Nikhilam navatascharamam Dasatah
निखिलं नवतः चरमं दशतः।
(निखिलम् सूत्र) - आधार
जब दो संख्याएँ, आधार 10ⁿ , 10 या 10 की घात के निकट हो तो *उनका गुणनफल सूत्र निखिलम् - आधार* द्वारा ज्ञात किया जाता हैं।
सूत्र पर आधारित विधि:
संख्याओं का निकटतम आधार के सापेक्ष विचलन ज्ञात करते हैं।
विचलन = संख्या – आधार
आधार 10,000 के लिए
For Base 10,000
प्रथम स्थिति
आइए पहले हम उन प्रश्नों को हल करने का प्रयास करते हैं जो आधार से छोटे होते हैं।
(a) Multiplying between 9,980 to 10,000
9,980 से 10,000 तक की संख्याओं के मध्य गुणा करना।
आधार 10,000 के लिए
Base 10,000
LHS RHS
A – a
B – b
(A–b) or (B–a) / (–a×–b)
Example : (1) 9990×9980
Sol.
Base 10,000
LHS RHS
9990 –10
9980 –20
यहां निकटतम आधार 10,000; अत:
विचलन = 9990 – 10000 = –10
विचलन = 9980 – 10000 = –20
(9990–20)or(9980–10)/(–10×–20)
=9970/0200
(Base 10,000 take 4 digits)
=99700200
Example : (2) 9998 × 9995
Sol.
Base 10,000
LHS RHS
9998 –2
9995 –5
(9998–5)or(9995–2)/(–2×–3)
=9993/0006.
(Base 10,000 take 4 digits)
=99930006
Example : (3) 9999 × 9980
Sol.
Base 10,000
LHS RHS
9999 –1
9980 –20
(9999–20)or(9980–1)/(–1×–20)
=9979/0020
(Base 10,000 take 4 digits)
=99790020
Example : (4) 9992 × 9996
Sol.
Base 10,000
9992 – 8
9996 – 4
(9992–4)or(9996–8)/(–8×–4)
=9988/0032
(Base 10,000 take 4 digits)
=99880032
संकेत -
1. निकटतम आधार 100 अत:
विचलन = 92 – 100 = – 08
विचलन = 86 – 100 = –14
* दूसरी स्थिति जब दोनों संख्याएं आधार से बड़ी हो तो दोनों विचलन धनात्मक होंगे।
(b) Multiplying between 10,000 to 10,020
10,000 से 10,020 तक की संख्याओं के मध्य गुणा करना।
आधार 10,000 के लिए
Base 10,000
Example : (5) 10011 × 10003
Base 10,000
LHS RHS
10011 +11
10003 +3
यहां निकटतम आधार 10,000; अत:
विचलन = 10,011 – 10,000 = +11
विचलन = 10,003 – 10,000 = +3
Sol.
10011 +11
10003 +3
(10011+3)or(10003+11)/(+11×+3)
=10014/0033
(Base 10,000 take 4 digits)
=100140033
Example : (6) 10001 × 10003
Base 10000
LHS RHS
10001 +1
10003 +3
यहां निकटतम आधार 10000; अत:
विचलन = 10001 – 10000 = +1
विचलन = 10003 – 10000 = +3
Sol.
Base 10000
LHS RHS
10001 +1
10003 +3
(10001+3)or(10003+1)/(+1×+3)
=10004/0003
(Base 10,000 take 4 digits)
=100040003
Example : (7) 10012 × 10005
Base 10,000
LHS RHS
10012 +12
10005 +5
यहां निकटतम आधार 10,000; अत:
विचलन = 10001 – 10000 = +1
विचलन = 10003 – 10000 = +3
Sol.
Base 10,000
LHS RHS
10012 +12
10005 +5
(10012+5)or(10005+12)/(+12×+5)
=10017/0060
(Base 10,000 take 4 digits)
=100170060
Example : (8) 10012 × 10010
Base 1000
LHS RHS
10012 +12
10010 +5
यहां निकटतम आधार 10,000; अत:
विचलन = 10012 – 10000 = +12
विचलन = 10010 – 10000 = +10
Sol.
Base 10,000
LHS RHS
10012 +12
10010 +10
(10012+10)or(10010+12)/(+12×+10)
=10022/0120
(Base 10,000 take 4 digits)
=100220120
Example : (9) 10012 × 10015
Base 10,000
LHS RHS
10012 +12
10015 +15
यहां निकटतम आधार 10,000; अत:
विचलन = 10012 – 10000 = +12
विचलन = 10015 – 10000 = +15
Sol.
Base 10,000
LHS RHS
10012 +12
10015 +15
(10012+15)or(10015+12)/(+12×+15)
=10027/0180
(Base 10,000 take 4 digits)
=100280180
* तीसरी स्थिति जब एक संख्या आधार से बड़ी हो तथा दूसरी आधार से छोटी हो तो दोनों विचलन में एक ऋणात्मक तथा दूसरा धनात्मक होंगा।
विचलनों का गुणनफल यदि ॠणात्मक हो तो बायें पक्ष से आवश्यकतानुसार अंक लेकर दायें पक्ष को धनात्मक में बदलते हैं।
(c) Multiplying between 9980 to 10020
9980 से 10020 तक की संख्याओं के मध्य गुणा करना।
आधार 10,000 के लिए
Example : (10) 10011 × 9993
Base 1000
LHS RHS
10011 +11
9993 –7
यहां निकटतम आधार 10,000; अत:
विचलन = 10011 – 10000 = +11
विचलन = 9993 – 10000 = –7
Sol.
LHS RHS
10011 +11
9993 –7
(10011–7)or(9993+11)/(+11×–7)
=10004/–0077
(Base 10,000 take 4 digit)
=10004/–0077
[Remove Negative (–) sign]
(Take 1 from 10,000 and add 10,000 to –0077)
=(1004–1)/(1000–077)
=100039923
Example : (11) 10001 × 9998
Base 10,000
LHS RHS
10001 +1
9998 –2
यहां निकटतम आधार 10,000; अत:
विचलन = 10001 – 10p00 = +1
विचलन = 9998 – 10000 = –2
Sol.
Base 10,000
LHS RHS
10001 +1
9998 –2
(10001–2)or(9998+1)/(+1×–2)
=9999/–0002
(Base 10,000 take 4 digits)
=9999/–0002
[Remove Negative (–) sign]
(Take 1 from 9999 and add 10,000 to –0002)
=(9999–1)/(1000–002)
=9998/9998
=99989998
Example : (11) 10015 × 9996
Base 10,000
LHS RHS
10015 +1
9996 –2
यहां निकटतम आधार 10,000; अत:
विचलन = 10001 – 10000 = +1
विचलन = 9998 – 10000 = –2
Sol.
Base 10,000
LHS RHS
10015 +15
9996 –4
(10015–4)or(9996+15)/(+15×–4)
=10011/–0060
(Base 10,000 take 4 digits)
=10011/–0060
[Remove Negative (–) sign]
(Take 1 from 1011 and add 10,000 to –0060)
=(10011–1)/(10000–0060)
=10010/9940
=100109940
LHS RHS
109 +9
97 –3
यहां निकटतम आधार 100; अत:
विचलन = 109 – 100 = +9
विचलन = 97 – 100 = – 3
* प्रथम स्थिति जब दोनों संख्याएं आधार से छोटी हो तो दोनों विचलन ऋणात्मक होंगे।
Base 100
LHS RHS
99 –1
97 –3
(99–3)or(97–1)/(–1×–3)
=96/03 (Base 100 take double digit)
=9603
* दूसरी स्थिति जब दोनों संख्याएं आधार से बड़ी हो तो दोनों विचलन धनात्मक होंगे।
Base 10
Example: 12 X 14
Base 10
12 +2
14 +4
(12+4)or(14+2)/(+2×+4)
=116/8 (Base 10 take single digit)
=1168
+ (+2) / 2x4
= 16 / 8
= 168
संकेत -
1. निकटतम आधार 10; अत:
विचलन = 12 – 10 = +2
विचलन = 14 – 10 = +4
2. संख्याओं के सामने विचलन लिखते हैं।
3. तिरछी रेखा से गुणनफल स्थान के दो भाग करते हैं।
4. दायें पक्ष में विचलनों का गुणनफल लिखते हैं = (+2) x (+4) = 8
5. बायें पक्ष में एक संख्या व दूसरी संख्या के विचलन का योग लिखते हैं।
= 12+(+4) और 14+(+2) = 16
6. अभीष्ट गुणनफल = 168
Example: 89 X 107
89 – 11
107 + 07
________________________
= 89 + (+07) / (–11) x (+07)
Or = 107 + (–11) / (–11) x (+07)
= 96 / (–77)
= 95 / 100 – 77
= 95 / 23
= 9523
संकेत -
1. निकटतम आधार 100 अत:
विचलन = 89 – 100 = –11
विचलन = 107 – 100 = + 07
2. दायें पक्ष में विचलनों का गुणनफल लिखते हैं = (–11) x (+07) = (–77)
3. बायें पक्ष में एक संख्या व दूसरी संख्या के विचलन का योग लिखते हैं।
= 89 + (+07) और 107+ (–11) = 96
4. दायें पक्ष में दो अंकों वाली धनात्मक संख्या हो इसके लिए बायें पक्ष से 1 दायें पक्ष में लेते हैं।
5. बायें पक्ष में शेष बचे = 96 – 1 = 95
6. दायें पक्ष में 1 का स्थानीय मान = 100, अत: दायाँ पक्ष = 100 – 77 = 23
7. अभीष्ट गुणनफल = 9523
Example: 1007 X 1015
1007 +007
1015 +015
_______________________
= 1007 + (+015) / (+007) x (+015)
Or = 1015 + (+007) / (+007) x (+015)
= 1022 / 105
= 1022105
संकेत -
1. निकटतम आधार 1000 अत:
विचलन = 1007 – 1000 = +007
विचलन = 1015 – 1000 = +015
2. दायें पक्ष में विचननों का गुणनफल लिखते हैं = (+007) x (+015) = +105
3. बायें पक्ष में एक संख्या व दूसरी संख्या के विचलन का योग लिखते हैं।
= 1007+ (+015) ó 1015+ (+007) = 1022
4. आधार में तीन शून्य हैं, अत: दायें पक्ष में तीन अंक रखते हैं।
5. अभीष्ट गुणनफल = 1022105
4. Nikhilam (निखिलम् सूत्र) – उपाधार प्रयोग
जब दो संख्याएँ, जो आधार 10 , 100 या 10 की घात के निकट नही हो तो उनका गुणनफल सूत्र निखिलम् - उपाधार द्वारा ज्ञात किया जाता हैं।
सूत्र पर आधारित विधि:
1. संख्याओं का निकटतम उपाधार चुनकर विचलन ज्ञात करते हैं।
विचलन = संख्या - उपाधार
2. उपाधार के सापेक्ष विचलनों को उनकी संख्या के सामने लिखते हैं।
3. तिरछी रेखा से गुणनफल स्थान के दो भाग करते हैं।
4. दायें पक्ष में विचलनों का गुणनफल लिखते हैं।
5. बायें पक्ष में कोई भी एक संख्या तथा दूसरी संख्या के विचलन का योग कर उसे उपाधार अंक से गुणा कर लिखते हैं।
6. उपाधार में जितने शून्य हो, उतने ही अंक दायें पक्ष में रखते हैं।
· यदि आधार 10 हो तो दायें पक्ष में एक अंक रखेंगे, दो अंक हो तो दहाई का अंक बायें पक्ष में जोड़ देते हैं।
· यदि आधार 100 हो तो दायें पक्ष में दो अंक रखेंगे, एक अंक हो तो उससे पूर्व 0 लिखते हैं तथा तीन अंक हो तो सैकडे़ का अंक बायें पक्ष में जोड़ देते हैं।
7. विचलनों का गुणनफल यदि ॠणात्मक हो तो बायें पक्ष से आवश्यकतानुसार अंक लेकर दायें पक्ष को धनात्मक में बदलते हैं।
Example: 32 X 34
32 +2
34 +4
____________
= [32 + (+4)] x 3 / 2x4
Or = [34 + (+2)] x 3 / 2x4
= 36 x 3 / 8
= 108 / 8 = 1088
संकेत -
1. निकटतम आधार 10, उपाधार अंक 3 तथा उपाधार = 10 x 3 = 30 अत:
विचलन = 32 – 30 = +2
विचलन = 34 – 30 = +4
2. दायें पक्ष में विचलनों का गुणनफल लिखते हैं।
= (+2) x (+4) = 8
3. बायें पक्ष में एक संख्या व दूसरी संख्या के विचलन का योग को उपाधार अंक से गुणा कर लिखते हैं।
= [32+ (+4)] x 3 ó [34+ (+2)] x 3 = 36 x 3 = 108
4. अभीष्ट गुणनफल = 1088
Example: 54 X 57
54 +4
57 +7
____________
= [54 + (+7)] x 5 / 4x7
Or = [57 + (+4)] x 5 / 4x7
= 61 x 5 / 28
= 305 / 28
= 305 / 28
= 305+2 / 8
= 3078
संकेत -
1. निकटतम आधार 10, उपाधार अंक 5 तथा उपाधार = 10 x 5 = 50 अत:
विचलन = 54 – 50 = +4
विचलन = 57 – 50 = +7
2. दायें पक्ष में विचलनों का गुणनफल लिखते हैं।
= (+4) x (+4) = 28
3. बायें पक्ष में एक संख्या व दूसरी संख्या के विचलन का योग को उपाधार अंक से गुणा कर लिखते हैं।
= [54+ (+7)] x 5 ó [57+ (+4)] = 61 x 5 = 305
4. दायें पक्ष में एक अंक रखते हैं, अत: 2 को बायें पक्ष में जोड़ते हैं।
5. बायाँ पक्ष = 305+2 = 307 तथा दायाँ पक्ष = 8
6. अभीष्ट गुणनफल = 3078
[Remove Negative (–) sign]
(Take 1 from 10 and add 10 to –4)
Base 10
Practice Time (1)
लेखक
ॐ जितेंद्र सिंह तोमर
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