विनजीत वैदिक अंकगणित पुस्तक || 1 || अध्याय 19.00 || वर्ग एवं वर्गमूल के सूत्र

Vinjeet Vedic Arithmetic Book || 1 || Chapter 19.00 || Square and square root formulas

Author

लेखक

ॐ जितेन्द्र सिंह तोमर

(M.A., B. Ed., MASSCOM, DNYS )

(Specialist in Basic and Vedic Maths)

Square: - The product of a number and itself is known as the square of the number or complete square or square.

Number Í Number = (Number)²

वर्ग :- किसी संख्या की उसी संख्या में गुणा करने पर प्राप्त संख्या उस संख्या की वर्ग कहलाती है।

संख्या × संख्या = (संख्या)²

Learn the square of one to thirty.

1 से 30 तक की संख्याओं के वर्ग याद करो

In Vedic culture, mathematics was given equal importance as the Vedas. The proof of this is that he has described it as the best among all the sciences.

वैदिक संस्कृति में गणित को वेदों के समान ही महत्व दिया गया था। इस बात का प्रमाण यह है कि उन्होंने इसे सभी विद्या में सर्वश्रेष्ठ बताया है। 

यथा शिखा मयूराणां नागानां मणयो यथा।

तथा वेदांगशास्त्राणां गणितं मूर्ध्नि स्थितम्॥ 

(वेदांग ज्योतिष)

अर्थात जिस प्रकार मोरों में शिखा (कलगी) और नागों में मणि का स्थान सबसे ऊपर है, उसी प्रकार सभी वेदांग और शास्त्रों मे गणित का स्थान सबसे ऊपर है।

That is, just as  crown (crest) has the highest place among peacocks and gem (mani) has the highest place among snakes, in the same way mathematics has the highest place in all the Vedic scriptures.

In the algebraic branch of mathematics, Shridharacharya ji has revealed a famous identity.

गणित की बीजगणितीय शाखा में श्रीधराचार्य जी ने एक प्रसिद्ध सर्वसमिका प्रकट की है। 

इष्टोनयुतवधो वा तदिष्ट-वर्गान्वितो वर्गाः। 

                             ( —त्रिशतिका, श्लोक - 11) 

अर्थात 

जिस संख्या का वर्ग करना है, उसमें किसी इष्ट संख्या को घटावें तथा उसमें उसी को जोड़े। पुनः घटाई गई तथा जोड़ी गई संख्या का आपस में गुणन करें तथा तथा इस गुणनफल में इष्ट संख्या को जोड़ने से उस संख्या का वर्ग प्राप्त होता है। 

In other words

The number to be squared. Subtract any desired number from it and add the same to it. Again multiply the subtracted and added numbers among themselves and by adding the desired number to this product, the square of that number is obtained.

In the language of mathematics, this rule is written like this –

गणित की भाषा में इस नियम को इस प्रकार लिखते हैं —

a² = ( a + b) × ( a – b) + b² 

Now the identity we are writing. She must be well known to you. The only difference is that the number containing the minus has been transposed and moved to the other side.

अब हम जिस सर्वसमिका को लिख रहे हैं। वह अपने अच्छे प्रकार से जानी पहचानी होगी, फर्क केवल इतना है कि उसमें से माइनस वाली संख्या को पक्षांतरण करके दूसरी तरफ ले जाया गया है।

a² – b² = ( a + b) × ( a – b)

अथवा Or

a² = ( a + b) × ( a – b) + b² 

Similarly, in Lilavati written by Bhaskaracharya Ji, there is a description of another identity to find the square in a different way.

इसी प्रकार भास्कराचार्य जीद्वारा लिखित लीलावती में भी एक अन्य तरीके से वर्ग निकालने की एक और सर्वसमिका का वर्णन मिलता है।

भास्कराचार्य के सूत्र :- 

खण्डद्वयस्याभिहतिर्द्विनिघ्नी तत्खण्डवर्गैक्ययुता कृतिर्वा ।

      ( —लीलावती, अभिन्नपरिकर्माष्टक, श्लोक - 9) 

अर्थात 

जिस संख्या का वर्ग करना हो उसका दो खण्ड करके, उन खण्डों के गुणनफल के द्विगुणित को उन खण्डों के वर्ग-योग के साथ जोड़ने से संपूर्ण संख्या का वर्ग प्राप्त होता है। 

In other words

By dividing the number to be squared into two parts and adding the double of the product of those parts with the square sum of those parts, the square of the entire number is obtained.

In the language of mathematics, this rule is written like this –

गणित की भाषा में इस नियम को इस प्रकार लिखते हैं —

( a + b) ² = a ² + b ² + 2 a b 

The author of Ganita-Kaumudi has also presented another identity for finding the square in this way.

गणित-कौमुदी के लेखक ने भी वर्ग निकालने की एक और सर्वसमिका को इस प्रकार प्रस्तुत किया है। 

वर्गयुतिः प्रथमा स्यादभिष्टायोराहतिर्द्विगुणिताअ्न्य। 

संयोगे च वियोगे च पृथक् तयोर्जायते वर्गः ।। 

अर्थात 

किन्हीं दो अभीष्ट संख्याओं के वर्ग का जोड़ तथा उन अभीष्ट संख्याओं के गुणनफल का द्विगुणन, ये दो ऐसी राशियाँ है, जिनका जोड़ तथा घटाव वर्ग बनता है। 

In other words

Addition of square of any two desired numbers and doubling of the product of those desired numbers are two quantities whose addition and subtraction form a square.

In the language of mathematics, this rule is written like this –

इससे प्राप्त व्यापक सूत्र को गणितीय भाषा में इस प्रकार लिखते हैं —

( a ± b) ² = a ² + b ² ± 2 a b 

आइए वर्ग निकालना सीखें

सबसे पहले हमें 10 तक की संख्याओं के वर्ग याद करने हैं। चलो पहले सबसे पहले एक से 10 तक की संख्याओं के वर्ग लिख लेते हैं और फिर उन्हें याद कर लेते हैं।

Let's learn how to find square

First of all we have to remember squares of numbers up to 10. Let us first write the squares of numbers from 1 to 10 and then memorize them.

Number.      Number².         Square of the No.

संख्या             संख्या²             संख्या का वर्ग

0                        0²                         0

1                        1²                         1

2                        2²                         4

3                        3²                         9

4                        4²                       16

5                        5²                       25

6                        6²                       36

7                        7²                       49

8                        8²                       64

9                        9²                       81

10                   10²                     100

Square and square root formulas

* The product obtained by multiplying a number with the same number is called the square of that number and that number is called the square root of that product.

* The square of a number n is represented by n², while the square root is represented by √n.

वर्ग एवं वर्गमूल के सूत्र

* किसी संख्या को उसी संख्या से गुणा करने पर जो गुणनफल प्राप्त होता है, उस गुणनफल को उस संख्या का वर्ग कहते हैं तथा उस संख्या को उस गुणनफल का वर्गमूल कहते हैं।

* किसी संख्या n के वर्ग को n² से प्रदर्शित किया जाता है, जबकि वर्गमूल को √n से प्रदर्शित किया जाता है।

Perrfect square: - A Number is called Perrfect square if it is the square of some Natural Number. For example 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 is the perfect square of 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

 पूर्ण वर्ग संख्याएँ :- वे संख्याऐं जिनके वर्गमूल निकाले जा सकते हैंं। पूर्ण वर्ग संख्याऐं कहलाती हैं। जैसे 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100  आदि पूर्ण वर्ग संख्याऐं है क्योंकि इनके वर्गमूल निकाले जा सकते हैं जो क्रमशः 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 हैं।

* किसी संख्या के वर्ग में अंकों की संख्या, उस संख्या के अंकों के दोगुने या दोगुने से 1 कम होती है।

* यदि संख्या में m अंक है , तो उसके वर्ग में अंकों की संख्या 2m या ( 2m – 1 ) होगी।

* Number of digits in the square of a number; is 1 less than twice or twice the digits of that number.

* If the number has m digits, then the number of digits in its square will be 2m or (2m – 1).

संख्या और उस संख्या के वर्ग में इकाई का अंक

Number and the units digit in the square of that number

1, 9                          1

2, 8                          4

3, 7                          9

4, 6                          6

 5                             5

 0                             0

* A complete square never ends with 2, 3, 7 and 8.

* किसी भी संख्या के वर्ग में इकाई स्थान पर 2, 3, 7 व 8 कभी भी नहीं आता है।

Square of any number is also comes by adding all odd numbers

किसी भी संख्या का वर्ग ज्ञात करने के लिए उतनी ही विषम संख्याओं को जोड़ दीजिए।

1² = 1 = 1

2² = 4 = 1+ 3

3² = 9 = 1+ 3 + 5

4² = 16 = 1+ 3 + 5 + 7

5² = 25 = 1+ 3 + 5 + 7 + 9 

6² = 36 = 1+ 3 + 5 + 7 + 9 + 11

7² = 36 = 1+ 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13

8² = 36 = 1+ 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 +   15

9² = 36 = 1+ 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17

10² = 36 = 1+ 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19

It shows that the sum of first 'n' odd numbers equals to 'n²'.

Number between two regular square numbers

(n+1)² –(n)² = 2(n) + 1

5⁵–4⁴ = 2(4)+ 1 = 8 + 1 = 9

15⁵–14⁴ = 2(14)+ 1 = 28 + 1 = 29

10⁵–9⁴ = 2(9)+ 1 = 18 + 1 = 19

Product Of Two Consecutive Even Odd Number

(a – 1)(a + 1) = a² – 1

11 × 13 

= (12 – 1)(12 + 1)

= (12)² – 1

= 144 – 1

= 143

* The square root of a number less than 1 is always greater than that number.

* 1 से छोटी संख्या का वर्गमूल उस संख्या से हमेशा बड़ा होता है।

* Square root of a negative number is an limaginary number.

* ऋणात्मक संख्याओं का वर्गमूल एक काल्पनिक संख्या होती है।

* वर्ग निकालने की कुछ विधिय इस प्रकार हैं।

01. पारंपरिक गुणन विधि

02. पारंपरिक सूत्र विधि

03. केवल 1 से बनी संख्याओं का वर्ग

04. शून्यांत संख्याओं का वर्ग निकालना

05. पाचांत संख्याओं का वर्ग निकालना

06. एकाधिकेन सूत्र वर्ग निकालना

07. 50 और 60 के बीच की संख्याओं के वर्ग

08. ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् सूत्र से वर्ग निकालना (दाएं से बाएं व बाएं से दाएं)

09. निखिलम सूत्र आधार व उपाधार द्वारा वर्ग निकालना

10. द्वंद योग से वर्ग निकालना

11. संकलन-वयवकलन या ईस्ट संख्या विधि से वर्ग निकालना

12. यावदूनी तावदूनी सूत्र से वर्ग निकालना

13. उपसूत्र आन्यूरूपेण द्वारा वर्ग निकालना

14. दो अंको (10 से 99 तक) की संख्या का वर्ग करना।

* Some methods of finding the square are as follows.

01. Traditional Multiplication Method

02. Traditional Sutra Method

03. Square of numbers consisting only of 1

04. Finding the square of zero ending numbers

05. Finding Squaring the 5 ending numbers

06. Squaring by ekaadhiken formula

07. Squares of numbers between 50 and 60

08. Finding square from Urdhvatiryagbhayam formula (right to left and left to right)

09. Finding square using Nikhilam Sutra (base and Upadhyaya)

10. Finding square from dual sum

11. Finding the square by addition-subtraction (sankalan-vayavakalan) or East number method

12. Finding square from Yavaduni Taavduni formula

13. Finding the square by sub-formula (upasootr aanyooroopen).

14. Squaring of two digit numbers (from 10 to 99).

* वर्तमान में वर्गमूल दो विधियों द्वारा निकाला जाता है 

     (i) गुणनखण्ड विधि 

     (ii) भाग विधि

* At present, the square root is found by two methods

      (i) Factorization method

      (ii) Division method

* बड़ी संख्या का वर्गमूल भाग विधि द्वारा निकालना चाहिए।

* The square root of a large number should be found by using the division method.

* यदि किसी संख्या में दशमलव के बाद अंकों की संख्या विषम हो तो अन्त में एक शून्य लगाएं।

* If any number has an odd number of digits after the decimal, then add a zero at the end.

* किसी संख्या में दशमलव के बाद जितने अंक होते हैं , वर्गमूल में दशमलव के बाद उसके आधे अंक होते हैं , जैसे किसी संख्या में दशमलव के बाद 4 अंक हैं, तो वर्गमूल में 2 अंक, जैसे:- √0.09 = 0.3

* The number of digits after the decimal in a number is equal to half the digits after the decimal in the square root, like if a number has 4 digits after the decimal, then the square root has 2 digits, like:- √0.09 = 0.3

* एक या दो अंकों वाली संख्या का वर्गमूल एक अंक वाली संख्या होती है . तीन या चार अंक वाली संख्या का वर्गमूल दो अंकों वाली संख्या होती है 5 या 6 अंकों वाली संख्या का वर्गमूल 3 अंकों वाली संख्या तथा 6, 7 और 8 अंकों वाली संख्या का वर्गमूल 4 अंकों वाली संख्या होती है।

* The square root of a one or two digit number is a one digit number. The square root of a 3 or 4 digit number is a 2 digit number, the square root of a 5 or 6 digit number is a 3 digit number and the square root of a 6, 7 and 8 digit number is a 4 digit number.

* Square root of the numbers ended with 2, 3, 7 and 8 always in decimal form.

* यदि किसी संख्या में इकाई के स्थान पर 2, 3, 7 या 8 हो, तो उस संख्या का वर्गमूल पूरा–पूरा नहीं निकलता। अतः दशमलव संख्या में प्राप्त होता है।

* square root of odd number is odd and even number is even.

* सम संख्या का वर्गमूल सम व विषम संख्या का वर्गमूल विषम होता है।

* Zero in the end of a complete square never becomes in odd numbers.

* किसी पूर्ण वर्ग संख्या के अन्त में शून्यों की संख्या कभी भी विषम नहीं होती।

* square of odd number is odd and even number is even.

* सम संख्या का वर्ग सम , विषम संख्या का वर्ग विषम होता है।

* 1 को छोड़कर किसी भी संख्या का वर्ग 3 या 4 के गुणज से 1 अधिक होता है , अथवा 3 या 4 का गुणज होता है।

* The square of any number except 1 is 1 more than the multiple of 3 or 4, or is a multiple of 3 or 4.

यदि n कोई धन पूर्णांक है, तो

If n is any positive integer, then

(n + 1)² – n² = ( n + 1 + n ) ( n + 1 – n)
= ( 2n + 1 )
यथा
(6)² – (5)² = (2 × 5 + 1)
= 11

दो अंकों की संख्या जिसके इकाई स्थान पर 5 हो , का वर्ग निम्न प्रकार करते हैं

A two digit number having 5 at its units place is squared as follows:

(a5)² = a(a+1)/5²

(25)² = 2 × 3 ( सैकड़े ) + 52
= 2 × 300 + 25
= 625
तथा
(35)² = 3 × 4 ( सैकड़े ) + 52
= 3x 400 + 25
= 1225

वर्ग एवं वर्गमूल से सम्बंधित सर्वसमिकाएँ :

Identities related to square and square root:

• √ab = √a × √b
• (ab)½ = √ab = (a)½ × (b)½
• √a/b = √a/√b
• (ab)½ = √a/b = a½b½
• (a+b)² = a² + 2ab + b²
• (a –b)² = a² – 2ab + b²
• (a+b)² + (a–b)² = 2(a² + b²)
• (a+b)² – (a–b)² = 4ab)
• (a+b)⁴ – (a –b)⁴ = 8ab(a² + b²)

Pythagorean Triplets: - the triplet which follows the rule of Pythagoras is known as Pythagorean triplets.

It is shown by the rule of 2f, f² – 1, f² + 1, where ‘f’ is a positive integer.

पाइथागोरियन त्रिकः- वह त्रिक जो पाईथा गोरस के नियम का पालन करता है। पाइथागोरियन त्रिक कहलाता है। 

ये निम्न सूत्र द्वारा ज्ञात किये जा सकते हैं। 2f, f² – 1, f² + 1 जहाँ f एक धनात्मक पूर्णाक है।