02.05 (क) संकलन अथवा योग अथवा जोड़ना (एकाधिकेन विधि या शुद्धिकरण द्वारा)

संकलन अथवा योग अथवा जोड़ना

एकाधिकेन विधि या शुद्धिकरण द्वारा

संपूर्ण गणित संकलन और व्यवकलन अर्थात जोड़ने और घटाने पर आधारित है गुणा या भाग आदि अन्य गणितीय क्रियाएं संकलन अथवा व्यकलन के ही कुछ जटिल रूप हैं।

वैदिक गणित में संकलन और बुलंद दो प्रकार से की जाती है। उध्वार्धर विधि द्वारा तथा क्षैतिज विधि द्वारा।

आइए सबसे पहले संकलन और व्यवकलन अर्थात जोड़ना सीखते हैं।

प्रथम विधि

एकाधिकेन चिन्ह के द्वारा संख्याओं को जोड़ना।

एक अंकीय जोड़

  7

  8

+9

_____

वैदिक गणित में योग करते समय हासिल अथवा Carry (कैरी) का उपयोग नहीं होता है।

इसके लिए हम एक अलग चिन्ह का उपयोग करते हैं, जिसे हम 'एकाधिकेन चिन्ह' कहते हैं इसके बारे में हम पूर्व में ही जान चुके हैं । यह चिन्ह उस अंक पर बिंदु या डॉट लगाकर दर्शाया जाता है। एकाधिक चिन्ह जिस अंक के ऊपर लगा होता है, उसे एक अधिक गिना जाता है। 

फिर भी एक बार पुनः आपको याद दिलाना चाहते हैं।

1. Ekadhika or Ekadhikain (एकाधिक या एकाधिकेन):

Ekadhika means “one more”.

एकाधिक का अर्थ होता हैं - एक अधिक।

Example:

0 का एकाधिकेन = 0 + 1 =1

Ekadhika of 0 is =0+1=1

1 का एकाधिकेन = •1 = 1 + 1 =2

2 का एकाधिकेन =  •2 = 2 + 1 =3

3 का एकाधिकेन =  •3 = 3 + 1 =4

4 का एकाधिकेन =  •4 = 4 + 1 =5

5 का एकाधिकेन =  •5 = 5 + 1 =6

6 का एकाधिकेन =  •6 = 6 + 1 =7

7 का एकाधिकेन =  •7 = 7 + 1 = 8

8 का एकाधिकेन =  •8 = 8 + 1 = 9

9 का एकाधिकेन =  •9 = 9 + 1 = 10

 •(12) का एकाधिकेन  =12+1=13

Ekadhika of •(12) is = 12+1=13

25 का एकाधिक =  •(25) = 25+1=26

Ekadhika of 25 is =  •(25) = 25+1=26

अतः किसी भी अंक के ऊपर बिन्दु या डॉट लगाने से उसका मान एकाधिक अर्थात एक बढ़ जाता है -

यदि •0 के ऊपर बिन्दु या डॉट लगाएंगे तो वह 1 पढ़ा जाएगा

•2 पर बिन्दु लगाएंगे तो 3, 

•3 पर लगाएंगे तो 4 

इसी प्रकार •9 पर बिन्दु लगाएंगे तो वह 10 हो जाएगा। 

एकाधिक बिन्दु के प्रयोग से वैदिक गणित की कई कठिनतम गणनाएं सरल हो जाती हैं।

अब हम अपने काम पर आते हैं।

एक अंकीय जोड़

(1)
    07
   •08
+ •09
______
    2 4

1) सबसे पहली इकाई अथवा यूनिट वाले कॉलम को जोड़ना प्रारंभ करते हैं। 7 + 8 =15 प्राप्त हुआ। 

15 की दहाई या टेन्स को हम हासिल मानकर मान लेते हैं। जिसके लिए हम 8 के आगे 0 लगाकर उसके शून्य के ऊपर एक डॉट (•0) लगा देते हैं। जिसका अर्थ एकाधिकेन होता है।  (•0) के एकाधिकेन का अर्थ (•0 = 1) अर्थात 1 होता है। 

अब शेष बचे अंतिम 5 को तीसरे अंक 9 में जोड़ते हैं। 9+5=14 प्राप्त हुआ। 

14 की दहाई या टेन्स को हम हासिल मानकर मान लेते हैं। जिसके लिए हम 9 के आगे 0 लगाकर उसके शून्य के ऊपर एक डॉट (•0) लगा देते हैं। जिसका अर्थ एकाधिकेन होता है।  (•0) के एकाधिकेन का अर्थ (•0 = 1) अर्थात 1 होता है। शेष बचे 4 को उत्तर में नीचे लिख देते हैं।

2) अब दूसरे अर्थात दहाई अथवा टैन वाले कॉलम को जोड़ना प्रारंभ करते हैं। जिसमें केवल जीरो के दो एकाधिकेन है।

•0 + •0 = 1 + 1 = 2 इस 2 को दहाई वाले कॉलम मैं उत्तर के स्थान पर लिख देते हैं। इस प्रकार हमारा उत्तर 24 प्राप्त हुआ।

(2)
    05
    03
+ •09
______
    17

1) सबसे पहली इकाई अथवा यूनिट वाले कॉलम को जोड़ना प्रारंभ करते हैं। 5 + 3 =8 प्राप्त हुआ। 

अब 8 में शेष बचे अंतिम तीसरे अंक 9 को जोड़ते हैं। 8+9=17 प्राप्त हुआ। 

17 की दहाई या टेन्स को हम हासिल मानकर मान लेते हैं। जिसके लिए हम 9 के आगे 0 लगाकर उसके शून्य के ऊपर एकाधिकेन चिन्ह या एक डॉट (•0) लगा देते हैं। शेष बचे 7 को उत्तर में इकाई के नीचे लिख देते हैं।

2) अब दूसरे अर्थात दहाई अथवा टैन वाले कॉलम को जोड़ना प्रारंभ करते हैं। जिसमें केवल जीरो का एक एकाधिकेन है।

•0 = 1   इस 1 को दहाई वाले कॉलम मैं उत्तर के स्थान पर लिख देते हैं। इस प्रकार हमारा उत्तर 17 प्राप्त हुआ।

(3)
    07
   •08
   •07
    05
+ •09
______
    36
(4)
   •08
   •07
    03
   •05
    05
+ •09
______
    47

Exercise 1

दो अंको वाली संख्याओं के जोड़

(5)

    12

    33

+ •09

______

    54

प्रक्रिया

1) सबसे पहली इकाई अथवा यूनिट वाले कॉलम को जोड़ना प्रारंभ करते हैं। 2 + 3 =5 प्राप्त हुआ। 

अब शेष बचे 5 को अंतिम तीसरे अंक 9 में जोड़ते हैं। 9+5=14 प्राप्त हुआ। 

14 की दहाई या टेन्स को हम हासिल मानकर मान लेते हैं। जिसके लिए हम 9 के आगे 0 लगाकर उसके शून्य के ऊपर एकाधिकेन चिन्ह या एक डॉट (•0) लगा देते हैं। तथा शेष बचे 4 को उत्तर में इकाई के नीचे लिख देते हैं।

2) अब दूसरे अर्थात दहाई अथवा टैन वाले कॉलम को जोड़ना प्रारंभ करते हैं। जिसमें केवल 1+3+•0=  4+1= 5 प्राप्त होता है।

इस 5 को दहाई वाले कॉलम मैं उत्तर के स्थान पर लिख देते हैं। इस प्रकार हमारा उत्तर 54 प्राप्त हुआ।

(6)

      12

      33

     •49

 +•056

______

    140

प्रक्रिया

1) सबसे पहली इकाई अथवा यूनिट वाले कॉलम को जोड़ना प्रारंभ करते हैं। 2 + 3 =5 प्राप्त हुआ। 

अब इस 5 को अंतिम तीसरे अंक 9 में जोड़ते हैं। 9+5=14 प्राप्त हुआ। 

14 की दहाई या टेन्स को हम हासिल  मान लेते हैं। जिसके लिए हम 9 के आगे दहाई के अंक 4 के ऊपर एकाधिकेन चिन्ह या एक डॉट (•4) लगा देते हैं। 

तथा शेष 4 को अगले अंक 6 में जोड़ते हैं। 4+6=10 प्राप्त होता है। 10 की दहाई या टेन्स को हम हासिल  मान लेते हैं। जिसके लिए हम 9 के आगे के दहाई के अंक 5 के ऊपर एकाधिकेन चिन्ह या एक डॉट (•5) लगा देते हैं।  तथा शेष बचे 0 को उत्तर में इकाई के नीचे लिख देते हैं।

2) अब दूसरे अर्थात दहाई अथवा टैन वाले कॉलम को जोड़ना प्रारंभ करते हैं। जिसमें केवल 1+3+•4=  4+5= 9 प्राप्त होता है।

इस 9 को अब चौथे अंक 5 में जोड़ देते हैं। इस 9+5 =14 प्राप्त हुआ।

14 की दहाई या टेन्स को हम हासिल  मान लेते हैं। जिसके लिए हम 5 के आगे सैकड़ों अर्थात हंड्रेड के स्थान पर शून्य लगाकर 0 के ऊपर एकाधिकेन चिन्ह या एक डॉट (•0) लगा देते हैं। 

अब शेष बचे 4 को हम दहाई वाले कॉलम मैं उत्तर के स्थान पर लिख देते हैं। 

3) अब तीसरे अर्थात सैकड़ा अथवा हंड्रेड वाले कॉलम को जोड़ना प्रारंभ करते हैं। जिसमें केवल जीरो का एकाधिकेन •0=1 है। 

अब इस 1 को तीसरे अर्थात सैकड़ा अथवा हंड्रेड वाले कॉलम उत्तर के स्थान पर में लिख देत हैं।

इस प्रकार हमारा उत्तर 140 प्राप्त हुआ।

(7)

       8  9

   •0•7 9

 +•0•5 6

_________

    2  2  4

Exercise 2

तीन अंको वाली संख्याओं के जोड़

Exercise 3

    513

+  922

________

प्रक्रिया

1) सबसे पहली इकाई अथवा यूनिट वाले कॉलम को जोड़ना प्रारंभ करते हैं। 3 + 2 =5 प्राप्त हुआ। 

5 को उत्तर के स्थान पर इकाई के नीचे लिखें।

2) अब दूसरे अर्थात दहाई अथवा टैन वाले कॉलम को जोड़ना प्रारंभ करते हैं। जिसमें केवल 1+2 = 3 प्राप्त होता है।

3 को उत्तर के स्थान पर दहाई के नीचे लिखें।

3) अब तीसरे अर्थात सैकड़ा अथवा हंड्रेड वाले कॉलम को जोड़ना प्रारंभ करते हैं। इस 9+5 =14 प्राप्त हुआ।

14 की दहाई या टेन्स को हम हासिल  मान लेते हैं। जिसके लिए हम 9 के आगे हजार अथवा थाउजेंड के स्थान पर शून्य लगाकर 0 के ऊपर एकाधिकेन चिन्ह या एक डॉट (•0) लगा देते हैं। 

अब शेष बचे 4 को हम सैकड़ा अथवा हंड्रेड वाले कॉलम मैं उत्तर के स्थान पर लिख देते हैं। 

4) अब चौथे अर्थात हजार अथवा थाउजेंड वाले कॉलम को जोड़ना प्रारंभ करते हैं। जिसमें केवल जीरो का एकाधिकेन •0=1 है। 

अब इस 1 को चौथे अर्थात हजार अथवा थाउजेंड वाले कॉलम उत्तर के स्थान पर में लिख देत हैं।

इस प्रकार हमारा उत्तर 1435 प्राप्त हुआ।

चार अंको वाली संख्याओं के जोड़

Exercise 4

पांच अंको वाली और तीन क्षैतिज पंक्तियो वाली संख्याओं के जोड़:

Exercise 5