओं का निकटतम आधार के सापेक्ष विचलन ज्ञात करते हैं।
विचलन = संख्या – आधार
आधार 1000 के लिए
For Base 1000
प्रथम स्थिति
आइए पहले हम उन प्रश्नों को हल करने का प्रयास करते हैं जो आधार से छोटे होते हैं।
(a) Multiplying between 980 to 1000
980 से 1000 तक की संख्याओं के मध्य गुणा करना।
आधार 1000 के लिए
Base 1000
LHS RHS
A – a
B – b
(A–b) or (B–a) / (–a×–b)
Example : (1) 999×997
Sol.
Base 10
LHS RHS
999 –1
997 –3
यहां निकटतम आधार 1000; अत:
विचलन = 999 – 10 = –1
विचलन = 997 – 10 = –3
(999–3)or(997–2)/(–1×–3)
=996/003.
(Base 1000 take 3 digits)
=996003
Example : (2) 998 × 995
Sol.
Base 1000
LHS RHS
998 –2
995 –5
(998–5)or(995–2)/(–2×–3)
=993/006.
(Base 1000 take 3 digits)
=993006
Example : (3) 999 × 980
Sol.
Base 100
LHS RHS
999 –1
980 –20
(999–20)or(980–1)/(–1×–20)
=979/020
(Base 1000 take 3 digits)
=989020
Example : (4) 992 × 996
Sol.
Base 1000
992 – 8
996 – 4
(992–4)or(996–8)/(–8×–4)
=988/032
(Base 1000 take 3 digits)
=988032
संकेत -
1. निकटतम आधार 100 अत:
विचलन = 92 – 100 = – 08
विचलन = 86 – 100 = –14
* दूसरी स्थिति जब दोनों संख्याएं आधार से बड़ी हो तो दोनों विचलन धनात्मक होंगे।
(b) Multiplying between 1000 to 1020
1000 से 1020 तक की संख्याओं के मध्य गुणा करना।
आधार 1000 के लिए
Base 1000
Example : (5) 1011 × 1003
Base 1000
LHS RHS
1011 +11
1003 +3
यहां निकटतम आधार 1000 अत:
विचलन = 1011 – 1000 = +11
विचलन = 1003 – 1000 = +3
Sol.
1011 +11
1003 +3
(1011+3)or(1003+11)/(+11×+3)
=1014/033 (Base 1000 take single digit)
=1014033
Example : (6) 1001 × 1003
Base 1000
LHS RHS
1001 +1
1003 +3
यहां निकटतम आधार 1000; अत:
विचलन = 1001 – 1000 = +1
विचलन = 1003 – 1000 = +3
Sol.
Base 1000
LHS RHS
1001 +1
1003 +3
(1001+3)or(1003+1)/(+1×+3)
=1004/003
(Base 1000 take 3 digits)
=1004003
Example : (7) 1012 × 1005
Base 1000
LHS RHS
1012 +12
1005 +5
यहां निकटतम आधार 1000; अत:
विचलन = 1001 – 1000 = +1
विचलन = 1003 – 1000 = +3
Sol.
Base 1000
LHS RHS
1012 +12
1005 +5
(1012+5)or(1005+12)/(+12×+5)
=1017/060
(Base 1000 take 3 digits)
=1017060
Example : (8) 1012 × 1005
Base 1000
LHS RHS
1012 +12
1005 +5
यहां निकटतम आधार 1000; अत:
विचलन = 1001 – 1000 = +1
विचलन = 1003 – 1000 = +3
Sol.
Base 1000
LHS RHS
1012 +12
1010 +10
(1012+10)or(1010+12)/(+12×+10)
=1022/120
(Base 1000 take 3 digits)
=1022120
Example : (9) 1012 × 1015
Base 1000
LHS RHS
1012 +12
1015 +15
यहां निकटतम आधार 1000; अत:
विचलन = 1012 – 1000 = +12
विचलन = 1015 – 1000 = +15
Sol.
Base 1000
LHS RHS
1012 +12
1015 +15
(1012+15)or(1015+12)/(+12×+15)
=1027/180
(Base 1000 take 3 digits)
=1028180
* तीसरी स्थिति जब एक संख्या आधार से बड़ी हो तथा दूसरी आधार से छोटी हो तो दोनों विचलन में एक ऋणात्मक तथा दूसरा धनात्मक होंगा।
विचलनों का गुणनफल यदि ॠणात्मक हो तो बायें पक्ष से आवश्यकतानुसार अंक लेकर दायें पक्ष को धनात्मक में बदलते हैं।
(c) Multiplying between 800 to 1020
800 से 1020 तक की संख्याओं के मध्य गुणा करना।
आधार 1000 के लिए
Example : (10) 1011 × 1003
Base 1000
LHS RHS
1011 +11
993 –7
यहां निकटतम आधार 1000; अत:
विचलन = 1011 – 1000 = +11
विचलन = 993 – 1000 = –7
Sol.
LHS RHS
1011 +11
993 –7
(1011–7)or(993+11)/(+11×–7)
=1004/–077
(Base 1000 take single digit)
=1004/–077
[Remove Negative (–) sign]
(Take 1 from 1000 and add 1000 to –077)
=(1004–1)/(1000–077)
=1003923
Example : (11) 1001 × 998
Base 1000
LHS RHS
1001 +1
998 –2
यहां निकटतम आधार 1000; अत:
विचलन = 1001 – 1000 = +1
विचलन = 998 – 1000 = –2
Sol.
Base 1000
LHS RHS
1001 +1
998 –2
(1001–2)or(998+1)/(+1×–2)
=999/–002
(Base 1000 take 3 digits)
=999/–002
[Remove Negative (–) sign]
(Take 1 from 999 and add 1000 to –002)
=(999–1)/(1000–002)
=998/998
=998998
Example : (11) 1001 × 998
Base 1000
LHS RHS
1001 +1
998 –2
यहां निकटतम आधार 1000; अत:
विचलन = 1001 – 1000 = +1
विचलन = 998 – 1000 = –2
Sol.
Base 1000
LHS RHS
1015 +15
996 –4
(1015–4)or(996+15)/(+15×–4)
=1011/–060
(Base 1000 take 3 digits)
=1011/–060
[Remove Negative (–) sign]
(Take 1 from 1011 and add 1000 to –060)
=(1011–1)/(1000–060)
=1010/940
=1010940
लेखक
ॐ जितेंद्र सिंह तोमर
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