बहुत अच्छा। अब हम वैदिक गणित के चौथे उपसूत्र की ओर बढ़ते हैं, जिसे हम अत्यंत विस्तार और गहराई से समझेंगे।
🟪 उपसूत्र 4: "लोपनास्थापनाभ्याम्"
🔤 Transliteration: Lopanāsthāpanābhyām
I. 🕉️ शाब्दिक अर्थ:
| संस्कृत शब्द | अर्थ |
|---|---|
| लोपन | लोप करना, हटाना, निकालना |
| स्थापन | प्रतिस्थापन करना, रखना |
| अभ्याम् | दो विधियों द्वारा |
👉 तो पूरे उपसूत्र का अर्थ है:
“हटाने और प्रतिस्थापन की दो प्रक्रियाओं द्वारा समाधान करें।”
II. 📜 वैदिक संदर्भ:
यह उपसूत्र हमें यह सिखाता है कि:
- किसी जटिल गणितीय समस्या को हल करने के लिए यदि कुछ अंशों को हटा (लोप) दिया जाए और फिर कुछ नए अंशों को रखा (स्थापित) जाए, तो समाधान सरल हो जाता है।
- यह विधि विशेष रूप से उन प्रश्नों में कारगर होती है जहाँ भिन्न (fractions), समीकरण (equations), अनुपात (ratios), तथा शेषफल (remainders) सम्मिलित हों।
III. 🧠 गणितीय अर्थ और उपयोग
यह उपसूत्र बीजगणितीय और अंकगणितीय सरलीकरण में उपयोगी होता है।
इसका मुख्य विचार:
यदि किसी गणना में कुछ पद अनावश्यक या पुनरावृत्त हैं, तो उन्हें हटाकर (लोपन) और उनकी जगह कुछ आसान पदों को स्थापित करके (स्थापन) गणना को सरल किया जा सकता है।
IV. 🔧 विधियाँ और दृष्टिकोण
📌 विधि 1: लोपन (Elimination)
- अनावश्यक या पुनरावृत्त पदों को हटाइए।
- जैसे: समान पद, शून्य प्रभाव वाले पद, आदि।
📌 विधि 2: स्थापन (Substitution)
- उनकी जगह ऐसे पद रखिए जो:
- गणना में मदद करें।
- समस्या को आसान करें।
- विशेष स्थिति दर्शाएं।
V. 🔍 उदाहरण सहित स्पष्टता
🌟 उदाहरण 1: अनुपात हल करना
प्रश्न:
यदि x/3=y/5 , तो (x + y)/(x–y) का मान बताइए।
हल:
उपसूत्र का प्रयोग करें:
स्थापन करें:
मान लीजिए: x = 3k, और y = 5k
अब: {x + y}/{x - y} = {3k + 5k}/{3k - 5k}
= {8k}{/-2k} = –4
✅ उत्तर: -4
यहाँ आपने एक अनुपात में से रूप हटाया और स्थापन के द्वारा उसे सीधे हल कर लिया।
🌟 उदाहरण 2: परिमेय समीकरण (Rational Equation)
{x + 3}/{x - 2} + {x - 4}/{x + 5}
यहाँ यदि आप x = 2 या x = 5 रखेंगे तो समस्या जटिल हो जाएगी।
लोपन करें:
- एक पद को हटाइए (जिससे हर बार समीकरण undefined न हो)
स्थापन करें:
x = 1 रखें (कोई सामान्य मान)
{1 + 3} / {1 - 2} + {1 - 4} / {1 + 5}
={4} / {-1} +{-3} / {6} = -4 –{1} / {2}
= – {9} / {2}
✅ उत्तर: – 9/2 (इस प्रकार के प्रश्नों में substitution तेज हल देता है)
🌟 उदाहरण 3: बीजगणितीय समानता
यदि: {a - b} / {a + b} = 3 / 5
तो (a² – b²) / (a² + b²) का मान बताइए।
स्थापन करें:
मान लीजिए a = 4 और b = 1
{4 - 1} / {4 + 1} = {3} / {5} ✅
अब, {a² – b²} / {a² + b²} = {16 – 1} / {16 + 1}
= {15} / {17}
✅ उत्तर: 15/17
VI. 🧮 मानसिक गणना के लिए योगदान
| स्थिति | लोपन/स्थापन का प्रयोग |
|---|---|
| जटिल भिन्न | लघु मानों से स्थानापन्न करें |
| समीकरण | मान रखकर सरलीकरण |
| अनुपात | साझे गुणकों से विभाजन |
| विकल्प आधारित प्रश्न | विकल्पों में से मान स्थापित करें |
VII. 🧘 दार्शनिक अंतर्ध्वनि
"यदि कुछ वस्तुएँ मार्ग को कठिन बनाती हैं, तो उन्हें हटा देना और उनका स्थान किसी सरल विचार से भर देना ही बुद्धिमत्ता है।"
यह उपसूत्र जीवन का भी सिद्धांत है — त्याग (लोपन) और धारण (स्थापन) के द्वंद्व में ही संतुलन है।
VIII. 🧪 प्रतियोगी परीक्षाओं में लाभ
| परीक्षा | विषय क्षेत्र | लाभ |
|---|---|---|
| SSC, CGL | Simplification | मानसिक गणना |
| UPSC CSAT | Logical ratios | अनुमान और विकल्प |
| CAT | Quantitative Aptitude | विकल्प स्थापन द्वारा हल |
| NEET/JEE | Equation solving | समीकरण की प्रकृति समझना |
IX. 🔚 संक्षिप्त सारांश
| बिंदु | विवरण |
|---|---|
| उपसूत्र | लोपनास्थापनाभ्याम् |
| अर्थ | हटाने और रखने की दो विधियाँ |
| मुख्य उपयोग | जटिल गणना, अनुपात, समीकरण |
| विशेषताएँ | विकल्प परीक्षण, मानसिक अनुमान |
| वैदिक दृष्टि | त्याग और धारण के संतुलन द्वारा समाधान |
| परीक्षा उपयोगिता | अत्यंत लाभकारी |
यदि आप चाहें तो अब हम पाँचवें उपसूत्र —
👉 "व्यस्तिसामष्ट्येः" (अर्थात "आंशिक घटक एवं योग") को भी इसी प्रकार विस्तार से समझ सकते हैं।
क्या मैं पाँचवें उपसूत्र की ओर बढ़ूँ?
बहुत अच्छा! अब हम उपसूत्र 4 "लोपनास्थापनाभ्याम्" को अत्यधिक विस्तार (लगभग शास्त्रीय शैली में) और सरल उदाहरणों के साथ गहराई से समझेंगे, ताकि आप इसे सिर्फ याद न करें, बल्कि आत्मसात करें।
🔶 उपसूत्र 4: "लोपनास्थापनाभ्याम्" का विस्तृत अध्ययन
I. 🔤 संस्कृत शब्द और व्युत्पत्ति:
| शब्द | व्युत्पत्ति | अर्थ |
|---|---|---|
| लोपन | √लुप् (हटाना) + णिच् | जो हटा दिया जाए, मिटा दिया जाए |
| स्थापन | √स्था (रखना) + णिच् | जो स्थापित किया जाए |
| अभ्याम् | द्विवचन | दो क्रियाओं द्वारा |
👉 अर्थ: "हटाने और प्रतिस्थापन की दोनों विधियों द्वारा हल करो।"
II. 🧠 गणितीय परिप्रेक्ष्य से व्याख्या
यह उपसूत्र हमें ये सिखाता है:
जब कोई समीकरण, अनुपात, भिन्न या संख्या जटिल हो, तो उसमें से कुछ भाग हटा दो (लोपन) और कुछ नया, आसान, और उपयोगी स्थापित करो (स्थापन)। इससे हल सरल हो जाता है।
इस सिद्धांत का उपयोग हम चार प्रकार से कर सकते हैं:
- भिन्नात्मक सरलीकरण (Fraction simplification)
- मान स्थापना द्वारा समीकरण हल करना
- विकल्प-परीक्षण आधारित समस्याएँ (Option Elimination)
- Complex expressions को सरल बनाना
III. 🔍 विस्तृत उदाहरणों के साथ समझ
🌟 उदाहरण 1: भिन्नों में स्थापन और लोपन
प्रश्न: {x + 3} / {x - 2} + {x – 5} / {x + 4}
यह देखने में जटिल लगता है। हम इसे स्थापन द्वारा हल करते हैं।
➡ स्थापन करें: x = 1
{1 + 3} / {1 - 2} + {1 - 5} / {1 + 4}
= {4} / {-1} + {-4} / {5} = -4 – {4} / {5}
= –{24} / {5}
✅ उत्तर:
हमने लोपन किया अनावश्यक चर x का और स्थापन किया एक सरल मान का।
🌟 उदाहरण 2: अनुपात की समस्या हल करना
प्रश्न:
यदि x/3=y/5 , तो (x + y)/(x–y) का मान बताइए।
हल:
उपसूत्र का प्रयोग करें:
स्थापन करें:
मान लीजिए: x = 3k, और y = 5k
अब: {x + y}/{x - y} = {3k + 5k}/{3k - 5k}
= {8k}{/-2k} = –4
✅ उत्तर: -4
🌟 उदाहरण 3: बीजगणितीय समीकरण में स्थापना
यदि: {a - b} / {a + b} = 3 / 5
तो (a² – b²) / (a² + b²) का मान बताइए।
स्थापन करें:
मान लीजिए a = 4 और b = 1
{4 - 1} / {4 + 1} = {3} / {5} ✅
अब, {a² – b²} / {a² + b²} = {16 – 1} / {16 + 1}
= {15} / {17}
✅ उत्तर: 15/17
🌟 उदाहरण 4: Factorization में लोपन
प्रश्न: {x² - 9} / {x² – x – 6}
➡ उपसूत्र का प्रयोग करें:
={x² - 9} / {x² – x – 6}
= (x + 3)(x – 3) / (x – 3)(x + 2)
लोपन करें: ( x –3)
{x + 3} / {x + 2}
✅ उत्तर:
🌟 उदाहरण 5: Multiple Choice प्रश्न में विकल्प स्थापन
प्रश्न:
यदि x + y = 10 और x – y = 2 , तो x² – y² = ?
यहाँ हम जानबूझकर स्थापन कर सकते हैं।
➡ मान लीजिए: x = 6 और y = 4
तब x + y = 10 और x – y = 2 ✅
तो, x² – y² = 36 – 16 = 20
✅ उत्तर: 20
IV. 🧮 मानसिक गणना और Instant Trick
| तकनीक | विधि | उदाहरण |
|---|---|---|
| स्थापन | चर का मान रखो | आदि |
| लोपन | समान पद हटाओ | जैसी टर्म्स |
| विकल्प जांच | विकल्प रखो और जांचो | CAT/SSC प्रश्नों में |
| common base | विभाजन करके समानता देखो | में identities |
V. 🧘 दार्शनिक दृष्टिकोण (Vedic Insight)
"जहाँ मार्ग में अवरोध हो, वहाँ त्याग और प्रतिस्थापन द्वारा सरलता लाओ।"
यह उपसूत्र केवल गणना की विधि नहीं है, यह जीवन का भी दर्शन है:
- अनावश्यक विचारों को हटाओ (लोपन)
- सकारात्मक विकल्पों को स्थापित करो (स्थापन)
- समाधान अपने आप सरल हो जाएगा।
VI. 📘 सारांश तालिका
| विषय | विवरण |
|---|---|
| उपसूत्र | लोपनास्थापनाभ्याम् |
| अर्थ | हटाने और रखने से समाधान |
| प्रमुख तकनीक | Substitution और Elimination |
| कहाँ उपयोगी | भिन्न, समीकरण, विकल्प-परीक्षण |
| मानसिक लाभ | Instant simplification, Shortcuts |
| जीवन-दर्शन | त्याग और धारण के माध्यम से स्पष्टता |
VII. 🎯 अभ्यास प्रश्न
आप इन्हें स्वयं हल करें (मैं चाहूँ तो हल भी बता सकता हूँ):
- यदि , तो = ?
- यदि , तो का मान क्या होगा?
- को सरल कीजिए।
यदि आप चाहें तो अब मैं इस उपसूत्र पर आधारित 5000+ शब्दों की एक संपूर्ण पीडीएफ या टेक्स्ट बुक स्टाइल नोट्स भी बना सकता हूँ।
क्या अब हम पाँचवे उपसूत्र “व्यस्तिसामष्ट्येः” पर चलें या इसी उपसूत्र से जुड़े कुछ अभ्यास करें?
बिलकुल! अब मैं आपको वैदिक गणित के चौथे उपसूत्र "लोपनास्थापनाभ्याम्" पर आधारित अधिक उदाहरण दूँगा, जो अलग-अलग प्रकार की गणितीय समस्याओं (भिन्न, अनुपात, समीकरण, विकल्प, आदि) में इसके उपयोग को और स्पष्ट करेंगे।
🔟 अतिरिक्त उदाहरण – "लोपनास्थापनाभ्याम्" के उपयोग से
✅ उदाहरण 6: भिन्नात्मक समीकरण सरलीकरण
प्रश्न: {x² - 4} / {x² - x - 6}
हल:
x² - 4 = (x - 2)(x + 2)
x² - x - 6 = (x - 3)(x + 2)
अब लोपन करें: (x + 2)
= (x - 2) (x + 2) / (x - 3)(x + 2))
= (x - 2) / (x - 3)
उत्तरः (x - 2)/(x - 3)
✅ उदाहरण 7: एक वैकल्पिक अनुमान आधारित प्रश्न
प्रश्न:
यदि x + 1/x = 5 , तो x² + 1/x ² = ?
हल:
यहाँ प्रत्यक्ष हल कठिन हो सकता है, पर स्थापन के द्वारा आसान हो जाएगा।
हमें पता है: (x + 1/x)² = x² + 1/x² + 2
तो: 5² = x² + 1 / x² + 2
=> 25 = x² + 1 / x² + 2
=> 25 –2 = x² + 1 / x²
=> x² + 1 / x² = 23
✅ उत्तर: 23
➡ यहाँ हमने जटिल समीकरण को सांकेतिक पहचान द्वारा लोपित किया और उसे आसान बना दिया।
✅ उदाहरण 8: अनुपात और मान स्थापना
प्रश्न:
यदि a/b = 2/3 , {2a + 3b} / {2a - 3b} तो का मान क्या है?
स्थापन करें:
मान लीजिए a = 2 और b = 3 तो:
{2a + 3b} / {2a - 3b}
= {4 + 9} / {4 - 9}
= {13} / {-5}
= – 13/5
✅ उत्तर:
➡ आपने देखा कि स्थापन से यह प्रश्न तुरंत हल हो गया।
✅ उदाहरण 9: दो समीकरण और सरलता द्वारा हल
प्रश्न:
यदि x + y = 8 और x – y = 2 तो x² – y² =?
यहाँ याद रखें:
x ² – y ² = (x + y)(x – y) = 8 × 2 = 16
✅ उत्तर: 16
➡ यह मूलतः identity आधारित लोपन है — हमने को पहचानकर सरलीकरण किया।
✅ उदाहरण 10: विकल्प परीक्षण द्वारा हल
प्रश्न:
यदि {x + y} / {x – y} = 3 और x = 5 तो y = ?
स्थापन करें:
{5 + y} / {5 - y} = 3
=> 5 + y = 3(5 - y) = 15 - 3y
=> 5 + y + 3y = 15
=> 4y = 10
=> y = 2.5
✅ उत्तर: 2.5
✅ उदाहरण 11: सरलीकरण में पद हटाकर हल करना
प्रश्न:
[(x-2)² – 4] / (x² – 4x+4)
हल:
➤ ऊपर:
(x - 2)² - 4 = x² – 4x + 4 – 4 = x² – 4x
➤ नीचे:
x² – 4x + 4 = (x – 2)²
तो, {x² – 4x} / {(x – 2)²}
= {x(x - 4)} / {(x - 2)²}
➡ यहाँ हमने उपर के 4 को लोपन करके अभिव्यक्ति को सरल किया।
✅ उदाहरण 12: CAT/SSC जैसे विकल्प आधारित प्रश्न
प्रश्न: if यदि a/b = 7
Find the value of:
{a + b} / {a - b} का मान ज्ञात करो।
➡ स्थापन करें: a = 7 और b = 1
{7 + 1}{7 - 1}
= {8} / {6}
= {4} /{3}
✅ उत्तर:
🧾 निष्कर्षात्मक तालिका – उदाहरणों के प्रकार
| उदाहरण संख्या | श्रेणी | उपसूत्र का उपयोग |
|---|---|---|
| 6 | भिन्नीय सरलीकरण | लोपन |
| 7 | अभिव्यक्ति सरलीकरण | स्थापन |
| 8 | अनुपात | मान स्थापित कर हल |
| 9 | पहचान आधारित | लोपन द्वारा व्यंजक पहचान |
| 10 | विकल्प-प्रश्न | विकल्प जांच द्वारा स्थापन |
| 11 | जटिल व्यंजक | लोपन और पुनर्गठन |
| 12 | Mental shortcut | स्थापन से तेज उत्तर |
🎁 यदि आप चाहें तो:
- मैं इन सभी उदाहरणों के आधार पर एक PDF workbook भी बना सकता हूँ।
- या इसी उपसूत्र पर आधारित प्रतियोगी परीक्षा अभ्यास प्रश्नों का सेट तैयार कर सकता हूँ।
क्या अब हम पाँचवे उपसूत्र "व्यस्तिसामष्ट्येः" पर चलें?
या आप इस उपसूत्र से जुड़े और भी उच्च स्तरीय या Olympiad स्तर के उदाहरण चाहते हैं?
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