विनजीत वैदिक अंकगणित पुस्तक || 1 || अध्याय 17.01 || संख्याओं की विभाज्यता या विभाजनीयता के नियम

विनजीत वैदिक अंकगणित पुस्तक || 1 || अध्याय 17.01 || संख्याओं की विभाज्यता  या  विभाजनीयता के नियम

Vinjeet Vedic Arithmetic Book || 1 || Chapter 17.01 || Rules of divisibility or division of numbers

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लेखक

ॐ जितेन्द्र सिंह तोमर

M.A., B.Ed., DNYS, MASSCOM

(Specialist in Basic and Vedic Maths)

आप सामान्य रूप से  0 से, 1 से, 2 से, या 3, 4, 5, 6, 8, 9,10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 22 से  विभाज्यता जानते होंगे।

You might normally know divisibility by 0, by 1, by 2, or by 3, 4, 5, 6, 8, 9,10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 22.

वैदिक विधि से विभाज्यता  या  विभाजनीयता (Divisibility)  के बारे में जानने से पहले हम गणित में  प्रचलित सामान्य नियमों को एक बार पुनः ध्यान से समझ लेते हैं। 

जो इन नियमों के बारे में नहीं जानता; उन्हें इसके बारे में समझा देते हैं।

Before knowing about divisibility or divisibility through Vedic method, let us once again carefully understand the general rules prevalent in mathematics.

Who does not know about these rules; Let's explain it to them.

शून्य से विभाज्यता

यह अपरिभाषित है क्योंकि सभी संख्याएं शून्य से बड़ी होती हैं। और शून्य से विभाजित होने पर हम इन सब को शून्य ही मान लेते हैं। परंतु ऐसा नहीं है इनका परिणाम अपरिभाषित आता है जो एक अज्ञात संख्या होती है। जिसे हम अभी तक नहीं समझ पाए हैं।

1/0 = ∞ (अपरिभाषित) होता है।

Divisibility by Zero

It is undefined because all numbers are greater than zero. And when divided by zero, we consider all these to be zero. But it is not so, their result is undefined which is an unknown number. Which we have not yet understood.

1/0 = ∞ (undefined)

1 से विभाज्यता 
सभी संख्याएं (Numbers) 1 से पूर्णतः विभाज्य (divisible) होती हैं। यह वही संख्या देती जिसे संख्या एक भाग कर रही होती है।

1/1=1

2/1=2

3/1=3

12/1=12

(परंतु ध्यान रहे कि 0/1 = 0 होता है।)

(परंतु ध्यान रहे कि 1/0 = ∞ होता है।)

Divisibility By 1

All numbers are completely divisible by 1. It gives the same number as the number one is dividing.

1/1=1

2/1=2

3/1=3

12/1=12

(But keep in mind that 0/1 = 0.)

(But keep in mind that 1/0 = ∞.)

2 से विभाज्यता 
सभी सम संख्याएं (Even Numbers) 2 से पूर्णतः विभाज्य (Divisible) होती हैं। 

अर्थात्  

जिन संख्याओं के अंतिम अंक या इकाई (Unit) का अंक 0,2,4,6 या 8 हो वे सभी संख्याएं 2 से पूर्णतः विभाज्य (Divisible) होती हैं। अन्यथाा नहीं।

Divisibility By 2

All even numbers are completely divisible by 2.

that is

All the numbers whose last digit or unit digit is 0,2,4,6 or 8 are completely divisible by 2, Otherwise not.

3 से विभाज्यता 
किसी संख्या के सभी अंकों का योग यदि 3 से विभाज्य हो तो वह संख्या भी 3 से विभाज्य होगी।अन्यथाा नहीं।
जैसे-

* 3456 का आंकिक योग है = 3+4+5+6 = 18।

हम जानते हैं कि 18 संख्या 3 से पूर्णत विभाजित है अतः संख्या 3456,  3 से पूर्णतया विभाज्य है।

* 12345 का आंकिक योग है = 1+2+3+4+5 = 15 है ।

हम जानते हैं कि 15 संख्या 3 से पूर्णत: विभाजित है अतः संख्या 12345, संख्या 3 से पूर्णतया विभाज्य है।

63203269584 का आंकिक योग

6+3+2+0+3+2+6+9+5+8+4 = 59 है।

59 संख्या 3 से पूर्णत: विभाजित नहीं है अतः संख्या 63203269584, संख्या 3 से विभाज्य नहीं है।

Divisibility By 3

If the sum of all the digits of a number is divisible by 3, then that number will also be divisible by 3. Otherwise not.

As

* Numerical sum of 3456 is = 3+4+5+6 = 18.

We know that the number 18 is completely divisible by 3= 18/3=6, hence the number 3456 is completely divisible by 3.

* Numerical sum of 12345 is = 1+2+3+4+5 = 15.

We know that the number 15 is completely divisible by 3 = 15/3=5, hence the number 12345 is completely divisible by the number 3.

Numerical sum of 63203269584

6+3+2+0+3+2+6+9+5+8+4 = 59.

The number 59 is not exactly divisible by 3= 59/3= not completely divisible, hence the number 63203269584 is not divisible by 3.

4 से विभाज्यता 
जिन संख्याओं के अंतिम दो अंक (अर्थात अंतिम और उपांतिम अंक अर्थात इकाई और दहाई अर्थात Unit और Ten) 4 से विभाज्य हो वे सभी संख्याएँ 4 से पूर्णत: भाज्य होती हैं। 

साथ ही हमें ध्यान रखना चाहिए कि यदि किसी संख्या के अंतिम दो अंक 00 हो तो वह भी  4 से पूर्णत: विभाज्य होती है। अन्यथाा नहीं।

जैसे - 144, 524, 3456, 23404, 12500, 1000, 20000, 2560000 इत्यादि 4 से विभाज्य हैं।

वैदिक गणित के अनुसार यदि उपांतिम तथा अंतिम अंक के दुगने का योग 4 से विभाजित है तो वह संख्या 4 से विभाजित हो जाएगी।

(उपांतिम अंक + 2 × अंतिम अंक = 4 से विभाजित संख्या।)

* क्या संख्या 144  संख्या 4 सेे विभाज्य है या नहीं?
यहां उपांतिम तथा अंतिम अंक के दोनोें 

ही 4 हैं।

4 + 2 × 4 = 4 + 8 =  12 संख्या 4 से विभाजित संख्या। फतेह 144 संख्या 4 सेे विभाज्य है।

* क्या संख्या 385546  संख्या 4 सेे विभाज्य है या नहीं?

यहां उपांतिम अंक 4 तथा अंतिम अंक 6 हैं।

4 + 2 × 6 = 4 + 12 =  16 संख्या 4 से विभाजित संख्या। अतः 385546 संख्या 4 सेे विभाज्य है।

Divisibility By 4

All the numbers whose last two digits (i.e. last and second last digit i.e. Unit and Ten) are divisible by 4 are completely divisible by 4.

Also, we should keep in mind that if the last two digits of a number are 00, then it is also completely divisible by 4, Otherwise not.

Like – 144, 524, 3456, 23404, 12500, 1000, 20000, 2560000 etc. are divisible by 4.

According to Vedic mathematics, if the sum of double the second last and last digit is divisible by 4, then that number will be divisible by 4.

(Number divided by second last digit + 2 × last digit = 4.)

* Is the number 144 divisible by the number 4 or not?

Here both the second last and last digit

There are only 4.

4 + 2 × 4 = 4 + 8 = 12 Number divided by 4. The number Fateh 144 is divisible by 4.

* Is the number 385546 divisible by 4 or not?

Here the penultimate digit is 4 and the last digit is 6.

4 + 2 × 6 = 4 + 12 = 16 Number divided by 4. Thus number 385546 is divisible by 4.

5 से विभाज्यता
जिन संख्याओं के अंतिम अंक या इकाई (Unit) के स्थान में 5 या 0 हो तो वे सभी संख्याएं 5 से विभाज्य होती हैं। अन्यथाा नहीं।

जैसे 

5, 20, 50, 55, 100, 255, 395, 895, 9820

divisibility by 5

All the numbers which have 5 or 0 in their last digit or unit place are divisible by 5, otherwise not.

As

5, 20, 50, 55, 100, 255, 395, 895, 9820

6 से विभाज्यता
संख्या 6 अभाज्य संख्याएं 2 और 3 का गुणज (6 = 2 x 3 ) होती है । इसलिए यदि कोई संख्या 2 और 3, दोनों से विभाज्य हो तो वह 6 से भी विभाज्य होगी 

अर्थात

3 से विभाजित प्रत्येक सम संख्या, 6 से भी विभाज्य होगी।

Divisibility By 6

The number 6 is the multiple of prime number 2 and 3 (6 = 2 x 3). Therefore, if a number is divisible by both 2 and 3, then it will also be divisible by 6.

In other words

Every even number divisible by 3 is also divisible by 6.

8 से विभाज्यता
जिन संख्याओं के अंतिम तीन अंक (इकाई दहाई सैकड़ा तथा hundred, tenth,  once) 8 से विभाजित हो तो वे संख्याएँ 8 से विभाज्य होती हैं। 

साथ ही जिनके अंतिम तीन अंक 000 हों वह भी विभाज्य होती है।
जैसे-- 8, 24, 88, 104, 768,  1808,  1000, 45672, 10008 आदि 8 से विभाज्य है ।

Divisibility By 8

The numbers whose last three digits (one, ten, hundred and hundred, tenth, once) are divisible by 8 are divisible by 8.

Also, those whose last three digits are 000 are also divisible.

For example, 8, 24, 88, 104, 768, 1808, 1000, 45672, 10008 etc. are divisible by 8.

9 से विभाज्यता

यह नियम संख्याा 3 की तरह कार्य करता है। यदि किसी संख्या के सभी अंको का योग 9 से विभाज्य हो तो वह संख्या 9 से विभाज्य होगी।

जैसे- 

* 3456 का आंकिक योग है = 3+4+5+6 = 18।

हम जानते हैं कि 18 संख्या 9 से पूर्णत विभाजित है अतः संख्या 3456,  9 से पूर्णतया विभाज्य है।

* 123453 का आंकिक योग है = 1+2+3+4+5+3 = 18 है ।

हम जानते हैं कि 18 संख्या 9 से पूर्णत: विभाजित है अतः संख्या 123453, संख्या 9 से पूर्णतया विभाज्य है।

1257894 का आंकिक योग =1+2+5+7+8+9+4 =36 है। 

हम जानते हैं कि 36 संख्या 9 से पूर्णत: विभाजित है अतः संख्या 1257894, संख्या 9 से पूर्णतया विभाज्य है।

divisibility by 9

This works like rule number 3. If the sum of all the digits of a number is divisible by 9, then that number will be divisible by 9.

As-

* Numerical sum of 3456 is = 3+4+5+6 = 18.

We know that the number 18 is completely divisible by 9, hence the number 3456 is completely divisible by 9.

* Numerical sum of 123453 is = 1+2+3+4+5+3 = 18.

We know that 18 is completely divisible by 9, hence the number 123453 is completely divisible by 9.

The numerical sum of 1257894 is =1+2+5+7+8+9+4 =36.

We know that 36 is completely divisible by 9, hence the number 1257894 is completely divisible by 9.

10 से विभाज्यता
किसी संख्या के अंत में 0 हो तो वह 10 से विभाज्य होगी।

जैसे

10, 20, 50, 100, 1000, 2000, 500000

Divisibility By 10

If a number has 0 at the end, it will be divisible by 10.

As

10, 20, 50, 100, 1000, 2000, 500000

11 से विभाज्यता
यदि किसी संख्या के विषम व सम स्थानों पर स्थित अंकों केे योगों का अंतर का 0 हो या 11 से विभाज्य हो तो वह पूरी संख्या 11 से विभाज्य होगी । 

(विषम अंक योग – समांक योग = 0 या 11 का गुणज) तो वह पूरी संख्या 11 से विभाज्य होगी । अन्यथा नहीं। 

* क्या 875421 संख्या 11 से विभाजित है या नहीं।

विषमांक योग =7+4+1 = 12

समांक योग =8+5+2=15  

हम पाते है कि 15-12 =3 है जो कि 11 से विभाज्य नहीं है।

अतः संख्या 875421 संख्या 11 से भाग्य नहीं है

* क्या 806421 संख्या 11 से विभाजित है या नहीं।

विषमांक योग = 0+4+1 = 5

समांक योग = 8+6+2 =16  

हम पाते है कि 16–5 =11 है जो कि 11 से विभाज्य है।

अतः संख्या 806421 संख्या 11 से भाग्य है।

* क्या 569754207 संख्या 11 से विभाजित है या नहीं।

विषमांक योग = 5+9+5+2+7 =28   

समांक योग = =6+7+4+0 =17; 

हम पाते है कि 28–17 =11 है जो कि 11 से विभाज्य है।

अतः संख्या 569754207 संख्या 11 से भाग्य है।

[वैदिक गणित केेेेेे नियम के अनुसार यदि विषमांक योग का बीजांक तथा समांक योग का बीजांक अंतर 0 या 2, 4, 6, 8 में से कोई आने पर वह संख्या 11 से विभाज्य होगी।]

Divisibility By 11

If the difference of the sums of digits located at odd and even places of a number is 0 or is divisible by 11, then the entire number will be divisible by 11.

(Odd place number's sum – Even place number's sum = 0 or multiple of 11) then that whole number will be divisible by 11, otherwise not.

* Is the number 875421 divisible by 11 or not.

odd number sum =7+4+1 = 12

Sum total=8+5+2=15

We find that 15–12 = 3 which is not divisible by 11.

So number 875421 is not luck with number 11

* Whether the number 806421 is divisible by 11 or not.

odd number sum = 0+4+1 = 5

Sum total = 8+6+2 =16

We find that 16–5 = 11 which is divisible by 11.

So number 806421 is divisible with number 11.

* Is the number 569754207 divisible by 11 or not.

Odd number sum = 5+9+5+2+7 =28

Sum total = =6+7+4+0 =17;

We find that 28–17 = 11 which is divisible by 11.

So number 569754207 is divisible with number 11.

[According to the first rule of Vedic mathematics, if the difference between the odd-numbered sum and the even-numbered sum is 0 or 2, 4, 6, 8, then that number will be divisible by 11.]

12 से विभाज्यता

वह संख्या जो 4 और 3 दोनों से विभाज्य है, वह 12 से भी विभाज्य होगी।
जैसे - 1356156 के अंतिम दो अंक 56, 4 से विभाज्य है। 

साथ ही दिए हुए संख्या का आंकिक योग = 9, 3 से विभाज्य है। 

इसलिए संख्या 12 से विभाज्य है।

Divisibility By 12

  

A number which is divisible by both 4 and 3 will also be divisible by 12.

For example, the last two digits of 1356156 are divisible by 56, 4.

Also the numerical sum of the given number = 9 is divisible by 3.

Therefore the number is divisible by 12.

15 से विभाज्यता

3 और 5 दोनों से विभाज्य संख्या, 15 से भी विभाज्य होगी.

Divisibility By 15

A number divisible by both 3 and 5 will also be divisible by 15.

16 से विभाज्यता
अंतिम चार अंक यदि 16 से विभाज्य हो तो संख्या भी 16 से विभाज्य होगी.

Divisibility By 16

If the last four digits are divisible by 16 then the number will also be divisible by 16.

18 से विभाज्यता 
9 से विभाज्य प्रत्येक सम संख्या 18 से विभाज्य होगी।

Divisibility By 18

Every even number divisible by 9 will be divisible by 18.

22 से विभाज्यता 
11 से विभाज्य प्रत्येक सम संख्या 22 से विभाज्य होगी।

Divisibility By 22

Every even number divisible by 11 will be divisible by 22.