महत्तम समापवर्त्य (HCF) और लघुत्तम समापवर्त्य (LCM

आपका प्रश्न बहुत महत्वपूर्ण है – महत्तम समापवर्त्य (HCF) और लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) निकालने की विभिन्न विधियाँ, और उनमें वैदिक गणित की विधियाँ किस प्रकार मदद करती हैं, यह जानना विद्यार्थियों व शिक्षकों दोनों के लिए उपयोगी है।

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🔷 HCF (Highest Common Factor) और LCM (Least Common Multiple)

📌 1. पारंपरिक (Regular) गणितीय विधियाँ:

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🌟 HCF निकालने की पारंपरिक विधियाँ:

🔸 विधि 1: संकलन-व्यवकलन विधि (Subtraction Method)

👉 किसी दो संख्याओं में से बड़ी संख्या में छोटी संख्या को घटाते जाइए जब तक दोनों संख्याएँ समान न हो जाएँ।

📌 उदाहरण:
60 और 48

• 60 - 48 = 12
• 48 - 12 = 36
• 36 - 12 = 24
• 24 - 12 = 12
• 12 - 12 = 0
  ✔️ HCF = 12

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🔸 विधि 2: अभाज्य गुणनखंड विधि (Prime Factorization Method)

👉 संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में तोड़िए और सामान्य (कॉमन) गुणनखंडों को लीजिए।

📌 उदाहरण:
60 = 2² × 3 × 5
48 = 2⁴ × 3
👉 समान गुणनखंड: 2² × 3 = 12
✔️ HCF = 12

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🔸 विधि 3: Euclid’s Division Method (यूक्लिड विभाजन विधि)

👉 बड़ी संख्या को छोटी संख्या से भाग देकर शेषफल जब 0 हो जाए, तब भाजक ही HCF होता है।

📌 उदाहरण:
60 ÷ 48 → शेष 12
48 ÷ 12 → शेष 0
✔️ HCF = 12

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🌟 LCM निकालने की पारंपरिक विधियाँ:

🔸 विधि 1: अभाज्य गुणनखंड विधि

👉 सभी संख्याओं के अधिकतम घात वाले सभी अभाज्य गुणनखंडों को गुणा करें।

📌 उदाहरण:
60 = 2² × 3 × 5
48 = 2⁴ × 3
👉 LCM = 2⁴ × 3 × 5 = 240
✔️ LCM = 240

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🔸 विधि 2: गुणन पद्धति (Common Multiple Method)

👉 एक संख्या के गुणज (multiples) और दूसरी के भी, जो पहला समान हो वही LCM।

📌 उदाहरण:
Multiples of 60: 60, 120, 180, 240, …
Multiples of 48: 48, 96, 144, 192, 240, …
✔️ LCM = 240

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🕉️ अब वैदिक गणित की दृष्टि से –

🟩 वैदिक सूत्र: "संकलन व्यवकलनाभ्यां"

👉 इसका अर्थ है: जोड़ व घटाव की प्रक्रिया से उत्तर निकालना।

📍 इस सूत्र का उपयोग HCF के लिए:

👉 दो संख्याओं में संकलन (जोड़) और व्यवकलन (घटाव) करते हुए HCF निकालते हैं।

📌 उदाहरण:
चलिए 60 और 48 का HCF निकालते हैं।

• 60 - 48 = 12
• 48 - 12 = 36
• 36 - 12 = 24
• 24 - 12 = 12
• 12 - 12 = 0
  ✔️ HCF = 12
  👉 यह वही विधि है जो ऊपर आपने देखी, लेकिन वैदिक गणित में इसे “संकलन व्यवकलनाभ्यां” सूत्र से लिया गया है।

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🟧 वैदिक सूत्र: "एकाधिकेन पूर्वेण"

👉 इस सूत्र का उपयोग LCM में भी किया जा सकता है।

📌 उदाहरण के लिए, यदि दो संख्याएँ 12 और 18 हैं:

• HCF = 6
• LCM = (12 × 18) ÷ HCF = 216 ÷ 6 = 36
  ✔️ LCM = 36

👉 यह विधि वैदिक गणित की गुणनखंड व अनुपातीय दृष्टि से भी उचित है।

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✅ HCF और LCM के बीच संबंध (Relation)

🔁 महत्त्वपूर्ण सूत्र:

\text{HCF} \times \text{LCM} = \text{संख्या 1} \times \text{संख्या 2}

📌 उदाहरण:
60 × 48 = 2880
HCF = 12
LCM = 240
12 × 240 = 2880 ✔️

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🧠 संक्षेप में विधियों की तुलना:

विधि का नाम	HCF / LCM	विशेषता
संकलन व्यवकलनाभ्यां (वैदिक)	HCF	जोड़-घटाव आधारित
अभाज्य गुणनखंड विधि	HCF/LCM	सरल लेकिन लंबी विधि
Euclid विधि	HCF	प्रभावी, शॉर्टकट विधि
Multiples विधि	LCM	प्रैक्टिकल लेकिन धीमी
सूत्र – HCF × LCM = संख्या1 × संख्या2	दोनों	मानसिक गणना के लिए उत्कृष्ट

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🔍 व्यावहारिक उपयोग:

• HCF का उपयोग बंटवारे में होता है, जैसे – 60 और 48 चीजें कितने ग्रुप में समान रूप से बाँटी जा सकती हैं?
• LCM का उपयोग समय, पुनरावृत्ति, मीटिंग आदि के शेड्यूल में होता है – जैसे दो घंटियाँ 60 और 48 सेकंड में बजती हैं, साथ में कब बजेंगी?

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वैदिक गणित में LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) निकालने की विधियाँ बहुत सरल, तेज़ और मानसिक गणना को सक्षम बनाने वाली होती हैं। यहां हम पारंपरिक और वैदिक दोनों विधियों को विस्तार से समझेंगे ताकि तुलनात्मक रूप से भी स्पष्टता हो।

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🔷 LCM की मूल परिभाषा

LCM दो या अधिक संख्याओं का वह सबसे छोटा गुणज (Common Multiple) होता है, जो उन सभी संख्याओं से पूर्णतः विभाजित होता है।

उदाहरण:
6 और 8 का LCM = 24
(क्योंकि 24 वह सबसे छोटी संख्या है जो 6 और 8 दोनों से विभाजित होती है)

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🟡 पारंपरिक विधियाँ (Traditional Methods)

1. गुणज विधि (Listing Multiples Method):

हर संख्या के गुणज लिखते हैं और जो सामान्य (Common) गुणज सबसे छोटा होता है, वही LCM होता है।

उदाहरण:
6 = 6, 12, 18, 24, 30, ...
8 = 8, 16, 24, 32, ...
LCM = 24

👉 धीमी है, बड़ी संख्याओं के लिए अव्यवहारिक।

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2. प्राइम फैक्टर विधि (Prime Factorization):

हर संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों (Prime Factors) में विभाजित करो और हर अभाज्य संख्या का अधिकतम घात लेकर गुणा करो।

उदाहरण:
12 = 2² × 3
18 = 2 × 3²
LCM = 2² × 3² = 4 × 9 = 36

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3. HCF के साथ सूत्र विधि:

\text{LCM} = \frac{\text{संख्याओं का गुणनफल}}{\text{HCF}}

उदाहरण:
12 और 18 का गुणनफल = 216
HCF = 6
LCM = 216 ÷ 6 = 36

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🔷 वैदिक गणित की विधियाँ (Vedic Methods)

वैदिक गणित में निम्न सूत्र LCM/HCF हेतु सहायक होते हैं:

✅ 1. ‘संकलन-व्यवकलनाभ्यां’ विधि (By Addition & Subtraction Method)

इस विधि का उपयोग पहले HCF के लिए होता है, फिर LCM निकाला जाता है।

उदाहरण: 36 और 60

चरण 1:
व्यवकलन करो:
60 – 36 = 24

चरण 2:
अब दो संख्याओं और अंतर के HCF निकालो –
HCF(36, 60) = 12

चरण 3:
LCM = (36 × 60) / 12 = 180

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✅ 2. ‘यावदूनम्’ विधि (Base Method)

जब संख्याएँ किसी निकटतम आधार (जैसे 10, 100, 1000) के आस-पास हों, तब LCM निकालने में सहायक।

उदाहरण: 98 और 100

100 के आसपास हैं
98 = 100 – 2
100 = 100

अब देखना होगा कि दोनों किस संख्या से divide हो सकते हैं।

HCF = 2
LCM = (98 × 100)/2 = 4900

यह विधि तेज़ होती है जब आधार-समीप संख्याएँ हों।

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✅ 3. ‘एकाधिकेन पूर्वेण’ उपसूत्र आधारित विधि

यह उपसूत्र जटिल संख्या विभाजन में प्रयोग होता है, जिससे छोटे भाग करके गुणज या HCF निकाला जाता है। फिर उसी से LCM की गणना की जाती है।

उदाहरण:

संख्याएँ: 18, 24, 36

1. पहले दो का LCM = LCM(18, 24) = 72
2. फिर 72 और 36 का LCM = LCM(72, 36) = 72

👉 अंतिम उत्तर: 72

इस क्रमिक संयोजन को ‘आंशिक गुणज समुच्चय विधि’ कहा जा सकता है।

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✅ 4. प्राकृतिक संख्या तालिका विधि (Tabular Base Method)

यह वैदिक स्कूलों में आम है:

1. सभी संख्याओं को लिखें।
2. एक ही समय में सभी पर एक प्राइम फैक्टर लगाएं।
3. जब तक सभी 1 नहीं बन जाते, प्रक्रिया दोहराएं।
4. सभी भाजकों का गुणा = LCM

उदाहरण:

Prime	12	18
2	6	9
2	3	9
3	1	3
3	1	1

LCM = 2 × 2 × 3 × 3 = 36

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📘 निष्कर्ष रूप में तुलना तालिका

विधि	विशेषता	उपयुक्त स्थिति
गुणज विधि	सरल, धीमी	छोटी संख्याएँ
Prime Factor	सटीक	मध्यम संख्याएँ
HCF-फ़ॉर्मूला	तेज़	यदि HCF ज्ञात हो
संकलन-व्यवकलनाभ्यां	वैदिक तेज़ विधि	दो संख्याएँ
यावदूनम्	तेज़	आधार समीप
तालिका विधि	सरल और मानसिक गणना	बच्चों को पढ़ाने के लिए

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🧠 मानसिक अभ्यास प्रश्न (Practice Questions)

1. 16 और 24 का LCM निकालो।
2. 45 और 75 का LCM वैदिक विधि से निकालो।
3. 72, 120, 144 का LCM निकालो।
4. 88 और 96 का LCM ‘यावदूनम्’ विधि से निकालो।

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बताना चाहेंगे?

एल.सी.एम (LCM – लघुत्तम समापवर्त्य) निकालने की वैदिक गणित में अनेक सरल, तेज और मानसिक गणना आधारित विधियाँ हैं। यहाँ हम प्रत्येक प्रमुख विधि को क्रमबद्ध, उदाहरण सहित और सरल भाषा में विस्तार से समझेंगे।

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🔷 LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) क्या है?

LCM दो या अधिक संख्याओं का वह सबसे छोटा गुणज होता है जो उन सभी संख्याओं से विभाज्य होता है।

उदाहरण:
2 और 3 का LCM = 6, क्योंकि 6 वह सबसे छोटी संख्या है जो 2 और 3 दोनों से विभाजित हो जाती है।

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🧠 वैदिक गणित की विधियाँ:

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✅ 1. गुणनफल-भाग विधि (LCM = उत्पाद / HCF)

यह सबसे लोकप्रिय वैदिक विधि है जो “गुणितसमुच्चयः समुच्चयगुणितः” सूत्र पर आधारित है।

🔹 सूत्र:

\text{LCM} = \dfrac{a \times b}{\text{HCF}(a, b)}

📌 उदाहरण:

मान लीजिए:
a = 12, b = 18

Step 1:
HCF(12, 18) = 6
(6 सबसे बड़ी संख्या है जो 12 और 18 दोनों को विभाजित करती है)

Step 2:
LCM = (12 × 18) / 6 = 216 / 6 = 36

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✅ 2. अभाज्य गुणनखंड विधि (Prime Factorization Method)

यह वैदिक विधियों में एक "परावर्त्य योनि परावर्ते" जैसे दृष्टिकोण से जुड़ती है।

🔹 चरण:

• सभी संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ो।
• प्रत्येक अभाज्य संख्या का सर्वाधिक घात लो।
• उनका गुणा करो।

📌 उदाहरण:

LCM of 8, 12, 15

Step 1: Prime Factorization

• 8 = 2³
• 12 = 2² × 3¹
• 15 = 3¹ × 5¹

Step 2: Maximum powers

• 2³, 3¹, 5¹

Step 3: Multiply
LCM = 2³ × 3¹ × 5¹ = 8 × 3 × 5 = 120

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✅ 3. न्यूनतम सारणी विधि (Short Division / Grid Method)

इसे “यावदूनं” या “एकाधिकेन पूर्वेण” की तकनीक से भी जोड़ा जा सकता है।

🔹 चरण:

1. एक सारणी बनाएं जिसमें संख्याएँ एक पंक्ति में हों।
2. सबसे छोटा अभाज्य (prime) चुनें और देखें कि वह किससे-किससे कटता है।
3. जो संख्या कटती हो, उसे भाग दो; अन्य को जस का तस लिखो।
4. यह प्रक्रिया तब तक दोहराओ जब तक सभी संख्याएँ 1 न बन जाएँ।
5. सभी भाग देने वाले संख्याओं का गुणा करें।

📌 उदाहरण: LCM of 6, 8, 12

2	6	8	12
2	3	4	6
2	3	2	3
3	1	2	1
2	1	1	1

अब भाग देने वाली संख्याएँ: 2 × 2 × 2 × 3 = 24

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✅ 4. वैदिक अनुपात विधि (अनुरूपेण उपसूत्र पर आधारित)

यदि संख्याएँ अनुपात में हों तो उनके गुणज निकालकर सरलता से LCM ज्ञात कर सकते हैं।

📌 उदाहरण:

10 और 15
अनुपात: 10:15 = 2:3

अब LCM = गुणनफल / HCF
= (10 × 15) / 5 = 30

(यह पहले वाली विधि का अनुपात रूप है)

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✅ 5. सामान्य गुणज क्रम से जांच विधि

यह 'आवृत्तिपूर्वेण' प्रकार से भी देखी जा सकती है।

📌 उदाहरण: LCM of 3, 4, 5

गुणज क्रम:

• 3 के गुणज: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 30, ...
• 4 के गुणज: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, ...
• 5 के गुणज: 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...

पहला सामान्य गुणज = 30

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✅ 6. "क्षेपकविधि" (Leftover Remainder Method)

यह विशेषकर तब प्रयोग होता है जब LCM निकालते समय शेषफल दिया गया हो।

यह विधि उपयोगी होती है जब प्रश्न कुछ इस प्रकार हो:
"एक संख्या ऐसी है जो 7 से विभाजित करने पर 3 शेष देती है, 5 से विभाजित करने पर 2 शेष देती है, … आदि।"

इस विधि में ‘चीन का अवशेष प्रमेय’ या वैदिक रूप में “शेषन्येङ्केन चरणम्” उपसूत्र का प्रयोग होता है।

यह एक स्वतंत्र, विस्तृत विषय है।

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📚 सारांश (Comparison Table):

विधि	उपयुक्तता	विशेषता
गुणनफल-भाग विधि	दो संख्याओं में श्रेष्ठ	तेज और सटीक
Prime Factorization	2–4 संख्याओं के लिए	व्यवस्थित और मानसिक गणना संभव
Grid Method (सारणी)	किसी भी संख्या समूह के लिए	छात्रों के लिए आसान
अनुपात विधि	अनुपात वाली संख्याओं में	HCF के साथ संयोजन से हल
गुणज क्रम विधि	छोटी संख्याओं में	मानसिक अभ्यास हेतु श्रेष्ठ
क्षेपकविधि	शेषफल वाले प्रश्नों में	वैदिक रहस्य से जुड़ी

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🪔 वैदिक सूत्रों का योग

वैदिक सूत्र	उपयोग
गुणितसमुच्चयः समुच्चयगुणितः	HCF और LCM का सम्बन्ध
यावदूनं तावदूनिकेन	घटाने-घटाने की विधियाँ
अनुरूपेण	अनुपात आधारित समाधान
शेषन्येङ्केन चरणम्	शेषफल पर आधारित LCM
लोपनास्थापनाभ्याम्	संख्याओं के कारक घटाने हेतु

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❓ यदि आपके पास कोई विशेष उदाहरण है, तो बताइए — मैं उसी पर विधियों को लगाकर बताऊँगा।

आप चाहें तो अब "HCF निकालने की वैदिक विधियाँ" भी विस्तार से जान सकते हैं।