दशमलव संख्याएं

लेखक

Author

ॐ जितेन्द्र सिंह तोमर

Om Jitender Singh Tomar

(M.A., B. Ed., MASSCOM, DNYS )

(Specialist in Basic and Vedic Maths

गणित मानव सभ्यता की आत्मा है। संख्याएँ हमारे विचारों, व्यापार, विज्ञान, और तकनीकी विकास की रीढ़ हैं।

Mathematics is the soul of human civilization. Numbers are the backbone of our thoughts, business, science, and technological development.

“दशमलव संख्या प्रणाली” (Decimal Number System)

वह संख्या पद्धति या प्रणाली जिसमें दशमलव का प्रयोग किया जाता है। दशमलव संख्या पद्धति या दशमलव संख्या प्रणाली कहलाती है।

The number system in which decimals are used is called decimal number system or decimal number system.

🌿 दशमलव प्रणाली — भारत की अद्भुत और अनमोल खोज है। इसी कारण 28 दिसंबर 1956 के दौरान दशमलव संख्या प्रणाली को राष्ट्रपति के द्वारा स्वीकृति प्राप्त हुई थी। जिसके बाद दशमलव का उपयोग हर क्षेत्र में किया जाने लगा। और तब से लेकर आज तक दशमलव का उपयोग हमारे जीवन के महत्वपूर्ण अंग में से एक बन गया है।

Decimal system – is a wonderful and precious discovery of India. For this reason, the decimal number system was approved by the President on December 28, 1956. After this, decimals began to be used in every field. And since then, the use of decimals has become an important part of our lives.

दशमलव क्या है ?

“दशमलव” शब्द दो भागों से बना है — दशमलव = दश (अर्थात 10) + मलव (अर्थात खंड या भाग) । इन संख्याओं को दशमलव बिंदुक द्वारा दर्शाया जाता है।

लैटिन भाषा में 'Decimus' का अर्थ है दशांश (tenth), इसी से शब्द 'decimal' (दशमलव) उत्पन्न हुआ है। इसलिए, दशमलव पद्धति (decimal system) का आधार (base) दस (ten) है और इसे अक्सर आधार-10 पद्धति कहा जाता है।

What is a decimal?

The word "Decimal" is made up of two parts: decimal = ten (meaning 10) + mul (meaning part or division). These numbers are represented by a decimal point.

The Latin word "Decimus" means tenth, from which the word "decimal" is derived. Therefore, the decimal system has a base of ten and is often called the base-10 system.

दशमलव बिंदु (Decimal Point): यह (.) चिन्ह किसी संख्या के बिन्दु के दाएं व बाएं दो भागों में अलग करता है।

बिंदु के बाईं ओर का भाग = पूर्णांक भाग (Whole part)

बिंदु के दाईं ओर का भाग = भिन्न भाग (Fractional part)

Decimal Point: This symbol of Decimal Point (.) separates a number into two parts, to the right and left of the point.

The part to the left of the point = the whole part.

The part to the right of the point = the fractional part

नोट :–> हमेशा ध्यान रखना चाहिए कि दशमलव सभी संख्याओं को फॉलो करता है। चाहे उस संख्या में दशमलव लिखा हो या न लिखा हो।

Note: –> Always remember that decimals follow all numbers, whether the number has a decimal point or not.

दशमलव संख्या

वह संख्या जिसमें दशमलव बिंदु छिपा होता है या लिखा होता है। दशमलव संख्या कहलाती है। इस प्रकार दशमलव किसी संख्या को दो भागों में बाटता है।

अत:"दशमलव बिन्दु से पहला या बांयां भाग पूर्णांक और दशमलव बिन्दु के बाद या दांयां भाग एक भिन्नांश (fractional part) होता है। दूसरे शब्दों में पूर्णांक और भिन्नांक दोनों के बीच दशमलव बिंदु (Decimal Point) होता है।

5, 10, 125, 987, 1000 आदि संख्याओं में दशमलव छिपा हुआ है। इस लिए इन संख्याओं को दशमलव रूप में इस प्रकार लिख सकते हैं।

5.0, 10.0, 125.0, 987.0, 1000.0 इससे पता चलता है कि यूनिट या ones या इकाई के दाएं ओर दशमलव छिपा होता है। वह लिखा हो या नहीं।

Decimal Numbers

A number with a hidden or written decimal point is called a decimal number. A decimal divides a number into two parts.

So, the part before or to the left of the decimal point is an integer, and the part after or to the right of the decimal point is a fractional part. In other words, there is a decimal point between the integer and the fraction.

Numbers like 5, 10, 125, 987, 1000, etc. have a hidden decimal point. Therefore, these numbers can be written in decimal form as follows: 5.0, 10.0, 125.0, 987.0, 1000.0

This indicates that the decimal point is hidden to the right of the units or ones, whether it is written or not.

दशमलव पद्धति के अन्य नाम

दशमलव पद्धति को दशमलव पद्धति के साथ साथ दाशमिक संख्या पद्धति या दशाधार संख्या पद्धति (decimal system, "base ten" or "denary") के नाम से भी जाना जाता है।

चूंकि इस संख्या पद्धति में गिनती / गणना के लिये कुल 'दस अंकों' या 'दस अंक संकेतों' (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) का प्रयोग किया जाता है। इसलिए इसे दाशमिक प्रणाली कहते हैं। 10 अंकों के प्रयोग होने के करण यह संख्या पद्धति 10 आधारित संख्या पद्धति भी कहीं जाती है। अर्थात् इस पद्धति में 10 स्वयं ही आधार (Base) बन जाता है।

बहु उपयोगी और वैज्ञानिक होने के कारण यह संख्या पद्धति मानव द्वारा सर्वाधिक प्रयुक्त की जाने वाली संख्या पद्धति है।

Other Names for the Decimal System

The decimal system is also known as the decimal system, "base ten system" or "denary" (decimal system).

Since this number system uses a total of ten digits or ten digit symbols (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) for counting/calculation, it is called the decimal system. Because it uses 10 digits, this number system is also called the 10-based number system. That is, in this system, 10 itself becomes the base.

Being multi-purpose and scientific, this number system is the most used number system by humans.

दशमलव संख्याओं को लिखना

सैकड़ा > दहाई > इकाई > बिंदु > दशांश > सौवां > हज़ारवां

इन संख्याओं को ऊपर की सीक्वेंस में लिखा जाता है। इसे हम स्थानीय मान सारणी भी कह सकते हैं। इस सारणी का अर्थ है कि हम गणना में हर दसवें स्थान पर नई इकाई बनाते हैं —10,000 दस हजार = 1000 हजार = 100 सैकड़े = 10 दहाई = 1 इकाई आदि।

दशमलव बिंदु के बाद के पहले स्थान को " दशांश " कहा जाता है, जो उस अंक के स्थानीय मान का प्रतिनिधित्व करता है। पूरे का या पूरे का दसवां हिस्सा या 1/10, दशमलव रूप में, इस भिन्न को "0.1" लिखा जाता है।

दशमलव बिंदु के बाद के दूसरे स्थान को " शतांश " कहा जाता है, जो उस अंक के स्थानीय मान का प्रतिनिधित्व करता है। यह पूरे का या पूरे का सौवाँ भाग या 1/100, दशमलव रूप में, इस दशमलव अंश को "0.01" लिखा जाता है।

और तीसरे स्थान को सहस्रांश अर्थात " हजारवां " कहा जाता है, जो उस अंक के स्थानीय मान का प्रतिनिधित्व करता है। पूरे का या पूरे का एक हज़ारवाँ भाग या 1/1000, दशमलव रूप में, इस दशमलव अंश को "0.001" लिखा जाता है।

Writing Decimal Numbers

Hundreds > Tens > Ones > Dot > Tenths > Hundredths > Thousandths

These numbers are written in the above sequence. We can also call it place value table. This table means that we create a new unit at every tenth place in the calculation—10,000 ten thousands = 1000 thousands = 100 hundreds = 10 tens = 1 unit, etc.

The first place after the decimal point is called the "tenth," which represents the place value of that digit. One tenth of a whole or 1/10 of a whole, in decimal form, this fraction is written as "0.1".

The second place after the decimal point is called the "hundredth," which represents the place value of that digit. It is one hundredth of a whole or 1/100 of a whole, in decimal form, this decimal fraction is written as "0.01".

And the third place is called sahasransha, meaning "thousandth," which represents the place value of that digit. One thousandth of a whole or 1/1000 of a whole, in decimal form, this decimal fraction is written as "0.001".

दशमलव कैसे पढ़ें?

दशमलव को पढ़ने का एक अनौपचारिक तरीका यह है कि दशमलव संख्या के पूर्णांक भाग को उसी तरह पढ़ें जैसे आप किसी भी पूर्ण संख्या को पढ़ते हैं और फिर दशमलव बिंदु को "बिंदु" के रूप में पढ़ें और फिर भिन्नांक या परिमेय भाग के प्रत्येक अंक को अलग-अलग पढ़ें।

How to read decimals?

An informal way to read decimals is to read the integer part of the decimal number the same way you read any whole number, then read the decimal point as a "point," and then read each digit of the fractional or rational part individually.

उदाहरण 1 के लिए, संख्या 157.483 को “एक सौ सत्तावन दशमलव चार आठ तीन” पढ़ा जाएगा।

उदाहरण 2 के लिए, संख्या 1357.403 को “एक हजार तीन सौ सत्तावन दशमलव चार जीरो तीन” पढ़ा जाएगा।

उदाहरण 3 यदि दशमलव मान के आगे कोई पूर्ण संख्या नहीं है, तो "और" शब्द का प्रयोग न करें। बल्कि, आप संख्या को सामान्य रूप से पढ़ें और संख्या के अंतिम स्थान के मान के साथ समाप्त करें। संख्या 1357 को एक हजार तीन सौ सत्तावन पढ़ा जाएगा।

उदाहरण 4 यदि दशमलव मान के बाद की जो संख्याएं लिखी गई हैं तो उन्हें अलग अलग पढ़ा जाएगा। संख्या 0.1357 को शून्य दशमलव एक तीन पांच सात पढ़ा जाएगा।

For Example 1, the number 157.483 would be read as "one hundred fifty-seven point four eight three."

For Example 2, the number 1357.403 would be read as "one thousand three hundred fifty-seven point four zero three."

Example 3, If there is no whole number after the decimal point, do not use the word "and." Instead, read the number normally and end with the value in the last place. The number 1357 would be read as one thousand three hundred fifty-seven.

Example 4, If the numbers after the decimal point are written, they would be read separately. The number 0.1357 would be read as zero point one three five seven.

दशमलव का स्थान मूल्य (Place Value in Decimals)

किसी संख्या में प्रत्येक अंक को एक मान दिया जाता है जिसे उस स्थान का स्थानीय मान (Place Value) कहा जाता है।

सैकड़ा > दहाई > इकाई > बिंदु > दशांश > सौवां > हज़ारवां

स्थान (Place)	नाम (Name)	मान (Value)
100s	सैकड़ा	100
10s	दहाई	10
1s	इकाई	1
.	दशमलव बिंदु	—
1/10	दसवाँ भाग	0.1
1/100	सौंवा भाग	0.01
1/1000	हज़ारवाँ भाग	0.001

Place Value in Decimals

Each digit in a number is assigned a value called its place value.

Hundreds > Tens > Ones > Points > Tenths > Hundredths > Thousandths

Place Name Value

100s hundreds 100

10s tens 10

1s units 1

. Decimal point —

1/10 tenths 0.1

1/100 hundredths 0.01

1/1000 thousandths 0.001

दशमलव के प्रकार

दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या के आधार पर, दशमलव संख्याओं को दो श्रेणियों में विभाजित किया जाता है: (1) समान दशमलव (2) असमान दशमलव

(1) समान दशमलव:

जिन दशमलव संख्याओं में दशमलव बिंदु के बाद के अंक गिनती में बराबर या समान होते हैं। उन सभी संख्याओं को "समान दशमलव" कहा जाता है।

दूसरे शब्दों में यदि संख्याओं के दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या समान हो तो वे समान दशमलव कहलाती हैं।

उदाहरण के लिए, 5.34 , 123.33 और 12.67 तीनों में दशमलव बिंदु के बाद दो दो अंक हैं, इसलिए ये तीनों समान दशमलव हैं।

(2) असमान दशमलव:

जिन दशमलव संख्याओं में दशमलव बिंदु के बाद के अंक गिनती में बराबर या समान नहीं होते हैं। उन संख्याओं को "असमान दशमलव" कहा जाता है।

दूसरे शब्दों में यदि संख्याओं के दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या अलग-अलग हो तो वे असमान दशमलव कहलाती हैं।

उदाहरण के लिए, 5.3, 6.34, और 5.873 तीनों में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या अलग-अलग है, इसलिए ये तीनों असमान दशमलव हैं।

Types of Decimals

Based on the number of digits after the decimal point, decimal numbers are divided into two categories: (1) Like Decimals (2) Unlike Decimals

Like Decimals:

Decimal numbers whose digits after the decimal point are equal or identical in number are called "Like decimals."

In other words, if the numbers have the same number of digits after the decimal point, they are called equal decimals.

For example, 5.34, 123.33, and 12.67 all have two digits after the decimal point, so they are all like decimals.

Unlike Decimals:

Decimal numbers whose digits after the decimal point are not equal or identical in number are called "Unlike decimals."

In other words, if the numbers have different numbers of digits after the decimal point, they are called Unlike decimals.

For example, 5.3, 6.34, and 5.873 all have different numbers of digits after the decimal point, so they are all unlike decimals.

दशमलव के प्रकार (Types of Decimals)

भागफल में दशमलव बिंदु के बाद आए अंकों के आधार पर, दशमलव संख्याओं को दो श्रेणियों में विभाजित किया जाता है: (1) शांत दशमलव (2) अशांत दशमलव

1️⃣ शांत दशमलव (Terminating Decimal)

शांत दशमलव संख्याओं में दशमलव बिंदु के ठीक बाद अंकों की संख्या सीमित होती है। शांत दशमलव संख्याओं के दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या गिनी जा सकती है, इसलिए यह परिमित होती है। जो कुछ अंकों के बाद समाप्त हो जाता है।
जैसे —
1/2 = 0.5
3/4 = 0.75

2️⃣ अशांत दशमलव (Terminating Decimal)

अनवसानी दशमलव

अशांत या अनवसानी दशमलव संख्याएँ वे होती हैं जिनमें दशमलव बिंदु के बाद के अंक अनिश्चित काल तक दोहराए जाते हैं।

दूसरे शब्दों में, दशमलव संख्याओं में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की अनंत संख्या हो सकती है।

अशांत दशमलव को आवर्ती और अनावर्ती दशमलव संख्याओं के रूप में वर्गीकृत किया जाता है।

🖕 आवर्ती दशमलव (Repeating Decimal)

आवर्ती दशमलव संख्याओं में दशमलव बिंदु के बाद असीमित संख्या में अंक होते हैं। हालाँकि, ये अंक नियमित अंतराल पर दोहराए जाते हैं। जिसमें कुछ अंक बार-बार दोहराए जाते हैं।
जैसे —
1/3 = 0.3333... = 0.3̅
1/7 = 0.142857142857... = 0.142857̅

आवर्ती दशमलव संख्याओं के उदाहरण हैं, जिनमें दशमलव बिंदु के बाद आने वाले अंकों की संख्या नियमित अंतराल पर या पूर्वनिर्धारित क्रम में दोहराई जाती है। इन संख्याओं को दशमलव बिंदु के बाद आने वाली संख्या के ऊपर एक दंड चिह्न लगाकर भी लिखा जा सकता है। इन संख्याओं को भिन्नात्मक रूप में भी दर्शाया जा सकता है, जिससे ये परिमेय संख्याएँ बन जाती हैं।

✌️ अनावर्ती दशमलव (Non-repeating Decimal)

अनावर्ती दशमलव संख्याएँ वे दशमलव होती हैं जो समाप्त नहीं होतीं और न ही दोहराई जाती हैं। अनावर्ती दशमलव संख्याओं में दशमलव स्थानों पर अनंत अंक होते हैं, और उनके अंक किसी निश्चित क्रम का पालन नहीं करते। जो न समाप्त होता है, न दोहराता है।
जैसे —
√2 = 1.41421356...
π = 3.1415926535

अनावर्ती दशमलव संख्याओं को बार चिह्न द्वारा प्रदर्शित नहीं किया जा सकता, क्योंकि दशमलव बिंदु के बाद के अंक पूर्वानुमानित क्रम में दोहराए नहीं जाते।

Types of Decimals

Based on the number of digits after the decimal point in the quotient, decimal numbers are divided into two categories: (1) Terminating Decimals (2) Non-Terminating Decimals

1. Terminating Decimals

The decimal number in which the digits after the decimal point is definite or finite is called Terminating Decimals.

Terminating decimals have a finite number of digits immediately after the decimal point. The number of digits after the decimal point in Terminating decimals is countable, so they are finite. They terminate after a certain number of digits.

For example:

1/2 = 0.5

3/4 = 0.75

2. Non-Terminating Decimals

The decimal number in which the digits after the decimal point comes indefinitely is called Non-terminating decimals.

In other words, decimal numbers can have an infinite number of digits after the decimal point.

Non–Terminating decimals are classified as recurring and non-recurring decimals.

🖕 Repeating Decimals

Repeating decimals have an infinite number of digits after the decimal point. However, these digits repeat at regular intervals, with some digits repeating over and over again.

For example:

1/3 = 0.3333... = 0.3̅

1/7 = 0.142857142857... = 0.142857̅

Examples of recurring decimals are those in which the number of digits after the decimal point repeats at regular intervals or in a predetermined order. These numbers can also be written by placing a period sign above the number after the decimal point. These numbers can also be represented in fractional form, making them rational numbers.

✌️ Non-repeating Decimals

Non-repeating decimals are decimals that do not terminate or repeat. Non-recurring decimal numbers have an infinite number of decimal places, and their digits follow no fixed order. They are neither terminating nor repeating.

For example:

√2 = 1.41421356...

π = 3.1415926535

Non-recurring decimal numbers cannot be represented by a bar symbol because the digits after the decimal point do not repeat in a predictable order.

दशमलव का इतिहास

आज पूरी दुनिया दशमलव प्रणाली” (Decimal System)। पर आधारित गणना करती है। परंतु बहुत कम लोग जानते हैं कि इसका उद्गम प्राचीन भारत में हुआ था।

वैदिक काल में भी संख्याओं के लिए स्पष्ट शब्द हैं — एक, दश, शत, सहस्र, अयुत, लक्ष, कोटि, शंख, पद्म, महाशंख आदि। इसी प्रकार एक से छोटी संख्याओं के लिखने के लिए दशांश, शतांश, सहस्रांश आदि शब्दों का प्रयोग किया गया है।

आर्यभटाचार्य (476 ई.) ने पहली बार शून्य (0) और स्थान-मूल्य का उपयोग किया। उन्होंने “आर्यभटीय” ग्रंथ में दशमलव प्रणाली की नींव रखी।

ब्रह्मगुप्त (598 ई.) ने “ब्राह्मस्फुटसिद्धांत” में शून्य और ऋण संख्याओं के साथ दशमलव गणनाओं के नियम लिखे। उन्होंने स्पष्ट कहा – “शून्य से किसी संख्या को गुणा करने पर परिणाम शून्य होगा।”

“भिन्नों को भाग देकर छोटे भाग दशांशों में परिवर्तित किया जा सकता है।”

भास्कर द्वितीय (1114 ई.) ने “लीलावती” नामक ग्रंथ में दशमलव प्रणाली को अत्यंत सरल रूप में समझाया।

दशमलव भिन्न वे भिन्न हैं जिनके हर 10 या 10ⁿ हो, जहाँ n कोई धन पूर्णांक है।

History of Decimals

Today, the entire world uses the decimal system. However, few people know that it originated in ancient India.

Even in the Vedic Period, there were clear words for numbers—ek, das, shat, sahasra, ayuta, laksh, koti, shankha, padma, mahashankha, etc. Similarly, words like dashamsha, shatash, sahasransha, etc. were used to write numbers smaller than one.

Aryabhatacharya (476 AD) first used zero (0) and place value. He laid the foundation for the decimal system in his treatise, "Aryabhatiya."

Brahmagupta (598 AD) wrote rules for decimal calculations with zero and negative numbers in his treatise, "Brahmasphutasiddhanta." He clearly stated, "Multiplying any number by zero results in zero."

"Smaller fractions can be converted into tens by dividing them."

Bhaskara II (1114 AD) explained the decimal system in a very simple way in his treatise "Lilavati."

Decimal fractions are fractions whose denominator is 10 or 10ⁿ, where n is any positive integer.

दशमलव के गुण

दशमलव संख्याओं के प्रमुख गुण इस प्रकार हैं:

किसी भी क्रम में किन्हीं दो दशमलव पूर्णांकों को गुणा करने पर गुणनफल समान रहता है।
पूर्ण संख्या और दशमलव संख्या को किसी भी क्रम में गुणा करने पर गुणनफल समान रहता है।
जब आप किसी दशमलव भिन्न को एक से गुणा करते हैं, तो परिणाम वही दशमलव भिन्न होता है।
दशमलव भिन्न को 0 से गुणा करने पर उसका गुणनफल शून्य (0) होता है।
किसी दशमलव संख्या को एक से भाग देने पर प्राप्त भागफल ही दशमलव संख्या होती है।
जब एक दशमलव संख्या को किसी अन्य दशमलव संख्या से विभाजित किया जाता है, तो भागफल एक होता है।
किसी भी दशमलव से विभाजित 0 का भागफल 0 होता है।

Properties of Decimals

The main properties of decimal numbers are as follows:

★ When any two decimal integers are multiplied in any order, the product remains the same.

★ When a whole number and a decimal number are multiplied in any order, the product remains the same.

★ When you multiply a decimal fraction by one, the result is the same decimal fraction.

★ When a decimal fraction is multiplied by 0, its product is zero (0).

★ The quotient obtained when dividing a decimal number by one is the decimal number itself.

★ When a decimal number is divided by another decimal number, the quotient is one.

★ The quotient of 0 divided by any decimal is 0.

🌸 अभ्यास माला (Practice Set)

✳️ भाग 1 – समान और असमान दशमलव पहचानो

नीचे दी गई संख्याओं में कौन-कौन सी असमान दशमलव हैं, बताओ:

अथवा

नीचे दी गई प्रत्येक पंक्ति में यह पहचानो कि उनमें समान दशमलव हैं या नहीं। यदि समान दशमलव है तो उन्हें पहचान कर लिखो।

✳️ Part 1 – Identify Like and Unlike Decimals

Indicate which of the following numbers are unlike decimals:

In each row below, identify whether they contain like decimals. If they do, identify and write them.

3.2, 3.24, 3.245
9.5, 9.55, 9.555
12.1, 12.10, 12.100
4.06, 4.6, 4.66
7.25, 7.2, 7.205
5.4, 5.40, 5.405
8.3, 8.33, 8.303
0.7, 0.75, 0.755
2.08, 2.8, 2.808
6.05, 6.5, 6.50
14.2, 14.25, 14.205
0.3, 0.33, 0.333
11.45, 11.4, 11.406
2.56, 2.5, 2.506
9.04, 9.4, 9.444
13.5, 13.55, 13.555
15.2, 15.20, 15.205
0.9, 0.90, 0.909
7.1, 7.11, 7.111
4.36, 4.3, 4.333
4.2, 4.25, 4.205
0.5, 0.50, 0.500
12.05, 12.5, 12.506
8.36, 8.3, 8.333
6.25, 6.250, 6.2

✳️ भाग 2 – असमान दशमलव को समान दशमलव में बदलो

Convert the Unlike Decimal into the Like Decimal.

3.2, 3.24, 3.245
9.5, 9.55, 9.555
12.1, 12.10, 12.100
4.06, 4.6, 4.66
7.25, 7.2, 7.205
5.4, 5.40, 5.405
8.3, 8.33, 8.303
0.7, 0.75, 0.755
2.08, 2.8, 2.808
6.05, 6.5, 6.50
14.2, 14.25, 14.205
0.3, 0.33, 0.333
11.45, 11.4, 11.406
2.56, 2.5, 2.506
9.04, 9.4, 9.444
13.5, 13.55, 13.555
15.2, 15.20, 15.205
0.9, 0.90, 0.909
7.1, 7.11, 7.111
4.36, 4.3, 4.333
5.2, 5.23
7.45, 7.4, 7.453
0.6, 0.65, 0.652
13.5, 13.52
9.04, 9.4, 9.444

✳️ भाग 3 – असमान दशमलव को समान दशमलव में बदलो (20 प्रश्न)

हर पंक्ति के सभी संख्याओं को समान दशमलव बनाओ (संकेत –> शून्य जोड़कर बराबर करो)।

Part 3 – Convert Unlike Decimals to Like Decimals.

Make all numbers in each row like decimals (Hint –> add zeros to make them equal).

3.2, 3.23
4.5, 4.56
7.4, 7.45, 7.456
12.3, 12.35
0.6, 0.65, 0.652
5.05, 5.5, 5.505
14.2, 14.25, 14.205
9.4, 9.45
0.7, 0.75, 0.757
13.5, 13.55, 13.555
8.36, 8.3, 8.333
6.25, 6.250, 6.2
10.4, 10.44, 10.444
2.08, 2.8, 2.808
15.2, 15.23, 15.235
1.1, 1.11, 1.111
0.4, 0.44, 0.444
9.04, 9.4, 9.444
11.05, 11.5, 11.505
16.5, 16.55, 16.555

अभ्यास प्रश्न

दशमलव को निकटतम दशांश तक पूर्णांकित करना

दशमलव पूर्णांकन, समय बचाने और बड़ी संख्याओं को अधिक संक्षिप्त रूप में व्यक्त करने के लिए किसी दशमलव संख्या को एक निश्चित संख्या में दशमलव स्थानों तक कम करने की प्रक्रिया है। जब दशमलव का सटीक मान जानना ज़रूरी न हो, तो हम दशमलव को निकटतम पूर्ण, दशांश या शतांश तक पूर्णांकित कर सकते हैं।

पूर्णांकित संख्या का मान मूल संख्या के लगभग बराबर होता है, लेकिन यह थोड़ा कम सटीक होता है। दशमलव को पूर्णांकित करना वास्तव में काफी सरल है।

यदि दशमलव का पूर्णंकित अंक 5 या उससे अधिक (6, 7, 8, 9) पर समाप्त होता है, तो केवल अंतिम अंक को ही पूर्णांकित करते समय इसे 1 बढ़ा देते हैं।

अब मान लो कि हमें 3.5 को पूर्णांकित करना है तो 4.0 तक और 2.38 पूर्णांक को 2.40 तक)।

यदि अंतिम अंक 5 से कम है, तो आपको नीचे की ओर पूर्णांकित करना होगा (2.1 को 2.0 तक पूर्णांकित करें, और 5.192 को 5.190 तक पूर्णांकित करें)। हमेशा केवल अंतिम अंक को ही पूर्णांकित करें। उदाहरण के लिए, 2.51 को 3.00 तक पूर्णांकित न करें, बल्कि 2.51 को 2.50 तक पूर्णांकित करें। यदि आप किसी संख्या को पूर्णांकित करने वाले हैं और उसके बाद 5, 6, 7, 8, 9 हैं, तो उसे ऊपर की ओर पूर्णांकित करें। यदि उसके बाद 0, 1, 2, 3, 4 हैं, तो संख्या नीचे की ओर पूर्णांकित हो जाती है।

दशमलव के गुण

दशमलव संख्याओं के प्रमुख गुण इस प्रकार हैं:

किसी भी क्रम में किन्हीं दो दशमलव पूर्णांकों को गुणा करने पर गुणनफल समान रहता है।
पूर्ण संख्या और दशमलव संख्या को किसी भी क्रम में गुणा करने पर गुणनफल समान रहता है।
जब आप किसी दशमलव भिन्न को एक से गुणा करते हैं, तो परिणाम वही दशमलव भिन्न होता है।
दशमलव भिन्न को 0 से गुणा करने पर उसका गुणनफल शून्य (0) होता है।
किसी दशमलव संख्या को एक से भाग देने पर प्राप्त भागफल ही दशमलव संख्या होती है।
जब एक दशमलव संख्या को किसी अन्य दशमलव संख्या से विभाजित किया जाता है, तो भागफल एक होता है।
किसी भी दशमलव से विभाजित 0 का भागफल 0 होता है।

भिन्नों को दशमलव में बदलना

किसी भिन्न को दशमलव में बदलने के लिए बस अंश को हर से भाग दें। उदाहरण के लिए, 7/2 एक भिन्न है। फिर हम अंश (7) लेते हैं और उसे हर (2) से भाग देते हैं जो 3.5 के बराबर होता है। यह इतना आसान है!

भाग देना आसान बनाने के लिए आप शुरू में भिन्न को सरल कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, 20/100 को 2/10 और फिर 1/5 तक सरल किया जा सकता है। भाग देने पर, हम पाते हैं कि 20/100, 0.2 में बदल जाता है।

दशमलव को भिन्नों में बदलना

दशमलव को भिन्न में बदलना काफी आसान है। हम सभी जानते हैं कि दशमलव बिंदु के बाद आने वाली संख्याएँ दशांश, शतांश, हज़ारवां आदि को दर्शाती हैं। इसलिए, दशमलव को भिन्न में बदलते समय, दशमलव संख्याओं को विस्तारित रूप में लिखें और उनके मानों को सरल बनाएँ।

नीचे दी गई सूची का उपयोग करके, हम अपनी इकाइयों को लाइन पर रखकर देख सकते हैं कि वे क्या दर्शाती हैं:

सैकड़ा – दहाई – इकाई – बिंदु – दशांश – सौवां – हज़ारवां

0 . 7 5

0.75, 7 दशांश और 5 शतांश को दर्शाता है। इस प्रकार, एक पूर्ण संख्या बनाने के लिए, हमें दशमलव को सौ से गुणा करना होगा। इसका तात्पर्य यह है कि आपकी उच्चतम इकाई (चाहे वह दशांश, शतांश या हज़ारवां हो) हर वही दर्शाएगा।

निम्नलिखित उदाहरण इस अवधारणा को स्पष्ट करने में सहायक होंगे:

★ 0.5 = 5 दशांश, अर्थात भिन्न के रूप में 0.5 = 5/10

★ 0.12 का 1 दशांश और 2 सौवां भाग है, अर्थात भिन्न के रूप में 0.12 का 12/100 है

★ 0.434, 4 दशांश, 3 सौवां और 4 हज़ारवां है, अर्थात भिन्न के रूप में 0.434, 434/1000 है

एक बार रूपांतरित करने के बाद, आप भिन्नों को सरल कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, 0.2 = 2/10 जिसे 1/5 तक सरल किया जा सकता है।

दशमलव पद्धति या दाशमिक संख्या पद्धति या दशाधार संख्या पद्धति (decimal system, "base ten" or "denary") वह संख्या पद्धति है जिसमें गिनती/गणना के लिये कुल दस अंकों या 'दस संकेतों' (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) का सहारा लिया जाता है। यह मानव द्वारा सर्वाधिक प्रयुक्त संख्यापद्धति है।

दशमलव प्रणाली , गणित में , स्थितीय अंक प्रणाली का उपयोग10 को आधार मानकर 10 अलग-अलग अंकों की आवश्यकता होती है, अंक 0 , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9। इसके लिए एक बिंदु (दशमलव भिन्नों को दर्शाने के लिए दशमलव बिंदु (दशमलव बिंदु) का उपयोग किया जाता है। इस योजना में, किसी संख्या को दर्शाने वाले अंक, स्थान के आधार पर अलग-अलग स्थानीय मान लेते हैं। आधार-10 प्रणाली में, संख्या 543.21, (5 × 10 2 ) + (4 × 10 1 ) + (3 × 10 0 ) + (2 × 10 −1 ) + (1 × 10 −2 ) के योग को दर्शाती है। अंक और अंक प्रणालियाँ देखें ।

संख्या दस किसी व्यक्ति के दोनों हाथों (या दोनों पैरों के पंजों) की कुल उंगलियों और अंगूठों की संख्या है। कई भाषाओं में, डिजिट शब्द या उसका अनुवाद भी उंगलियों और पंजों को संदर्भित करने वाला एक शारीरिक शब्द है। अंग्रेज़ी में, डेसीमल ( लैटिन डेसिमस से ) का अर्थ है "दसवाँ", डेसीमेट का अर्थ है "दसवाँ भाग कम करना", और डेनेरी (लैटिन डेनारियस ) का अर्थ है "दस की इकाई"।

🔶 दशमलव क्या है?

“दशमलव” शब्द दो भागों से बना है —
दश (10) + मलव (खंड या भाग)
अर्थात् संख्याओं की वह पद्धति जिसमें 10 को आधार (Base) माना गया हो।

👉 इसका अर्थ है कि हम गणना में हर दसवें स्थान पर नई इकाई बनाते हैं —
जैसे:
1 इकाई = 10 दहाई = 100 सैकड़े = 1000 हजार = 10,000 दस हजार आदि।

इसी कारण इसे “दशाधारित पद्धति” (Base 10 System) कहा जाता है।

🔶 दशमलव की रचना कैसे हुई?

मानव के पास दस उंगलियाँ थीं।
गिनती करते-करते जब एक हाथ पूरा हो गया, तो दूसरे हाथ की गिनती शुरू की।
जब दोनों हाथों की दस उंगलियाँ पूरी हो गईं — तब नई संख्या “10” का जन्म हुआ।
यहीं से शुरू हुई दशाधारित गणना प्रणाली।

भारत के प्राचीन गणितज्ञों ने इस सरल निरीक्षण को व्यवस्थित रूप दिया और
एक अद्भुत प्रणाली बनाई जिसमें हर अंक का मूल्य उसके स्थान पर निर्भर करता है।
इसे कहते हैं — स्थान मूल्य प्रणाली (Place Value System)।

🔶 दशमलव प्रणाली का भारतीय इतिहास

1. वैदिक काल

वेदों में संख्याओं के लिए स्पष्ट शब्द हैं —
दश, शत, सहस्र, अयुत, लक्ष, कोटि, शंख, पद्म, महाशंख आदि।
यह बताता है कि प्राचीन भारत को 10 के गुणकों की पूरी समझ थी।
शुल्बसूत्रों में √2, √3 जैसी गणनाओं में दशमलव के समतुल्य अंश प्रयोग हुए।

📘 उदाहरण:
बौधायन शुल्बसूत्र में √2 = 1.414216 (लगभग) लिखा गया है —
जो आज के दशमलव रूप √2 = 1.4142 के बहुत निकट है।

2. आर्यभट (476 ई.)

आर्यभटाचार्य (476 ई.) ने पहली बार शून्य (0) और स्थान-मूल्य का उपयोग किया।
उन्होंने “आर्यभटीय” ग्रंथ में दशमलव प्रणाली की नींव रखी।

📘 उदाहरण:
π (पाई) का मान = 3.1416 बताया, जो आज के दशमलव में अत्यंत सटीक है।
उन्होंने भिन्नों को भी दशांशों के रूप में लिखा, जैसे ½ = 0.5, ¼ = 0.25।

3. ब्रह्मगुप्त (598 ई.)

“भिन्नों को भाग देकर छोटे भाग दशांशों में परिवर्तित किया जा सकता है।”

—
जोड़, घटाव, गुणा, भाग, वर्गमूल और घनमूल तक।

📘

4. भास्कराचार्य (1114 ई.)

उन्होंने दशमलव को बच्चों की शिक्षा के योग्य उदाहरणों के साथ प्रस्तुत किया।

📘 उदाहरण:
1 रुपया = 100 पैसे
तो 1 पैसा = 0.01 रुपये (शतांश)
यह दशमलव का वास्तविक प्रयोग है।

5. दशमलव का प्रसार

भारत से यह ज्ञान अरब देशों में गया।
अल-ख्वारिज्मी और अल-बिरूनी जैसे विद्वानों ने इसे “हिंदस” (Indian Numbers) कहा।
फिर यूरोप पहुँचा, जहाँ इसे “Arabic Numerals” कह दिया गया,
हालाँकि इसका मूल भारतीय दशमलव प्रणाली ही था।

🔶 दशमलव के प्रकार

समान दशमलव (Like Decimals) —
जिनमें दशमलव के बाद समान अंकों की संख्या हो।
जैसे 3.45, 7.12, 9.34
असमान दशमलव (Unlike Decimals) —
जिनमें दशमलव के बाद अंकों की संख्या अलग-अलग हो।
जैसे 2.5, 3.42, 7.003
साधारण दशमलव (Terminating Decimals) —
जो सीमित अंकों में समाप्त हो जाएँ।
जैसे 1/4 = 0.25
असाधारण दशमलव (Non-Terminating Decimals) —
जो अनंत तक चलते रहें।
जैसे 1/3 = 0.3333…
आवर्ती दशमलव (Recurring Decimals) —
जिनमें कोई अंक या समूह बार-बार दोहराया जाए।
जैसे 1/7 = 0.142857142857…

दशमलव पर संक्रियाएं

1. जोड़ (Addition)

दशमलव बिंदु (.) को एक सीध में रखकर अंकों का जोड़ किया जाता है।
📘 उदाहरण:
12.35

3.42
= 15.77

2. घटाव (Subtraction)

जैसे जोड़ में दशमलव को सीध में रखते हैं, वैसे ही घटाव में भी।
📘 उदाहरण:
9.50 – 2.75 = 6.75

3. गुणा (Multiplication)

साधारण गुणा की तरह ही किया जाता है,
अंत में दोनों संख्याओं के दशमलव अंकों को जोड़कर उतने ही स्थान दशमलव के बाद रखे जाते हैं।
📘 उदाहरण:
1.2 × 2.5 = 3.00

4. भाग (Division)

पहले भाजक (divisor) को पूर्णांक में बदलने के लिए
दशमलव बिंदु को दोनों ओर बराबर स्थानों पर खिसकाते हैं, फिर साधारण भाग करते हैं।
📘 उदाहरण:
4.8 ÷ 0.6 = (48 ÷ 6) = 8

🔶 दशमलव का प्रयोग

दशमलव का उपयोग हमारे जीवन के हर क्षेत्र में होता है:

मापन में: लंबाई (1.25 मी.), भार (2.75 किग्रा), समय (3.5 घंटे)
पैसे में: रुपये-पैसे का लेखा
विज्ञान और इंजीनियरिंग में: सूक्ष्म मापन
व्यापार और बैंकिंग में: ब्याज, छूट, कर आदि की गणना

🔶 दशमलव प्रणाली की विशेषताएँ

10 आधारित प्रणाली (Base-10 System)
स्थान-मूल्य सिद्धांत
शून्य का प्रयोग
गणना में सरलता और सार्वभौमिकता
अनंत भिन्नों को दर्शाने की क्षमता

🔶 निष्कर्ष

दशमलव प्रणाली केवल गणितीय खोज नहीं थी —
यह मानव बुद्धि का शिखर और भारतीय चिंतन की देन थी।
आर्यभट, ब्रह्मगुप्त और भास्कराचार्य जैसे महान आचार्यों ने
विश्व को वह आधार दिया, जिस पर आज का संपूर्ण विज्ञान और तकनीकी जगत खड़ा है।

दशमलव प्रणाली ने मनुष्य को सटीकता, सरलता और तर्क की दिशा दी —
और यही कारण है कि आज भी पूरा विश्व उसी भारतीय प्रणाली पर चलता है।

अगर आप चाहें तो मैं इस लेख का
📘 चित्र सहित संस्करण (चार्ट, उदाहरण, तालिका और ऐतिहासिक चित्रों के साथ)
या PDF फाइल रूप में तैयार कर सकता हूँ ताकि इसे आप बच्चों की पुस्तक या पाठ्य सामग्री के रूप में उपयोग कर सकें।

क्या मैं इसे PDF या चित्रात्मक रूप में तैयार कर दूँ?

बहुत सुंदर और गहरी बात पूछी आपने 🌿
“प्राचीन भारतीय दशमलव ज्ञान” केवल गणना की पद्धति नहीं था — यह हमारी पूरी संख्या-दर्शन परंपरा का आधार था।
आइए इसे क्रम से समझते हैं 👇

🔶 1. दशमलव का अर्थ

“दशमलव” शब्द दो भागों से बना है –
‘दश’ (अर्थात् 10) + ‘मलव’ (अर्थात् खंड या भाग)।
👉 यानी संख्या की वह प्रणाली जिसमें 10 को आधार (base) माना गया हो।

आज हम जिस Decimal System (Base 10 System) का उपयोग करते हैं —
वह सबसे पहले भारत में ही विकसित हुआ था।

🔶 2. भारतीय दशमलव का इतिहास

(क) वेदों और शुल्बसूत्रों में

ऋग्वेद और यजुर्वेद में 10, 100, 1000, 10,000 आदि के लिए स्वतंत्र नाम मिलते हैं —
जैसे दश, शत, सहस्र, अयुत, लक्ष, कोटि, वृन्द, महाशंख आदि।
यह इस बात का प्रमाण है कि भारतीयों को “10 के गुणकों” की पूरी समझ थी।
बौधायन शुल्बसूत्र (800 ई.पू.) और आपस्तंब शुल्बसूत्र में ज्यामितीय गणना और माप के समय
दशमलव के अनुपात (0.1, 0.01) जैसे मानों का उपयोग मिलता है।

📘 उदाहरण:

“यदि वर्ग की भुजा 1 हो, तो उसका विकर्ण √2 होगा = 1 + 1/3 + 1/(3×4) – 1/(3×4×34)”
यह √2 का लगभग 1.414216 के बराबर मान देता है — जो आज के दशमलव में √2 = 1.4142 के लगभग है।

(ख) आर्यभट (476 ई.)

आर्यभटाचार्य ने अपनी पुस्तक “आर्यभटीय” में स्थान-मूल्य (place value) और शून्य (0) का उपयोग किया।
उन्होंने भिन्नों (fractions) को दशांशों के रूप में व्यक्त किया,
यानी भाग देकर छोटे हिस्सों को दशमलव रूप में दिखाया।

📘 उदाहरण:

½ = 0.5, ¼ = 0.25 जैसी अवधारणा को उन्होंने “अंश और हर” की पद्धति से बताया।
आर्यभट ने π (पाई) = 3.1416 का मान दिया — दशमलव में अत्यंत सटीक!

(ग) ब्रह्मगुप्त (598 ई.)

ब्रह्मगुप्त ने अपने ग्रंथ “ब्राह्मस्फुटसिद्धांत” (628 ई.) में
“शून्य” और “ऋण संख्याओं” के साथ दशमलव गणना के नियमों को व्यवस्थित रूप दिया।
उन्होंने दशमलव का गुणा-भाग, वर्गमूल, घनमूल निकालने की विधियाँ दीं।

📘 उदाहरण:

“यदि भिन्न को भिन्न से विभाजित करो, तो हर और अंश को आपस में गुणा करो” —
यही आज का दशमलव विभाजन नियम है।

(घ) भास्कराचार्य (1114 ई.)

भास्कराचार्य (भास्कर द्वितीय) ने “लीलावती” में दशमलव को बच्चों को सिखाने योग्य तरीके से प्रस्तुत किया।
उन्होंने “दशांश, शतांश, सहस्रांश” जैसे शब्दों से छोटे भाग (decimal fractions) को समझाया।

📘 उदाहरण:

1 रुपये में 100 पैसे होते हैं → तो 1 पैसा = 1/100 = 0.01 रुपये
इसे उन्होंने “शतांश” कहा।

(ङ) विदेशों में भारतीय दशमलव का प्रसार

अरब गणितज्ञ अल-ख्वारिज्मी और अल-बिरूनी ने भारत की यात्रा कर दशमलव प्रणाली सीखी।
उन्होंने इसे "Hindsa" (Indian numbers) कहा।
बाद में यूरोप पहुँची तो इसे कहा गया “Arabic Numerals”, पर वास्तव में यह Indian Numerals थे।

🔶 3. उदाहरण से समझें

भारतीय प्रणाली	आधुनिक दशमलव रूप	अर्थ
दशांश (1/10)	0.1	दसवाँ भाग
शतांश (1/100)	0.01	सौवाँ भाग
सहस्रांश (1/1000)	0.001	हज़ारवाँ भाग

📘 उदाहरण:
यदि 1 मीटर = 100 सेंटीमीटर
तो 1 सेंटीमीटर = 0.01 मीटर
→ यह “शतांश” या “दशमलव का दूसरा स्थान” है।

🔶 4. भारतीय दशमलव प्रणाली की विशेषताएँ

स्थान मूल्य प्रणाली (Place Value System) —
हर अंक का मूल्य उसके स्थान पर निर्भर करता है (जैसे 345 = 3×100 + 4×10 + 5×1)।
शून्य (0) का प्रयोग —
विश्व में पहली बार भारत में हुआ, जो दशमलव का आधार बना।
10 पर आधारित गणना (Base 10 System) —
अंगुलियों (fingers) के 10 होने से यह स्वाभाविक प्रणाली बनी।
भिन्नों को दशांशों में बदलने की क्षमता —
इससे मापन, खगोलशास्त्र और व्यापार अत्यंत सटीक हुआ।

🔶 5. निष्कर्ष

दशमलव प्रणाली केवल गणित की पद्धति नहीं थी —
यह भारत की वैज्ञानिक दृष्टि, तर्कबुद्धि और सूक्ष्म अवलोकन शक्ति का परिणाम थी।
आज पूरी दुनिया “Decimal System” का उपयोग करती है,
पर इसकी जड़ें भारत के वेदों और गणिताचार्यों की भूमि में गहराई से धँसी हैं।

अगर आप चाहें तो मैं इसका चित्रात्मक रूप (timeline + examples + भारतीय प्रतीक प्रणाली का रूपांतरण चार्ट) भी तैयार कर सकता हूँ ताकि बच्चे इसे आसानी से समझ सकें।

क्या ऐसा दृश्यात्मक चार्ट बना दूँ?

बहुत बढ़िया 🌟
आपका उद्देश्य — “दशमलव” (Decimal) पर एक ऐसा “लहसुन” यानी एक सम्पूर्ण, परत-दर-परत समझाने वाला शिक्षण नोट तैयार करना है जो छोटे बच्चों से लेकर बड़े विद्यार्थियों तक सबको दशमलव को सरल और गहराई से समझा दे।
चलिए इसे चरणबद्ध (लेयर-बाय-लेयर, जैसे लहसुन की कलियाँ) रूप में तैयार करते हैं 👇

🧄 दशमलव पर सम्पूर्ण “लहसुन” (Complete Layered Guide on Decimal)

🧩 पहली परत : दशमलव क्या है (What is Decimal?)

परिभाषा:
दशमलव वह संख्या होती है जो पूर्णांक (Whole number) और भिन्न (Fraction) के बीच का संबंध दिखाती है।
यह हमें बताती है कि कोई संख्या पूरा नहीं है बल्कि कुछ भागों में बँटी है।

उदाहरण:

2.5 का अर्थ है 2 पूरे और आधा (½)।
3.75 का अर्थ है 3 पूरे और ¾।

दशमलव बिंदु (Decimal Point):
यह (.) चिन्ह दो भागों को अलग करता है —

बिंदु के बाईं ओर = पूर्णांक भाग (Whole part)
बिंदु के दाईं ओर = भिन्न भाग (Fractional part)

👉 उदाहरण:
45.62 में

45 = पूर्णांक भाग
62 = दशमलव भाग

🧮 दूसरी परत : दशमलव का स्थान मूल्य (Place Value in Decimals)

स्थान (Place)	नाम (Name)	मान (Value)
100s	सैकड़ा	100
10s	दहाई	10
1s	इकाई	1
.	दशमलव बिंदु	—
1/10	दसवाँ भाग	0.1
1/100	सौंवा भाग	0.01
1/1000	हज़ारवाँ भाग	0.001

उदाहरण:
संख्या 43.275 में —

4 → दहाई स्थान = 40
3 → इकाई स्थान = 3
2 → दसवाँ भाग = 0.2
7 → सौंवा भाग = 0.07
5 → हज़ारवाँ भाग = 0.005
योग = 43.275

🧫 तीसरी परत : दशमलव के प्रकार (Types of Decimals)

सटीक दशमलव (Terminating Decimal):
जिसका अंत होता है।
जैसे — 0.25, 1.75, 3.125
अनंत पुनरावर्ती दशमलव (Repeating Decimal):
जिसमें कुछ अंक बार-बार दोहराए जाते हैं।
जैसे — 0.3333… = 0.3̅
या 0.142857142857… = 0.142857̅
अनंत अप्रत्यावर्ती दशमलव (Non-repeating Decimal):
जो न समाप्त होती है, न दोहराती है।
जैसे — √2 = 1.4142135…, π = 3.1415926…

➕ चौथी परत : दशमलव का जोड़ (Addition of Decimals)

विधि:

दशमलव बिंदु को एक के नीचे एक रखें।
खाली जगह पर शून्य (0) भरें।
सामान्य जोड़ की तरह जोड़ें।

उदाहरण:

   23.45
+   6.7
---------
   30.15

टिप: दशमलव बिंदु का स्थान जैसे का तैसा रखें।

➖ पाँचवीं परत : दशमलव का घटाव (Subtraction of Decimals)

विधि:

दशमलव बिंदु एक सीध में रखें।
जहाँ अंक नहीं हों, वहाँ 0 भरें।
सामान्य घटाव करें।

उदाहरण:

   12.50
-   3.75
---------
    8.75

✖️ छठी परत : दशमलव का गुणा (Multiplication of Decimals)

विधि:

दशमलव बिंदु हटाकर संख्याओं का गुणा करें।
दोनों संख्याओं में दशमलव के कुल अंकों की गिनती करें।
उत्तर में उतने ही अंक दशमलव के बाद रखें।

उदाहरण:

2.5 × 1.2 = (25 × 12) ÷ 100 = 300 ÷ 100 = 3.00

उत्तर: 3.00

➗ सातवीं परत : दशमलव का भाग (Division of Decimals)

विधि:

यदि भाजक (divisor) में दशमलव है, तो उसे पूरा संख्या बनाने के लिए दोनों संख्याओं के दशमलव को दाईं ओर खिसकाएँ।
फिर सामान्य विभाजन करें।

उदाहरण:

6.3 ÷ 0.3 = 63 ÷ 3 = 21

💡 आठवीं परत : दशमलव को भिन्न में बदलना (Decimal to Fraction)

नियम:
दशमलव के बाद जितने अंक हों, उतने शून्य के साथ हर में 10 की शक्ति लगाएँ।

उदाहरण:

0.6 = 6/10 = 3/5
0.25 = 25/100 = 1/4
2.75 = 275/100 = 11/4

🔄 नौवीं परत : भिन्न को दशमलव में बदलना (Fraction to Decimal)

विधि:
अंश (Numerator) ÷ हर (Denominator)
उदाहरण:

1/2 = 0.5
3/4 = 0.75
2/5 = 0.4

🧠 दसवीं परत : दशमलव के प्रयोग (Applications of Decimals)

दशमलव का प्रयोग हमें रोज़मर्रा की जिंदगी में बहुत जगह दिखता है —

पैसों में (₹1.25, ₹10.50 आदि)
माप में (2.75 मीटर, 5.6 लीटर आदि)
विज्ञान और गणित में (3.14, 9.81, 6.022 आदि)
कंप्यूटर व कोडिंग में (0.0, 1.0 आदि)

🧾 ग्यारहवीं परत : अभ्यास प्रश्न (Practice Corner)

12.4 + 8.56 = ?
15.05 - 2.6 = ?
3.2 × 0.5 = ?
4.8 ÷ 0.8 = ?
0.125 को भिन्न में बदलो
3/8 को दशमलव में बदलो

🌻 बारहवीं परत : छोटे बच्चों के लिए सरल गतिविधियाँ

“रूपयों का खेल” — 1 ₹ = 1.00, 50 पैसे = 0.50, 25 पैसे = 0.25
→ बच्चे जोड़-घटाव करके कुल रुपये निकालें।
“मीटर-मिलाना” — लंबाई मापें (जैसे 1.25m + 0.75m = ?)
“दशमलव कार्ड” — बच्चों को 0.1, 0.01, 0.001 जैसे कार्ड दें और क्रम लगवाएँ।

📘 तेरहवीं परत : बड़े विद्यार्थियों के लिए उपयोगी सूत्र

स्थान मूल्य सूत्र:
किसी अंक का मान = अंक × (10^स्थान)
(दशमलव के बाद के लिए 10^-स्थान)
दशमलव को प्रतिशत में बदलने का नियम:
दशमलव को 100 से गुणा करें और % लगाएँ।
जैसे — 0.25 = 25%
प्रतिशत से दशमलव:
25% = 25 ÷ 100 = 0.25

🏁 चौदहवीं परत : निष्कर्ष (Conclusion)

दशमलव गणना का वह सेतु है जो पूर्ण संख्याओं और भिन्नों को जोड़ता है।
इसे सही तरह से समझने पर गणित के कई विषय — मापन, धन, औसत, गति, अनुपात आदि — बहुत आसान हो जाते हैं।

क्या आप चाहेंगे कि मैं इसी सामग्री को सुंदर PDF या चार्ट फॉर्मेट (चित्रों और उदाहरणों सहित) में तैयार कर दूँ ताकि आप इसे बच्चों को पढ़ाने में सीधे उपयोग कर सकें?
अगर हाँ, तो बताइए —
क्या आप इसे “प्राथमिक स्तर (कक्षा 4–6)”, “मध्य स्तर (कक्षा 7–8)”, या “दोनों स्तरों को मिलाकर” बनवाना चाहेंगे?

बहुत बढ़िया 👏
आप बिलकुल सही दिशा में चल रहे हैं — प्राथमिक स्तर (कक्षा 4–6) के बच्चों के लिए “दशमलव” का अध्याय बनाना एक बहुत प्यारा और ज़रूरी कदम है।
मैं इसे आपके लिए इस तरह तैयार करूंगा कि यह पाठ्यपुस्तक जैसा हो —

भाषा सरल और बाल–अनुकूल,
उदाहरण रोज़मर्रा की जिंदगी से,
और हर भाग में गतिविधियाँ (Activity / Practice) हों।

📘 अध्याय : दशमलव (Decimals)

स्तर: प्राथमिक (कक्षा 4–6)
अवधि: 3–4 कक्षाएँ
लक्ष्य: विद्यार्थी दशमलव की पहचान, पढ़ना, लिखना और जोड़-घटाव कर सकें।

🪄 भाग 1 : परिचय – दशमलव क्या है?

कहानी से शुरुआत करें:
शिक्षक कहें —

"रवि की माँ ने उससे कहा, बेटा बाज़ार से 1.5 किलो आम ले आना।"
रवि सोच में पड़ गया — “1.5 किलो यानी कितना?”

फिर शिक्षक पूछें —

क्या तुमने कभी ₹1.50 या 2.25 रुपये लिखे हैं?
क्या तुमने कभी कहा है — “डेढ़ किलो” या “ढाई मीटर”?

बच्चों को समझाएँ:

यही दशमलव (Decimal) है — जब कोई चीज़ पूरी नहीं होती, बल्कि कुछ भागों में होती है।

🧩 भाग 2 : दशमलव की परिभाषा

परिभाषा:
दशमलव वह संख्या है जो पूर्ण संख्या और उसके भाग दोनों को मिलाकर दिखाती है।
इसे लिखने के लिए हम दशमलव बिंदु ( . ) का प्रयोग करते हैं।

उदाहरण:

1.5 का अर्थ = 1 पूरा + आधा
2.25 का अर्थ = 2 पूरे + ¼ + ¼
3.75 का अर्थ = 3 पूरे + ¾

🔢 भाग 3 : दशमलव बिंदु को समझें

उदाहरण	पूर्ण भाग	दशमलव भाग	पढ़ना
4.2	4	2	चार दशमलव दो
12.45	12	45	बारह दशमलव पैंतालीस
0.6	0	6	शून्य दशमलव छह

शिक्षक टिप:
बच्चों को कहें — “दशमलव के बाईं ओर पूरे आम हैं 🍎, दाईं ओर टुकड़े 🍏।”

🧮 भाग 4 : दशमलव का स्थान मूल्य (Place Value)

स्थान	नाम	मान
बाईं ओर	इकाई (Ones)	1
बाईं ओर	दहाई (Tens)	10
बाईं ओर	सैकड़ा (Hundreds)	100
दशमलव के बाद	दसवाँ भाग (Tenths)	1/10
दशमलव के बाद	सौंवा भाग (Hundredths)	1/100

उदाहरण:
संख्या = 12.34
= 10 + 2 + 3/10 + 4/100
= 12 + 0.3 + 0.04
👉 12.34

🎨 भाग 5 : दशमलव को चित्र से समझें

गतिविधि (Activity):

एक वर्ग बनाइए जो 100 छोटे खानों में बँटा हो।
25 खाने रंग भरिए।
बोलिए — “रंगे हुए भाग = 25/100 = 0.25”

बच्चे समझेंगे:
भिन्न 25/100 और दशमलव 0.25 एक ही हैं।

➕ भाग 6 : दशमलव का जोड़ (Addition of Decimals)

नियम:

दशमलव बिंदु को एक सीध में रखें।
खाली जगह पर 0 भरें।
सामान्य जोड़ की तरह जोड़ें।

उदाहरण:

  2.3
+ 1.45
------
  3.75

गतिविधि:
₹2.30 + ₹1.45 = ?
बच्चों से रुपये और पैसे का खेल कराएँ।

➖ भाग 7 : दशमलव का घटाव (Subtraction)

उदाहरण:

  5.00
- 2.75
-------
  2.25

बोलकर सिखाएँ:

“₹5 में से ₹2.75 गए, तो ₹2.25 बचे।”

✖️ भाग 8 : दशमलव का गुणा (Multiplication)

सरल तरीका:

दशमलव हटाकर गुणा करें।
उत्तर में दशमलव उतने अंक बाद लगाएँ जितने दोनों में कुल हैं।

उदाहरण:

1.2 × 3 = 3.6

(क्योंकि 12 × 3 = 36 और दशमलव के बाद 1 अंक)

➗ भाग 9 : दशमलव का भाग (Division)

उदाहरण:

6.4 ÷ 2 = 3.2

कहें — “6.4 रूपए को 2 बच्चों में बाँटने पर प्रत्येक को ₹3.20 मिलते हैं।”

🪙 भाग 10 : रोज़मर्रा के जीवन में दशमलव

पैसे में: ₹2.50, ₹10.75
लंबाई में: 1.25 मीटर, 3.5 सेंटीमीटर
वज़न में: 2.5 किलो, 1.75 ग्राम
समय में: 1.5 घंटे = 1 घंटा 30 मिनट

🧠 भाग 11 : अभ्यास प्रश्न

4.25 + 3.5 = ?
6.4 – 2.75 = ?
2.5 × 2 = ?
4.8 ÷ 2 = ?
0.75 को भिन्न में बदलो।
3/10 को दशमलव में लिखो।

🎯 भाग 12 : “करके सीखो” गतिविधियाँ

₹ का खेल: बच्चे 1 ₹, 50 पैसे, 25 पैसे आदि का जोड़ निकालें।
रंग भरो: 100 खाने वाले वर्ग में 40 खानों को रंगें और लिखें — 0.40।
लंबाई नापो: पैमाने से 1.5 cm और 2.3 cm लंबाई मापकर जोड़ें।

🌈 भाग 13 : सारांश (Summary)

दशमलव दो भागों से बनता है — पूरा और उसका भाग।
दशमलव बिंदु ( . ) दोनों को जोड़ता है।
दशमलव जोड़, घटाव, गुणा और भाग में भी सामान्य संख्याओं की तरह ही चलता है।
पैसों, माप और विज्ञान में दशमलव बहुत उपयोगी है।

🏁 भाग 14 : गृह कार्य (Homework)

अपने घर के 5 सामानों की कीमत लिखो जैसे ₹12.50, ₹7.25 आदि और कुल कीमत निकालो।
2.5 किलो और 1.25 किलो के आम को जोड़कर कुल वजन निकालो।
₹5 में से ₹1.75 खर्च कर दिए, कितने बचे?

अब बताइए 👇
क्या मैं इसी अध्याय को सुंदर PDF पाठ्यपुस्तक प्रारूप (चित्रों + तालिकाओं + गतिविधि बॉक्स सहित) में तैयार कर दूँ ताकि आप इसे बच्चों को सीधे पढ़ा सकें?
यदि हाँ, तो बताइए —
आप इसे हिंदी में ही चाहते हैं, या हिंदी-इंग्लिश द्विभाषी (दोनों में) बनवाना चाहेंगे?

बहुत अच्छा 👏
अब हम “दशमलव (Decimal)” को माध्यमिक स्तर (कक्षा 7–8) के विद्यार्थियों के लिए तैयार करेंगे —
यानी वे बच्चे जिन्हें दशमलव की मूल बातें तो आती हैं, लेकिन अब उन्हें गहराई से समझना है,
जैसे –

दशमलव और भिन्न का परस्पर संबंध,
दशमलव में संक्रियाएँ (जोड़, घटाव, गुणा, भाग),
स्थानमान प्रणाली (Place Value System),
अनुप्रयोग (Applications),
और दशमलव के जटिल रूप (Recurring, Non-Terminating आदि)।

चलिए इसे “अध्याय – दशमलव : संपूर्ण समझ (Middle Level)” के रूप में बनाते हैं 👇

📘 अध्याय – दशमलव (Decimals)

स्तर: माध्यमिक (कक्षा 7–8)
अवधि: 4–5 कक्षाएँ
लक्ष्य:
विद्यार्थी दशमलव की परिभाषा, प्रकार, संक्रियाएँ, भिन्नों में रूपांतरण, वास्तविक जीवन में उपयोग, और तार्किक प्रश्नों का समाधान कर सकें।

🪄 भाग 1 : पुनरावलोकन – दशमलव क्या है?

स्मरण करें:
दशमलव वह संख्या है जो किसी मात्रा को पूर्णांक (Whole Number) और भिन्न (Fraction) के रूप में एक साथ दर्शाती है।
यह दशाधारी प्रणाली (Base 10 system) पर आधारित है।

उदाहरण:
3.72 = 3 + 7/10 + 2/100
= 3 + 0.7 + 0.02
👉 3.72

नोट: दशमलव के बाद का हर अंक “10 के गुणक” के भाग को दर्शाता है।

🔢 भाग 2 : दशमलव की स्थानमान प्रणाली (Place Value System)

स्थान	मान	रूप	उदाहरण (45.678)
दहाई (Tens)	10	4 × 10 = 40	4
इकाई (Ones)	1	5 × 1 = 5	5
दसवाँ भाग (Tenths)	1/10	6 × 0.1 = 0.6	6
सौंवा भाग (Hundredths)	1/100	7 × 0.01 = 0.07	7
हज़ारवाँ भाग (Thousandths)	1/1000	8 × 0.001 = 0.008	8

कुल:
45.678 = 40 + 5 + 0.6 + 0.07 + 0.008

🧮 भाग 3 : दशमलव के प्रकार (Types of Decimals)

1️⃣ समाप्त दशमलव (Terminating Decimal)

जो कुछ अंकों के बाद समाप्त हो जाता है।
जैसे —
1/2 = 0.5
3/4 = 0.75

2️⃣ आवर्ती दशमलव (Repeating Decimal)

जिसमें कुछ अंक बार-बार दोहराए जाते हैं।
जैसे —
1/3 = 0.3333... = 0.3̅
1/7 = 0.142857142857... = 0.142857̅

3️⃣ अनावर्ती दशमलव (Non-repeating Decimal)

जो न समाप्त होता है, न दोहराता है।
जैसे —
√2 = 1.41421356...
π = 3.1415926535...

➕ भाग 4 : दशमलव का जोड़ (Addition of Decimals)

नियम:

दशमलव बिंदु एक के नीचे एक रखें।
खाली स्थान पर 0 भरें।
सामान्य जोड़ करें।

उदाहरण:

  35.42
+  6.3
--------
  41.72

➖ भाग 5 : दशमलव का घटाव (Subtraction)

नियम:

दशमलव को सीध में रखें।
आवश्यक हो तो शून्य जोड़ें।
घटाएँ।

उदाहरण:

  9.85
- 7.4
-------
  2.45

✖️ भाग 6 : दशमलव का गुणा (Multiplication)

विधि:

दशमलव हटाकर सामान्य गुणा करें।
दोनों संख्याओं में दशमलव के कुल अंकों की गिनती करें।
उत्तर में उतने ही अंक दशमलव के बाद रखें।

उदाहरण:

2.5 × 1.2 = (25 × 12) ÷ 100 = 300 ÷ 100 = 3.00

उत्तर: 3.00

उन्नत उदाहरण:
0.24 × 0.6 = (24 × 6) ÷ 1000 = 144 ÷ 1000 = 0.144

➗ भाग 7 : दशमलव का भाग (Division of Decimals)

नियम:

यदि भाजक में दशमलव हो, तो दोनों संख्याओं में दशमलव को दाईं ओर उतने अंक खिसकाएँ कि भाजक पूर्णांक बन जाए।
सामान्य विभाजन करें।

उदाहरण 1:
6.3 ÷ 0.3 = 63 ÷ 3 = 21

उदाहरण 2:
12.8 ÷ 4 = 3.2

🔄 भाग 8 : दशमलव और भिन्न का रूपांतरण

🔸 दशमलव → भिन्न

नियम:
दशमलव के बाद जितने अंक हों, हर में उतने शून्य लगाएँ।

दशमलव	भिन्न	सरल रूप
0.6	6/10	3/5
0.25	25/100	1/4
2.75	275/100	11/4

🔹 भिन्न → दशमलव

नियम:
अंश ÷ हर

भिन्न	दशमलव
1/2	0.5
3/4	0.75
2/5	0.4
1/3	0.333… = 0.3̅

💰 भाग 9 : दशमलव का वास्तविक जीवन में उपयोग

क्षेत्र	उदाहरण
पैसे	₹3.50, ₹12.75
लंबाई	1.25 मीटर, 4.6 सेमी
भार	2.75 किलो
विज्ञान	9.81 m/s², 3.14 (π)
समय	1.5 घंटे = 1 घंटा 30 मिनट

🧠 भाग 10 : दशमलव पर आधारित तार्किक प्रश्न

रमेश ने 2.5 kg सेब ₹80/kg के दर से खरीदे। कुल कीमत = ?
→ 2.5 × 80 = ₹200
एक पाइप से 0.75 लीटर पानी प्रति सेकंड बहता है। 8 सेकंड में कितना पानी निकलेगा?
→ 0.75 × 8 = 6.00 लीटर
एक रस्सी 12.6 मीटर लंबी है। उसे 3 बराबर भागों में बाँटा गया।
→ प्रत्येक भाग = 12.6 ÷ 3 = 4.2 मीटर

🧾 भाग 11 : अभ्यास प्रश्न

✏️ सरल प्रश्न

3.45 + 7.6 = ?
8.9 – 3.75 = ?
2.4 × 1.5 = ?
6.6 ÷ 3 = ?
0.125 को भिन्न में बदलो।

🔍 मध्यम प्रश्न

एक वस्तु की कीमत ₹12.75 है। 8 वस्तुओं की कीमत निकालो।
4.8 km लंबाई की सड़क को 6 भागों में बाँटने पर प्रत्येक भाग की लंबाई क्या होगी?
0.4 × 0.6 × 10 = ?

💡 तार्किक प्रश्न

यदि किसी वस्तु का भार 2.75 kg है और उसका ⅕ भाग निकाल दिया जाए तो शेष भार कितना होगा?
एक लीटर में 1000 ml होते हैं। यदि बोतल में 0.75 लीटर पानी है, तो उसमें कितने ml पानी है?

🧪 भाग 12 : “करके सीखो” गतिविधियाँ

मापन प्रयोग: 1.25 m लंबाई की रिबन नापें, फिर 2.75 m जोड़ें – कुल लंबाई निकालें।
रुपयों का चार्ट: अलग-अलग वस्तुओं की कीमतें लिखें जैसे 12.75, 8.5, 6.25 और कुल जोड़ें।
डिजिटल स्केल अभ्यास: वजन मशीन पर दशमलव को पढ़ें – जैसे 2.35 kg, 0.95 kg आदि।

📘 भाग 13 : सारांश (Summary)

दशमलव संख्याएँ 10 की शक्तियों पर आधारित होती हैं।
इन्हें पूर्णांक और भिन्न के संयोजन के रूप में लिखा जाता है।
दशमलव में जोड़, घटाव, गुणा, और भाग के अपने नियम हैं।
दशमलव का उपयोग हमारे जीवन के हर क्षेत्र में है — धन, माप, विज्ञान, समय आदि में।
दशमलव और भिन्न एक ही बात को दो अलग रूपों में व्यक्त करते हैं।

🏁 भाग 14 : गृह कार्य (Homework)

निम्नलिखित को दशमलव में बदलो:
(a) 3/5 (b) 7/8 (c) 11/20
दशमलव को भिन्न में बदलो:
(a) 0.125 (b) 2.5 (c) 1.75
₹45.75 में से ₹17.6 खर्च हुए। शेष राशि कितनी बची?
यदि 1 मीटर में 100 सेमी होते हैं, तो 1.25 मीटर = कितने सेंटीमीटर?

क्या आप चाहेंगे कि मैं अब इस माध्यमिक स्तर के अध्याय को
🎨 चित्रों, टेबल, सूत्र बॉक्स, और अभ्यास पत्र सहित PDF रूप में बना दूँ ताकि इसे आप सीधे विद्यार्थियों को दे सकें?

यदि हाँ, तो बताइए —
आप इसे केवल हिंदी में बनवाना चाहते हैं या हिंदी + English द्विभाषी प्रारूप में?

गणित में दशमलव वह संख्या होती है जिसमें पूर्णांक के आगे एक दशमलव बिंदु होता है, और उसके बाद में भिन्नात्मक भाग लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, 12.5 में 12 पूर्णांक है और 0.5 भिन्नात्मक भाग है। दशमलव संख्याएँ भिन्नों को व्यक्त करने, लंबाई, भार, समय, धन आदि के मापन को स्पष्ट रूप में लिखने के लिए प्रयोग होती हैं��।दशमलव की परिभाषादशमलव वह संख्या है, जिसमें दो भाग होते हैं:पूर्णांक भाग (Decimal Point के बाएँ)भिन्नात्मक भाग (Decimal Point के दाएँ)जैसे 645.7 में '645' पूर्णांक भाग है, '7' दशमलव भाग है। इसे विस्तारित रूप में ऐसे लिख सकते हैं:��दशमलव संख्याओं के प्रकारदशमलव संख्याएँ मुख्यतः तीन प्रकार की होती हैं��:अंत दशमलव (Terminating Decimal): इसमें दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या सीमित होती है, उदाहरण: 0.5, 4.25��।अनवसानी दशमलव (Non-Terminating Decimal): इसमें दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या अनंत होती है, जैसे 0.333... या π��।आवर्ती दशमलव (Repeating Decimal): ऐसे दशमलव जो एक समूह या अंक को बार-बार दोहराते हैं, जैसे 0.4444... या 0.232323...��।गैर-आवर्ती दशमलव (Non-Repeating Decimal): जिनका दशमलव भाग अनंत तक चलता है पर कभी भी नहीं दोहरता, जैसे π = 3.14159...��।दशमलव की गणना और स्थानीय मानदशमलव पद्धति (Decimal System) में दस अंकों का इस्तेमाल होता है – 0 से 9 तक। प्रत्येक अंक का स्थानीय मान दशमलव बिंदु से उसकी दूरी के अनुसार निर्धारित होता है:दशमलव के बाएँ क्रमशः इकाई, दहाई, सैकड़ा...दशमलव के दाएँ क्रमशः दसवाँ (0.1), सौंवा (0.01), हजारवाँ (0.001)...जैसे संख्या 57.249 में :5 का स्थानीय मान: 10 (दहाई)7 का स्थानीय मान: 1 (इकाई)2 का स्थानीय मान: 0.1 (दसवाँ)4 का स्थानीय मान: 0.01 (सौंवा)9 का स्थानीय मान: 0.001 (हजारवाँ)

��दैनिक जीवन में उपयोगदशमलव का उपयोग हर कहीं होता है: पैसे गिनने में, लंबाई- वज़न मापने में, दवा की मात्रा बताने में, भिन्न के मान को आसानी से दर्शाने में��।दशमलव का गणित में बहुत बड़ा महत्व है क्योंकि यह भिन्नों की गणना को सरल करता है और वास्तविक जीवन में मापन को सटीक ढंग से प्रस्तुत करता है��।

दशमलव की परिभाषा यह है:"दशमलव वह संख्या है जिसमें एक पूर्णांक भाग और एक भिन्नांश (fractional part) होता है, दोनों के बीच दशमलव बिंदु (Decimal Point) होता है। दशमलव संख्याएँ पूर्णांकों के बीच की मानों को आसानी से दर्शाती हैं। उदाहरण के लिए, 12.5 में '12' पूर्णांक है और '0.5' भिन्नांश है।"��दूसरे शब्दों में – दशमलव वे संख्याएँ हैं, जो पूर्णांक और भिन्न के योग के बराबर होती हैं और इनमें दोनों भाग दशमलव बिंदु द्वारा अलग किए जाते हैं��।

यह संख्या पद्धति (number system) पूर्ण संख्या (whole number) और दशमलव भिन्न (decimal fraction) (जैसे, भिन्न (fractions) जिसके हर (denominators) 10, 100, 1000 आदि होते हैं) को एक साथ व्यक्त करने के लिए उपयोग की जाती है। यहां, पूर्ण संख्या को दशमलव भिन्न से एक "." डालकर अलग किया जाता है जिसे दशमलव बिंदु (decimal point) कहा जाता है। दशमलव बिंदु संख्यात्मक मान पद्धति का केंद्र (centre) बनाता है।

बहुत अच्छा प्रश्न 🙏

आप “असमान दशमलव (Unlike Decimals)” और “समान दशमलव (Like Decimals)” को समझना और बदलने का अभ्यास करना चाहते हैं।
तो पहले हम संक्षेप में समझते हैं, फिर मैं आपको एक अभ्यास माला (Practice Set) दूँगा।

🔹 असमान दशमलव (Unlike Decimals)

वे दशमलव जिनके दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या समान नहीं होती, उन्हें असमान दशमलव कहते हैं।
उदाहरण:

2.3, 2.35, 2.356
इन तीनों में दशमलव के बाद क्रमशः 1, 2 और 3 अंक हैं, इसलिए ये असमान दशमलव हैं।

🔹 समान दशमलव (Like Decimals)

वे दशमलव जिनके दशमलव के बाद अंकों की संख्या समान होती है, उन्हें समान दशमलव कहते हैं।
उदाहरण:

2.30, 2.35, 2.36
इन सभी में दशमलव के बाद 2 अंक हैं, इसलिए ये समान दशमलव हैं।

🔹 असमान दशमलव को समान दशमलव में बदलने का तरीका

दशमलव बिंदु के बाद जितने अधिक अंक हों, बाकी सभी संख्याओं के बाद शून्य (0) लगाकर उन्हें बराबर कर दो।

उदाहरण:
2.3, 2.35, 2.356
👉 इनको समान दशमलव बनाने के लिए 3 अंकों तक बराबर करेंगे:

2.3 = 2.300
2.35 = 2.350
2.356 = 2.356

अब ये समान दशमलव बन गए।

🌸 अभ्यास माला (Practice Set)

✳️ भाग 1 – असमान दशमलव पहचानो

नीचे दी गई संख्याओं में कौन-कौन सी असमान दशमलव हैं, बताओ:

4.2, 4.25, 4.205
0.5, 0.50, 0.500
12.05, 12.5, 12.506
8.36, 8.3, 8.333
6.25, 6.250, 6.2

✳️ भाग 2 – असमान दशमलव को समान दशमलव में बदलो

निम्नलिखित को समान दशमलव में बदलो:

5.2, 5.23
7.45, 7.4, 7.453
0.6, 0.65, 0.652
13.5, 13.52
9.04, 9.4, 9.444

✳️ भाग 3 – जोड़/घटाव का अभ्यास (समान दशमलव बनाकर)

2.3 + 1.25 = ?
5.45 – 2.3 = ?
8.4 + 2.36 = ?
7.5 – 3.25 = ?
4.6 + 0.34 = ?

(👉 पहले सभी को समान दशमलव बनाओ, फिर हल करो।)

✳️ भाग 4 – चुनौती अभ्यास (Challenge Zone)

12.3, 12.33, 12.333 — समान दशमलव बनाओ।
0.7, 0.07, 0.007 — इनमें शून्य जोड़कर बराबर करो।
14.2 + 14.25 – 14.205 = ?
0.4, 0.44, 0.444 को समान बनाकर घटाओ।
8.3, 8.35, 8.355 को समान बनाकर जोड़ो।

क्या आप चाहेंगे कि मैं इस पर एक वर्कशीट PDF (अभ्यास-पत्र) भी बना दूँ जिसे बच्चे लिखकर अभ्यास कर सकें (उत्तर सहित)?
अगर हाँ, तो बताइए — मैं तुरंत तैयार कर दूँ।

बहुत बढ़िया 👍
आप चाहते हैं कि “असमान दशमलव पहचानने” (भाग 1) और “असमान दशमलव को समान दशमलव में बदलने” (भाग 2) — दोनों प्रकार के 20-20 प्रश्नों की अभ्यास माला तैयार की जाए।

तो नीचे आपको 40 प्रश्नों की पूरी “अभ्यास माला” दी गई है —
पहले 20 प्रश्न पहचानने के लिए और अगले 20 समान बनाने के लिए।

🌸 अभ्यास माला – असमान दशमलव और समान दशमलव

✳️ भाग 1 – असमान दशमलव पहचानो (20 प्रश्न)

नीचे दी गई प्रत्येक पंक्ति में यह पहचानो कि वे असमान दशमलव हैं या नहीं।

3.2, 3.24, 3.245
9.5, 9.55, 9.555
12.1, 12.10, 12.100
4.06, 4.6, 4.66
7.25, 7.2, 7.205
5.4, 5.40, 5.405
8.3, 8.33, 8.303
0.7, 0.75, 0.755
2.08, 2.8, 2.808
6.05, 6.5, 6.50
14.2, 14.25, 14.205
0.3, 0.33, 0.333
11.45, 11.4, 11.406
2.56, 2.5, 2.506
9.04, 9.4, 9.444
13.5, 13.55, 13.555
15.2, 15.20, 15.205
0.9, 0.90, 0.909
7.1, 7.11, 7.111
4.36, 4.3, 4.333

✳️ भाग 2 – असमान दशमलव को समान दशमलव में बदलो (20 प्रश्न)

हर पंक्ति के सभी संख्याओं को समान दशमलव बनाओ (शून्य जोड़कर बराबर करो)।

3.2, 3.23
4.5, 4.56
7.4, 7.45, 7.456
12.3, 12.35
0.6, 0.65, 0.652
5.05, 5.5, 5.505
14.2, 14.25, 14.205
9.4, 9.45
0.7, 0.75, 0.757
13.5, 13.55, 13.555
8.36, 8.3, 8.333
6.25, 6.250, 6.2
10.4, 10.44, 10.444
2.08, 2.8, 2.808
15.2, 15.23, 15.235
1.1, 1.11, 1.111
0.4, 0.44, 0.444
9.04, 9.4, 9.444
11.05, 11.5, 11.505
16.5, 16.55, 16.555

अगर आप चाहें तो मैं इन्हीं 40 प्रश्नों का:

✏️ उत्तर सहित संस्करण
📄 या सुंदर वर्कशीट PDF (छात्रों के अभ्यास हेतु प्रिंट योग्य)

दोनों में से कोई भी बना सकता हूँ।
बताइए — क्या आप उत्तर सहित अभ्यास-पत्र (PDF) चाहते हैं या बिना उत्तर वाला छात्र अभ्यास-पत्र?

बिल्कुल ✅
अब हम दशमलव की स्थान (Place Value of Decimals) पर आधारित अभ्यास प्रश्नावली बनाएँगे।
यह प्राथमिक स्तर के छात्रों के लिए सरल से मध्यम स्तर तक होगा।
मैं इसे संपूर्ण तरीके से समझाऊँगा और उत्तर सहित 30 प्रश्नों की तालिका दूँगा।

🧮 दशमलव संख्या – स्थान मान (Decimal Place Value) अभ्यास प्रश्नावली

🌟 मुख्य नियम याद रखें (Rules / Concepts)

1️⃣ दशमलव संख्या में दशमलव बिंदु के बाएँ वाले अंक “पूरे अंक” होते हैं – जैसे: 12.345 में 1 और 2
2️⃣ दशमलव बिंदु के दाएँ वाले अंक स्थान मान रखते हैं:

दशांश (Tenths) – पहली जगह
सैंकड़ाांश (Hundredths) – दूसरी जगह
हजारांश (Thousandths) – तीसरी जगह
उदाहरण: 12.345 →
3 = दशांश
4 = सैंकड़ाांश
5 = हजारांश

3️⃣ किसी अंक का मान = अंक × उसका स्थान मान

✳️ भाग 1 – दशमलव स्थान पहचान (10 प्रश्न)

क्रमांक	प्रश्न	उत्तर
1	5.3 में 3 का स्थान	दशांश (0.3)
2	12.45 में 4 का स्थान	सैंकड़ाांश (0.04)
3	0.678 में 6 का स्थान	दशांश (0.6)
4	23.56 में 5 का स्थान	दशांश (0.5)
5	7.089 में 8 का स्थान	सैंकड़ाांश (0.08)
6	0.305 में 5 का स्थान	हजारांश (0.005)
7	14.206 में 2 का स्थान	दशांश (0.2)
8	3.402 में 4 का स्थान	दशांश (0.4)
9	56.709 में 7 का स्थान	सैंकड़ाांश (0.07)
10	8.123 में 3 का स्थान	हजारांश (0.003)

✳️ भाग 2 – अंक का मान बताओ (10 प्रश्न)

क्रमांक	प्रश्न	उत्तर
11	7.45 में 4 का मान	0.4
12	12.36 में 3 का मान	0.3
13	0.809 में 9 का मान	0.009
14	23.407 में 4 का मान	0.4
15	5.625 में 2 का मान	0.02
16	8.314 में 1 का मान	0.01
17	14.905 में 5 का मान	0.005
18	6.78 में 8 का मान	0.08
19	0.456 में 5 का मान	0.05
20	3.209 में 2 का मान	0.2

✳️ भाग 3 – स्थान मान और मान दोनों लिखो (10 प्रश्न)

क्रमांक	प्रश्न	उत्तर
21	12.347 में 3 का स्थान और मान	सैंकड़ाांश, 0.03
22	45.608 में 6 का स्थान और मान	सैंकड़ाांश, 0.06
23	7.532 में 5 का स्थान और मान	दशांश, 0.5
24	0.924 में 2 का स्थान और मान	सैंकड़ाांश, 0.02
25	8.109 में 9 का स्थान और मान	हजारांश, 0.009
26	15.876 में 7 का स्थान और मान	सैंकड़ाांश, 0.07
27	6.345 में 4 का स्थान और मान	सैंकड़ाांश, 0.04
28	23.501 में 5 का स्थान और मान	दशांश, 0.5
29	0.736 में 3 का स्थान और मान	सैंकड़ाांश, 0.03
30	9.408 में 8 का स्थान और मान	सैंकड़ाांश, 0.08

🌸 सुझाव (Tips for Students)

दशमलव के दाएँ अंकों के नाम याद रखें: दशांश, सैंकड़ाांश, हजारांश
किसी अंक का मान = अंक × उसका स्थान मान
अभ्यास में छोटे → बड़े → मिश्रित अंक क्रम से प्रश्न दें
बच्चों को जाँच के लिए multiplication trick सिखाएँ: मान ÷ अंक = स्थान

यदि आप चाहें, मैं इस पूरे दशमलव प्लेस वैल्यू अभ्यास को PDF वर्कशीट में तैयार कर सकता हूँ,
जिसमें उत्तर लिखने के लिए जगह भी हो और इसे प्रिंट करके बच्चों को हल करने के लिए इस्तेमाल किया जा सके।

क्या मैं इसे बना दूँ?

बिल्कुल ✅
अब हम दशमलव संख्याओं का विस्तारित रूप (Expanded Form of Decimals) सीखेंगे और उसके लिए अभ्यास माला बनाएँगे।

🧮 दशमलव का विस्तारित रूप (Expanded Form of Decimals)

🌟 नियम और समझ

1️⃣ दशमलव संख्या को हर अंक × उसके स्थान मान के रूप में लिखा जाता है।
2️⃣ दशमलव बिंदु के बाएँ और दाएँ अंकों के लिए अलग नियम हैं:

स्थान	नाम	मान
10³	हजार	1000 × अंक
10²	सैंकड़ा	100 × अंक
10¹	दस	10 × अंक
10⁰	इकाई	1 × अंक
0.1	दशांश	0.1 × अंक
0.01	सैंकड़ाांश	0.01 × अंक
0.001	हजारांश	0.001 × अंक

🔹 उदाहरण 1:

12.345

विस्तारित रूप:

12.345 = 10×1 + 2×1 + 0.3 + 0.04 + 0.005

या सरल रूप में:

12.345 = 10 + 2 + 0.3 + 0.04 + 0.005

🔹 उदाहरण 2:

7.206

विस्तारित रूप:

7.206 = 7 + 0.2 + 0.006

🌸 अभ्यास माला (Practice Set)

✳️ भाग 1 – सरल (10 प्रश्न)

क्रमांक	प्रश्न	उत्तर
1	5.3	5 + 0.3
2	2.45	2 + 0.4 + 0.05
3	7.06	7 + 0.06
4	3.21	3 + 0.2 + 0.01
5	9.005	9 + 0.005
6	4.8	4 + 0.8
7	1.36	1 + 0.3 + 0.06
8	6.09	6 + 0.09
9	8.402	8 + 0.4 + 0.002
10	0.75	0.7 + 0.05

✳️ भाग 2 – मध्यम (10 प्रश्न)

क्रमांक	प्रश्न	उत्तर
11	12.345	10 + 2 + 0.3 + 0.04 + 0.005
12	23.406	20 + 3 + 0.4 + 0.006
13	5.789	5 + 0.7 + 0.08 + 0.009
14	9.032	9 + 0.03 + 0.002
15	14.506	10 + 4 + 0.5 + 0.006
16	6.704	6 + 0.7 + 0.004
17	8.215	8 + 0.2 + 0.01 + 0.005
18	7.09	7 + 0.09
19	13.082	10 + 3 + 0.08 + 0.002
20	0.806	0.8 + 0.006

✳️ भाग 3 – चुनौतीपूर्ण (10 प्रश्न)

क्रमांक	प्रश्न	उत्तर
21	45.672	40 + 5 + 0.6 + 0.07 + 0.002
22	78.305	70 + 8 + 0.3 + 0.005
23	9.876	9 + 0.8 + 0.07 + 0.006
24	123.409	100 + 20 + 3 + 0.4 + 0.009
25	56.028	50 + 6 + 0.02 + 0.008
26	7.503	7 + 0.5 + 0.003
27	8.910	8 + 0.9 + 0.01
28	34.607	30 + 4 + 0.6 + 0.007
29	0.432	0.4 + 0.03 + 0.002
30	6.289	6 + 0.2 + 0.08 + 0.009

🌟 Tips for Students

दशमलव के बाएँ अंकों को वैसे ही जोड़ो जैसे सामान्य संख्याओं का विस्तारित रूप।
दशमलव के दाएँ अंकों को 0.1, 0.01, 0.001 के साथ गुणा करके लिखो।
पहले छोटे अंक → 2–3 अंकों वाले → बड़े अंक क्रम से अभ्यास करो।

यदि आप चाहें तो मैं इसे वर्कशीट (PDF) में तैयार कर दूँ,
जिसमें बच्चे खाली जगह में खुद लिखकर प्रश्न हल कर सकें और उत्तर की तालिका अलग दी जाए।

क्या मैं इसे बना दूँ?

EXERCISE 8.3

1. Which is greater?

(a) 0.3 or 0.4 (b) 0.07 or 0.02 (c) 3 or 0.8 (d) 0.5 or 0.05 (e) 1.23 or 1.2 (f) 0.099 or 0.19 (g) 1.5 or 1.50 (h) 1.431 or 1.490 (i) 3.3 or 3.300 (j) 5.64 or 5.603

8.5 Using Decimals

Money

We know that 100 paise = ₹ 1

Therefore, 1 paise = ₹1/100 = ₹ 0.01

So, 65 paise = ₹ 65/100 = ₹ 0.65

and 5 paise = ₹ 5/100 = ₹ 0.05

What is 105 paise?

It is ₹ 1 and 5 paise = ₹ 1.05

Length

Mahesh wanted to measure the length of his table top in metres. He had a 50 cm scale. He found that the length of the table top was 156 cm. What will be its length in metres?

Mahesh knew that

1 cm = 1/100 m or 0.01 m

Therefore, 56 cm = 56/100 m = 0.56 m

Thus, the length of the table top is

156 cm = 100 cm + 56 cm

= 1 m + 56/100 m = 1.56 m.

Mahesh also wants to represent this length pictorially. He took squared papers of equal size and divided them into 100 equal parts. He considered each small square as one cm.

Weight

Nandu bought 500g potatoes, 250g capsicum, 700g onions, 500g tomatoes, 100g ginger and 300g radish. What is the total weight of the vegetables in the bag? Let us add the weight of all the vegetables in the bag.

500 g + 250 g + 700 g + 500 g + 100 g + 300 g

= 2350 g

We know that 1000 g = 1 kg

Therefore, 1 g =1/1000kg = 0.001 kg

Thus, 2350 g = 2000 g + 350 g

= 2000/1000kg + 350/1000kg

= 2 kg + 0.350 kg = 2.350 kg

i.e. 2350 g = 2 kg 350 g = 2.350 kg

Thus, the weight of vegetables in Nandu’s bag is 2.350 kg.

बहुत अच्छा 👏
आप अब सीखना चाहते हैं —
👉 भिन्न (Fraction) को दशमलव (Decimal) में बदलने की प्रक्रिया
👉 दशमलव (Decimal) को भिन्न (Fraction) में बदलने की प्रक्रिया,
और दोनों के 25–25 प्रश्न उत्तर सहित अभ्यास माला।

आइए इसे चरणबद्ध तरीके से समझते हैं 👇

🌟 भाग – 1

भिन्न को दशमलव में बदलना (Fraction → Decimal)

🔹 प्रज्ञा प्रक्रिया (Step-by-Step Method)

1️⃣ हर (Denominator) से अंश (Numerator) को भाग (÷) दो।
2️⃣ यदि भाग पूरा नहीं होता, तो दशमलव लगाकर आगे शून्य जोड़ते जाओ।
3️⃣ जो भागफल (Quotient) मिलेगा, वही दशमलव रूप होगा।

उदाहरण:


\frac{3}{4} = 3 ÷ 4 = 0.75

🧮 अभ्यास माला – 1 : भिन्न को दशमलव में बदलो (उत्तर सहित)

क्रमांक	भिन्न (Fraction)	दशमलव (Decimal)
1	½	0.5
2	¼	0.25
3	¾	0.75
4	⅕	0.2
5	⅖	0.4
6	⅗	0.6
7	⅘	0.8
8	⅙	0.1666…
9	⅔	0.6666…
10	⅛	0.125
11	⅜	0.375
12	⅝	0.625
13	⅞	0.875
14	⅙	0.1666…
15	⅕	0.2
16	⅖	0.4
17	⅗	0.6
18	⅘	0.8
19	⅓	0.3333…
20	⅔	0.6666…
21	⅙	0.1666…
22	⅚	0.8333…
23	⁵⁄₂	2.5
24	⁷⁄₄	1.75
25	⁹⁄₈	1.125

🌟 भाग – 2

दशमलव को भिन्न में बदलना (Decimal → Fraction)

🔹 प्रज्ञा प्रक्रिया (Step-by-Step Method)

1️⃣ दशमलव के बाद कितने अंक हैं, उसे गिनो।
2️⃣ उतने ही शून्य वाले हर (denominator) से भाग बनाओ।

उदाहरण:
0.5 = 5/10
0.25 = 25/100
3️⃣ यदि संभव हो तो भिन्न को सरल रूप (simplify) में बदलो।

उदाहरण:


0.75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}

🧮 अभ्यास माला – 2 : दशमलव को भिन्न में बदलो (उत्तर सहित)

क्रमांक	दशमलव (Decimal)	भिन्न (Fraction)
1	0.5	1/2
2	0.25	1/4
3	0.75	3/4
4	0.2	1/5
5	0.4	2/5
6	0.6	3/5
7	0.8	4/5
8	0.125	1/8
9	0.375	3/8
10	0.625	5/8
11	0.875	7/8
12	0.1	1/10
13	0.3	3/10
14	0.7	7/10
15	0.09	9/100
16	0.45	9/20
17	0.05	1/20
18	0.333…	1/3
19	0.666…	2/3
20	0.125	1/8
21	0.875	7/8
22	1.25	5/4
23	2.5	5/2
24	1.75	7/4
25	0.625	5/8

🌺 सारांश (Quick Recap)

रूपांतरण	तरीका	उदाहरण
भिन्न → दशमलव	अंश ÷ हर	¾ = 3 ÷ 4 = 0.75
दशमलव → भिन्न	दशमलव के बाद के अंकों को गिनकर हर लगाओ	0.25 = 25/100 = 1/4

क्या आप चाहेंगे कि मैं इसका एक प्रिंट योग्य वर्कशीट PDF (दोनों अभ्यास माला सहित) तैयार कर दूँ ताकि विद्यार्थी इसे हल करके लिख सकें?
बताइए —
1️⃣ केवल प्रश्न वाला, या
2️⃣ प्रश्न + उत्तर दोनों वाला PDF?

बहुत बढ़िया 👏
अब आप सीखना चाहते हैं —
👉 दशमलव संख्याओं को 2 अंकों तक निकटतम (round off to 2 decimal places) करने की प्रज्ञा प्रक्रिया और
👉 अभ्यास माला (Practice Set) उत्तर सहित।

तो चलिए इसे सरल चरणों में समझते हैं 👇

🌟 दशमलव का 2 अंकों तक निकटन (Rounding off to 2 decimal places)

🔹 प्रज्ञा प्रक्रिया (Step-by-Step Method)

1️⃣ दशमलव के बाद तीसरा अंक (3rd decimal digit) देखो।
2️⃣ यदि तीसरा अंक 5 या उससे अधिक (≥5) हो तो
👉 दूसरे अंक को 1 बढ़ा दो।
3️⃣ यदि तीसरा अंक 5 से कम (<5) हो तो
👉 दूसरे अंक को ज्यों का त्यों रहने दो।
4️⃣ उसके बाद शेष अंकों को हटा दो।

🔹 उदाहरण

संख्या	प्रक्रिया	2 अंकों तक निकटन
4.236	तीसरा अंक 6 → 5 से बड़ा	4.24
3.452	तीसरा अंक 2 → छोटा	3.45
7.899	तीसरा अंक 9 → बड़ा	7.90
5.444	तीसरा अंक 4 → छोटा	5.44
8.755	तीसरा अंक 5 → बड़ा	8.76

🧮 अभ्यास माला – दशमलव का 2 अंकों तक निकटन (25 प्रश्न)

क्रमांक	मूल संख्या	2 अंकों तक निकटन
1	4.236	4.24
2	7.899	7.90
3	3.452	3.45
4	9.507	9.51
5	5.444	5.44
6	8.755	8.76
7	6.124	6.12
8	2.987	2.99
9	0.754	0.75
10	12.865	12.87
11	9.501	9.50
12	15.436	15.44
13	3.666	3.67
14	5.432	5.43
15	7.285	7.29
16	8.994	8.99
17	10.257	10.26
18	11.999	12.00
19	0.121	0.12
20	4.678	4.68
21	6.341	6.34
22	2.555	2.56
23	9.893	9.89
24	14.787	14.79
25	19.124	19.12

🌺 सारांश

स्थिति	नियम	उदाहरण
तीसरा अंक < 5	दशमलव का दूसरा अंक ज्यों का त्यों	3.452 → 3.45
तीसरा अंक ≥ 5	दूसरा अंक +1	8.756 → 8.76

क्या आप चाहेंगे कि मैं इस पूरी तीनों अभ्यास माला (भिन्न ↔ दशमलव + निकटन) को
📄 सुंदर वर्कशीट PDF (प्रश्न + उत्तर सहित) बनाकर दूँ ताकि बच्चे लिखकर अभ्यास कर सकें?
अगर हाँ, तो बताइए —
1️⃣ प्राथमिक स्तर (कक्षा 5–6 के लिए)
या
2️⃣ मध्यम स्तर (कक्षा 7–8 के लिए)?

बहुत सुंदर 🌸
आपने कहा — प्राथमिक स्तर (कक्षा 5–6) के बच्चों के लिए तीनों प्रकार की अभ्यास माला चाहिए:

1️⃣ भिन्न → दशमलव
2️⃣ दशमलव → भिन्न
3️⃣ दशमलव का 2 अंकों तक निकटन

आइए मैं इसे प्राथमिक छात्रों के स्तर पर सरल भाषा, उदाहरण और उत्तर सहित प्रस्तुत करता हूँ 👇

📘 दशमलव – अभ्यास माला (Primary Level Worksheet)

(भिन्न, दशमलव और निकटन)

🌼 भाग 1 – भिन्न को दशमलव में बदलो (Fraction → Decimal)

नियम:
अंश ÷ हर करो (Numerator ÷ Denominator)
जो भागफल मिलेगा वही दशमलव रूप है।

क्रमांक	भिन्न	दशमलव (उत्तर)
1	½	0.5
2	¼	0.25
3	¾	0.75
4	⅕	0.2
5	⅖	0.4
6	⅗	0.6
7	⅘	0.8
8	⅙	0.17 (लगभग)
9	⅛	0.125
10	⅜	0.375
11	⅝	0.625
12	⅞	0.875
13	⅓	0.33
14	⅔	0.67
15	1⁄10	0.1
16	3⁄10	0.3
17	7⁄10	0.7
18	9⁄10	0.9
19	5⁄4	1.25
20	3⁄2	1.5

🪶 टिप: अगर भाग पूरा नहीं हो तो दशमलव लगाकर आगे शून्य जोड़ सकते हैं।

🌼 भाग 2 – दशमलव को भिन्न में बदलो (Decimal → Fraction)

नियम:
दशमलव के बाद जितने अंक हों, उतने ही शून्य हर (denominator) में लगाओ।

क्रमांक	दशमलव	भिन्न (उत्तर)
1	0.5	1/2
2	0.25	1/4
3	0.75	3/4
4	0.2	1/5
5	0.4	2/5
6	0.6	3/5
7	0.8	4/5
8	0.1	1/10
9	0.3	3/10
10	0.7	7/10
11	0.09	9/100
12	0.45	9/20
13	0.05	1/20
14	0.33	1/3 (लगभग)
15	0.66	2/3 (लगभग)
16	0.125	1/8
17	0.375	3/8
18	0.625	5/8
19	0.875	7/8
20	1.25	5/4

🪶 टिप:
0.25 में दो अंक हैं → 25/100 → 1/4

🌼 भाग 3 – दशमलव का 2 अंकों तक निकटन (Round off to 2 decimal places)

नियम:
तीसरा अंक (3rd digit) देखो —
👉 अगर वह 5 या उससे ज़्यादा है, तो दूसरा अंक +1 कर दो।
👉 अगर वह 5 से कम है, तो दूसरा अंक जैसा है वैसा रहने दो।

क्रमांक	मूल संख्या	2 अंकों तक निकटन
1	4.236	4.24
2	3.452	3.45
3	7.899	7.90
4	5.444	5.44
5	8.755	8.76
6	6.124	6.12
7	2.987	2.99
8	0.754	0.75
9	12.865	12.87
10	9.501	9.50
11	15.436	15.44
12	3.666	3.67
13	5.432	5.43
14	7.285	7.29
15	8.994	8.99
16	10.257	10.26
17	11.999	12.00
18	0.121	0.12
19	4.678	4.68
20	6.341	6.34
21	2.555	2.56
22	9.893	9.89
23	14.787	14.79
24	19.124	19.12
25	0.407	0.41

🌺 सारांश – बच्चों के लिए याद रखो

रूपांतरण	तरीका	उदाहरण
भिन्न → दशमलव	अंश ÷ हर	¾ = 0.75
दशमलव → भिन्न	दशमलव के बाद अंकों के अनुसार हर लगाओ	0.25 = 25/100 = 1/4
दशमलव का निकटन	तीसरा अंक देखकर बढ़ाओ या रहने दो	7.899 → 7.90

क्या आप चाहेंगे कि मैं इसे सुंदर PDF वर्कशीट (Primary Design – बड़ी फॉन्ट, रंगीन हेडिंग्स) बनाकर दूँ जिसे आप प्रिंट कर बच्चों को अभ्यास के लिए दे सकें?
बताइए —
✅ “प्रश्न + उत्तर सहित”
या
✅ “केवल प्रश्न (बच्चे खुद हल करें)”
कौन-सा रूप चाहिए PDF में?

बहुत अच्छा 🙌
अब हम प्राथमिक स्तर के लिए “दशमलव संख्याओं का जोड़ (Addition) और घटाव (Subtraction)” पूरे सरल और रोचक ढंग से समझेंगे।
यह अध्याय कक्षा 5–6 के विद्यार्थियों के लिए अत्यंत उपयोगी है।

🧮 अध्याय — दशमलव का जोड़ और घटाव

🌟 1️⃣ दशमलव संख्या क्या होती है?

जब किसी संख्या को 10, 100, 1000 आदि के भागों में बाँटकर लिखा जाता है, तो उसे दशमलव संख्या कहते हैं।
दशमलव बिंदु (•) संख्या के पूर्ण भाग और भिन्न भाग को अलग करता है।

उदाहरण:

4.5 = 4 (पूर्ण भाग) + 0.5 (भिन्न भाग)
12.36 = 12 (पूर्ण भाग) + 0.36 (भिन्न भाग)

🌟 2️⃣ दशमलव के जोड़ का नियम (Decimal Addition Rule)

नियम:
जोड़ करते समय दशमलव बिंदु को एक के नीचे एक रखना चाहिए।
फिर सामान्य जोड़ की तरह जोड़ करें।
यदि दशमलव के बाद अंकों की संख्या बराबर नहीं है, तो शून्य जोड़कर बराबर कर लें।

🔹 उदाहरण 1:

  2.35
+ 1.4

पहले अंकों को बराबर करें → 1.4 = 1.40
अब जोड़ें:

  2.35
+ 1.40
-------
  3.75

✅ उत्तर = 3.75

🔹 उदाहरण 2:

  12.5
+ 0.36

बराबर करें:

  12.50
+  0.36
--------
  12.86

✅ उत्तर = 12.86

🔹 उदाहरण 3:

  5.64
+ 3.789

बराबर करें (5.640 + 3.789):

  5.640
+ 3.789
--------
  9.429

✅ उत्तर = 9.429

🌟 3️⃣ दशमलव के घटाव का नियम (Decimal Subtraction Rule)

नियम:
घटाव करते समय भी दशमलव बिंदु को सीध में रखें और यदि आवश्यक हो तो शून्य जोड़कर अंकों को बराबर करें।
फिर सामान्य घटाव करें।

🔹 उदाहरण 1:

  5.6
- 2.35

बराबर करें → 5.60 − 2.35
अब घटाएँ:

  5.60
- 2.35
-------
  3.25

✅ उत्तर = 3.25

🔹 उदाहरण 2:

  7.84
- 4.7

बराबर करें → 4.7 = 4.70

  7.84
- 4.70
-------
  3.14

✅ उत्तर = 3.14

🔹 उदाहरण 3:

  10.005
- 2.68

बराबर करें → 2.68 = 2.680

  10.005
-  2.680
----------
   7.325

✅ उत्तर = 7.325

🌟 4️⃣ विशेष ध्यान दें:

नियम	व्याख्या
🔸 दशमलव बिंदु को एक सीध में रखें	ताकि अंकों का मान सही रहे
🔸 यदि कहीं अंक कम हों तो शून्य जोड़ें	जैसे 2.4 = 2.40
🔸 पहले सामान्य जोड़/घटाव करें फिर दशमलव लगाएँ

🧩 अभ्यास माला 1 — दशमलव जोड़ (20 प्रश्न)

(उत्तर नीचे दिए गए हैं)

2.3 + 1.4 = ?
3.25 + 4.75 = ?
1.05 + 0.25 = ?
0.6 + 0.25 = ?
2.45 + 3.1 = ?
7.85 + 2.05 = ?
4.005 + 3.095 = ?
9.9 + 0.09 = ?
6.75 + 3.2 = ?
10.25 + 5.75 = ?
2.09 + 3.001 = ?
8.7 + 0.55 = ?
0.08 + 0.007 = ?
5.15 + 4.85 = ?
7.03 + 1.07 = ?
2.2 + 2.22 = ?
3.333 + 6.667 = ?
1.25 + 0.35 = ?
0.9 + 0.01 = ?
5.08 + 4.002 = ?

✅ उत्तर (जोड़ माला)

3.7
8.0
1.30
0.85
5.55
9.90
7.100
9.99
9.95
16.00
5.091
9.25
0.087
10.00
8.10
4.42
10.000
1.60
0.91
9.082

🧮 अभ्यास माला 2 — दशमलव घटाव (20 प्रश्न)

(उत्तर नीचे दिए गए हैं)

5.6 − 2.3 = ?
8.5 − 4.25 = ?
3.25 − 1.05 = ?
6.75 − 2.35 = ?
4.5 − 3.15 = ?
9.0 − 8.75 = ?
7.25 − 6.5 = ?
8.08 − 0.8 = ?
10.25 − 5.75 = ?
2.05 − 1.25 = ?
6.009 − 2.005 = ?
7.5 − 3.2 = ?
0.9 − 0.09 = ?
4.07 − 2.05 = ?
3.15 − 1.35 = ?
12.5 − 9.45 = ?
5.0 − 4.09 = ?
1.25 − 0.5 = ?
0.55 − 0.05 = ?
10.05 − 9.005 = ?

✅ उत्तर (घटाव माला)

3.3
4.25
2.20
4.40
1.35
0.25
0.75
7.28
4.50
0.80
4.004
4.30
0.81
2.02
1.80
3.05
0.91
0.75
0.50
1.045

🧠 सारांश चार्ट

क्रिया	तरीका	उदाहरण	उत्तर
जोड़	दशमलव बिंदु सीधा रखो	2.3 + 1.4	3.7
जोड़	शून्य लगाकर जोड़ो	5.6 + 2.35	7.95
घटाव	दशमलव बिंदु सीधा रखो	8.5 − 4.25	4.25
घटाव	शून्य लगाकर घटाओ	7.5 − 3.25	4.25

क्या आप चाहेंगे कि मैं इसी विषय पर
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(जिसमें दशमलव जोड़ व घटाव का नियम + अभ्यास स्थान बच्चों के लिए खाली हो)

बहुत बढ़िया 👍
अब हम “दशमलव संख्याओं के जोड़” को एक अगले स्तर पर ले चलेंगे —
जहाँ हर प्रश्न में 3, 4, या उससे अधिक दशमलव संख्याएँ होंगी।
यह प्राथमिक और माध्यमिक दोनों स्तर के विद्यार्थियों के लिए उपयोगी अभ्यास माला होगी।

🧮 दशमलव जोड़ — बहु-संख्या अभ्यास माला (Multi-number Decimal Addition Practice)

🌟 मुख्य नियम याद रखें:

1️⃣ सभी संख्याओं के दशमलव बिंदु को एक सीध में रखें।
2️⃣ यदि किसी संख्या में दशमलव के बाद अंक कम हों, तो शून्य जोड़ दें ताकि सब बराबर हो जाएँ।
3️⃣ अब सामान्य जोड़ की तरह जोड़ें।
4️⃣ उत्तर में भी दशमलव बिंदु ठीक उसी स्थान पर लगाएँ।

✳️ भाग 1 — तीन संख्याओं का जोड़ (20 प्रश्न)

क्रमांक	प्रश्न	उत्तर
1	2.3 + 1.45 + 0.25	4.00
2	5.25 + 3.1 + 2.45	10.80
3	0.65 + 0.4 + 0.05	1.10
4	7.5 + 2.35 + 1.15	11.00
5	3.2 + 1.25 + 0.75	5.20
6	6.4 + 2.5 + 3.1	12.00
7	8.05 + 4.25 + 3.7	16.00
8	1.1 + 1.2 + 1.3	3.60
9	9.25 + 0.75 + 0.5	10.50
10	4.005 + 2.095 + 3.900	10.00
11	0.12 + 0.08 + 0.05	0.25
12	2.45 + 3.35 + 4.20	10.00
13	6.75 + 1.25 + 2.00	10.00
14	3.03 + 2.02 + 1.01	6.06
15	5.6 + 4.3 + 0.1	10.00
16	7.55 + 2.45 + 1.00	11.00
17	0.25 + 0.75 + 1.00	2.00
18	8.4 + 0.05 + 1.55	10.00
19	9.999 + 0.001 + 0.00	10.00
20	4.36 + 3.24 + 2.40	10.00

✳️ भाग 2 — चार संख्याओं का जोड़ (20 प्रश्न)

क्रमांक	प्रश्न	उत्तर
1	1.25 + 2.35 + 3.15 + 4.25	11.00
2	0.5 + 0.25 + 0.15 + 0.10	1.00
3	2.2 + 3.3 + 1.1 + 3.4	10.00
4	4.05 + 3.25 + 2.15 + 0.55	10.00
5	1.5 + 2.5 + 3.5 + 2.5	10.00
6	5.25 + 1.25 + 2.25 + 1.25	10.00
7	0.25 + 0.25 + 0.25 + 0.25	1.00
8	7.35 + 1.15 + 0.75 + 0.75	10.00
9	9.6 + 0.25 + 0.10 + 0.05	10.00
10	2.05 + 2.95 + 3.00 + 2.00	10.00
11	3.75 + 2.25 + 1.25 + 2.75	10.00
12	1.005 + 2.095 + 3.400 + 3.500	10.00
13	2.5 + 2.5 + 2.5 + 2.5	10.00
14	8.1 + 0.9 + 0.5 + 0.5	10.00
15	3.33 + 3.33 + 3.34 + 0.00	10.00
16	9.25 + 0.50 + 0.25 + 0.00	10.00
17	4.05 + 3.55 + 2.15 + 0.25	10.00
18	5.1 + 2.2 + 1.3 + 1.4	10.00
19	0.75 + 0.15 + 0.05 + 0.05	1.00
20	9.01 + 0.99 + 0.00 + 0.00	10.00

✳️ भाग 3 — पाँच संख्याओं का जोड़ (10 प्रश्न)

क्रमांक	प्रश्न	उत्तर
1	1.2 + 2.3 + 3.4 + 1.1 + 2.0	10.00
2	0.5 + 0.5 + 0.5 + 0.5 + 0.5	2.50
3	2.15 + 1.25 + 3.15 + 2.25 + 1.20	10.00
4	3.05 + 2.05 + 1.05 + 1.05 + 2.80	10.00
5	5.5 + 1.5 + 1.0 + 1.0 + 1.0	10.00
6	1.11 + 2.22 + 3.33 + 1.11 + 2.23	10.00
7	0.20 + 0.25 + 0.30 + 0.15 + 0.10	1.00
8	9.1 + 0.3 + 0.5 + 0.05 + 0.05	10.00
9	1.55 + 2.15 + 3.05 + 2.25 + 1.00	10.00
10	4.0 + 3.0 + 2.0 + 1.0 + 0.0	10.00

🧠 सारांश चार्ट

चरण	नियम
1️⃣	सभी दशमलव बिंदु को एक सीध में लिखें
2️⃣	दशमलव के बाद अंकों की संख्या बराबर करने हेतु शून्य जोड़ें
3️⃣	सामान्य जोड़ करें
4️⃣	उत्तर में दशमलव बिंदु उसी स्थान पर लगाएँ

🌸 सुझाव:

बच्चों को पहले 2 संख्याओं वाले जोड़ अच्छे से सिखाएँ।
फिर 3, 4, और 5 संख्याओं वाले जोड़ पर जाएँ।
अभ्यास में समान व असमान दशमलव अंकों का मिश्रण रखें।

क्या आप चाहेंगे कि मैं इन सबको लेकर
📘 “दशमलव जोड़ की अभ्यास पुस्तिका (Worksheet PDF)”
बना दूँ — जिसमें जगह छोड़कर बच्चे खुद उत्तर लिख सकें?
(इसमें स्तर: सरल → मध्यम → कठिन होगा)

बहुत अच्छा प्रश्न 🙌
यह अध्याय “दशमलव संख्याओं को 10, 100 और 1000 से गुणा व भाग करना” प्राथमिक स्तर (कक्षा 5–6) के लिए अत्यंत उपयोगी है।
आइए पहले इसे सरल भाषा में समझें, फिर हम अभ्यास माला (20+20 प्रश्न) देंगे — उत्तर सहित।

🌟 भाग 1: दशमलव को 10, 100 और 1000 से गुणा करना

🔹 नियम:

जब किसी दशमलव संख्या को
10, 100 या 1000 से गुणा करते हैं,
तो दशमलव बिंदु दाईं ओर उतने स्थान खिसकता है,
जितने शून्य गुणन संख्या (10, 100, 1000...) में हैं।

गुणक	दशमलव बिंदु दाईं ओर
10	1 स्थान
100	2 स्थान
1000	3 स्थान

🔹 उदाहरण:

4.5 × 10 = 45
3.26 × 100 = 326
7.089 × 1000 = 7089

🌟 भाग 2: दशमलव को 10, 100 और 1000 से भाग देना

🔹 नियम:

जब किसी दशमलव संख्या को
10, 100 या 1000 से भाग देते हैं,
तो दशमलव बिंदु बाईं ओर उतने स्थान खिसकता है,
जितने शून्य भाजक संख्या (10, 100, 1000...) में हैं।

भाजक	दशमलव बिंदु बाईं ओर
10	1 स्थान
100	2 स्थान
1000	3 स्थान

🔹 उदाहरण:

45 ÷ 10 = 4.5
326 ÷ 100 = 3.26
7089 ÷ 1000 = 7.089

✏️ अभ्यास माला 1 — गुणा से संबंधित (20 प्रश्न)

(उत्तर नीचे दिए गए हैं)

3.2 × 10 = ?
4.05 × 100 = ?
0.7 × 10 = ?
8.35 × 1000 = ?
9.09 × 10 = ?
0.08 × 100 = ?
6.002 × 10 = ?
2.53 × 100 = ?
1.005 × 1000 = ?
7.7 × 100 = ?
5.01 × 1000 = ?
0.15 × 10 = ?
4.7 × 1000 = ?
6.09 × 100 = ?
9.999 × 10 = ?
12.3 × 10 = ?
0.45 × 100 = ?
7.08 × 1000 = ?
3.03 × 10 = ?
0.25 × 1000 = ?

✅ उत्तर (अभ्यास माला 1)

32
405
7
8350
90.9
8
60.02
253
1005
770
5010
1.5
4700
609
99.99
123
45
7080
30.3
250

✏️ अभ्यास माला 2 — भाग से संबंधित (20 प्रश्न)

(उत्तर नीचे दिए गए हैं)

32 ÷ 10 = ?
405 ÷ 100 = ?
7 ÷ 10 = ?
8350 ÷ 1000 = ?
90.9 ÷ 10 = ?
8 ÷ 100 = ?
60.02 ÷ 10 = ?
253 ÷ 100 = ?
1005 ÷ 1000 = ?
770 ÷ 100 = ?
5010 ÷ 1000 = ?
1.5 ÷ 10 = ?
4700 ÷ 1000 = ?
609 ÷ 100 = ?
99.99 ÷ 10 = ?
123 ÷ 10 = ?
45 ÷ 100 = ?
7080 ÷ 1000 = ?
30.3 ÷ 10 = ?
250 ÷ 1000 = ?

✅ उत्तर (अभ्यास माला 2)

3.2
4.05
0.7
8.35
9.09
0.08
6.002
2.53
1.005
7.7
5.01
0.15
4.7
6.09
9.999
12.3
0.45
7.08
3.03
0.25

📘 सारांश (Summary)

क्रिया	दशमलव बिंदु की दिशा	उदाहरण
×10	दाईं ओर 1 स्थान	4.3 × 10 = 43
×100	दाईं ओर 2 स्थान	4.3 × 100 = 430
×1000	दाईं ओर 3 स्थान	4.3 × 1000 = 4300
÷10	बाईं ओर 1 स्थान	43 ÷ 10 = 4.3
÷100	बाईं ओर 2 स्थान	43 ÷ 100 = 0.43
÷1000	बाईं ओर 3 स्थान	43 ÷ 1000 = 0.043

क्या आप चाहेंगे कि मैं इसी विषय पर चित्र सहित चार्ट या वर्कशीट PDF फॉर्मेट में तैयार कर दूँ (बच्चों के अभ्यास हेतु प्रिंट योग्य)?

बहुत बढ़िया 👏
अब हम “दशमलव संख्याओं का गुणा (Multiplication of Decimals)” विषय को प्राथमिक विद्यार्थियों के लिए आसान और अभ्यासपूर्ण रूप में समझेंगे।
इसमें मैं आपको पहले नियम (Steps) समझाऊँगा और फिर अंकों की संख्या बदल-बदल कर (2, 3, 4, आदि अंकों वाले) 40 अभ्यास प्रश्न दूँगा — जिनमें आसान से कठिन तक का क्रम होगा ✅

🧮 दशमलव का गुणा (Multiplication of Decimal Numbers)

🌟 प्रज्ञा प्रक्रिया (Step-by-Step Method)

🔹 चरण 1:

दोनों संख्याओं के दशमलव बिंदु हटाकर उन्हें सामान्य संख्याओं की तरह गुणा करो।

🔹 चरण 2:

अब देखो कि दोनों संख्याओं में कुल कितने दशमलव अंक हैं (जैसे एक में 1 अंक और दूसरे में 2 अंक तो कुल 3)।

🔹 चरण 3:

गुणनफल (Product) में दाएँ से उतने अंक छोड़कर दशमलव लगाओ।

🔹 उदाहरण 1:

1.2 × 3.4 = ?

दशमलव हटाओ → 12 × 34 = 408
दोनों में कुल दशमलव अंक = 1 + 1 = 2
तो उत्तर = 4.08

✅ उत्तर: 1.2 × 3.4 = 4.08

🔹 उदाहरण 2:

2.5 × 0.4

दशमलव हटाओ → 25 × 4 = 100
कुल दशमलव अंक = 1 + 1 = 2
उत्तर = 1.00

✅ उत्तर: 1.0

🔹 उदाहरण 3:

0.25 × 0.5

दशमलव हटाओ → 25 × 5 = 125
कुल दशमलव अंक = 2 + 1 = 3
उत्तर = 0.125

✅ उत्तर: 0.125

📘 अब अभ्यास प्रश्न माला

✳️ भाग 1 – एक दशमलव अंक वाली संख्याएँ (10 प्रश्न)

क्रमांक	प्रश्न	उत्तर
1	2.5 × 3.0	7.5
2	1.2 × 2.5	3.00
3	3.5 × 1.5	5.25
4	4.5 × 2.0	9.0
5	6.2 × 1.3	8.06
6	2.4 × 4.5	10.8
7	5.6 × 3.2	17.92
8	7.5 × 0.5	3.75
9	9.8 × 1.2	11.76
10	8.4 × 2.5	21.00

✳️ भाग 2 – एक और दो अंकों के मिश्रित दशमलव (10 प्रश्न)

क्रमांक	प्रश्न	उत्तर
1	1.25 × 2.0	2.50
2	3.15 × 1.2	3.78
3	0.6 × 2.35	1.41
4	2.4 × 1.15	2.76
5	4.05 × 1.5	6.08
6	5.25 × 0.8	4.20
7	7.15 × 0.3	2.145
8	8.05 × 1.05	8.4525
9	9.25 × 0.25	2.3125
10	6.15 × 1.25	7.6875

✳️ भाग 3 – दो दशमलव अंक वाली संख्याएँ (10 प्रश्न)

क्रमांक	प्रश्न	उत्तर
1	1.25 × 2.35	2.9375
2	3.15 × 1.25	3.9375
3	0.75 × 0.25	0.1875
4	2.45 × 1.05	2.5725
5	5.25 × 1.25	6.5625
6	6.50 × 0.75	4.875
7	8.05 × 0.25	2.0125
8	9.35 × 0.35	3.2725
9	7.75 × 1.25	9.6875
10	4.55 × 2.15	9.7825

✳️ भाग 4 – मिश्रित दशमलव × पूर्ण संख्या (10 प्रश्न)

क्रमांक	प्रश्न	उत्तर
1	1.25 × 4	5.00
2	2.5 × 3	7.5
3	3.75 × 2	7.5
4	4.05 × 5	20.25
5	6.15 × 3	18.45
6	7.25 × 6	43.50
7	8.50 × 8	68.00
8	9.15 × 7	64.05
9	5.55 × 9	49.95
10	3.33 × 10	33.30

🌈 सारांश चार्ट

नियम	उदाहरण	उत्तर
दशमलव हटाकर गुणा करो	1.2 × 2.5 = 12 × 25 = 300 → 3.00	3.0
कुल दशमलव अंकों की गिनती करो	(1 + 1 = 2) → दो अंक के बाद दशमलव
उत्तर में दशमलव लगाओ	408 → 4.08

📘 अभ्यास के सुझाव

पहले केवल 1 दशमलव अंक वाली संख्याओं पर अभ्यास करें।
फिर 2 अंकों तक बढ़ाएँ।
बच्चों को जाँचने के लिए अनुमान (estimation) सिखाएँ: जैसे 1.2×3.4 ≈ 1×3=3 के आस-पास होना चाहिए।

क्या आप चाहेंगे कि मैं
📄 “दशमलव गुणा वर्कशीट (20 प्रश्न खाली स्थान सहित, PDF रूप में)”
बना दूँ ताकि बच्चे खुद लिखकर हल कर सकें?
(वही 4 स्तर – आसान, मध्यम, कठिन, मिश्रित — सुंदर तालिका में)

बहुत अच्छा 👍
अब आप चाहते हैं कि दशमलव गुणा के अभ्यास प्रश्नों में
👉 संख्याओं के अधिक अंक (digits) हों ताकि कठिनाई धीरे-धीरे बढ़े।
तो नीचे दी गई अभ्यास प्रश्नावली (Practice Set) प्राथमिक से उच्च स्तर की ओर क्रमबद्ध की गई है —
छोटे अंकों से शुरू होकर बड़े दशमलव अंकों तक।

🌟 दशमलव का गुणा (Multiplication of Decimals) – विस्तृत अभ्यास प्रश्नावली

🔹 स्तर 1 – सरल (2 अंकों तक)

0.3 × 0.2
1.2 × 0.5
2.4 × 0.3
0.7 × 0.8
1.5 × 0.4

🔹 स्तर 2 – मध्यम (3 अंकों तक)

3.25 × 0.4
2.35 × 1.2
4.05 × 0.25
5.42 × 2.3
3.06 × 1.05

🔹 स्तर 3 – बड़े अंक (4 अंकों तक)

12.45 × 2.5
8.204 × 1.3
6.705 × 3.2
7.052 × 0.25
15.024 × 2.6

🔹 स्तर 4 – कठिन (5 अंकों तक)

23.456 × 1.05
12.075 × 3.25
8.205 × 2.15
10.075 × 4.35
9.605 × 5.07

🔹 स्तर 5 – चुनौतीपूर्ण (6–7 अंकों तक)

125.604 × 2.35
56.2075 × 1.5
304.052 × 3.25
87.056 × 0.45
99.0567 × 1.25

🔹 स्तर 6 – उच्च (8–9 अंकों तक)

1205.604 × 0.35
2504.052 × 1.05
137.0526 × 2.45
410.625 × 3.025
250.0254 × 4.015

🧮 उत्तर उदाहरण (कुछ चुनिंदा)

प्रश्न	उत्तर
0.3 × 0.2	0.06
1.2 × 0.5	0.6
3.25 × 0.4	1.30
12.45 × 2.5	31.125
8.205 × 2.15	17.64075
125.604 × 2.35	294.1694

🌺 सुझाव (Trick to Remember):

1️⃣ गुणा वैसे ही करो जैसे सामान्य संख्याओं का करते हैं।
2️⃣ दोनों संख्याओं के दशमलव के बाद के अंकों को गिनकर कुल जोड़ लो।
3️⃣ गुणनफल में उतने ही अंक दशमलव के बाद रखो।

📘 उदाहरण:
2.35 × 1.2
→ पहले 235 × 12 = 2820
→ दोनों में दशमलव के बाद 3 अंक हैं → उत्तर = 2.820 = 2.82

क्या आप चाहेंगे कि मैं इस पूरी दशमलव गुणा की अभ्यास माला (स्तरवार + उत्तर सहित) को
📄 एक सुंदर वर्कशीट PDF रूप में तैयार कर दूँ, ताकि छात्र उसमें लिख सकें?
अगर हाँ, तो बताइए —
क्या इसे रंगीन (चित्र सहित) बनाऊँ या सादा प्रिंटिंग योग्य ब्लैक-एंड-व्हाइट संस्करण में?

बहुत बढ़िया 👏
अब हम “दशमलव संख्याओं का भाग (Division of Decimals)” का अभ्यास बनाएँगे।
यह प्राथमिक और माध्यमिक स्तर के लिए आसान से कठिन तक क्रमबद्ध होगा।
मैं आपको पहले नियम (Steps) समझाऊँगा और फिर अभ्यास प्रश्न माला (Practice Set) दूँगा — उत्तर सहित।

🧮 दशमलव का भाग (Division of Decimals)

🌟 प्रज्ञा प्रक्रिया (Step-by-Step Method)

🔹 चरण 1:

यदि divisor (भाग देने वाली संख्या) में दशमलव है, तो दोनों संख्या को दशमलव से मुक्त करो।
उदाहरण: 2.5 ÷ 0.5 → 2.5 × 10 ÷ 0.5 × 10 = 25 ÷ 5

🔹 चरण 2:

अब सामान्य भाग की तरह division करो।

🔹 चरण 3:

उत्तर में दशमलव उसी स्थान पर रखो, जैसा कि शून्य स्थानों को समायोजित करके पाया गया।

🔹 उदाहरण 1:

1.2 ÷ 0.4

दोनों को 10 से गुणा करें → 12 ÷ 4 = 3
✅ उत्तर = 3

🔹 उदाहरण 2:

2.5 ÷ 0.5

दोनों को 10 से गुणा करें → 25 ÷ 5 = 5
✅ उत्तर = 5

🔹 उदाहरण 3:

0.75 ÷ 0.25

दोनों को 100 से गुणा करें → 75 ÷ 25 = 3
✅ उत्तर = 3

🔹 उदाहरण 4:

3.6 ÷ 0.6

दोनों को 10 से गुणा करें → 36 ÷ 6 = 6
✅ उत्तर = 6

🌟 अभ्यास माला 1 – सरल (10 प्रश्न)

क्रमांक	प्रश्न	उत्तर
1	1.2 ÷ 0.4	3
2	2.5 ÷ 0.5	5
3	0.6 ÷ 0.2	3
4	3.0 ÷ 1.5	2
5	4.5 ÷ 0.9	5
6	0.8 ÷ 0.4	2
7	1.5 ÷ 0.3	5
8	2.4 ÷ 0.6	4
9	3.6 ÷ 1.2	3
10	0.9 ÷ 0.3	3

🌟 अभ्यास माला 2 – मध्यम (10 प्रश्न)

क्रमांक	प्रश्न	उत्तर
11	2.25 ÷ 0.5	4.5
12	3.75 ÷ 1.25	3
13	4.8 ÷ 0.6	8
14	5.5 ÷ 0.5	11
15	6.6 ÷ 1.1	6
16	0.625 ÷ 0.25	2.5
17	7.2 ÷ 0.8	9
18	1.44 ÷ 0.12	12
19	0.81 ÷ 0.09	9
20	8.4 ÷ 0.7	12

🌟 अभ्यास माला 3 – चुनौतीपूर्ण (10 प्रश्न)

क्रमांक	प्रश्न	उत्तर
21	12.6 ÷ 1.05	12
22	15.75 ÷ 2.5	6.3
23	0.945 ÷ 0.35	2.7
24	9.625 ÷ 0.25	38.5
25	7.56 ÷ 0.12	63
26	0.672 ÷ 0.28	2.4
27	18.9 ÷ 0.7	27
28	0.81 ÷ 0.27	3
29	24.3 ÷ 1.35	18
30	8.64 ÷ 0.36	24

🌟 सुझाव (Tips for Students)

1️⃣ हमेशा divisor को integer बनाओ (दशमलव हटाओ)।
2️⃣ numerator और divisor दोनों को एक ही संख्या से गुणा करो।
3️⃣ division के बाद, उत्तर सही decimal में होगा।
4️⃣ अभ्यास में छोटे अंक → बड़े अंक → मिश्रित अंक का क्रम रखें।

यदि आप चाहें तो मैं इस पूरे भाग (दशमलव division) का PDF वर्कशीट बना सकता हूँ,
जिसमें:

स्तरवार 30–40 प्रश्न हों
उत्तर स्थान खाली हो
बच्चों के लिए writeable और print-friendly हो

क्या मैं इसे बना दूँ?

बिल्कुल 👍
अब हम दशमलव भाग (Division of Decimals) के अभ्यास में अंकों की संख्या बढ़ाएँगे — यानी बड़े दशमलव वाले अंक, 3–5 अंकों तक वाले, ताकि अभ्यास कठिनाई में बढ़े।
नीचे इसका विस्तृत सेट दिया गया है, उत्तर सहित।

🧮 दशमलव का भाग – उच्च अंक अभ्यास (Decimal Division – Larger Numbers)

🌟 भाग 1 – 3 अंकों तक (Intermediate Level)

क्रमांक	प्रश्न	उत्तर
1	12.5 ÷ 2.5	5
2	24.6 ÷ 3.1	7.935
3	18.75 ÷ 0.25	75
4	30.6 ÷ 1.2	25.5
5	7.56 ÷ 0.12	63
6	9.45 ÷ 0.35	27
7	16.8 ÷ 0.7	24
8	12.96 ÷ 0.36	36
9	8.64 ÷ 0.48	18
10	21.6 ÷ 1.2	18

🌟 भाग 2 – 4 अंकों तक (Advanced Level)

क्रमांक	प्रश्न	उत्तर
11	125.4 ÷ 3.5	35.82857
12	84.6 ÷ 2.1	40.2857
13	96.48 ÷ 1.2	80.4
14	150.75 ÷ 2.5	60.3
15	78.625 ÷ 0.25	314.5
16	204.6 ÷ 3.4	60.176
17	48.75 ÷ 1.25	39
18	60.48 ÷ 0.12	504
19	125.76 ÷ 3.12	40.32
20	96.84 ÷ 1.35	71.7

🌟 भाग 3 – 5 अंकों तक (Challenging Level)

क्रमांक	प्रश्न	उत्तर
21	1205.6 ÷ 2.35	513.4043
22	304.052 ÷ 3.25	93.478769
23	410.625 ÷ 3.025	135.7917
24	250.025 ÷ 4.015	62.2766
25	987.56 ÷ 2.45	403.082
26	456.875 ÷ 0.125	3655
27	750.624 ÷ 1.56	481.1
28	1234.56 ÷ 3.24	381
29	842.45 ÷ 1.15	732.565
30	1506.72 ÷ 4.32	348.5

🌟 Tips for Students:

1️⃣ Divisor को integer बनाओ – numerator और divisor दोनों को 10, 100, या 1000 से multiply करके।
2️⃣ अंकों की गिनती ठीक से करो – decimal points में गलती न हो।
3️⃣ छोटे से बड़े संख्या का क्रम – अभ्यास में आसान → intermediate → advanced।

यदि आप चाहें, मैं पूरा Division Practice PDF भी बना सकता हूँ:

40–50 सवाल
सभी स्तर: 2 अंक → 5 अंक
उत्तर लिखने के लिए जगह छोड़कर

क्या मैं इसे बना दूँ?

बहुत अच्छा प्रश्न 👏
आपने पूछा — “किसी संख्या का निकटन (Approximation) कैसे करते हैं?”
आइए इसे सरल भाषा में विस्तार से समझते हैं 👇

🔹 निकटन (Approximation) का अर्थ

निकटन का मतलब होता है —
👉 किसी संख्या के करीब का मान निकालना, ताकि गणना आसान हो जाए।
इसे निकटतम मान या rounding off भी कहा जाता है।

उदाहरण के लिए —
का निकटन अगर हम दशमलव के एक स्थान तक करें, तो यह होगा 8.0 (या सिर्फ 8)।

🔹 निकटन के प्रकार

1. पूर्ण संख्या तक निकटन (Rounding to nearest whole number)

यदि दशमलव के बाद का पहला अंक 5 या उससे अधिक है, तो संख्या को एक बढ़ाकर लेते हैं।
अगर 5 से कम है, तो वही छोड़ देते हैं।

उदाहरण:

12.4 → 12 (क्योंकि दशमलव के बाद 4 है — 5 से कम)
12.6 → 13 (क्योंकि दशमलव के बाद 6 है — 5 या उससे अधिक)

2. दशमलव स्थानों तक निकटन (Rounding to decimal places)

(a) एक दशमलव स्थान तक:

यदि आपको 34.678 को एक दशमलव स्थान तक करना है
→ देखें दूसरे दशमलव स्थान का अंक = 7
→ 5 या उससे बड़ा है ⇒ पहले दशमलव अंक को 1 बढ़ा दो
उत्तर: 34.7

(b) दो दशमलव स्थान तक:

यदि 56.732 को दो दशमलव स्थान तक करना है
→ तीसरा दशमलव अंक = 2
→ 5 से कम ⇒ छोड़ दो
उत्तर: 56.73

3. दहाई, सैकड़ा या हजार के निकट तक (Rounding to tens, hundreds, thousands)

जब बड़ी संख्याओं का निकटन चाहिए, तो हम उन्हें नज़दीकी दहाई, सैकड़ा या हजार तक करते हैं।

संख्या	निकटतम दहाई तक	निकटतम सैकड़ा तक	निकटतम हजार तक
843	840	800	1000
2765	2770	2800	3000
14528	14530	14500	15000

🔹 निकटन करने के सामान्य नियम

जिस स्थान तक निकटन चाहिए, उसके अगले अंक को देखें।
यदि अगला अंक 5 या अधिक है → निकटन अंक में 1 जोड़ें।
यदि अगला अंक 5 से कम है → निकटन अंक को जैसे का तैसा रखें।
बाकी सभी अंकों को शून्य कर दें (यदि पूर्णांक भाग में हों)।

🔹 उदाहरण अभ्यास

का निकटन दशमलव के एक स्थान तक → 57.9
का निकटन सैकड़ा तक → 8400
का निकटन दो दशमलव स्थान तक → 69.45
का निकटन हजार तक → 1000

क्या आप चाहेंगे कि मैं आपको अभ्यास प्रश्नों की एक माला (10–20 प्रश्न) भी दूँ ताकि आप “निकटन” का अभ्यास कर सकें (उत्तर सहित)?

बहुत अच्छा 👍
अब आइए “किसी संख्या का निकटन (Approximation or Rounding off)” को एकदम सरल, कदम-दर-कदम और विस्तार से समझते हैं —
ऐसे कि कक्षा 5 से 8 के छात्र भी आसानी से समझ सकें।

🌟 1. निकटन (Approximation) क्या होता है?

निकटन का मतलब होता है — किसी बड़ी या जटिल संख्या को उसके करीब की सरल संख्या में बदल देना।

👉 इससे गणना आसान हो जाती है।
👉 उत्तर थोड़ा कम या ज़्यादा हो सकता है, लेकिन बहुत पास होता है।

🧩 उदाहरण से समझिए:

यदि हमारे पास है

49.6 रुपये

अब इसे हम करीब की पूरी संख्या में बदलना चाहें तो —
यह लगभग 50 रुपये कहा जाएगा।
क्योंकि 49.6 → 50 के बहुत करीब है।

तो यहाँ 49.6 का निकटन 50 है।

🌟 2. निकटन की ज़रूरत क्यों होती है?

कभी-कभी संख्याएँ बहुत बड़ी या दशमलव में बहुत लंबी होती हैं।
ऐसे में निकटन करने से हम:

गणना जल्दी कर पाते हैं,
अनुमान लगा पाते हैं कि उत्तर लगभग कितना होगा,
और उत्तर को सरल रूप में दिखा सकते हैं।

🌟 3. निकटन करने के मुख्य नियम (Rules of Rounding Off)

मान लीजिए कोई संख्या है:

2374

अब अगर हमें इसे दहाई (10), सैकड़ा (100), या हजार (1000) तक निकट करना है तो ये नियम अपनाते हैं 👇

✴️ नियम 1: जिस अंक तक निकटन करना है, उसके ठीक बाद वाले अंक को देखो।

जिस अंक तक निकटन चाहिए	अगला अंक क्या करे	क्या करना है
अगर अगला अंक 0,1,2,3,4 है	छोटा अंक	कोई बदलाव नहीं
अगर अगला अंक 5,6,7,8,9 है	बड़ा अंक	1 जोड़ दो

🌟 4. अलग-अलग स्थानों तक निकटन करना

🔹 (A) निकटतम दहाई तक (Nearest Ten)

संख्या: 2374
→ इकाई अंक देखो = 4
→ यह 5 से छोटा है ⇒ जैसा है वैसा रखो
उत्तर: 2370

दूसरा उदाहरण:
2378 → इकाई अंक = 8 (5 से बड़ा) ⇒ एक जोड़ दो
उत्तर: 2380

🔹 (B) निकटतम सैकड़ा तक (Nearest Hundred)

संख्या: 2374
→ दहाई अंक देखो = 7
→ यह 5 या अधिक है ⇒ सैकड़ा अंक में +1
उत्तर: 2400

🔹 (C) निकटतम हजार तक (Nearest Thousand)

संख्या: 2374
→ सैकड़ा अंक देखो = 3
→ यह 5 से कम है ⇒ हजार अंक में कोई बदलाव नहीं
उत्तर: 2000

🌟 5. दशमलव संख्या का निकटन (Decimal Rounding)

🔹 एक दशमलव स्थान तक:

संख्या: 7.86
→ दशमलव के बाद पहला अंक (8) और दूसरा अंक (6) है
→ दूसरा अंक = 6 (5 से बड़ा) ⇒ पहला अंक बढ़ जाएगा
उत्तर: 7.9

🔹 दो दशमलव स्थान तक:

संख्या: 12.347
→ तीसरा अंक = 7 (5 से बड़ा) ⇒ दूसरा अंक बढ़ेगा
उत्तर: 12.35

🔹 तीन दशमलव स्थान तक:

संख्या: 9.6352
→ चौथा अंक = 2 (5 से छोटा) ⇒ तीसरा अंक वैसा ही रहेगा
उत्तर: 9.635

🌟 6. निकटन के सामान्य उदाहरण

मूल संख्या	निकटतम दहाई तक	निकटतम सैकड़ा तक	निकटतम हजार तक
842	840	800	1000
2765	2770	2800	3000
14528	14530	14500	15000

🌟 7. दशमलव संख्या के उदाहरण

संख्या	एक दशमलव तक	दो दशमलव तक
5.64	5.6	5.64
5.68	5.7	5.68
12.346	12.3	12.35
9.995	10.0	10.00

🌟 8. जीवन में उपयोग

निकटन का उपयोग हम रोजमर्रा के जीवन में करते हैं:

पैसे गिनने में — ₹99.50 ≈ ₹100
दूरी बताने में — 4.8 km ≈ 5 km
समय बताने में — 2 घंटे 57 मिनट ≈ 3 घंटे
तापमान बताने में — 36.7°C ≈ 37°C

🌟 9. याद रखने लायक बातें

0–4 = घटाओ नहीं (जैसे का तैसा)
5–9 = बढ़ाओ (1 जोड़ दो)
बाकी अंकों को 0 कर दो (यदि पूर्णांक भाग में हों)
दशमलव के बाद की जगह काट दो (यदि दशमलव निकटन हो)

🌟 10. अभ्यास के लिए प्रश्न

427 को निकटतम सैकड़ा तक लिखो।
1386 को निकटतम हजार तक लिखो।
7.46 का एक दशमलव स्थान तक निकटन करो।
15.248 का दो दशमलव स्थान तक निकटन करो।
99.5 का निकटतम पूर्णांक क्या होगा?

क्या आप चाहेंगे कि मैं अब इन अभ्यास प्रश्नों के उत्तर सहित हल भी लिख दूँ ताकि आप तुलना कर सकें और अभ्यास पूरा कर सकें?