विनजीत वैदिक अंकगणित पुस्तक || 1 || अध्याय 17.08.1 || आश्लेषण या वेष्टन द्वारा विभाज्यता
Vinjeet Vedic Arithmetic Book || 1 || Chapter 17.08.1 || analytical or enveloping divisibility
Author
लेखक
ॐ जितेन्द्र सिंह तोमर
M.A., B.Ed., DNYS, MASSCOM
(Specialist in Basic and Vedic Maths)
10/7/28/11/2021
आश्लेषण या वेष्टन या Ocilation द्वारा विभाज्यता या विभाजनीयता (divisibility) जांच के वैदिक नियम
Vedic rules for testing divisibility or division by analysis or veshtan or oscillation.
आइए हम विभाज्यता के उस विशेष वैदिक नियम के बारे में बताने का प्रयास कर रहे हैं। जिसे वैदिक गणित में आश्लेषण या वेष्टन या Ocilation के नाम से जानते हैं।
Let us try to tell about that special Vedic rule of divisibility. Which is known as Analysis or Veshtan or Oscillation in Vedic mathematics.
हमने महसूस किया है कि यह नियम अभाज्य संख्याएं से भाज्यता पर भी अच्छी तरह से लागू होता है।
जो संख्याएं पूर्णतया अभाज्य संख्याएं होती हैं, वहां यह नियम 100% कार्य करता है।
We realized that this rule also applies well to division by prime numbers.
This rule works 100% for numbers which are completely prime.
आइए इस वैदिक विधि को सीखते हैं–>
Let us learn this Vedic Method –>
वह प्रक्रिया जिसके द्वारा वैदिक गणित में अभाज्य संख्याओं से विभाज्यता की जाँच होती है । उसे तकनीकी भाषा में आश्लेषण (या वेष्टन, Ocilation) के नाम से जाना जाता हैं।
The process by which divisibility with prime numbers is checked in Vedic mathematics. In technical language it is known as Ocilation.
आश्लेषण
अश्लेषक की सहायता से विभाज्यता जांचने की प्रक्रिया को आश्लेषण या वेष्टन कहते हैं।
The process of checking divisibility with the help of Ocilatator is called Ocilation.
★ ध्यान रखें कि 1, 3, 7, 9 से अंत होने वाली संख्याओं की विभाज्यता की जाँच, आश्लेषण या वेष्टन द्वारा की जा सकती है।
★ Mind that divisibility of numbers ending with 1, 3, 7, 9 can be checked by Ocilation.
आश्लेषक
आश्लेषण या वेष्टन के लिए प्रयोग की जाने वाली संख्या को आश्लेषक कहते हैं।
The number used for Ocilation is called Ocilatator.
★ यह ध्यान रखें कि किसी सम संख्या या 5 से अंत होने वाली संख्या के लिए आश्लेषक नहीं होता है।
★ Mind that there is no Ocilatator for any even number or number ending with 5.
वैदिक गणित में प्रयुक्त आश्लेषक दो प्रकार के होते हैं। आप अपनी सुविधा के अनुसार दोनों में से किसी एक को या दोनों को अपनी सुविधा अनुसार प्रयोग कर सकते हैं।
There are two types of Ocilatator used in Vedic mathematics. You can use either one or both as per your convenience.
आश्लेषक दो प्रकार के होते हैं-
1.धनात्मक आश्लेषक
2. ऋणात्मक आश्लेषक.
हम धनात्मक (Possative)आश्लेषक के लिए 'P' और ऋणात्मक (Negative) आश्लेषक के लिए 'N' , चिन्हों का प्रयोग करेंगे.
There are two types of Ocilatator -
1.Positive Ocilatator
2. Negative Ocilatator
We will use symbols 'P' for positive Ocilatator and 'N' for negative Ocilatator.
1, 3, 7 और 9 से अंत होने वाली संख्याओं का आश्लेषण या वेष्टन धनात्मक और ऋणात्मक दोनों हो सकते हैं।
Ocilatator of numbers ending with 1, 3, 7, and 9 may be Negative and Positive both.
आश्लेषक (Ocilatator) कैसे ज्ञात करते हैं?
How to find oscillator?
धनात्मक आश्लेषक (P) : 9 से अंत होने वाली संख्याओं का धनात्मक आश्लेषक होता है, जैसे 09, 19, 29, 39, 49, 59, ...139, 149, ... आदि के आश्लेषक को हम निखिलांक को एकाधिक करकेे प्राप्त करते हैं अर्थात इसे एकाधिकेन पूर्वेण से ज्ञात करते हैं।
Positive Ocilatator (P): Numbers ending with 9 have positive Ocilatator, such as 09, 19, 29, 39, 49, 59, ...139, 149, ... etc.
We can calculate the Ocilatator by multiplying the zero number. We know this by Ekaadhiken Purvena Sutra.
* 9 के लिए P = ?
09 में पूर्व अंक या निखिलांक 0 है, और 0 का एकाधिक होगा (•0 = 1)।
इसलिए 09 का आश्लेषक है P =1 होगा।
* For 9 P = ?
The starting digit or starting number in 09 is 0, and will be a multiple of 0 (•0 = 1).
Therefore the Ocilatator of 09 will be P=1.
* 19 के लिए P = ?
19 में पूर्व अंक या निखिलांक 1 है, और 1 का एकाधिक होगा (•1 = 2)।
इसलिए 19 का आश्लेषक है P = 2 होगा।
* For 19 P = ?
The starting number or starting number in 19 is 1, and will be a multiple of 1 (•1 = 2).
Therefore the Ocilatator of 19 will be P = 2.
* 29 के लिए P = ?
29 में पूर्व अंक या निखिलांक 2 है, और 2 का एकाधिक होगा (•2 = 3)।
इसलिए 29 का आश्लेषक है P = 3 होगा।
* For 29 P = ?
The previous digit or starting number in 29 is 2, and will be a multiple of 2 (•2 = 3).
Therefore the Ocilatator of 29 will be P = 3.
* 69 के लिए निखिलांक 6 का एकाधिक = 7 इसलिए P = 7.
* 169 के लिए निखिलांक 16 का एकाधिक = 17 इसलिए P = 17.
* 179 के लिए निखिलांक 17 का एकाधिक = 18 इसलिए P = 18.
* For 49, nikhilaank of 4 = 5 hence P = 5.
*For 69, nikhilaank of 6 = 7 hence P = 7.
* For 169, nikhilaank of 16 = 17, hence P = 17.
* For 179, nikhilaank of 17 = 18, hence P = 18.
इसमें पूर्व अंक को बिना किसी बदलाव के आश्लेषक मान लेते हैं।
Negative Ocilatator (N): The Ocilatator of numbers ending with 1 is negative, such as Ocilatator of 11, 21, 31, 41, 51, ....81, .., 191, ... etc.
In this, the previous number is considered as the Ocilatator without any change.
21 का N = 2;
31 का N = 3;
41 का N = 4;
141 का N =14;
N = 2 for 21;
N = 3 for 31;
N=4 for 41;
N=14 for 141;
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आश्लेषक (Ocilatator) कैसे ज्ञात करते हैं?
How to find oscillator?
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Rule No. 1
धनात्मक आश्लेषक (P) : 9 से अंत होने वाली संख्याओं का धनात्मक आश्लेषक होता है, जैसे 09, 19, 29, 39, 49, 59, ...139, 149, ... आदि के आश्लेषक को हम निखिलांक को एकाधिक करकेे प्राप्त करते हैं अर्थात इसे एकाधिकेन पूर्वेण से ज्ञात करते हैं।
Positive Ocilatator (P): Numbers ending with 9 have positive Ocilatator, such as 09, 19, 29, 39, 49, 59, ...139, 149, ... etc.
We can calculate the Ocilatator by multiplying the zero number. We know this by Ekaadhiken Purvena Sutra.
★ 9 के लिए निखिलांक 0 का एकाधिक => •0 = 1
इसलिए 09 का आश्लेषक P =1 होगा।
* For 09, ekaadhik of nikhilaank 0 = •0 = 1 hence P = 1.
★ 19 के लिए निखिलांक 1 का एकाधिक => •1 = 2
इसलिए 19 का आश्लेषक P =2 होगा।
* For 19, ekaadhik of nikhilaank 1 = •1 = 2 hence P = 2.
★ 29 के लिए निखिलांक 2 का एकाधिक => •2 = 3
इसलिए 29 का आश्लेषक P =3 होगा।
* For 29, ekaadhik of nikhilaank 2 = •2 = 3 hence P = 3.
★ 39 के लिए निखिलांक 3 का एकाधिक => •3 = 4
इसलिए 39 का आश्लेषक P =4 होगा।
* For 39, ekaadhik of nikhilaank 3 = •3 = 4 hence P = 4.
★ 69 के लिए निखिलांक 6 का एकाधिक => •6 = 7
इसलिए 69 का आश्लेषक P =7 होगा।
* For 69, ekaadhik of nikhilaank 6 = •6 = 7 hence P = 7.
★ 99 के लिए निखिलांक 9 का एकाधिक => •9 = 10
इसलिए 99 का आश्लेषक P =10 होगा।
* For 99, ekaadhik of nikhilaank 9 = •9 = 10 hence P = 10.
★ 109 के लिए निखिलांक 10 का एकाधिक => •10 = 11
इसलिए 109 का आश्लेषक P =11 होगा।
* For 109, ekaadhik of nikhilaank 10 = •10 = 11 hence P = 11.
★ 119 के लिए निखिलांक 11 का एकाधिक => •11 = 12
इसलिए 119 का आश्लेषक P =12 होगा।
* For 119, ekaadhik of nikhilaank 11 = •11 = 12 hence P = 12.
★ 169 के लिए निखिलांक 16 का एकाधिक => •16 = 17
इसलिए 169 का आश्लेषक P =17 होगा।
* For 169, ekaadhik of nikhilaank 16 = •16 = 17 hence P = 17.
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Rule No. 2
धनात्मक आश्लेषक (P) : 7 से अंत होने वाली संख्याओं का आश्लेषक भी धनात्मक होता है, जैसे 17, 27, 37, 47, 57, ...137, 147, ...
7 से अंत होने वाली संख्याओं के आश्लेषक ज्ञात करने के लिए संख्या में 7 से गुणा करने पर हमें 9 से अंत होने वाली संख्या प्राप्त होती है।
हम जानते हैं कि 9 से अंत होने वाली संख्या के निखिलांक के एकाधिक को इनका आश्लेषक माना जाता हैं।
Rule No. 2
Positive Ocilatator (P): The Ocilatator of numbers ending with 3 is also positive, like 03, 13, 23, 33, 43, 53, ...133, 143, ...
To find the Ocilatator of numbers ending with 3, by multiplying the number by 3, we get the number ending with 9.
We know that the ekaadhik of the nikhilaank of numbers ending with 9 are considered their Ocilatator by Rule 1.
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Rule No. 3
धनात्मक आश्लेषक (P) : 3 से अंत होने वाली संख्याओं का आश्लेषक भी धनात्मक होता है, जैसे 03, 13, 23, 33, 43, 53, ...133, 143, ...
3 से अंत होने वाली संख्याओं के आश्लेषक ज्ञात करने के लिए संख्या में 3 से गुणा करने पर हमें 9 से अंत होने वाली संख्या प्राप्त होती है।
हम जानते हैं कि 9 से अंत होने वाली संख्या के निखिलांक के एकाधिक को इनका आश्लेषक माना जाता हैं।
Rule No. 3
Positive Ocilatator (P): The Ocilatator of numbers ending with 3 is also positive, like 03, 13, 23, 33, 43, 53, ...133, 143, ...
To find the Ocilatator of numbers ending with 3, by multiplying the number by 3, we get the number ending with 9.
We know that the ekaadhik of the nikhilaank of numbers ending with 9 are considered their Ocilatator by Rule 1.
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Rule No. 4
Positive Ocilatator (P): The Ocilatator of numbers ending with 1 is also positive, like 11, 21, 31, 41, 51, ...131, 141, ...
To find the Ocilatator of numbers ending with 1, by multiplying the number by 9, we get the number ending with 9.
We know that the ekaadhik of the nikhilaank of numbers ending with 9 are considered their Ocilatator by Rule 1.
Rule No. 4
धनात्मक आश्लेषक (P) : 1 से अंत होने वाली संख्याओं का आश्लेषक भी धनात्मक होता है, जैसे 11, 21, 31, 41, 51, ...131, 141, ...
1 से अंत होने वाली संख्याओं के आश्लेषक ज्ञात करने के लिए संख्या में 9 से गुणा करने पर हमें 9 से अंत होने वाली संख्या प्राप्त होती है।
हम जानते हैं कि 9 से अंत होने वाली संख्या के निखिलांक के एकाधिक को इनका आश्लेषक माना जाता हैं।
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Rule No. 1
ऋणात्मक आश्लेषक (N) : 1 से अंत होने वाली संख्याओं का आश्लेषक ऋणात्मक होता है, जैसे 11, 21, 31, 41, 51, ....81, .., 191, ... आदि के आश्लेषक।
इसमें पूर्व अंक को बिना किसी बदलाव के आश्लेषक मान लेते हैं।
Negative Ocilatator (N): The Ocilatator of numbers ending with 1 is negative, such as Ocilatator of 11, 21, 31, 41, 51, ....81, .., 191, ... etc.
In this, the nikhilaank is considered as the Ocilatator without any change.
21 का N = 2;
31 का N = 3;
41 का N = 4;
141 का N =14;
N = 2 for 21;
N = 3 for 31;
N=4 for 41;
N=14 for 141;
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Rule No. 2
ऋणात्मक आश्लेषक (P) : 3 से अंत होने वाली संख्याओं का आश्लेषक भी ऋणात्मक होता सकता है, जैसे 03, 13, 23, 33, 43, 53, ...133, 143, ...
3 से अंत होने वाली संख्याओं के आश्लेषक ज्ञात करने के लिए संख्या में 7 से गुणा करने पर हमें 1 से अंत होने वाली संख्या प्राप्त होती है।
हम जानते हैं कि 1 से अंत होने वाली संख्या के निखिलांक के एकाधिक को इनका आश्लेषक माना जाता हैं।
Rule No. 2
Negative Ocilatator (P): The Ocilatator of numbers ending with 3 is also Negative, like 03, 13, 23, 33, 43, 53, ...133, 143, ...
To find the Ocilatator of numbers ending with 3, by multiplying the number by 7, we get the number ending with 1.
We know that the nikhilaank of numbers ending with 1 is considered as the Ocilatator without any change by Rule 1.
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Rule No. 3
ऋणात्मक आश्लेषक (P) : 7 से अंत होने वाली संख्याओं का आश्लेषक भी ऋणात्मक होता है, जैसे 07, 17, 27, 37, 47, 57, ...137, 147, ...
7 से अंत होने वाली संख्याओं के आश्लेषक ज्ञात करने के लिए संख्या में 3 से गुणा करने पर हमें 1 से अंत होने वाली संख्या प्राप्त होती है।
हम जानते हैं कि 1 से अंत होने वाली संख्या के निखिलांक के एकाधिक को इनका आश्लेषक माना जाता हैं।
Rule No. 3
Negative Ocilatator (P): The Ocilatator of numbers ending with 3 is also Negative, like 07, 17, 27, 37, 47, 57, ...137, 147, ...
To find the Ocilatator of numbers ending with 7, by multiplying the number by 3, we get the number ending with 1.
We know that the ekaadhik of the nikhilaank of numbers ending with 1 are considered their Ocilatator by Rule 1.
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Rule No. 4
ऋणात्मक आश्लेषक (P) : 9 से अंत होने वाली संख्याओं का आश्लेषक भी ऋणात्मक होता है, जैसे 09, 19, 29, 39, 49, 59, ...139, 149, ...
9 से अंत होने वाली संख्याओं के आश्लेषक ज्ञात करने के लिए संख्या में 9 से गुणा करने पर हमें 1 से अंत होने वाली संख्या प्राप्त होती है।
हम जानते हैं कि 1 से अंत होने वाली संख्या के निखिलांक के एकाधिक को इनका आश्लेषक माना जाता हैं।
Rule No. 4
Negative Ocilatator (P): The Ocilatator of numbers ending with 9 is also Negative, like 09, 19, 29, 39, 49, 59, ...139, 149, ...
To find the Ocilatator of numbers ending with 9, by multiplying the number by 9, we get the number ending with 1.
We know that the ekaadhik of the nikhilaank of numbers ending with 1 are considered their Ocilatator by Rule 1.
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कुछ महत्वपूर्ण बिंदु :-
Some important topics:-
(1) 3 से अंत होने वाली संख्या में क्रमशः 7 और 3 गुणा कर दें तो 1 और 9 से अंत होने वाली संख्या मिल जाएगी। जिनके आश्लेषक आप ज्ञात कर सकते हैं।
(1) If you multiply the numbers ending with 3 by 7 and 3 respectively, you will get numbers ending with 1 and 9. Whose Ocilatator you can know.
(2) 7 से अंत होने वाली संख्याओं में क्रमशः 3 और 7 गुणा कर दें तो 1 और 9 से अंत होने वाली संख्या मिल जाएगी। इनके आश्लेषक भी आप ज्ञात कर सकते हैं।
(2) If we multiply the numbers ending with 7 by 3 and 7 respectively, we will get the numbers ending with 1 and 9. Whose Ocilatator you can know.
(3) साथ ही 1 और 9 से भी अंत होने वाली संख्याओं में क्रमशः 9 और 1 से गुणा कर दें तो 9 और 1 से अंत होने वाली संख्या मिल जाएगी।
(3) Also, if the numbers ending with 1 and 9 are multiplied by 9 and 1 respectively, then the numbers ending with 9 and 1 will be obtained.
इन तीनो बिन्दुओं से पता चलता है कि 1, 3, 7, या 9 किसी भी अंक से अंत करने वाले संख्या का आश्लेषक धनात्मक (Possative) 'P' और ऋणात्मक (Negative) 'N' दोनों होंगे।
These three points show that the Ocilatator of any number ending with 1, 3, 7, or 9 will be both positive 'P' and negative 'N'.
* अब यह भी याद रखें कि अगर X के दोनों आश्लेषक P और N हैं, तो P + N = X होगा।
* Now also remember that if both the Ocilatator of X are P and N, then P + N = X.
* दोनों आश्लेषकों में जो छोटा होता है, हम उसी का प्रयोग करते हैं। अगर X का एक आश्लेषक पता है तो दूसरा X में से घटा कर निकाल सकते हैं।
* We use the one which is smaller in both the oscillator.
If we know the one oscillator of the number then we will get the other oscillator by subtracting the first oscillator from the number.
उदाहरण :- 7 का आश्लेषक क्या होगा?
हल:- 7x7 = 49, इसलिए 7 का P = (4 का एकाधिक) = 5 होगा।
P = 5
और दूसरा 7x 3 = 21, इसलिए 7 का N = 2 होगा।
N = 5
यहाँ स्पष्ट है कि P + N = 7
Example:- What will be the oscillator of 7?
Solution:- 7x7 = 49, hence P of 7 = (ekaadhik of 4) = 5.
P = 5
And second 7x 3 = 21, so N of 7 will be 2.
N = 2
Here it is clear that P + N = 7
उदाहरण:- 29 का आश्लेषक क्या होगा?
हल:- 29 का आश्लेषक
हल:- 29 का आश्लेषक
P = 3
[ और N = X – P = 29 – 3 = 26]
Example:- What will be the oscillator of 29?
Solution:- Analyst of 29
P = 3
[And N = X – P = 29 – 3 = 26]
उदाहरण:- 37 का आश्लेषक क्या होगा?
हल:- 37 x 3 = 111 इसलिए N = 11 होगा।Example:- What will be the oscillator of 37?
Solution:- 37 x 3 = 111 hence N = 11.
आश्लेषण (oscillation) कैसे किया जाता है ?
How is oscillation done?
संख्या = (निखिलांक) + चरमांक × आश्लेषक
Number = (Nikhilank) + Charamank × oscillator
पुनः, पुनः यही विधि अपनाते जाते हैं । यह कैसे करते हैं हम नीचे बताने का प्रयास कर रहे हैं कृपया इसे ध्यान से समझ लीजिए।
Again and again the same method is used. We are trying to explain below how to do this, please understand it carefully.
* P के द्वारा abcde का P से आश्लेषण करेंगे तो होगा: abcd + e. P
* If we oscillat abcde with P then it will be: abcd + e. P
* N के द्वारा abcde का N से आश्लेषण करेंगे तो होगा: abcd - e. N
* If we oscillat abcde with N then it will be: abcd + e. N
इसे एक उदाहरण से समझते हैं।
Let us understand this with an example.
उदाहरण
ज्ञात करो 63, 7 से विभाज्य है या नहीं ?
हल: 7 का P = 5;
63 का आश्लेषण :
= 6 + 3 x (P)
= 6 + 3 x 5
= 21
अब पुनः 21 का आश्लेषण :
2 + 1 x 5
= 2 + 5
= 7.
हम देख रहे हैं की आश्लेषण करने के बाद 21 आया जो की 7 भाज्य है और फिर 21 का भी आश्लेषण कर देने पर 7 ही आ गया। इसलिए 63, 7 से विभाज्य है।
हम देख रहे हैं की आश्लेषण करने के बाद 21 आया जो की 7 भाज्य है और फिर 21 का भी आश्लेषण कर देने पर 7 ही आ गया। इसलिए 63, 7 से विभाज्य है।
Example
Find out whether 63 is divisible by 7 or not?
Sol. P of 7 = 5;
oscillation of 63:
= 6 + 3 x (P)
= 6 + 3 x 5
= 21
Now again oscillat of 21:
2 + 1 x 5
= 2 + 5
= 7.
We see that after oscillation we got 21 which is divisible by 7 and then after oscillation 21 also we got 7. Therefore 63 is divisible by 7.
निम्नलिखित संख्याओं की 7 से विभाज्यता जांचते है।
हम जानते हैं कि 7 की विभाज्यता के लिए धनात्मक अश्लेषक 5 तथा ऋणात्मक अश्लेषक 2 होता है।
धनात्मक आश्लेषक P = 5 से विभाज्यता जांच
(1) क्या 1435, 7 से विभाज्य है?
हल:
हम जानते हैं कि 7 से विभाज्यता ज्ञात करने के लिए अश्लेषक 5 का उपयोग किया जाता है।
अतः
1435: 143 + 5 x 5 = 168;
168 : 16 + 8 x 5 = 56
(56, 7 से विभाज्य है।)
इसलिए हम कह सकते हैं कि हां, संख्या 1435 अंक 7 से पूर्णतया विभाज्य है।
1435 :
143 –5 x 2 =133;
133 :
13 – 3 x 2 = 7
(अतः 1435, 7 से विभाज्य है)
(2) क्या 55277838, 7 से विभाज्य है?
हल:
हम जानते हैं कि 7 से विभाज्यता ज्ञात करने के लिए अश्लेष 5 का उपयोग किया जाता है।
अतः
55277838 :
5527783 + 8 x 5 = 5527823
5527823 :
552782 + 3 x 5 = 552797
552797 :
55279 + 7 x 5 = 55314
55314 :
5531+4x5 = 5551
5551 :
555 + 1 x 5 = 560
560 :
56+0x5 =56
(56, 7 से विभाज्य है।)
इसलिए हम कह सकते हैं कि हां, संख्या 55277838 अंक 7 से पूर्णतया विभाज्य है।
ऋणात्मक आश्लेषक N = 2 से विभाज्यता जांच
55277838 :
5527783 – 8 x 2 = 5527767
5527767 :
5527767 :
552776 –7 x 2 = 552762
552762 :
552762 :
55276 – 2 x 2 = 55272
55272 :
55272 :
5527 – 2 x 2 = 5523
5523 :
5523 :
552– 3 x 2 = 546
546 :
546 :
54 – 6 x 2 = 42
(42, 7 से विभाज्य है।)
इसलिए हम कह सकते हैं कि हां, संख्या 55277838 अंक 7 से पूर्णतया विभाज्य है।
अब देखते हैं की कोई संख्या 29 से विभाज्य है या नहीं।
उदाहरण:- 567821, 29 से विभाज्य है या नहीं?
हल:- 29 का P = 3
क्रमवार आश्लेषण होगा:
उदाहरण:- 567821, 29 से विभाज्य है या नहीं?
हल:- 29 का P = 3
क्रमवार आश्लेषण होगा:
567821
56782 + 1 x 3 = 56785
56785
5678 + 5 x 3 = 5693
5693
593 + 3 x 3 = 578
578
57 + 8 x 3 = 42
81,
8 + 1 x 3 = 11
स्पष्ट है 11, 29 से बहुत छोटा है। इसलिए हम तुलना 81 से करते हैं और यह भी स्पष्ट है कि 81, 29 से विभाज्य नहीं है। अतः दी गई संख्या भी 29 से विभाज्य नहीं है।
उदाहरण:- 6952135, 31से विभाज्य है या नहीं?
हल:- 31 का N = 3
क्रमवार आश्लेषण होगा: 6952135, 695198, 69495, 6936, 675, 52
स्पष्ट है की 52, 21 से विभाज्य नहीं है. दी गई संख्या भी 31 विभाज्य नहीं है।
अगर आप इसे समझ गए है तो फिर आश्लेषण की और आसान विधि है उसे देखिये -----------
आश्लेषण की आसान विधि
हमने पहले 55277838 की 7 से विभाज्यता जाँच करने के लिए धनात्मक आश्लेषक P = 5 का प्रयोग किया था।
उदाहरण:- 6952135, 31से विभाज्य है या नहीं?
हल:- 31 का N = 3
क्रमवार आश्लेषण होगा: 6952135, 695198, 69495, 6936, 675, 52
स्पष्ट है की 52, 21 से विभाज्य नहीं है. दी गई संख्या भी 31 विभाज्य नहीं है।
अगर आप इसे समझ गए है तो फिर आश्लेषण की और आसान विधि है उसे देखिये -----------
आश्लेषण की आसान विधि
हमने पहले 55277838 की 7 से विभाज्यता जाँच करने के लिए धनात्मक आश्लेषक P = 5 का प्रयोग किया था।
अगर आप अश्लेषण के जानकार हैं; तो आप बड़ी से बड़ी संख्या को मौखिक रूप से एक पंक्ति में अश्लिलशित कर सकते हैं।
जैसे नीचे एक पंक्ति में किया गया है।
5 5 2 7 7 8 3 8
³⁵ ⁰⁶ ¹⁰ ³¹ ⁴⁴ ²⁷ ⁴³
- सबसे दायें के 8 को 5 से गुणा कर उसमें बाएं का 3 जोड़ दीजिये। 5 × 8 + 3 = 43.
- अब पुनः 43 का आश्लेषण कर उसमें (3 के बाएं का) 8 जोड़ दीजिये। (4 + 5 × 3) + 8 = 5 × 3 + 4 + 8 = 27.
- अब पुनः 27 का आश्लेषण कर, (8 के बाएं का) 7 उसमें जोड़ दीजिये। 7 × 5 + 2 + 7 = 44.
- अब पुनः 44 का आश्लेषण कर, 7 जोड़ दीजिए। 5 × 4 + 4 + 7 = 31.
- अब पुनः 31 का आश्लेषण कर, 2 जोड़ दीजिये।1 × 5 + 3 + 2 = 10.
- अब पुनः 10 का आश्लेषण कर,5 जोड़ दीजिये। 0 × 5 +1+ 5 = 06.
- अब पुनः 6 या 06 का आश्लेषण कर ,5 जोड़ दीजिये। 6 × 5 + 0 + 5 = 35.
- अब कोई भी अंक जोड़ने के लिए शेष नहीं बचा है इसलिए हम रूकना होता हैं। अंततः हमें संख्या 35 मिली जो की 7 से विभाज्य है, अतः दी गई संख्या भी 7 से विभाज्य है।
- यह एक लाइन में ही बन सकता है ...........इस प्रकार...
5 5 2 7 7 8 3 8
³⁵ ⁰⁶ ¹⁰ ³¹ ⁴⁴ ²⁷ ⁴³
एक लाइन में--
5 5 2 7 7 8 3 8 2'
⁰ ¹³ ⁴' ³ ²' ¹³ ¹³'
नए तरह से ....(ऋणात्मक आश्लेषक द्वारा)---
N = – 2 का प्रयोग करें तो थोड़ा जटिल कार्य होगा इसलिए हम N = – 2 का प्रयोग करेंगे।
- 8 को –2 से गुणा कर 3 जोड़ देंगे 8×(–2) +3 = –13.
- –13 का –2 से आश्लेषण कर, 8 जोड़ दीजिये. [(–1)+ (–3)×(–2)] + 8=13.
- 13 का –2 से आश्लेषण कर,7 जोड़ दीजिये. 3×(–2)+1+7=2.
- 2 या 02 का –2 से आश्लेषण कर,7 जोड़ दीजिये. 2×(–2)+0+7= 3.
- 3 का –2 से आश्लेषण कर, 2 जोड़ दीजिये. 3×(–2)+0+2= -4.
- –4 का –2 से आश्लेषण कर, 5 जोड़ दीजिये. (–4)×(–2)+0+5= 13.
- 13 का –2 से आश्लेषण कर, 5 जोड़ दीजिये 3×(–2)+1+5=0.
- 0 आया जो कि 7 से विभाज्य है अतः दी गई संख्या भी 7 से विभाज्य है.
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