निखिलं नवतः चरमं दशतः।

4.4.1 वैदिक गणित का तीसरा नियम निखिलम सूत्र द्वारा गुणा (1) आधार विधि 

1 से 20 तक तथा 80 से 120 तक के बीच।

Nikhilam navatascharamam Dasatah 

निखिलं नवतः चरमं दशतः।

(निखिलम् सूत्र) - आधार

जब दो संख्याएँ, आधार 10ⁿ , 10 या 10 की घात के निकट हो तो *उनका गुणनफल सूत्र निखिलम् - आधार* द्वारा ज्ञात किया जाता हैं।

सूत्र पर आधारित विधि:

1.    संख्याओं का निकटतम आधार के सापेक्ष विचलन ज्ञात करते हैं।

विचलन = संख्या – आधार

2.    आधार के सापेक्ष विचलनों को उनकी संख्या के सामने लिखते हैं। (आधार के सापेक्ष विचलन धनात्मक तथा ऋणात्मक दोनों प्रकार का हो सकता है।)

3.    तिरछी रेखा से गुणनफल को दो भाग बाएं और दाएं में बांट देते हैं। 

LHS         RHS

    A            ± a

    B            ± b      

4.    दायें पक्ष में विचलनों का गुणनफल लिखते हैं।

LHS         RHS

    A            ± a

    B            ± b      

                  / (±a×±b)

5.    बायें पक्ष में कोई भी एक संख्या तथा दूसरी संख्या के विचलन का योग लिखते हैं।

ध्यान रहे कि आधार में जितने शून्य हो, उतने ही अंक दायें पक्ष में रखते हैं। 

* यदि आधार 10 हो तो दायें पक्ष में एक अंक रखेंगे, आधार 10 होने पर यदि संख्या में दो अंक हो तो दहाई का अंक बायें पक्ष में जोड़ देते हैं।

* यदि आधार 100 हो तो दायें पक्ष में दो अंक ही रखेंगे, यदि दायें पक्ष में एक अंक हो तो उससे पूर्व 0 लिख देते हैं तथा यदि दायें पक्ष में तीन अंक हो तो सैकडे़ का अंक बायें पक्ष में जोड़ दिया जाता हैं।

LHS                            RHS

    A                              ± a

    B                              ± b      

   (A±b) or (B±a)  / (±a×±b)

इस भाग में हम आधार 10 और 100 से संबंधित सवालों को हल करना सीखेंगे।

 (1) जब आधार 10 हो तो हमारे पास 3 स्थितियां बनेंगी 

* प्रथम स्थिति* 

जब दोनों संख्याएं आधार से छोटी हो तो दोनों विचलन ऋणात्मक होंगे।

* द्वितीय स्थिति* 

जब दोनों संख्याएं आधार से बड़ी हो तो दोनों विचलन धनात्मक होंगे।

* तृतीय स्थिति* 

जब दोनों संख्याएं में से एक आधार से छोटी तथा दूसरी आधार से बड़ी हो। 

इस स्थिति में आधार से छोटी संख्या का विचलन ऋणात्मक तथा आधार से बड़ी संख्या का विचलन धनात्मक होता है।

प्रथम स्थिति

आइए पहले हम उन प्रश्नों को हल करने का प्रयास करते हैं जो आधार से छोटे होते हैं।

(a) Multiplying between 1 to 10

1 से 10 तक की संख्याओं के मध्य गुणा करना।

आधार 10 के लिए

Base 10

LHS                            RHS

    A                              – a

    B                              – b      

   (A–b) or (B–a)  / (–a×–b)

Example : (1) 9×7

Sol.

Base 10

LHS         RHS

    9            –1

    7            –3      

यहां निकटतम आधार 10; अत:

विचलन = 9 – 10 = –1

विचलन = 7 – 10 = –3

Example : (2) 8 × 7

Sol.

Base 10

LHS         RHS

    8            –2

    7            –3      

(8–3)or(7–2)/(–1×–3)

=6/3.        (Base 10 take single digit)

=63

(b) Multiplying between 80 to 100

80 से 100 तक की संख्याओं के मध्य गुणा करना।

आधार 100 के लिए

Base 100

Example : (3) 99 × 97

Sol.

Base 100

LHS         RHS

    99            –1

    97            –3      

    = 99 + (–3) / (–1) x (–3)

Or = 97 + (–1) / (–1) x (–3)

     = 96 / +03

      = 9603

यहां निकटतम आधार 100; अत:

विचलन = 99 – 100 = –1

विचलन = 97 – 100 = –3

Example : (4) 92 × 86

Sol.

Base 100                               

92          – 08

86          – 14           

    = 92 + (–14) / (–08) x (–14)

Or = 86 + (–08) / (–08) x (–14)

     = 78 / ¹12

      = 7912

संकेत -

1.    निकटतम आधार 100 अत:

विचलन = 92 – 100 = – 08

विचलन = 86 – 100 = –14

Practice Time (1)

(a) 1. Multiply the followings:

निम्नलिखित की गुणा करो।

1) 9 X 4                 

2) 9 X 8

3) 9 X 3                 

4) 9 X 5

5) 9 X 6                 

6) 9 X 7

7) 9 X 9                 

8) 9 X 2

9) 9 X 1                 

10) 8 X 0

11) 8 X 1                 

12) 8 X 2

13) 8 X 3                 

14) 8 X 4

15) 8 X 5                 

16) 8 X 6

17) 8 X 7                 

18) 8 X 8

19) 8 X 9                 

20) 7 X 1

21) 7 X 2                

22) 7 X 5

23) 7 X 7               

24) 7 X 8

25) 7 X 9  

Practice Time (2)

(b) 2. Multiply the followings:

निम्नलिखित की गुणा करो।

1) 99 X 94                 

2) 99 X 98

3) 95 X 93                 

4) 99 X 95

5) 94 X 96                 

6) 95 X 97

7) 89 X 99                 

8) 87 X 92

9) 89 X 91                 

10) 88 X 90

11) 81 X 91                 

12) 82 X 92

13) 85 X 93                 

14) 84 X 94

15) 89 X 95                 

16) 88 X 96

17) 98 X 97                 

18) 98 X 98

19) 98 X 89                 

20) 87 X 91

21) 97 X 92                

22) 97 X 85

23) 87 X 97               

24) 88 X 98

25) 87 X 97  

* दूसरी स्थिति जब दोनों संख्याएं आधार से बड़ी हो तो दोनों विचलन धनात्मक होंगे।

(a) Multiplying between 11 to 20

11 से 20 तक की संख्याओं के मध्य गुणा करना।

आधार 10 के लिए

Base 10

LHS         RHS

    11            +1

    13            +3      

यहां निकटतम आधार 10; अत:

विचलन = 11 – 10 = +1

विचलन = 13 – 10 = +3

Example : (5) 11 × 13

Sol.

LHS         RHS

    11            +1

    13            +3      

(13+1)or(11+3)/(+1×+3)

=14/3   (Base 10 take single digit)

=143

(b) Multiplying between 80 to 100

80 से 100 तक की संख्याओं के मध्य गुणा करना।

आधार 100 के लिए

Base 100

LHS         RHS

    101            +1

    103            +3      

यहां निकटतम आधार 100; अत:

विचलन = 101 – 100 = +1

विचलन = 103 – 100 = +3

Example : (6) 101 × 103

Sol. 

Base 100

    LHS         RHS

    101            +1

    103            +3      

(101+3)or(103+1)/(+1×+3)

=104/03 (Base 100 take double digit)

=10403

Practice Time (3)

(a) 1. Multiply the followings:

निम्नलिखित की गुणा करो।

1) 11 X 14                 

2) 19 X 18

3) 19 X 13                 

4) 19 X 15

5) 19 X 16                 

6) 19 X 17

7) 19 X 19                 

8) 19 X 12

9) 19 X 11                 

10) 18 X 10

11) 18 X 11                 

12) 18 X 12

13) 18 X 13                 

14) 18 X 14

15) 18 X 15                 

16) 18 X 16

17) 18 X 17                 

18) 18 X 18

19) 18 X 19                 

20) 17 X 11

21) 17 X 12                

22) 17 X 15

23) 17 X 17               

24) 17 X 18

25) 17 X 19  

Practice Time (4)

(b) 2. Multiply the followings:

निम्नलिखित की गुणा करो।

1) 101 X 104                 

2) 109 X 108

3) 109 X 103                 

4) 109 X 105

5) 109 X 106                 

6) 109 X 107

7) 109 X 109                 

8) 109 X 102

9) 109 X 101                 

10) 108 X 100

11) 108 X 101                 

12) 108 X 102

13) 108 X 103                 

14) 108 X 104

15) 108 X 115                 

16) 118 X 116

17) 118 X 107                 

18) 118 X 108

19) 108 X 119                 

20) 107 X 111

21) 117 X 102                

22) 117 X 105

23) 107 X 117               

24) 117 X 108

25) 117 X 109  

* तीसरी स्थिति जब एक संख्या आधार से बड़ी हो तथा दूसरी आधार से छोटी हो तो दोनों विचलन में एक ऋणात्मक तथा दूसरा धनात्मक होंगा।

विचलनों का गुणनफल यदि ॠणात्मक हो तो बायें पक्ष से आवश्यकतानुसार अंक लेकर दायें पक्ष को धनात्मक में बदलते हैं।

(b) Multiplying between 1 to 20

80 से 120 तक की संख्याओं के मध्य गुणा करना।

आधार 10 के लिए

Base 10

LHS         RHS

    9             –1

    13            +3      

यहां निकटतम आधार 10; अत:

विचलन = 9 – 10 = –1

विचलन = 13 – 10 = +3

Example : (7) 9 × 13

Base 10

LHS         RHS

    9             –1

    13            +3      

(9+3)or(13–1)/(–1×+3)

=12/–3   (Base 10 take single digit)

=(12–1)(10–3)

= 117

Example : (8) 12 × 8

Base 10

LHS         RHS

    12            +2

    8              –2             

(12–2)or(8+2)/(+2×–2)

=10/–4   [Remove Negative (–) sign]

(Take 1 from 10 and add 10 to –4)

= (10–1)(10–4)

= 96

Example : (9) 89 × 107

Base 100

89          – 11

107        + 07                

= 89 + (+07) / (–11) x (+07)

Or = 107 + (–11) / (–11) x (+07)

= 96 / (–77)

= 95 / 100 – 77

= 95 / 23

= 9523

Example : (10) 109 × 97

Base 100

LHS         RHS

    109           +9

    97            –3      

यहां निकटतम आधार 100; अत:

विचलन = 109 – 100 = +9

विचलन =  97 – 100 = – 3

Base 100

LHS         RHS

   102           +2

    97            –3      

(102–3)or(97+2)/(+2×–3)

=99/–06   

(Base 100 take double digit)

(Take 1 from 10 and add 10 to –06)

=(99–1)/(100–06)

=9894

Practice Time (5)

3. Multiply the followings:

निम्नलिखित की गुणा करो।

1) 11 X 4                 

2) 9 X 18

3) 9 X 13                 

4) 19 X 5

5) 9 X 16                 

6) 9 X 17

7) 19 X 9                 

8) 19 X 2

9) 9 X 11                 

10) 8 X 10

11) 8 X 11                 

12) 6 X 12

13) 8 X 13                 

14) 18 X 4

15) 8 X 15                 

16) 18 X 6

17) 8 X 17                 

18) 18 X 8

19) 8 X 19                 

20) 7 X 11

21) 17 X 9                

22) 8 X 15

23) 9 X 17               

24) 17 X 8

25) 7 X 19  

Practice Time (6)

(b) 2. Multiply the followings:

निम्नलिखित की गुणा करो।

1) 101 X 94                 

2) 109 X 98

3) 109 X 93                 

4) 109 X 85

5) 109 X 96                 

6) 99 X 107

7) 109 X 89                 

8) 119 X 98

9) 109 X 91                 

10) 98 X 101

11) 118 X 98                 

12) 117 X 97

13) 108 X 93                 

14) 88 X 104

15) 97 X 103                 

16) 118 X 96

17) 118 X 97                 

18) 98 X 108

19) 88 X 109                 

20) 107 X 91

21) 117 X 98                

22) 87 X 105

23) 92 X 117               

24) 118 X 92

25) 117 X 95  

लेखक

ॐ जितेंद्र सिंह तोमर