बिलकुल! अब हम वैदिक गणित के आठवें उपसूत्र पर अत्यंत विस्तार से चर्चा करेंगे।
यह उपसूत्र है:

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🧠 वैदिक गणित का आठवाँ उपसूत्र – "गुणितासमुच्चयः समुच्चयगुणितः"

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🕉️ 1. शाब्दिक विश्लेषण

शब्द	अर्थ
गुणित	गुणा किया हुआ (Multiplied)
समुच्चयः	कुल योग, संपूर्ण जोड़ (Total or Aggregate)
समुच्चय	एकत्रित योग या जोड़
गुणितः	गुणा किया गया

➤ पूर्ण अर्थ:

“गुणा का समुच्चय, समुच्चय का गुणा होता है।”
(Meaning: The product of sums is equal to the sum of products – under specific mathematical situations.)

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🔍 2. यह उपसूत्र क्या दर्शाता है?

यह उपसूत्र संख्यात्मक समीकरणों की सत्यता की पहचान, संकलन और गुणन के अनुपात और विशेष रूप से लघुगणकीय और सरलीकरण समस्याओं में उपयोग होता है।

यह उपसूत्र विशेषकर इन परिस्थितियों में उपयोगी होता है:

• जब दो या अधिक भिन्न जोड़ और गुणा में सम्मिलित हों
• जब कोई समीकरण सत्य है या नहीं यह जाँचना हो
• विकल्पों के माध्यम से त्वरित जाँच करनी हो

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🧠 3. उपसूत्र का प्रयोग कब करें?

जब कोई समीकरण इस रूप में हो:

{a + b}/{a × b} = {c + d}/{c × d}

या

{a + b + c}/{abc} = {x + y + z}/{xyz}

तो आप इस उपसूत्र का प्रयोग कर सकते हैं।

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🧪 4. उपसूत्र का गणितीय सिद्धांत

यदि हमारे पास दो संख्याएँ हैं:

• a और b
• c और d

यदि,

{a + b}/{ab} = {c + d}/{cd}

तब,

(a + b)× cd = (c + d)× ab

अर्थात:

{गुणितासमुच्चय} = {समुच्चयगुणितः}

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📘 5. उदाहरणों के साथ स्पष्टता

🌟 उदाहरण 1:

जाँचे:

{2 + 3}/{2 × 3} = {1 + 4}/{1 × 4}

बाएँ भाग:

{5}/{6}

दाएँ भाग:

{5}/{4}

❌ दोनों बराबर नहीं हैं।

→ तो यह उपसूत्र लागू नहीं होगा।

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🌟 उदाहरण 2:

जाँचे:

{2 + 4}{2 × 4} = {3 + 3}{3 × 3}

बाएँ भाग:

{6}{8} = {3}{4}

दाएँ भाग:

{6}/{9} = {2}/{3}

❌ बराबर नहीं हैं।

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🌟 उदाहरण 3:

जाँचे:

{4 + 6}{4 × 6} = {5 + 5}{5 × 5}

बाएँ भाग:

{10}/{24} = {5}/{12}

दाएँ भाग:

{10}/{25} = {2}/{5}

❌ नहीं बराबर।

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अब लेते हैं ऐसा उदाहरण जहाँ यह सत्य हो:

🌟 उदाहरण 4:

{2 + 6}{/2 × 6} = {3 + 4}{3 × 4}

बाएँ भाग:

{8}/{12} = {2}/{3}

दाएँ भाग:

{7}/{12} ≠ {2}/{3}

❌ फिर असत्य।

➡ यानी, यह उपसूत्र बहुत सीमित और विशेष परिस्थितियों में लागू होता है। इसीलिए इसे जाँचने या विकल्पों की पुष्टि के लिए प्रयोग करते हैं, न कि समाधान हेतु।

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✅ 6. उपयोग की विधियाँ

📌 विधि 1: समीकरण की सत्यता जाँचना

उपयुक्त जब:

{a + b}/{ab} = {c + d}/{cd}

यदि दोनों भाग बराबर हों, तो यह उपसूत्र पुष्टि करता है।

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📌 विधि 2: विकल्प आधारित परीक्षा

प्रश्न: निम्नलिखित में से कौन-सा विकल्प सही समीकरण दर्शाता है?

A. = {2 + 8}{2 × 8} = {4 + 6}{4 × 6}
B. =  {3 + 9}{3 × 9} = {5 + 7}{5 × 7}

जाँच:

• A: {10}/{16} = {10}/{24}❌
• B: {12}/{27} = {12}/{35}❌

👉 दोनों गलत — उपसूत्र ने तुरंत जाँच दी।

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🔢 7. उपयोग – प्रश्नों को हल करने में

मान लें, आपके पास दो भिन्न हैं:

{a}/{a + b} { और } {c}/{c + d}

यदि आप देखना चाहें कि दोनों बराबर हैं या नहीं — तो दोनों के गुणा और जोड़ के अनुपात की तुलना करें:

{a + b}/{ab} = {c + d}/{cd}

यदि बराबर निकलता है — तो भिन्न बराबर हैं।

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🔂 8. तुलनात्मक दृष्टिकोण से उपसूत्र

उपसूत्र	प्रयोजन
"गुणितासमुच्चयः समुच्चयगुणितः"	समीकरण की त्वरित जाँच
"येनाक्षर सम्भवन्त्येषु"	उत्तर की संभाव्यता पहचानना
"लोपनास्थापनाभ्याम्"	घटाना-जोड़ना मिलाकर समाधान करना

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🧠 9. मानसिक गणना में लाभ

यह उपसूत्र मानसिक रूप से दो चीजें सिखाता है:

1. तुलना का तरीका
2. अनुपात को समझने की आदत

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📘 10. अभ्यास प्रश्न

हल करें:

1. जाँचे: 
2. क्या ?
3. जब ,

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📚 निष्कर्ष (Conclusion)

"गुणितासमुच्चयः समुच्चयगुणितः" एक विशिष्ट उपसूत्र है जो जाँचने, तुलना करने, और समीकरण की सत्यता को परखने में मदद करता है।
यह गणना को मानसिक रूप से तेज, तर्कसंगत और सटीक बनाता है।

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यदि आप चाहें तो मैं इस उपसूत्र पर आधारित एक विशेष अभ्यास पुस्तिका (Workbook) भी तैयार कर सकता हूँ जिसमें:

• 50 उदाहरण,
• 50 प्रश्न,
• मानसिक गणना अभ्यास

शामिल होंगे।

क्या आप उसे चाहते हैं?