Nikhilam navatascharamam Dasatah
निखिलं नवतः चरमं दशतः।
(निखिलम् सूत्र) - आधार
जब दो संख्याएँ, आधार 10ⁿ , 10 या 10 की घात के निकट हो तो *उनका गुणनफल सूत्र निखिलम् - आधार* द्वारा ज्ञात किया जाता हैं।
सूत्र पर आधारित विधि:
संख्याओं का निकटतम आधार के सापेक्ष विचलन ज्ञात करते हैं।
विचलन = संख्या – आधार
आधार 100,000 के लिए
For Base 100,000
प्रथम स्थिति
आइए पहले हम उन प्रश्नों को हल करने का प्रयास करते हैं जो आधार से छोटे होते हैं।
(a) Multiplying between 99,980 to 10,000
99,980 से 100,000 तक की संख्याओं के मध्य गुणा करना।
आधार 100,000 के लिए
Base 100,000
LHS RHS
A – a
B – b
(A–b) or (B–a) / (–a×–b)
Example : (1) 99990×99980
Sol.
Base 100,000
LHS RHS
99990 –10
99980 –20
यहां निकटतम आधार 100,000; अत:
विचलन = 99990 – 100000 = –10
विचलन = 99980 – 100000 = –20
(99990–20)or(99980–10)/(–10×–20)
=99970/00200
(Base 100,000 take 5 digits)
=9997000200
Example : (2) 99998 × 99995
Sol.
Base 100,000
LHS RHS
99998 –2
99995 –5
(99998–5)or(99995–2)/(–2×–3)
=99993/00006.
(Base 100,000 take 4 digits)
=9999300006
Example : (3) 99999 × 99980
Sol.
Base 100,000
LHS RHS
99999 –1
99980 –20
(99999–20)or(99980–1)/(–1×–20)
=99979/00020
(Base 100,000 take 5 digits)
=9997900020
Example : (4) 99992 × 99996
Sol.
Base 100,000
99992 – 8
99996 – 4
(99992–4)or(99996–8)/(–8×–4)
=99988/00032
(Base 100,000 take 4 digits)
=9998800032
संकेत -
1. निकटतम आधार 100 अत:
विचलन = 92 – 100 = – 08
विचलन = 86 – 100 = –14
* दूसरी स्थिति जब दोनों संख्याएं आधार से बड़ी हो तो दोनों विचलन धनात्मक होंगे।
(b) Multiplying between 10,000 to 10,020
10,000 से 10,020 तक की संख्याओं के मध्य गुणा करना।
आधार 10,000 के लिए
Base 10,000
Example : (5) 100011 × 100003
Base 100,000
LHS RHS
100011 +11
100003 +3
यहां निकटतम आधार 100,000; अत:
विचलन = 100,011 – 100,000 = +11
विचलन = 100,003 – 100,000 = +3
Sol.
100011 +11
100003 +3
(100011+3)or(100003+11)/(+11×+3)
=100014/00033
(Base 100,000 take 5 digits)
=10001400033
Example : (6) 100001 × 100003
Base 100000
LHS RHS
100001 +1
100003 +3
यहां निकटतम आधार 100000; अत:
विचलन = 100001 – 100000 = +1
विचलन = 100003 – 100000 = +3
Sol.
Base 100,000
LHS RHS
100001 +1
100003 +3
(100001+3)or(100003+1)/(+1×+3)
=100004/00003
(Base 100,000 take 5 digits)
=10000400003
Example : (7) 100012 × 100005
Base 100,000
LHS RHS
100012 +12
100005 +5
यहां निकटतम आधार 100,000; अत:
विचलन = 100001 – 100000 = +1
विचलन = 100003 – 100000 = +3
Sol.
Base 100,000
LHS RHS
100012 +12
100005 +5
(100012+5)or(100005+12)/(+12×+5)
=100017/00060
(Base 100,000 take 5 digits)
=10001700060
Example : (8) 100012 × 100010
Base 100,000
LHS RHS
100012 +12
100010 +5
यहां निकटतम आधार 100,000; अत:
विचलन = 100012 – 100000 = +12
विचलन = 100010 – 100000 = +10
Sol.
Base 100,000
LHS RHS
100012 +12
100010 +10
(100012+10)or(100010+12)/(+12×+10)
=100022/00120
(Base 100,000 take 5 digits)
=10002200120
Example : (9) 100012 × 100015
Base 100,000
LHS RHS
100012 +12
100015 +15
यहां निकटतम आधार 100,000; अत:
विचलन = 100012 – 100000 = +12
विचलन = 100015 – 100000 = +15
Sol.
Base 100,000
LHS RHS
100012 +12
100015 +15
(100012+15)or(100015+12)/(+12×+15)
=100027/00180
(Base 100,000 take 5 digits)
=10002800180
* तीसरी स्थिति जब एक संख्या आधार से बड़ी हो तथा दूसरी आधार से छोटी हो तो दोनों विचलन में एक ऋणात्मक तथा दूसरा धनात्मक होंगा।
विचलनों का गुणनफल यदि ॠणात्मक हो तो बायें पक्ष से आवश्यकतानुसार अंक लेकर दायें पक्ष को धनात्मक में बदलते हैं।
(c) Multiplying between 99980 to 100020
99980 से 100020 तक की संख्याओं के मध्य गुणा करना।
आधार 100,000 के लिए
Example : (10) 100011 × 99993
Base 100000
LHS RHS
100011 +11
99993 –7
यहां निकटतम आधार 100,000; अत:
विचलन = 100011 – 10000 = +11
विचलन = 99993 – 10000 = –7
Sol.
LHS RHS
100011 +11
99993 –7
(100011–7)or(99993+11)/(+11×–7)
=100004/–00077
(Base 100,000 take 5 digit)
=100004/–00077
[Remove Negative (–) sign]
(Take 1 from 10,004 and add 10,000 to –00077)
=(10004–1)/(10000–0077)
=10000399923
Example : (11) 100001 × 99998
Base 100,000
LHS RHS
100001 +1
99998 –2
यहां निकटतम आधार 100,000; अत:
विचलन = 100001 – 100000 = +1
विचलन = 99998 – 100000 = –2
Sol.
Base 100,000
LHS RHS
100001 +1
99998 –2
(100001–2)or(99998+1)/(+1×–2)
=99999/–00002
(Base 100,000 take 5 digits)
=99999/–00002
[Remove Negative (–) sign]
(Take 1 from 99999 and add 100,000 to –00002)
=(99999–1)/(100000–00002)
=99998/99998
=9998899998
Example : (11) 100015 × 99996
Base 100,000
LHS RHS
100015 +1
99996 –2
यहां निकटतम आधार 100,000; अत:
विचलन = 100001 – 100000 = +1
विचलन = 99998 – 100000 = –2
Sol.
Base 100,000
LHS RHS
100015 +15
99996 –4
(100015–4)or(99996+15)/(+15×–4)
=100011/–00060
(Base 100,000 take 5 digits)
=100011/–00060
[Remove Negative (–) sign]
(Take 1 from 100011 and add 10,000 to –00060)
=(100011–1)/(100000–00060)
=100010/99940
=10001099940
लेखक
ॐ जितेंद्र सिंह तोमर
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