06.01 वर्ग और उसके गुण

 Square: - The product of a number and itself is known as the square of the number or complete square or square.

Number Í Number = (Number)²

Learn the square of one to thirty.

 वर्ग :- किसी संख्या की उसी संख्या में गुणा करने पर प्राप्त संख्या उस संख्या की वर्ग कहलाती है।

संख्या × संख्या = (संख्या)²

वर्ग व वर्गमूल  :

किसी संख्या को उसी संख्या से गुणा करने पर  प्राप्त गुणनफल उस संख्या का वर्ग कहलाता है।

इसके विपरीत उस संख्या को उस गुणनफल का वर्गमूल कहते हैं।

एक सें तीस तक के वर्ग याद करो।

Learn the square of these numbers:

निम्न संख्याओं के वर्ग याद करो।

संख्या	वर्ग	संख्या	वर्ग	संख्या	वर्ग
n	n²	n	n²	n	n²
12	1	112	121	212	441
22	4	122	144	222	484
32	9	132	169	232	529
42	16	142	196	242	576
52	25	152	225	252	625
62	36	162	256	262	676
72	49	172	289	272	729
82	64	182	324	282	784
92	81	192	361	292	841
102	100	202	400	302	900

 * किसी संख्या n के वर्ग को n² से प्रदर्शित किया जाता है, जबकि वर्गमूल को √n से प्रदर्शित किया जाता है।

निम्न संख्याओं के वर्गमूल याद करो।

संख्या	वर्ग	संख्या	वर्ग	संख्या	वर्ग
n	√n	n	√n	n	√n
1	1	121	11	441	21
4	2	144	12	484	23
9	3	169	13	529	23
16	4	196	14	576	24
25	5	225	15	625	25
36	6	256	16	676	26
49	7	289	17	729	27
64	8	324	18	784	28
81	9	361	19	841	29
100	10	400	20	900	30

Perrfect square: - A Number is called Perrfect square if it is the square of some Natural Number. For example 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 is the perfect square of 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

 पूर्ण वर्ग संख्याएँ :- वे संख्याऐं जिनके वर्गमूल निकाले जा सकते हैंं। पूर्ण वर्ग संख्याऐं कहलाती हैं। जैसे 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100  आदि पूर्ण वर्ग संख्याऐं है क्योंकि इनके वर्गमूल निकाले जा सकते हैं जो क्रमशः 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 हैं।

* A complete square never ends with 2, 3, 7 and 8.

* किसी भी संख्या के वर्ग में इकाई स्थान पर 2, 3, 7 व 8 कभी भी नहीं आता है।

Square of any number is also comes by adding all odd numbers

किसी भी संख्या का वर्ग ज्ञात करने के लिए उतनी ही विषम संख्याओं को जोड़ दीजिए।

1² = 1 = 1

2² = 4 = 1+ 3

3² = 9 = 1+ 3 + 5

4² = 16 = 1+ 3 + 5 + 7

5² = 25 = 1+ 3 + 5 + 7 + 9 

6² = 36 = 1+ 3 + 5 + 7 + 9 + 11

7² = 36 = 1+ 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13

8² = 36 = 1+ 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 +   15

9² = 36 = 1+ 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17

10² = 36 = 1+ 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19

It shows that the sum of first 'n' odd numbers equals to 'n²'.

Number between two regular square numbers

(n+1)² –(n)² = 2(n) + 1

5⁵–4⁴ = 2(4)+ 1 = 8 + 1 = 9

15⁵–14⁴ = 2(14)+ 1 = 28 + 1 = 29

10⁵–9⁴ = 2(9)+ 1 = 18 + 1 = 19

* किसी संख्या का वर्ग करने पर प्राप्त गुणनफल में अंकों की संख्या, संख्या के अंकों के दोगुने या दोगुने से 1 कम होती है। माना कि यदि संख्या में x अंक है , तो उसके वर्ग में अंकों की संख्या 2x या ( 2x – 1 ) होगी।

* 1 से छोटी संख्या का वर्गमूल उस संख्या से हमेशा बड़ा होता है।

* Square root of a negative number is an limaginary number.

* ऋणात्मक संख्याओं का वर्गमूल एक काल्पनिक संख्या होती है।

* वर्गमूल दो विधियों द्वारा निकाला जाता है 

     (i) गुणनखण्ड विधि 

     (ii) भाग विधि

* बड़ी संख्या का वर्गमूल भाग विधि द्वारा निकालना चाहिए।

* यदि किसी संख्या में दशमलव के बाद अंकों की संख्या विषम हो तो अन्त में एक शून्य लगाएं।

* किसी संख्या में दशमलव के बाद जितने अंक होते हैं , वर्गमूल में दशमलव के बाद उसके आधे अंक होते हैं , जैसे किसी संख्या में दशमलव के बाद 4 अंक हैं, तो वर्गमूल में 2 अंक, जैसे:- √0.09 = 0.3

* किसी संख्या का वर्गमूल में अंको की संख्या बनाईए गए युग्मों अथवा जोड़ो की संख्या के बराबर होती है।

एक या दो अंकों वाली संख्या का वर्गमूल एक अंक वाली संख्या होती है। (एक या दो संख्याओं से एक युग में बनता है इसलिए वर्गमूल में एक ही अंक होगा।)

तीन या चार अंक वाली संख्या का वर्गमूल दो अंकों वाली संख्या होती है। (तीन या चार संख्याओं से दो युग्म बनते हैं इसलिए वर्गमूल में दो ही अंक होगें।)

5 या 6 अंकों वाली संख्या का वर्गमूल 3 अंकों वाली संख्या तथा 

7 और 8 अंकों वाली संख्या का वर्गमूल 4 अंकों वाली संख्या होती है।

* Square root of the numbers ended with 2, 3, 7 and 8 always in decimal form.

* यदि किसी संख्या में इकाई के स्थान पर 2, 3, 7 या 8 हो, तो उस संख्या का वर्गमूल पूरा–पूरा नहीं निकलता। अतः दशमलव संख्या में प्राप्त होता है।

* Square of odd number is odd and even number is even.

* सम संख्या का वर्ग सम , विषम संख्या का वर्ग विषम होता है।

* Squareroot of odd number is odd and even number is even.

* सम संख्या का वर्गमूल सम व विषम संख्या का वर्गमूल विषम होता है।

* Zero in the end of a complete square never becomes in odd numbers.

* किसी पूर्ण वर्ग संख्या के अन्त में शून्यों की संख्या कभी भी विषम नहीं होती।

1. Find the squares of the followings:

 निम्न के वर्गमूल ज्ञात करो।

01.      8	02.      12	03.      32
04.      5	05.      40	06.      60
07.      86	08.      64	09.      93
10.      71	11.      46	12.      144
13.      900	14.      676	15.      529
16.      800	17.      729	18.      400
19.      841	20.      625	21.      6241
22.      2304	23.      4489	24.      3481

 

02. Find the square root by factorization method:

अभाज्य गुणनखंड विधि से निम्न संख्याओं का वर्गमूल ज्ञात कीजिए :

01	144	11	900	21	764
02	4096	12	7744	22	676
03	3136	13	9216	23	529
04	8100	14	729	24	400
05	1024	15	841	25	2500
06	9604	16	5929	26	3721
07	625	17	6241	27	27225
08	10201	18	95481	28	646416
09	412164	19	698896	29	410062
10	390625	20	1002001	30	6241

Q. Fing the square root of the 6400?

64 100 का वर्गमूल ज्ञात करो।  

हल:–

6400 =  2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5

     Take one digit from a pair.

6400 =  2 × 2 × 2 × 2 × 5

                     =  80

 

Find the square root by dividing method:

भागफल विधि से वर्गमूल ज्ञात करो।

01.     4096	02.      7744	03.      676
04.     3136	05.      9216	06.      529
07.     1024	08.      841	09.      2500
10.     9604	11.      5929	12.      3721
13.      625	14.      6241	15.     27225
16.     10201	17.     95481	18.     646416
19.     412164	20.     698896	21.     4100625
22.     390625	23.     1002001	24.      6241

 

Find the square root by factorization method:

गुणनखंड विधि से वर्गमूल ज्ञात करो।

01.     1.44	02.      9.00	03.      7.64
04.      40.96	05.      77.44	06.      6.76
07.      31.36	08.      92.16	09.      5.29
10.      81.00	11.      7.29	12.      4.00
13.      10.24	14.      8.41	15.      25.00
16.      96.04	17.      59.29	18.      37.21
19.      48.0429	20.      9.9225	21.      2.7225
22.      1.0201	23.      954.81	24.      64.641
25.      41.2164	26.      69.8896	27.      410.0625
28.      39.0625	29.      100.2001	30.      6241

 

Pythagorean Triplets: - the triplet which follows the rule of Pythagoras is known as Pythagorean triplets.

It is shown by the rule of 2f, f² – 1, f² + 1, where ‘f’ is a positive integer.

पाइथागोरियन त्रिकः- वह त्रिक जो पाईथा गोरस के नियम का पालन करता है। पाइथागोरियन त्रिक कहलाता है। ये निम्न सूत्र द्वारा ज्ञात किये जा सकते हैं। 2f, f² – 1, f² + 1 जहाँ f एक धनात्मक पूर्णाक है।

01. पाइथागोरस त्रिक लिखिए जिसका एक सदस्य है,

01.    8	02.    6
03.    12	04.    14
05.    16	06.    18

 01. एक पाइथागोरस त्रिक ज्ञात कीजिए जिसकी एक संख्या 8 है।

हलः- पाइथागोरस त्रिक पाने का सूत्र 2f, f² – 1, f² + 1 है। जहाँ f एक धनात्मक पूर्णाक है।

2f = 8

=> f = 8/2 = 4

f² + 1 = 4² + 1 = 16 +1 = 17

f² – 1 = 4² – 1 = 16 –1 = 15

Pythagorean triplet are (8,  15, 17)

वर्ग एवं वर्गमूल 

सबसे पहले संख्या के इकाई के अंक की सहायता से, निम्न सारणी का प्रयोग करके वर्ग और वर्गमूल के इकाई का अंक ज्ञात करेंगे।

दी संख्या वर्ग के इकाई व (वर्ग मूल इकाई)	दी गई संख्या के वर्गमूल के इकाई का सम्भावित अंक
1 या 9	1
2 या 8	4
3 या 7	9
4 या 6	6
5	5

0

0

(i) 121

1.   What will be the unit digit of the squares of the following numbers?

(i) 81

(ii) 272

(iii) 799

(iv) 3853

(v) 1234

(vi) 26387

(vii) 52698

(viii) 99880

(ix) 12796

(x) 55555

Sol: (i) ∵ 1 × 1 = I

   ∴ The unit’s digit of (81)² will be 1.

         

Sol: (ii) 2 × 2 = 4

∴ The unit’s digit of (2)² will be 2.

Sol: (iii) Since, 9 × 9 = 81

              

The unit’s digit of (799)² will be 1.

       

Sol:   (iv) Since, 3 × 3 = 9

              

The unit’s digit of (3853)² will be 9.

        

Sol:  (v) Since, 4 × 4 = 16

              

The unit’s digit of (1234)² will be 6.

        

Sol:  (vi) Since 7 × 7 = 49

              

The unit’s digit of (26387)² will be 9.

        

Sol:  (v) Since, 8 × 8 = 64

              

The unit’s digit of (52698)² will be 4.

       

Sol:  (vi) Since 0 × 0 = 0

              

The unit’s digit of (99880)² will be O.

        

Sol: (vii) Since 6 × 6 = 36

              

The unit’s digit of (12796)² will be 6.

     

Sol: (x) Since, 5 × 5 =25              

The unit’s digit of (5)² will be 5.

1.   What could be the possible ‘one’s digits of the square root of each of the following numbers?

         (i) 9801

(ii) 99856

(iii) 998001

(iv) 657666025

Sol: The possible digit at one’s place of the square root of:

         (i) 9801 can be 1 or 9.

              [∵ 1 × 1 = 1 and 9 × 9 = 81]

         (ii) 99856 can be 4 or 6.

              [∵ 4 × 4 = 16 and 6 × 6 = 36]

         (iii) 998001 can be 1 or 9.

         (iv) 657666025 can be 5.            [∵ 5 × 5 = 25]

प्रश्न 1 निम्नलिखित संख्याओं के वर्गमूल में इकाई का अंक क्या हो सकता है ?

(i) 9604
(ii) 65536
(iii) 998001
(iv) 60481729
हल:
(i) 9604 के वर्गमूल में इकाई के अंक = 2, 8
(ii) 65536 के वर्गमूल में इकाई के अंक = 4, 6
(iii) 998001 के वर्गमूल में इकाई के अंक = 1,9
(iv) 60481729 के वर्गमूल में इकाई के अंक = 3, 7

2.   The following numbers are obviously not perfect squares. Give reason.

(i) 1057

(ii) 23453

(iii) 7928

(iv) 222222

(v) 64000

(vi) 89722

(vii) 222000

(viii) 505050

Sol: (i) 1057

         Since, the ending digit is 7 (which is not one of 0, 1, 4, 5, 6 or 9)

         

∴1057 is not a perfect square.

         

Sol: (ii) 23453

         Since, the ending digit is 7 (which is not one of 0, 1, 4, 5, 6 or 9).

         

∴23453 is not a perfect square.

         

Sol: (iii) 7928

         Since, the ending digit is 8 (which is not one of 0, 1, 4, 5, 6 or 9).

         

∴7928 is not a perfect square.

         

Sol: (iv) 222222

         Since, the ending digit is 2 (which is not one of 0, 1, 4, 5, 6 or 9).

         

∴222222 is not a perfect square.

         

Sol: (v) 64000

         Since, the number of zeros is odd.

         

∴64000 is not a perfect square.

         

Sol: (vi) 89722

         Since, the ending digits is 2 (which is not one of 0, 1, 4, 5, 6 or 9).

         

∴89722 is not a perfect square.

         

Sol: (viii) 222000

         Since, the number of zeros is odd.

         

∴222000 is not a perfect square.

         

Sol: (viii) 505050

         The unit’s digit is odd zero.

         

∴505050 can not be a perfect square.

2.   Without doing any calculation, find the numbers which are surely not /)er/’c’t squares.

         (i) 152

(ii) 257

(iii) 408

(iv) 441

Sol: We know that the ending digit of perfect square is 0, 1, 4, 5, 6, and 9.

         ∴ A number ending in 2, 3, 7 or 8 can never be a perfect square.

         (i) 153, cannot be a perfect square.

         (ii) 257, cannot be a perfect square.

         (iii) 408, cannot be a perfect square.

         (iv) 441, can he a perfect square.

         Thus, (1) 153, (ii) 257 and (iii) 408 are surely not perfect squares.

प्रश्न 2
अनुमान लगाकर बताइए निम्नलिखित में कौन-कौन सी संख्याएँ पूर्ण वर्ग संख्या नहीं हो सकती हैं ?
(i) 48
(ii) 81
(iii) 102
(iv) 24636
हल:
(i) 48 (iii) 102 तथा (iv) 24636 पूर्ण वर्ग संख्याएँ नहीं हो सकती हैं।

3.   The squares of which of the following would be odd numbers?

        (i) 431

(ii) 2826

(iii) 7779

(iv) 82004

Sol: Since the square of an odd natural number is odd and that of an even number is an even number.

         

(i) The square of 431 is an odd number.

              [∵ 431 is an odd number.]

         

(ii) The square of 2826 is an even number.

              [∵ 2826 is an even number.]

         

(iii) The square of 7779 is an odd number.

              [∵ 7779 is an odd number.]

         

(v) The square of 82004 is an even number.

              [∵ 82004 is an even number.]

1.   Find the square of the following numbers.

         (i) 32

(ii) 35

(iii) 86

         (iv) 93

(v) 71

(vi) 46

Sol: (i) (32)² = (30 + 2)²

              = 30² + 2(30)(2) + (2)²

              = 900 + 120 + 4 = 1024

         (ii) (35)² = (30 + 5)²

              = (30)² + 2(30)(5) + (5)²

              = 900 + 300 + 25

              = 1200 + 25 = 1225

              Second method

              35² = 3 × (3 + 1) × 100 + 25

              = 3 × 4 × 100 + 25

              = 1200 + 25 = 1225

         (iii) (86)² = (80 + 6)²

              = (80)² + 2(80)(6) + (6)²

              = 6400 + 960 + 36 = 7396

         (iv) (93)² = (90 + 3)²

              = (90)² + 2(90)(3) + (3)²

              = 8100 + 540 + 9 - 8649

         (v) (71)² = (70 + 1)²

              = (70)² + 2(70)(1) + (1)²

              = 4900 + 140 + 1 = 5041

         (vi) (46)² = (40 + 6)²

              = (40)² + 2(40)(6) + (6)²

              = 1600 + 480 + 36 = 2116

3.   Find the square roots of. 100 and 169 by the method of repeated subtraction.

4.   Find the square roots of the following numbers by the Prime Factorisation Method.

         (i) 729

(ii) 400

(iii) 1764

(iv) 4096

         (v) 7744

(vi) 9604

(vii) 5929

(viii) 9216

         (ix) 529

(x) 8100

प्रश्न 3
अभाज्य गुणनखण्डविधि द्वारा वर्गमूल ज्ञात कीजिए।
(i) 1296
(ii) 729
(iii) 1764
(iv) 3969
(v) 4356
(vi) 1600
हल:
(i) 1296
∴ 1296 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 3

अतः  = 2 x 2 x 3 x 3
= 36

(ii) 729
∴ 729 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3

अतः  = 3 x 3 x 3
= 27

(iii) 1764
∴ 1764 = 2 x 2 x 3 x 3 x 7 x 7

अतः  = 2 x 3 x 7
= 42

(iv) 3969
∴ 3969 = 3 x 3 x 3 x 3 x 7 x 7

अत:  = 3 x 3 x 7
= 63

(v) 4356
∴ 4356 = 2 x 2 x 3 x 3 x 11 x 11

अत:  = 2 x 3 x 11
= 66

(vi) 1600
∴ 1600 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 5 x 5

अत:  = 2 x 2 x 2 x 5
= 40

5.   For each of the Following numbers, find the smallest whole number by which it should be multiplied so as to get a perfect square number. Also find the square root of the square number so obtained.

         (i) 252

(ii) 180

(iii) 1008

         (iv) 2028

(v) 1458

(vi) 768

Sol: (i) We have

              

              252 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7

              ∵ The prime factor 7 has no pair.

              ∴ [252] × 7= [2 × 2 × 3 × 3 × 7] × 7

              or 1764 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7 × 7

              

              Thus, the required smallest whole number = 7

              Also, the square root of 1764 is 42.

         (ii) We have

              

              Thus, the required smallest whole number = 5

              Also, the square root of 900 is 30.

         (iii) We have

              

              Thus, the required smallest whole number = 7

              Also the square root of 7056 is 84.

         (iv) We have

              

         (v) We have

              

         (vi) We have

              

6.   For each of the following numbers, find the smallest whole number by which it should be divided so as to get a perfect square. Also find the square root of the square number so obtained.

         (i) 252

(ii) 2925

(iii) 396

         (iv) 2645

(v) 2800

(vi) 1620

Sol: (i) 252

              We have

              

              ∵ The prime factor 7 is unpaired, so the given number should be divided by 7.

              

         (ii) 2925

              We have

              

              ∵ The prime factor 13 is unpaired, so the given number should be divided by 13.

              

         (iii) 396

              We have

              

         (iv) 2645

              We have

              

              ∵ The prime factor 5 is unpaired.

              ∴ Dividing the given number by 5, we have

              

              or 529 = 23 × 23

              Thus, 529 is a perfect square, and 529 = 23.

         (iv) 2800

              We have

              

         (v) 1620

              We have

              1620 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 ×5

              ∵ The prime factor 5 is unpaired.

              ∴ Dividing the given number by 5, we have

              

7.   The students of Class VIII of a school donated Rs 2401 in all, for Prime Minister’s National Relief Fund. Each student donated as many rupees as the number of students in the class. Find the number of students in the class.

Sol: Let the number of students = x

         Each student donated Rs x.

         Total amount donated by the class = Rs x × x = Rs x²

         Thus, x² = 2401

              

8.   2025 plants are to be planted in a garden in such a tivav that each row contains as many plants as the number of rows. Find the number of row and the number of plants in each row

Soln: Let the number of rows = x

         ∴ Number of plants is a row = x

         So, the number of plants to be planted = x × x = x²

              

         Thus, the required number of rows = 45

         Also, number of plants in a row = 45.

9.   Find the smallest square number that is divisible by each of the numbers 4, 9 and 10.

Sol: We know that LCM is the smallest number divisible by all its factors.

         Since, LCM of 4, 9 and 10 = 2 × 2 × 9 × 5 = 180

         But 180 is not a perfect square.

         Again,

         ∴ 180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5

              

         ∵ All the prime factors of 900 are paired.

         ∴ 900 is a perfect square.

         Thus, the required number = 900.

10.   Find the smallest square number that is divisible by each of the numbers 8, 15 and 20

Sol: The smallest number divisible by 8, 15 and 20 is their LCM.

         We have                   LCM = 2 × 2 × 5 × 2 × 3 = 120

         But 120 is not a square number.

                            

         Now, to make it a perfect square, we have

         120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5

         or [120] × 2 × 3 × 5 = [2 × 2 × 2 × 3 × 5] × 2 × 3 × 5

         or 3600 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5

         All factors of 3600 are paired. Therefore, 3600 is a perfect squared.

         ∴ The required number = 3600.

प्रश्न 1
निम्नलिखित संख्याओं के वर्गमूल भाग विधि से ज्ञात कीजिए।
(i) 441
(ii) 576
(iii) 1225
(iv) 2916
(v) 4624
(vi) 7921
हल:
इकाई स्थान से प्रारम्भ करते हुए 2 – 2 अंकों का जोड़ा बनाएँगे।
(i) 441

अत:  = 21

(ii) 576

अत: 

 = 24

(iii) 1225

अत:  = 35

(iv) 2916

अत:  = 54

(v) 4624

अत:  = 68

(vi) 7921

अत:  = 89

प्रश्न 2
निम्नलिखित संख्याओं के वर्गमूल बिना गणना के ज्ञात कीजिए।
(i) 121
(ii) 256
(iii) 4489
(iv) 60025
हल:
सबसे पहले संख्या के इकाई के अंक की सहायता से, निम्न सारणी का प्रयोग करके वर्गमूल के इकाई का अंक ज्ञात करेंगे

दी संख्या का इकाई  अंक	दी गई संख्या के वर्गमूल के इकाई का सम्भावित अंक
1	1 या 9
4	2 या 8
5	5
6	4 या 6
9	3 या 7

(i) 121
∵ इसके इकाई कम अंक = 1
∴ इसके वर्गमूल के इकाई का अंक = 1 या 9
21 को छोड़ने पर, शेष अंक = 1
∵ 1² = 1 < 2²
अतः 121 का मान 112 होगा
⇒  = 11

(ii) 256
∵ इसके इंकाई का अंक = 6
∴ इसके वर्गमूल के इकाई का अंक = 4 या 6
56 को छोड़ने पर, शेष अंक = 2
∵1² < 2² < 2²
इसलिए 256 का मान होगा = 14² या 16²
∵ 15² = 225
∴  = 16

(iii) 4489
∵ इसके इकाई का अंक = 9
∴ इसके वर्गमूल के इकाई का अंक = 3 या 7
89 को छोड़ने पर, शेष अंक = 44
∵ 6² < 44 <7²
अत: 4489 का मान होगा = 63² या 67²
∵ 65² = 4225
∴  = 67

(iv) 60025
∵ इसके इकाई का अंक = 5
∴ इसके वर्गमूल के इकाई का अंक = 5
25 को छोड़ने पर, शेष अंक = 600
∵ 24² < 600 < 25²
अत: 60025 का मान होगा 245² होगा।
∴  = 245

प्रश्न 3
निम्नलिखित दशमलव संख्याओं के वर्गमूल ज्ञात कीजिए।
(i) 6.25
(ii) 2.89
(iii) 32.49
(iv) 31.36
(v) 57.76
हल:
(i) 6.25.

अत:  = 2.5

(ii) 2.89

अत:  = 1.7

(iii) 32.49

अत:  = 5.7

(iv) 31.36

अत:  = 5.6

(v) 57.76

अत:  = 7.6

प्रश्न 4
निम्न संख्याओं में क्या जोड़ा जाए कि यह पूर्ण वर्ग संख्या बन जाए।
(i) 420
(ii) 2000
(iii) 837
(iv) 3500
हल:
(i) हम देखते हैं कि 420 पूर्ण वर्ग संख्या (400) से 20 अधिक है।
अतः 420 में से 20 घटाने पर हमें पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त हो जायेगी।

∴ 420 – 20 = 400 ⇒  = 20
अतः 420 में जोड़ने से पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त हो, तो 20 के स्थान पर 21 वर्ग पर विचार करेंगे जो कि (21)2 = 441
अत: हम 441 – 420 = 21 जोड़ना होगा।

(ii) हम देखते हैं कि 2000 पूर्ण वर्ग संख्या से 64 अधिक है।
∴ 2000 – 64 = 1936
 = 44
11
पूर्ण वर्ग संख्या ज्ञात करने के लिए = 44 + 1 = 45 के वर्ग पर विचार करेंगे।
(45)² = 2025
अत: हम 2025 – 2000 = 25 जोड़ना होगा।

(iii) हम देखते हैं कि 837 पूर्ण वर्ग संख्या से 53 अधिक है।
∴ 837 – 53 = 784
 = 28

पूर्ण वर्ग संख्या बनाने के लिए = 28 + 1 = 29 के वर्ग पर विचार करेंगे
(29)² = 841
अतः हम 841 – 837 = 4 जोड़ना होगा।

(iv) 3500
हम देखते हैं कि 3500 पूर्ण वर्ग
53500 संख्या से 19 अधिक है।
∴ 3500 – 19 = 3481
 = 59

पूर्ण वर्ग संख्या बनाने के लिए = 59 + 1 = 60 के
वर्ग पर विचार करेंगे (60)² = 3600
अत: 3600 – 3500 = 100 जोड़ना होगा।

प्रश्न 5
निम्न संख्याओं में से क्या घटाया जाए कि यह पूर्ण वर्ग संख्या बन जाए।
(i) 555
(ii) 252
(iii) 1650
(iv) 6410
हल:
(i) 555
घटाई जाने वाली संख्या 26 है।

(ii) 252
घटाई जाने वाली संख्या 27 है।

(iii) 1650
घटाई जाने वाली संख्या 50 है।

(iv) 6410
घटाई जाने वाली संख्या 10 है।

प्रश्न 6
एक विवाह समारोह में वर्गाकार जमावट(RBSESolutions.com)में कुर्सियाँ लगायी जानी हैं। 1000 कुर्सियाँ उपलब्ध हैं। वर्गाकार जमावट के लिए और कितनी कुर्सियों की आवश्यकता होगी। साथ ही यह भी बताएँ, प्रत्येक पंक्ति में कुल कितनी कुर्सियाँ होंगी।
हल:
कुल कुर्सी = 1000
1000 पूर्ण वर्ग संख्या से 39 अधिक है।
∴ 1000 – 39 = 961
∴  = 31

वर्गाकार जमावट में और आवश्यक कुर्सियों की संख्या
= (32)² – 1000 = 1024 – 1000 = 24
प्रत्येक पंक्ति में कुर्सियों की संख्या = 31 + 1 = 32

प्रश्न 7
एक वर्गाकार खेत का क्षेत्रफल 361 मी² है तो उस खेत के चारों ओर तारबंदी हेतु कितने मीटर तार वी आवश्यकता होगी ?
हल:
वर्गाकार खेत का क्षे. = 361 मीटर²
∴ वर्गाकार खेत की भुजा =  = 19 मी.
अत: चारों ओर आवश्यक तार की लम्बाई = 4 x 19
= 76 मीटर

प्रश्न 8
वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसका 2352 में भाग देने पर भागफल पूर्ण 21176 वर्ग बन जाए ?
हल:
2352 अभाज्य गुणनखण्ड करने पर,
∴ 2352 == 2 x 2 x 2 x 2 x 7 x 7 x 3

अत: 3 से भाग देने पर भागफल पूर्ण वर्ग बन जायेगा।

प्रश्न 2

आकलन विधि एवं अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा निम्नलिखित संख्याओं को घनमूल ज्ञात कीजिए तथा अपने उत्तर की जाँच कीजिए।
(i) 64
(ii) 343
(iii) 5832
(iv) 74088
(v) 3375
(vi) 10648
(vii) 46656
(viii) 91125
हल:
(i) 64
(a) आकलन विधि द्वारा
दी गई संख्या 64 है।

चरण 1
दाईं ओर से आरम्भ करते हुए तीन-तीन अंकों के समूह बनायें।
64

चरण 2
पहला समूह 64 है तथा इसका इकाई का अंक 4 है जो कि केवल 4 इकाई वाले अंक के घन से ही प्राप्त होगा। (4³ = 64) अतः इकाई का अंक 4 होगा।
अतः दी हुई संख्या का घनमूल 4 होगा।
इस प्रकार  = 4

(b) अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा
अभाज्य गुणनखण्ड करने पर

(ii) 343
(a) आकलन विधि द्वारा
दी गई संख्या 343 है।

चरण 1
दाईं ओर से आरम्भ करते हुए तीन-तीन अंकों के समूह बनाएं।
343

चरण 2
पहला समूह 343 है तथा इसका इकाई का अंक 3 है जो कि केवल 7 इकाई वाले अंक के घन से ही प्राप्त होगा। (7³ = 343)
अतः इकाई का अंक 7 होगा।
अतः दी हुई संख्या का घनमूल 7 होगा।
इस प्रकार  = 7

(b) अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा
अभाज्य गुणनखण्ड करने पर

(iii) 5832
(a) आकलन विधि द्वारा
दी गई संख्या 5832 है।

चरण 1
दाईं ओर से आरम्भ करते हुए तीन-तीन अंकों के समूह बनाएं।
5 832

चरण 2
पहला समूह 832 है तथा इसका इकाई का अंक 2 है जो कि केवल 8 इकाई वाले अंक के घन से ही प्राप्त होगा। (8³= 512)
अतः इकाई का अंक 8 होगा।

चरण 3
दूसरा समूह 2 प्राप्त हुआ।
1³ < 2 < 2³
अतः दहाई का अंक 1 प्राप्त हुआ।
अतः दी हुई संख्या का घनमूल 18 होगा।
इस प्रकार  = 18

(b) अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा
अभाज्य गुणनखण्ड करने पर

(iv) 74088

(a) आकलन विधि द्वारा
दी गई संख्या 74088 है।

चरण 1
दाईं ओर से आरम्भ करते हुए तीन-तीन अंकों के समूह बनाएं।
74 088

चरण 2
पहला समूह 088 है तथा इसका इकाई का अंक 8 है जो कि केवल 2 इकाई वाले अंक के घन से ही प्राप्त होगा। (2³ = 8)
अतः इकाई का अंक 2 होगा।

चरण 3
दूसरा समूह 74 प्राप्त हुआ।
4³ < 74 < 5³
अतः दहाई का अंक 4 प्राप्त हुआ।
अतः दी गई संख्या का घनमूल 42 होगा।
इस प्रकार  = 42

(b) अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा
अभाज्य गुणनखण्ड करने पर

(v) 3375

(a) आकलन विधि द्वारा
दी गई संख्या 3375 है।

चरण 1
दाईं ओर से आरम्भ करते हुए तीन-तीन अंकों के समूह बनाएं।
3 375

चरण 2
पहला समूह 375 है तथा इसका इकाई का अंक 5 है जो कि केवल 5 इकाई वाले अंक के घन से ही प्राप्त होगा। (5³ = 125)
अतः इकाई का अंक 5 होगा।

चरण 3
दूसरा समूह 3 प्राप्त हुआ।
1³ < 3 < 2³
अतः दहाई का अंक 1 प्राप्त हुआ।
अतः दी गई संख्या का(RBSESolutions.com) घनमूल 15 होगा।
इस प्रकार  = 15

(b) अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा
अभाज्य गुणनखण्ड करने पर

(vi) 10648

(a) आकलन विधि द्वारा
दी गई संख्या 10648 है।

चरण 1
दाईं ओर से आरम्भ करते हुए तीन-तीन अंकों के समूह बनाएं।
10 648

चरण 2
पहला समूह 648 है तथा इसका इकाई का अंक 8 है जो कि केवल 2 इकाई वाले अंक के घन से ही प्राप्त होगा। (2³ = 8)
अतः इकाई का अंक 2 होगा।

चरण 3
दूसरा समूह 10 प्राप्त हुआ।
2³ < 10 < 3³
अतः दहाई का अंक 2 प्राप्त हुआ।
अतः दी गई संख्या(RBSESolutions.com) का घनमूल 22 होगा।
इस प्रकार  = 22

(b) अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा
अभाज्य गुणनखण्ड करने पर

vii) 46656

(a) आकलन विधि द्वारा
दी गई संख्या 46656 है।

चरण 1
दाईं ओर से आरम्भ करते हुए तीन-तीन अंकों के समूह बनायें।
46 656

चरण 2
पहला समूह 656 है तथा इसका इकाई का अंक 6 है जो कि 6 इकाई वाले अंक के घन से ही प्राप्त होगा। (6³ = 216)
अतः इकाई का अंक 6 होगा।

चरण 3
दूसरा समूह 46 प्राप्त हुआ।
3³ < 46 < 4³
अतः दहाई का अंक 3 प्राप्त हुआ।
अतः दी गई संख्या का घनमूल 36 होगा।
इस प्रकार  = 36

(b) अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा
अभाज्य गुणनखण्ड करने पर

(viii) 91125
(a) आकलन विधि द्वारा
दी गई संख्या 91125 है।

चरण 1
दाईं ओर से आरम्भ करते हुए तीन-तीन अंकों के समूह बनाएं।
91 125

चरण 2
पहला समूह 125 है तथा इसका इकाई का अंक 5 है जो कि 5 इकाई वाले अंक के घन से ही प्राप्त होगा। (5³ = 125)
अतः इकाई का अंक 5 होगा।

चरण 3
दूसरा समूह 91 प्राप्त हुआ।
4³ < 91 < 5³
अतः दहाई का अंक 4 प्राप्त हुआ।
अतः दी गई संख्या का घनमूल 45 होगा।
इस प्रकार  = 45

(b) अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा
अभाज्य गुणनखण्ड करने पर

2.   Write a Pythagorean triplet whose one member is

        (i) 6

(ii) 14

(iii) 16

(iv) 18

Sol: (i) Let 2n =6          ∴n=3

              Now, n² – 1 = 3² –1 = 8

              and n² + 1 = 3² + 1 = 10

              Thus, the required Pythagorean triplet is 6, 8, 10.

         (ii) Let 2n = 14             ∴n = 7

              Now, n² – 1 = 7² – 1 = 48

              and n² + 1 = 7² + 1 = 50

              Thus, the required Pythagorean triplet is 14, 48, 50.

         (iii) Let 2n = 16              /n = 8

              Now, n² – 1 = 8² – 1

              = 64 – 1 = 63

              and n² + 1 = 82 + 1

              =64 + 1 = 65

              ∴ The required Pythagorean triplet is 16, 63, 65.

         (iv) Let 2n = 18 n = 9

              Now, n² – 1 = 9² – 1

              =81 – 1 = 80

              and n² + 1 = 92 + 1

              = 81 + 1 = 82

              ∴ The required Pythagorean triple is 18, 80, 82.

1.   Find the square root of each of the following numbers by Division method.

         (i) 2304

(ii) 4489

(iii) 3481

(iv) 529

         (v) 3249

(vi) 1369

(vii) 5776

(viii) 7921

         (ix) 576

(x) 1024

(xi) 3136

(xii) 900

         

         

         

2.   Find the number of digits in the square root of each of the. following numbers (without any calculation).

         (i) 64

(ii) 144

(iii) 4489

         (iv) 27225

(v) 390625

Sol: If ‘n’ stands for number of digits in the given number, then

         

3.   Find the square root of the following decimal numbers.

         (i) 2.56

(ii) 7.29

(iii) 51.84

         (iv) 42.25

(v) 31.36

         

              Here, number of decimal places, are already even.

              ∴ We mark off the periods and find the square root.

         

              Here, number of decimal places are already even.

              Therefore, we mark off the periods and find the square root.

              

         

         

4.   Find the least nti,nllc’r” which must be subtracted from each of the following numbers. so as to get a perfect square. Also find the square root of the perfect square so obtained.

         (i) 402

(ii) 1989

(iii) 3250

         (iv) 825

(v) 4000

Sol: (i) On proceeding to find the square root of 402, we have

              Since, we get a remainder 2

              The required least number to be subtracted from 402 is 2.

              

         (ii) Since, we get a remainder of 53

              The least number to be subtracted from the given number - 53        84

              

         (iii) Since, we get a remainder 1.

              The smallest number to be subtracted from the given number = 1

              

         (iv) Since, we get a remainder 41.

              The required smallest number tcI be subtracted from the given number = 41

              

         (v) Since, we get a remainder 31,

              The required smallest number to he subtracted from om the given number = 31

              

5.   Find the least number which must be added to each of the following numbers so as to get a perfect square. Also find the square root of the perfect ware so obtained.

         (i) 525

(ii) 1750

(iii) 252

         (iv) 1825

(v) 6412

Sol: (i) Since, we get a remainder 41.

              

              and next square number is 23.

              ∴ The required number to be added = 232 – 525

              = 529 – 525 = 4

              Now, 524 + 4 = 529, and = 23.

         (ii) Since, we get a remainder 69.

              

              and next square number is 422.

              ∴ The required number to be added = 422 – 1750

              = 1764 – 1750 = 14

              Now, 1750 + 14 = 1764, and 

         (ii) Since, we get a remainder 27.

              

         (iv) Since, we get a remainder, 61.

              

              Next square number = 43

              The required number to be added = (43)² – 1825

              = 1849 – 1825 = 24

              Now, 1825 + 24 = 1849, and 

         (v) Since, we get a remainder 12.

              

6.   Find the length of the side of a square whose area is 441 m².

Sol: Let the side of the square = x metre

         Area = side × side

              

7.   In a right triangle ABC, ∠B = 90°.

         (a) If AB = 6 cm, BC = 8 cm, find AC.

         (b) If AC = 13 cm, BC = 5 cm, find AB. Solution:

Sol:

         REMEMBER

         I. In a right triangle, the longest side is called the hypotenuse.

         II. (Hypotenuse)² = [Sum of the squares of other two sides]

         (a) ∠B = 90°

              Hypotenuse = AC

              AC² = AB² + BC²

              = 8² + 6²

              = 64 + 36 = 100

              

              AC = 10

              Thus, AC = 10 cm

         (b) Here B = 90°

              ∴ Hypotenuse = AC

              AC² = AB² + BC²

              or 13² = AB² = 5²

              = 169 – 25 = 144

              

              or AB = 12

              Thus, AB = 12 cm

8.   A gardener has 1000 plants. He wants to plant these in such a way that the number of rows and the number of columns remain same. Find the minimum number of plants he needs more or this.

Sol: Since, the number of plants in a row and the number of columns are the same.

         ∴ Their product must be a square number.

         The gardener has 1000 plants.

         1000 is not a perfect square, and (31)² < 1000

               (There is a remainder of 39).

         Obviously the next square number = 32

         Number of plants required to be added = (32)² – 1000

         = 1024 – 1000 = 24

9.   There are 500 children in a school. For a P T drill they have to stand in such a manner that the number of rows is equal to number of columns. How many children this arrangement.

Sol: Since, the number of rows and the number of columns are same.

         Total number (i.e. their product) must be a square number, we have

         Since, we get a remainder of 16

         500 > (22)² or 500 – 16 = (22)²

         Thus, the required number of children to be left out = 16

4.   Observe the following pattern and find the missing digits.

         11² =

121

         101² =

10201

         1001² =

1002001

         100001² =

1.............2 ............. 1

         10000001² =

............

Sol: Observing the above pattern, we have

         (i) (100001)² - 10000200001

         (ii) (10000001)² = 100000020000001

5.   Observe the ,following pattern and supply the missing number.

         11² = 121

         101² = 10201

         10101² = 102030201

         1010101² =

         ..............² = 10203040504030201

Sol: Observing the above, we have

         

(i) (1010101)² = 1020304030201

         

(ii) 10203040504030201 = (101010101)²

6.   Using the given pattern, find the missing numbers.

         1² + 2² + 2² = 3²

         2² + 3² + 6² = 7²

         3² + 4² + 12² =13²

         4² + 5² + —² = 21²

         5² + —2 + 30² = 31²

         6² + 7² + —² = —²

         Note: To find pattern:

         Third number is related to first and second number. How?

         Fourth number is related to third number. How?

Sol: The missing numbers are

 (i) 4² + 5² + 20² = 21²

(ii) 5² + 2² + 30² = 31²

 (iii) 6² + 7² + 42² = 43²

7.   Without adding, find the sum.

 (i) 1 + 3 + 5 + 7 + 9

(ii) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19

(iii) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 +19

Sol: 

(i) The sum of first 5 odd 

= 5² 

= 25

         

(ii) The sum of first 10 odd numbers = 10² 

= 100

         

(iii) The sum of first 12 odd numbers 

= 12²

=144    

(ii) Express 121 as the sum of 11 odd numbers.

Sol: (i) 49 = 7² = Sum of first 7 odd numbers

              = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13

(ii) 121 = 11² = Sum of first 11 odd numbers

 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21