ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् सूत्र से वर्ग निकालना

ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् सूत्र से वर्ग निकालना 

(दाएं से बाएं)। 

1, 2 वे 3 अंकों की संख्याओं के वर्ग ज्ञात करना।

ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् सूत्र से गुणा

गुणा 

'ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम्' सूत्र से गुणा करना सीखेंगे।

ऊर्ध्व + तिर्यक् + भ्याम् = उर्ध्वतिर्यग्भ्याम्  का अर्थ है : ऊर्ध्व और तिर्यक् (दोनों) के द्वारा। 

उर्ध्व = सीधा / खड़ा (vertical) तथा तिर्यक् = तिरछा (cross).

 यह सूत्र गुणा  का एक सामान्य (general) सा सूत्र है , इससे हम किसी भी प्रकार का अंकगणितीय गुणा तो कर ही सकते हैं । बल्कि इस सूत्र की सहायता से हम बीजगणितीय गुणा (algebraic) भी कर सकते हैं।

गुणा का यह तरीका दाएं से बाएं अर्थात राइट टू लेफ्ट (Right to Left ← )लिया गया है।

भाग 1

एक-एक अंक के संख्याओं का वर्ग : 

एक-एक अंक के संख्याओं का गुणा जैसे 2x2 , 5x5 ,7x7, 9x9 इत्यादि। 

इसके लिए तो मात्र 1से 9 तक का पहाड़ा ही याद होना पर्याप्त है। वैसे हम आपको विश्वास दिलाते हैं कि एक से नौ तक थे पहाड़े से आप बडे से बड़ी गणना को आसानी से कर पाएंगे। जय वैदिक गणित की विशेषता है।

वैदिक गणित में निम्न प्रकार से गुणा किया जायेगा।  

एक-एक अंक के संख्याओं का गुणा करने में आई (I) रूल का प्रयोग किया जाता है। जिसमें केवल उधर्व गुणा होती है।

   A

× B

I = A×B

Q. (1) 2x2

          ‌ 2

        x 2

           4

Q. (2) 5x5 ,

          ‌ 5

        x 5

         ²5

      =  25

Q. (3) 7x7

    ‌       7

        x 7

         ⁴9

      = 49

Q. (4) 9x9 

    ‌       8

        x 9

         ⁸1

     = 81

ध्यान दें 4, 25, 49 और 81 को क्रमशः 6, ²5,  ⁴9 और ⁸1 लिखा गया है। यहां जो छोटी संख्या लिखी है वह हासिल है जो अगली संख्या पर जोड़ाा जाएगा। लेकिन अकेले संख्याओं के होने के कारण इन्हें क्रम से 4, 25, 49 और 81  लिखा जाएगा।

दो-दो अंकों के संख्याओं का वर्ग : जैसे 12x12, 34x34, 45x45 इत्यादि।

यहांं भी गणना को दाएं से बाएं  (Right to Left) लिया गया है। इसी क्रम में देखे। 

ध्यान  रहे :

गुणा दाएं से बाएं  की जा रही  है अर्थात्  गुणनफल का एक -एक अंक दाएं से बाएं की ओर  प्राप्त करेंगे। 

एक-एक अंक के संख्याओं का गुणा करने में आई – एक्स – आई (I X I)  रूल का प्रयोग किया जाता है। जिसमें दाएं से बाएं पहले उधर्व फिर बृज फिर उधर्व  (Vertical Cross Vertical) गुणा होती है।

   AB

× CD

I = D×B

X = (C×B + A×D)

I = A×C

(i) AB × AB = AA / AB + AB / BB

= A² / 2.AB / B²

Q.(1) 12 का वर्ग ज्ञात करो।

12x12

12x12 को ऊपर-नीचे लिख लीजिये। 

              1   2

           x 1   2

 _____________________

   1×1/1×2+1×2/3×2

              1/4/4

                 144

चरण(step) (1) उधर्व गुणा :  2 x 2 = 4, 

8 को ज्यों का त्यों लिख दीजिये। 

चरण(step) (2) बृज गुणा : 2 x 1 + 1 x 2 = 4, 

चरण(step) (3) उधर्व गुणा : 1 x 1 = 1;  

इस प्रकार गुणनफल 144 है।

Q.(2) 34 का वर्ग ज्ञात करो।

34x34
          3     4

       x 3     4

_____________________

   3×3/3×4+3×4/4×4

              9/²4/¹6

                 1156

चरण (1) उधर्व गुणा: 4x4=16

अर्थात् 1(हांसिल का 1 प्राप्त है जो अगले चरण में जुड़ेगा। )

चरण (2)बृज गुणा : 3x4 + 3x4 = 24 

अर्थात् 2(हांसिल का 2 प्राप्त है जो अगले चरण में जुड़ेगा। )

चरण (3) उधर्व गुणा: 3x3 =9 ; 9+2 (प्राप्तांक) =11

इस प्रकार गुणनफल 1256 है।

Q.(3) 35 का वर्ग ज्ञात करो।
35 × 35 

         3   5 

      × 3   5 

= 9 / 15 + 15 / 25 

= 9 / ³0 / ²5 

= 1225

Q.(4) 35 का वर्ग ज्ञात करो।

45 x 45

              4    5 

           x 4    5

_____________________

   4×4/4×5+4×5/5×5

              16/⁴0/²5

              2025

चरण (1) उधर्व गुणा: 5x5 = 55 , 

2/5 को लिखेंगे और 2(हांसिल) अगले चरण में जुड़ेगा।

चरण (2) बृज गुणा: 4x5 + 4x5 = 40 ; 

4/0 + 4 (हांसिल) लिखेंगे और 4 हांसिल अगले चरण में जुड़ेगा। 

चरण (3)उधर्व गुणा : 4x4 = 16 : 16+4 = 20; 

इस प्रकार गुणनफल 2025 है।

Q.(5) 78 का वर्ग ज्ञात करो।

78 × 78 

        7  8 

     × 7  8 

= 7² / 7×8 +7×8 ) / 8 × 8              

= 49 / 56+56 / 64

= 49 / ¹¹2 / ⁶4

= 6084

मुझे विश्वास है कि वर्ग निकालने के लिए गुणा की यह क्रिया आप साधारण रूप से कर कर सकते हैं या पैन, पेंसिल से कम से कम समय में करने का प्रयास कर सकते हैं।

तीन-तीन अंकों के संख्याओं का गुणा  

एक-एक अंक के संख्याओं का गुणा करने में आई – एक्स – आई (I x X x I) रूल का प्रयोग किया जाता है। जिसमें दाएं से बाएं पहले उधर्व फिर बृज फिर उधर्व (Vertical Cross Vertical) गुणा होती है।

   ABC

× ABC

I = C × C

x = (B × C + B × C)

X = (A × C + A × C + B × B)

x = (A × B + A × B)

I = A × A

In a Line

ABC × DEF 

= AA / AB + AB / AC + AC + BB / BC + BC / CC

= A² / 2.AB  / 2.AC + B² / 2BC  / C²

Q.(1) 123 का वर्ग ज्ञात करो।

123 × 123 

       1  2  3 

    × 1  2  3 

= 1 × 1 / 1 × 2 + 2 × 1 / 1 × 3 + 3 × 1 + 2 × 2 / 2 × 3 + 3 × 2 / 3 × 3

= 1/ 2 + 2 / 3 + 3 + 4 / 6 + 6/ 9

= 1 / 4 /10 / 12 / 9

= 1 / 4 /¹0 / ¹2 / 9

 = 15129

Q.(2) 123 का वर्ग ज्ञात करो।

456 × 456 

       4  5  6 

    × 4  5  6 

= 4 × 4 / 4 × 5 + 5 × 4 / 4 × 6 + 6 × 4 + 5 × 5 / 5 × 6 + 6 × 5 / 6 × 6

= 16 / 20 + 20 / 24 + 24 + 25 / 30 + 30 / 36

= 16 / 40 / 73 / 60 / 36

= 16 / ⁴0 / ⁷3 / ⁶0 / ³6

 = 207936

मुझे विश्वास है कि वर्ग निकालने के लिए गुणा की यह क्रिया आप साधारण रूप से कर कर सकते हैं या पैन, पेंसिल से कम से कम समय में करने का प्रयास कर सकते हैं।