सबसे पहले हमें 10 तक की संख्याओं के वर्ग याद करने में चलो पहले सबसे पहले कहां हुआ ही कर लेते हैं कि एक से 10 तक की संख्याओं के वर्ग लिख लेते हैं और फिर उन्हें याद कर लेते हैं।
संख्या संख्या संख्या का वर्ग
0 0² 0
1 1² 1
2 2² 4
3 3² 9
4 4² 16
5 5² 25
6 6² 36
7 7² 49
8 8² 64
9 9² 81
10 10² 100
अब आते हैं पहले नियम पर
नियम नंबर 1
★ शूनयांत संख्याओं का वर्ग ।
अर्थात यह नियम तभी लागू होता है जब एक आयत होता है के स्थान पर शून्य ही हों।
(1) जो अंक दिया हो उसका ऑफ वर्ग करके लिखो।
(2) जितनी जीरो हो उतने जीरो की दुगनी जीरो उस अंक के आगे लगा दो।
(3) आप भी स्थान की दी हुई संख्या का वर्ग है।
माना (a0)² का वर्ग देखना है
(1) अंक a का वर्ग करके लिखो। मान लिया वह m है।
(2) संख्या a0 केवल एक जीरो है। जितनी जीरो हो उतने जीरो की दुगनी जीरो उस अंक के आगे लगा दो।
(a)²/00
(3) आप भी स्थान की दी हुई संख्या का वर्ग है।
संक्षेप में शूनयांत संख्याओं का वर्ग को इस प्रकार ज्ञात करेंगे
(a0)²
= (a/0)² = (a)²/00* = m/00
* का अर्थ है कि यहां पर जितनी शून्य हैं उनकी दुगनी शून्य यहां लिखनी है। जहां m =(a)²
(a00)²
= (a/00)² = (a)²/0000* = m/0000
उदाहरण 01.
10²
(10)² = (1/0)² = (1)²/00* = 1/00=100
OR
10²
= 1/0
= (1)²/00
= 1/00
= 100
उदाहरण 02.
40²
(40)² = (4/0)² = (4)²/00*
= 16/00 =1600
OR
40²
= 4/0
= (4)²/00
= 16/00
= 1600
उदाहरण 04.
500²
(500)² = (5/00)² = (5)²/0000*
= 25/0000 =250000
OR
500²
= 4/00
= (5)²/0000
= 25/0000
= 250000
अब आते हैं दूसरे नियम पर
नियम नंबर 2
★ ★ पांचांत अर्थात 5 से अन्त होने वाली संख्याओं का वर्ग
निखिल अंक उपप्रमेय नंबर 1 →एकाधिकेन पूर्वेण
एकाधिकेन पूर्वेण विधि से वर्ग
अंक गणित के सूत्र
सूत्र = (निखिलांक) × (निखिलांक का एकाधिकेन) / (चरमांक)²
बीजगणित के सूत्र
(a5)²
=(a/5)² = a×(a+1)/5²= a×(a+1)/25
हम किसी संख्या को दो भागों में विभक्त कर सकते हैं । इकाई के अंक को हम चरमांक कहते हैं जबकि शेष बचा भाग निखिलांक के नाम से जाना जाता है।
(शेष बचा भाग निखिलांक)(इकाई का अंक)
अतः
(शेष बचा भाग निखिलांक)(चरमांक)
जैसे
* 15 में चरमांक 5 तथा निखिलांक 1 है।
* 75 में चरमांक 5 तथा निखिलांक 7 है।
* 185 में चरमांक 5 तथा निखिलांक 18 है।
* 9415 में चरमांक 5 तथा निखिलांक 941 है।
इस सूत्र के प्रयोग से 5 से अंत होने वाली संख्याओं का वर्ग बहुत ही आसानी से किया जा सकता है।
जैसे: 5, 15, 25, 35, 45, 65, 105, 135, 125, 115, 125 आदि का वर्ग.
Q. 5 का वर्ग
(05)²
=(0/5)² = 0×(0+1)/5²= 0×(1)/25=0/25
=25
05 में 'पूर्व' अंक है 0 और •0 का एकाधिक 1 होता है। इसलिए
05²
=0/5²
= 0ו0/5²
=0×1/25
=0/25
=25
Q. 15 का वर्ग
(15)²
=(1/5)² = 1×(1+1)/5²= 1×(2)/25=2/25
=225
05 में 'पूर्व' अंक है 1 और •1 का एकाधिक 2 होता है। इसलिए
15²
=1/5²
= 1ו1/5²
=1×2/25
=2/25
=225
Q. 25 का वर्ग
(25)²
=(2/5)² = 2×(2+1)/5²= 2×(3)/25=6/25
=625
25 में 'पूर्व' अंक है 2 और •2 का एकाधिक 3 होता है। इसलिए
25²
=2/5²
= 2ו2/5²
=2×3/25
=6/25
=625
Q. 35 का वर्ग
35 में 'पूर्व' अंक है 3 और •3 का एकाधिक 4 होता है। इसलिए
35²
= 3/5²
= 3ו3/5²
=3x4/25
=1225
Q. 105 का वर्ग
105 में 'पूर्व' अंक है 10 और •(10) का एकाधिक 11 होता है। इसलिए
105²
=10/5²
= 10ו10/5²
=10×11/25
=110/25
=110225
Q. 115 का वर्ग
(115)²
=(11/5)² = 11×(11+1)/5²= 11×(12)/25=132/25
=13225
115 में 'पूर्व' अंक है 11 और •(11) का एकाधिक 12 होता है। इसलिए
115²
=11/5²
= 11ו11/5²
=11×12/25
=132/25
=13225
Q. 125 का वर्ग
125 में 'पूर्व' अंक है 12 और •(12) का एकाधिक 13 होता है। इसलिए
125²
=12/5²
= 12ו12/5²
=12×13/25
=156/25
=15625
Q. 395 का वर्ग
(395)²
=(39/5)² = 39×(39+1)/5²= 39×(40)/25=1560/25
=156025
395 में 'पूर्व' अंक है 39 और •(39) का एकाधिक 40 होता है। इसलिए
395²
=39/5²
= 39ו39/5²
=39×40/25
=1560/25
=156025
Q. 1995 का वर्ग
(1995)²
=(199/5)² = 199×(199+1)/5²= 199×(200)/25=39800/25
=3980025
1995 में 'पूर्व' अंक है 199 और •(199) का एकाधिक 200 होता है। इसलिए
1995²
= 199/5²
= 199ו199/5²
= 199×200/25
= 39800/25
= 3980025
किन्हीं दो अंकित संख्याओं का वर्ग ज्ञात करना
नियम नंबर 3
(ab)²
(a/b)² = a²/a.b.2/b²
(यहां हमें / / के मध्य या आगे–पीछे केवल एक ही अंक लेना है अगर दूसरा अंक होगा तो आगे वाले में हासिल हो जाएगा।)
Q. 10 का वर्ग
10²
= (1/0)²
= 1²/1.0.2/0²
= 1/0/0
= 100
Q. 13 का वर्ग
13²
= (1/3)²
= 1²/1.3.2/3²
= 1/6/9
= 169
Q. 54 का वर्ग
54²
= (5/4)²
= 5²/5.4.2/4²
= 25/40/16
विश्लेशीकरण करने के लिए
= 25/⁴0/¹6
= 25/⁴1/6
= 25+4/1/6
= 2916
अभ्यास प्रश्न
निम्न का एक-एक कर वर्ग ज्ञात करो:
11, 23, 34, 51, 62, 73, 87, 98, 19, 27, 74, 78, 89
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