बिल्कुल! अब हम वैदिक गणित के तीसरे सूत्र को विस्तार से समझेंगे। साथ ही देखेंगे कि इसका प्रयोग कहां-कहां किया जाता है और यह क्यों महत्वपूर्ण है।

वैदिक गणित का तीसरा सूत्र: "पूर्णांकता" या "संपूर्णता" सूत्र (Nikhilam Navatashcaramam Dashatah)

1. तीसरे सूत्र का परिचय और नाम

तीसरे सूत्र का नाम है: निखिलम् नवतश्चरमं दशतः (Nikhilam Navatashcaramam Dashatah), जिसका अर्थ है —
"जो भी संख्या, 100 (या 10, 1000 आदि) के निकट हो, उससे उस आधार को घटा लो, फिर कुछ आसान कदमों से गुणा करो।"

इसे सामान्य भाषा में हम कहते हैं:
"पूरक आधार विधि" या "पूर्णांकता विधि"

2. सूत्र का मूल सिद्धांत

जब हमें किसी संख्या को, जो किसी बेस नंबर (10, 100, 1000 ...) के करीब है, गुणा करना होता है, तो हम उस बेस नंबर के आधार पर संख्याओं को दो हिस्सों में विभाजित करते हैं:

संख्या का अंतर (या कमी) बेस से (या उससे ऊपर)
उस अंतर का इस्तेमाल जोड़ने-घटाने के लिए
और फिर बाकी हिस्से को गुणा करके अंतिम उत्तर निकालते हैं।

3. सूत्र की विधि (Step-by-step Method)

मान लीजिए दो संख्याएं हैं:

और , और आधार (जैसे 10, 100, 1000 आदि)

और दोनों के निकट हैं।
(अगर से कम है तो) या (अगर से अधिक है तो)
(या )

चरण 1: दोनों संख्याओं के पूर्णांक को उनके बेस से घटाएं। (कमी निकालें)

चरण 2: इन कमियों को आपस में गुणा करें।

चरण 3: में को घटाएं या में को घटाएं। (दोनों बराबर होंगे)

चरण 4: इस परिणाम को से गुणा करें।

चरण 5: अंतिम उत्तर के रूप में, चरण 4 का परिणाम (जो से गुणा हुआ) और चरण 2 का परिणाम जोड़ दें।

4. उदाहरण के साथ समझें

उदाहरण 1: (दोनों 100 के करीब)

आधार
,

चरण 1:
चरण 2: या
चरण 3:
चरण 4:

अतः,

उदाहरण 2: (दोनों 100 से ऊपर)

चरण 1:
चरण 2: या
चरण 3:
चरण 4:

अतः,

5. इस सूत्र के प्रयोग और उपयोग

5.1 मानसिक गणना में तेज़ी

यह सूत्र विशेष रूप से उन संख्याओं के लिए उपयोगी है जो किसी बेस नंबर के निकट हों, जैसे 10, 100, 1000। इससे आप बड़ी संख्याओं को बहुत तेज़ी से गुणा कर सकते हैं बिना कैलकुलेटर या कागज के।

5.2 परीक्षा और प्रतियोगी परीक्षाओं में

बहुत सारे प्रतियोगी परीक्षा जैसे SSC, Banking, CAT, और अन्य में समय महत्वपूर्ण होता है। यह सूत्र आपको तेज़ और सही गणना करने में मदद करता है।

5.3 दैनिक जीवन में

खरीदारी, बैंकिंग, और व्यापार में जल्दी से हिसाब लगाने के लिए।

5.4 गणितीय और अकादमिक उपयोग

अल्जेब्रा, संख्यात्मक विश्लेषण और अन्य गणितीय क्षेत्रों में इसका इस्तेमाल करके मानसिक मॉडलिंग बेहतर बनती है।

6. सूत्र के कुछ और उदाहरण

7. क्यों यह सूत्र प्रभावी है?

यह भारी संख्याओं के गुणा को सरल घटाने और जोड़ने में बदल देता है।
मानसिक गणना में सहायक।
जटिलता कम करता है।
तेज परिणाम देता है।

8. विस्तार से चरणों का पुनरावलोकन

Step	Process	Explanation
1	आधार से दोनों संख्याओं की दूरी निकालें	और को निकालना
2	करें	कमियों का गुणा
3	या निकालें	आधार के समीप जोड़/घटाव
4	Step 3 के परिणाम को आधार से गुणा करें	आधार के हिसाब से स्केल करना
5	Step 4 और Step 2 को जोड़ें	अंतिम उत्तर प्राप्त करें

9. अभ्यास प्रश्न

10. सारांश

"निखिलम् नवतश्चरमं दशतः" वैदिक गणित का एक शक्तिशाली सूत्र है।
यह 10, 100, 1000 जैसे आधारों के निकट संख्याओं के गुणा को तेज़ करता है।
मानसिक गणना के लिए आदर्श।
विभिन्न परीक्षाओं और दैनिक जीवन में बेहद उपयोगी।

Step 4:

Step 5: जोड़ें

उत्तर:

इस सूत्र के फायदे

भारी संख्याओं के गुणा को छोटे भागों में तोड़कर मानसिक गणना आसान बनाता है।
परीक्षाओं में समय की बचत करता है।
कैलकुलेटर के बिना भी तेज गणना संभव।
व्यवसाय, व्यापार और बैंकिंग में उपयोगी।

क्या आप चाहेंगे कि मैं आपको इसका एक और जटिल उदाहरण दूं, या कोई दूसरी वैदिक गणित की विधि समझाऊं?

शानदार! अब "निखिलम् नवतश्चरमं दशतः" सूत्र के कुछ जटिल और विस्तार से उदाहरण देखेंगे, साथ ही इसे दूसरे आधारों पर कैसे लागू करें और दो अलग-अलग आधार वाली संख्याओं का गुणा कैसे करें, यह भी सीखेंगे।

वैदिक गणित का तीसरा सूत्र — उन्नत अध्ययन और जटिल उदाहरण

1. जटिल उदाहरण — तीन अंकों की संख्या

उदाहरण 1: (दोनों 1000 के करीब)

आधार

Step 1:
Step 2: या
Step 3:
Step 4:

उत्तर:

2. दो अलग-अलग आधार वाली संख्याओं का गुणा

जब दो संख्याएं अलग-अलग आधारों के करीब हों, जैसे , तब सूत्र को थोड़ा एडजस्ट करना होता है।

उदाहरण 2:

,
आधार (चूंकि दोनों 100 के आसपास हैं)

Step 1:
(यहाँ को निगेटिव लेते हैं क्योंकि से ऊपर है)

Step 2: या

Step 3:

6. सूत्र के अन्य उपयोग

वर्ग निकालना:


  (N + a)^2 = N^2 + 2Na + a^2

वर्गमूल निकालना:
नजदीकी पूर्ण वर्ग से दूरी लेकर मानसिक गणना।
भाग निकालना:
समीपस्थ आधार लेकर भागफल निकालने में सहायक।

7. सारांश

उपयोग क्षेत्र	विवरण
मानसिक गुणा	बड़े अंकों का तेज़ गुणा बिना कैलकुलेटर के
परीक्षा तैयारी	समय बचाने वाली तकनीक, CAT, SSC, Bank exams आदि
व्यापार एवं बैंकिंग	त्वरित वित्तीय गणना
शिक्षण	गणित की अवधारणाओं को सहज और प्रभावी तरीके से समझाना

8. आप अभ्यास के लिए चाहेंगे?

कुछ और कठिन उदाहरण?
वर्गमूल या भाग निकालने के वैदिक सूत्र?
अन्य वैदिक गणित के सूत्रों की व्याख्या?

बताइए, मैं किस विषय पर अगला विस्तार से समझाऊं!

वैदिक गणित का तीसरा सूत्र: "पूर्णांकता" या "संपूर्णता" सूत्र