05.09 वैदिक गणित (09) || भाग || निखिलम् सूत्र से भाग करना

05.09 वैदिक गणित (09) || भाग || निखिलम् सूत्र से भाग करना 

लेखक

ॐ जितेन्द्र सिंह तोमर

M.A., B.Ed., DNYS, MASSCOM

12/1/29/11/2021

05.08 वैदिक गणित (08) || भाग ||   निखिलम् सूत्र से भाग करना 

Dividing by Taking Base

वैदिक गणित में भाग करने के लिए हम मुख्यतः तीन विधियों का उपयोग करते हैं  उनमें प्रथम विधि है निखिलम विधि, दूसरी परावर्त्य विधि तथा तीसरा ध्वजांक विधि है।

निखिलम विधि से हम उन संख्याओं को ही भाग दे सकते हैं, जो आधार के निकट और उससे कम हों।

जबकि परावर्त्य विधि द्वारा आधार से नीचे और ऊपर की निकटतम संख्याओं के पास होती हैं। वे परावर्त्य विधि द्वारा आसानी से भाग दिया जा सकता है।

जबकि तीसरे विधि ध्वजांक विधि से हम किसी भी संख्या को आसानी से भाग कर सकते हैं अतः ध्वजांक विधि हम कहीं भी किसी भी तरह के भाग मे लगा सकते हैं।

इस भाग में हम निखिलम विधि का उपयोग सीखेंगे।

जैसा कि हम जानते हैं

भाज्य' (Dividend or Numerator), दी हुई संख्या को 'भाजक' (divisor or Denominator) और अभीष्ट संख्या को 'भागफल' (Quotient) कहते हैं।

      भाजक )      भाज्य     ( भागफल

Divisor 'd' ) Divident 'D'(Quotient 'Q'

                     _________

                  Remainder 'R'

                      शेषफल

                      d) D (Q 

                          __

                           R

PART 01

Double digit No.÷ Single digit No.

इसमें हम 3 कॉलम बनाते हैं। पहला कॉलम LC, दूसरा कॉलम MC तथा तीसरा कॉलम RC है।

भाजक का निकटवर्ती आधार लेते हैं और उसका पूरक LC में भाज्य के नीचे लिखते हैं।

LC | MC | RC

     |        |

     |        |       

27 ÷ 8

8 के लिए आधार 10 तो उसका पूरक 2 होगा।

 LC |  MC  | RC

  8   |   2    |  1

   2  |    ↓    |  4     

       |    2    |  5

Step 1 –> 8 के लिए आधार 10 तो उसका पूरक 2 होगा।

इस पूरक को 8 के नीचे लिखा।

Step 2 –> MC का पहला अंक नीचे की तरफ तीर (↓) लगाकर व एक क्षैतिज लाइन खींच कर लिख देते हैं। (ध्यान रहे कि बड़े सवालों में हमें क्षैतिज रेखा कुछ नीचे खींचने होगी।)

Step 3 –> अब MC का पहला अंक और पूरक की गुणा करके RC के पहले अंक के नीचे लिख देते हैं।

Step 4 –> अब RC के अंक समाप्त होते ही गणना रोक देते हैं। 

Step 5 –> अब RC के अंकों का योग करके क्षैतिज रेखा के नीचे लिख देते हैं। 

बस हो गया भाग MC वाला भाग हमारा भागफल तथा RC वाला भाग शेषफल है।

अतः Q = 2, R = 5

नोट :- ध्यान दें, कभी-कभी रिमाइंडर या शेषफल (R), भाजक (d) से बड़ा हो सकता है, तो हमें उस शेषफल (R) को भाजक (d) से पुनः भाग करके भागफल (Q) और शेषफल (R) निकालना होता है। इस नए भागफल (N.Q) को MC वाले भाग में जोड़ा जाता है और बाकी भाग शेषफल (N.R) के रूप में RC वाले भाग में रह जाता है।

12 ÷ 7

7 के लिए आधार 10 तो उसका पूरक 3 होगा।

 LC |  MC  | RC

  7   |   1    |  2

   3  |    ↓    |  3     

       |    1    |  5

Step 1 –> 7 के लिए आधार 10 तो उसका पूरक 4 होगा।

इस पूरक को 7 के नीचे लिखा।

Step 2 –> MC का पहला अंक 1 नीचे की तरफ तीर (↓) लगाकर व एक क्षैतिज लाइन खींच कर लिख देते हैं। (ध्यान रहे कि बड़े सवालों में हमें क्षैतिज रेखा कुछ नीचे खींचने होगी।)

Step 3 –> अब MC का पहला अंक और पूरक की गुणा करके (1×3=3) गुणनफल 3 को RC के पहले अंक 2 के नीचे लिख देते हैं।

Step 4 –> अब RC के अंक समाप्त होते ही गणना रोक देते हैं। 

Step 5 –> परंतु RC के अंकों का योग (2+3=5) करके क्षैतिज रेखा के नीचे 5 लिख देते हैं। 

बस हो गया भाग MC वाला भाग (अर्थात 1) हमारा भागफल (Q) तथा RC वाला भाग (अर्थात 5) शेषफल (R) है।

अतः Q = 1, R = 5

111 ÷ 89

7 के लिए आधार 10 तो उसका पूरक 3 होगा।

 LC |  MC  | RC

  89   |   1   |  1  3

  11  |    ↓    |  1  1     

         |   ↓     |       

         |   1     |  2 4

Step 1 –> 89 के लिए आधार 100 तो उसका पूरक 11 होगा।

इस पूरक को 11 के नीचे लिखा।

Step 2 –> MC का पहला अंक 1 नीचे की तरफ तीर (↓) लगाकर व एक क्षैतिज लाइन खींच कर लिख देते हैं। (ध्यान रहे कि बड़े सवालों में हमें क्षैतिज रेखा कुछ नीचे खींचने होगी।)

Step 3 –> अब MC का पहला अंक और पूरक की गुणा करके (1×11=11) गुणनफल में दो अंक हैं 11 को RC के पहले वह दूसरे अंक 13 के नीचे 11 लिख देते हैं।

Step 4 –> अब RC के अंक समाप्त होते ही गणना रोक देते हैं। 

Step 5 –> परंतु RC के अंकों का योग (13+11=24) करके क्षैतिज रेखा के नीचे 24 लिख देते हैं। 

बस हो गया भाग MC वाला भाग (अर्थात 1) हमारा भागफल (Q) तथा RC वाला भाग (अर्थात 24) शेषफल (R) है।

अतः Q = 1, R = 24

PART 02

Double digit No.÷ 9

Consider some two digit numbers (dividends) and same divisor 9. Observe the following example.

15 ÷ 9 

The quotient (Q) is 1, Remainder (R) is 6.

9) 15 (1

       9 

       6

Each number to be divided has been separated into two parts by a slash mark (diagonal stroke). The left-hand part gives the first part of the answer and right-hand side gives the reminder. Steps

1) Separate off the last digit of the dividend with a diagonal

stroke. 

2) Put the first digit of the dividend as it is under the horizontal line. Put the same digit under the right hand part for the remainder, add the two and place the sum i.e.,, sum of the digits of the numbers as the remainder.

Q. 1: Find 13/9 , 34/9 and 80/9

Sol.

1 |  3     

      1  ,

1 | 4     

13 ÷ 9 gives Q = 1, R = 4

Q. 2 : Find 13/9 , 34/9 and 80/9

Sol.

 5 |  4 

       3 

  5 | 7

54 ÷ 9 gives Q = 5, R = 7

Q. 3 : Find 13/9