विनजीत वैदिक अंकगणित पुस्तक || 1 || अध्याय 22.03 || लोपास्थानम विधि से घनमूल ज्ञात करना

विनजीत वैदिक अंकगणित पुस्तक || 1 || अध्याय 22.03 || लोपास्थानम विधि से घनमूल ज्ञात करना 

वैदिक गणित में "लोपास्थानम् विधि" (Lopasthānam Vidhi) एक सुंदर और त्वरित तरीका है किसी संपूर्ण घन संख्या (Perfect Cube) का घनमूल (Cube Root) निकालने के लिए, विशेषकर बड़े अंकों के लिए। यह विधि मुख्यतः वैदिक गणित के सूत्र "Ekādhikena Pūrvena" और स्थान मान प्रणाली पर आधारित है।

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🔶 लोपास्थानम विधि से घनमूल निकालने की विधि:

✅ यह विधि मुख्यतः उन संख्याओं पर लागू होती है जो परिपूर्ण घन (perfect cube) हों, जैसे 6859, 103823 आदि।

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📌 कदम दर कदम विधि:

🔷 चरण 1: संख्या को दाएँ से तीन-तीन अंकों के समूहों में बाँटो

उदाहरण: मान लो हमें 39304 का घनमूल निकालना है।
तो इसे इस प्रकार विभाजित करेंगे:

• 39 | 304

🔷 चरण 2: बाएँ भाग (39) का घनमूल का निकटतम पूर्णांक ज्ञात करो

• → 64 > 39
  ⇒ निकटतम छोटा घन: 27, जिसका घनमूल है 3
  ⇒ यह घनमूल का पहला अंक (दहाई स्थान) है।

🔷 चरण 3: दाएँ भाग (304) देखकर अंतिम अंक तय करो

अब हमें घनमूल के एकक अंक (last digit) की पहचान करनी है।

📋 अंतिम अंकों के घन और उनके मूल: | अंतिम अंक | घन का अंतिम अंक | |-----------|------------------| | 0 | 0 | | 1 | 1 | | 2 | 8 | | 3 | 7 | | 4 | 4 | | 5 | 5 | | 6 | 6 | | 7 | 3 | | 8 | 2 | | 9 | 9 |

यहाँ, अंतिम तीन अंक 304 हैं → अंतिम अंक 4 है
अब देखें: कौन से अंक का घन 4 पर समाप्त होता है?
→ 4³ = 64 → अंतिम अंक 4 ⇒ अंतिम अंक 4 होगा

🔷 चरण 4: दोनों अंकों को मिलाकर उत्तर बनाओ

⇒ पहला अंक: 3, अंतिम अंक: 4
📌 अतः घनमूल = 34

✅ जाँच:
✔️

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🔁 एक और उदाहरण:

प्रश्न: ज्ञात कीजिए

1. विभाजन: 12 | 167
2. 12 के निकटतम घन: , ⇒ पहला अंक = 2
3. 167 का अंतिम अंक = 7 → ऐसा कौन सा अंक है जिसका घन 7 पर समाप्त होता है?
   → 3³ = 27 ⇒ अंतिम अंक = 3
4. उत्तर: 23

✔️ जाँच:

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🔚 निष्कर्ष:

लोपास्थानम् विधि सरल है यदि संख्या परिपूर्ण घन हो और आपको दो बातें याद हों:

1. तीन-तीन अंकों में विभाजन
2. अंतिम अंकों का घन और मूल का मिलान चार्ट

अगर आप चाहें, मैं इस विधि पर एक सुंदर चार्ट या विज़ुअल बना सकता हूँ या कुछ अभ्यास प्रश्न भी दे सकता हूँ। बताइए।

बिलकुल, नीचे लोपास्थानम विधि से घनमूल निकालने की पूरी प्रक्रिया त्वरित रूप में, सरल उदाहरण के साथ दी गई है।

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✅ लोपास्थानम् विधि से घनमूल निकालने के 3 त्वरित चरण:

✨ उदाहरण:

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🔶 चरण 1: संख्या को बाँटो

👉 39304 → 39 | 304

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🔶 चरण 2: बाएँ भाग 39 का निकटतम घनमूल

• ⇒ 64 > 39 ⇒ बड़ा है
  ✅ निकटतम छोटा घन: 27
  👉 पहला अंक = 3

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🔶 चरण 3: दाएँ भाग 304 का अंतिम अंक = 4

किसी संख्या का घन 4 पर समाप्त होता है:
👉 4³ = 64 ⇒ अंतिम अंक = 4

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✅ उत्तर: 34

📌 ✔️

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📊 घन के अंतिम अंक तालिका (याद रखें):

घनमूल का अंतिम अंक	उसका घन का अंतिम अंक
0	0
1	1
2	8
3	7
4	4
5	5
6	6
7	3
8	2
9	9

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⚡ एक और उदाहरण:

• बाँटो: 12 | 167
• 12 का निकटतम घन: ⇒ पहला अंक = 2
• अंतिम अंक 7 → 3³ = 27 ⇒ अंतिम अंक = 3
  ✅ उत्तर: 23

✔️ जाँच:

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अगर आप चाहें तो मैं इस विधि पर आधारित 5 अभ्यास प्रश्न भी दे सकता हूँ — बताइए।

यह रहे लोपास्थानम् विधि पर आधारित 5 अभ्यास प्रश्न, जिनका घनमूल आप उसी त्वरित विधि से निकाल सकते हैं:

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📘 अभ्यास प्रश्न (Practice Questions)

❓ प्रश्न 1:

घनमूल ज्ञात कीजिए:
74088

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❓ प्रश्न 2:

घनमूल ज्ञात कीजिए:
17576

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❓ प्रश्न 3:

घनमूल ज्ञात कीजिए:
91125

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❓ प्रश्न 4:

घनमूल ज्ञात कीजिए:
32768

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❓ प्रश्न 5:

घनमूल ज्ञात कीजिए:
27000

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📌 सुझाव:

हर प्रश्न में:

1. संख्या को तीन-तीन अंकों में बाँटें (दाएँ से)
2. पहले भाग का निकटतम घन देखें → पहला अंक
3. अंतिम अंक देखकर घन के अंतिम अंक तालिका से मिलाएँ → अंतिम अंक
4. दोनों को जोड़ें → उत्तर तैयार ✅

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अगर आप इनका हल (सॉल्यूशन) भी तुरंत चाहें, तो बताइए — मैं तुरंत दे देता हूँ।