04.7 चार संख्याओं (a×b×c×d) की एक साथ गुणा करना

वैदिक गणित सूत्र :

चार संख्याओं की एक साथ गुणा करना 

वैदिक गणित के द्वारा इस प्रकार के प्रश्नों को हल करने में सबसे महत्वपूर्ण बात जो ध्यान रखनी है वो ये कि हमे इनके अनुपात: को सही बनाना है ताकि चारों संख्यायें सही प्राप्त कर सकें।

वैदिक गणित सूत्र :

उदाहरण (1) 

 Aa × Bb × Cc 

यहाँ Aa आधार 10 से a बड़ा है तथा B आधार 10 से b बड़ा है तथा C आधार 10 से c बड़ा है। 

(A ± a ) × (B ± b ) × (C ± c) × (D ± d) 

( A ± a ) 

( B ± b ) 

( C ± c ) 

( D ± d )

यहाँ उपरोक्त प्रश्न के उत्तर को तीन पक्ष में विभक्त करेंगे बांया पक्ष, मध्य पक्ष तथा दांया पक्ष 

I चरण : (RHS)

अब चारों विचलनों की गुणा करें |

a×b×c×d= z

II चरण : (Right Middle)

विचलनों के तीन-तीन के जोड़े बनाकर गुणा करें व परिणामों को जोड़ दें।

[(a×b×c)+(b×c×d)+(c×d×a)+(d×a×b)]= y

III चरण : (Left Middle)

विचलनों के दो-दो के जोड़े करके गुणा करें व परिणामों को जोड़ दें।

[(a×b)+(a×c)+(a×d)+(b×c)+(b×d)]= x

IV चरण : (LHS)

चारों में से किसी भी एक संख्या में अन्य तीनों संख्याओं के विचलनों को जोड़ दें।

[(A+b+c+d)  या (B+a+c+d) या (C+a+b+d) या (D+a+b+c)]= w

IV चरण : (LHS)/ III चरण : (Left Middle)/II चरण : (Right Middle)/I चरण : (RHS)

or

I(LHS)/ III (L M)/II (R M)/I (RHS)

Formula

Aa × Bb × Cc ×Df

= [A+b+c+d]/[(ab)+(ac)+(ad)+(bc)+(bd)] / [(a×b×c)+(b×c×d)+(c×d×a)+(d×a×b)]/[abcd]

उदाहरण (1) 

11×12×13×14= ? 

प्रथम चरण :

सबसे पहले तो 10 को आधार संख्या मानकर चारों संख्याओं का विचलन निकालें  

संख्याएँ———-आधार——-—-विचलन

11—————–10——————1

12—————–10——————2

13—————–10——————3

14—————–10——————4

पहला चरण : (RHS)

अब चारों विचलनों की गुणा करें |

1×2×3×4= 24

–/–/–/4....................................(1)

यहाँ हमे 24 प्राप्त होता है | और क्योंकि यहाँ आधार में 1 शून्य है इसलिए 24 का केवल 1 अंक यानि 4 ही उत्तर के रूप में लिखना है | अतः उत्तर का अंतिम अंक हुआ 4 व 2 को हासिल के रूप में रखें |

दूसरा चरण : (R M)

दुसरे चरण में चारों विचलनों के तीन-तीन के जोड़े बनाकर गुणा करें व इस प्रकार प्राप्त परिणामों को जोड़ दें | चारों विचलनों की गुणा इस प्रकार करें कि सभी की एक दुसरे से गुणा हो जाये | जैसा कि नीचे की हुई है  

यथा :

विचलन =

1

2

3

4

1×2×3 + 1×2×4 + 1×3×4 + 2×3×4 = 6 + 8 + 12 + 24 = 50

50 + 2 (हासिल) = 52

यहाँ आधार में 1 शून्य है इसलिए 52 के केवल 1 ही अंक 2 को उत्तर के दुसरे चरण के रूप में लिखें | व 5 को हासिल के रूप में रखें |

–/–/2/4..............................(2)

तीसरा चरण : (LM)

इस चरण में चारों विचलनों के दो-दो के जोड़े करके गुणा करें व प्राप्त परिणामों को आपस में जोड़ दें |

जैसा की हम जानते हैं कि यहाँ विचलन 1,2,3,व 4 हैं | इनके इस प्रकार जोड़े बनायें व उनकी गुणा करें——–

1×2 + 1×3 + 1×4 + 2×3 + 2×4 + 3×4 = 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 = 35

35 + 5 (हासिल) = 40

अतः 40 की ‘0’ उत्तर के अगले अंक के रूप के लिखें व 4 को हासिल के तौर पर रखें |

–/0/2/4..............................(3)

चौथा चरण :(LHS)

इस चरण में चारों में से किसी भी एक संख्या में अन्य तीनों संख्याओं के विचलनों को जोड़ दें |

संख्या विचलन

11———–1

12———-2

13———-3

14———-4

11+2+3+4=20

20 + 4 (हासिल) = 24

24/0/2/4.....................................(4)

अतः अभीष्ट संख्या = 24024

11×12×13×14= 24024 उत्तर

उदाहरण  (2)

106×104×103×101= ? 

प्रथम चरण :

सबसे पहले तो 10 को आधार संख्या मानकर चारों संख्याओं का विचलन निकालें  

संख्याएँ———-आधार——-—विचलन

106————–100——————6

104————–100——————4

103————–100——————3

101————–100——————1

अब चारों विचलनों की गुणा करें |

6×4×3×1= 72

–/–/–/72..........................................(1)

यहाँ हमे 72 प्राप्त होता है | और क्योंकि यहाँ आधार में 2 शून्य है इसलिए 72 को उत्तर के अंतिम 2 अंकों के तौर पर लिखें |

दूसरा चरण :

दुसरे चरण में चारों विचलनों के तीन-तीन के जोड़े बनाकर गुणा करें व इस प्रकार प्राप्त परिणामों को जोड़ दें | चारों विचलनों की गुणा इस प्रकार करें कि सभी की एक दुसरे से गुणा हो जाये | जैसा कि नीचे की हुई है  

यथा :

विचलन =

6

4

3

1

6×4×3 + 6×4×1 + 6×3×1 + 4×3×1 = 72 + 24 + 18 + 12 = 126

अब इस चरण में प्राप्त संख्या 126 के अंतिम 2 अंकों 26 को उत्तर के तौर पर लिखें | व 1 को हासिल के तौर पर रखें |

–/–/26/72....................................................(2)

तीसरा चरण :

इस चरण में चारों विचलनों के दो-दो के जोड़े करके गुणा करें व प्राप्त परिणामों को आपस में जोड़ दें |

विचलन =

6

4

3

1

6×4 + 6×3 + 6×1 + 4×3 + 4×1 + 3×1 = 24 + 18 + 6 + 12 + 4 + 3 = 67

67 + 1 (हासिल) = 68

इसे उत्तर के रूप में लिखें |

–/68/26/72.....................................................(3)

चौथा चरण :

इस चरण में चारों में से किसी भी एक संख्या में अन्य तीनों संख्याओं के विचलनों को जोड़ दें |

संख्या      विचलन

106————–6

104————–4

103————–3

101————–1

106+4+3+1=114

इसलिए यही उत्तर के प्रथम 3 अंक हुए |

114/68/26/72....................................................(4)

अतः अभीष्ट संख्या  = 114682672

अभ्यास - 

(1) 8 × 9 × 7 = 

(2) 9 × 12 × 6 = 

(3) 12 × 14 × 13 = 

(4) 13 × 8 × 15 = 

(5) 92 × 94 × 96 = 

(6) 93 × 104 × 97 = 

(7) 105 × 107 × 89 = 

(8) 111 × 102 × 108 = 

(9) 1008 × 998 × 1012 = 

( 10) 996 × 991 × 1012 

( 11) 1008 × 1007 × 1054 = 

( 12)  995 × 988 × 990 = 

( 13)  991 × 988 × 1002 = 

( 14)  1013 × 997 × 1004 =

( 15)  10012 × 10008 × 10009 

( 16)  9997 × 9992 × 9995 = 

( 17)  9993 × 9989 × 10015 = 

( 18)  10014 × 9994 × 10017 =

( 19)  91 × 112 × 105 = 

( 20)  1025 × 1015 × 985